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小专题12 一次函数与面积问题
类型1 直接利用面积公式求面积——三角形的边在坐标轴上或与坐标轴平行
【例1】 如图，直线l 在平面直角坐标系中与y轴交于点A,点 B(--3,3)也在直线 l 上,将点 B 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点 C，点C也在直线l 上.
(1)求点 C的坐标和直线l 的解析式.
(2)已知直线l :y=x+b经过点B,与y轴交于点E，求△ABE的面积.
方 法 指导
当所求三角形的一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，直接利用三角形的面积公式计算三角形的面积.
如图1,
如图2,
针对训练
1.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx与一次函数y=--x+b的图象相交于点A(4,3),一次函数y=--x+b的图象与y轴交于点D.过点 P(0，4)作x轴的平行线，分别交y= kx与y=-x+b的图象于点B,C,连接OC.
(1)求这两个函数的解析式.
(2)求△BOC 的面积.
类型2 利用和差法求面积
【例2】 如图，已知直线 与直线 交于点 A，点A 的纵坐标为1，且直线l 与x轴交于点B，与 y轴交于点 D，直线l 与y轴交于点C.
(1)求直线 l 的解析式.
(2)连接 BC,求 S△ABC.
方法 指导
当所求图形的面积不能用面积公式直接求出时，通常用和差法将所求图形的面积转化为两个图形的面积的和或差.
如图 1, 或S△ABC = |yB|).
如图2,连接OB,S四边形ABDO=S△AOB+ 或
针对训练
2.如图,一次函数y= kx+4的图象经过点A(-2,0),交y轴于点 B,直线CD交x轴于点 C,交 y轴于点 D,与直线 y= kx+4交于点 E.
(1)若OC=OD=2OA,请求出 k的值并确定直线CD 的解析式.
(2)请求出四边形 AODE 的面积.
类型3 由图形的面积求点的坐标
【例3】 如图，直线 与x轴、y轴分别相交于点E,F,点 E的坐标(16,0),点 A的坐标为(12,0),点 P(x,y)是第一象限内的直线上的一个动点(点P 不与点E，F重合).
(1)求k的值.
(2)在点 P 运动的过程中，求出 的面积S与x的函数关系式.
(3)是否存在点 P(x,y),使△OPA的面积为△OEF的面积的 若存在，求此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
针对训练
3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= kx+b(k≠0)的图象与x轴交于点A,且经过B(0,2),C(2,-2)两点.
(1)求一次函数的解析式.
(2)求点 A 的坐标以及△AOB 的面积.
(3)若P(x，y)为此函数图象上的一点，则当 时，请直接写出点 P 的坐标.
小专题12 一次函数与面积问题
【例1】 解:(1)由题意得,点C的坐标为(-3+1,3-2),即(-2,1).设直线l 的解析式为y= kx+c,则 解得直线l 的解析式为y=-2x-3.(2)把点B(-3,3)代入y=x+b,得3=-3+b,解得b=6.∴y=x+6.将x=0代入y=x+6,得y=6,∴E(0,6).将x=0代入y=-2x-3,得y=-3,∴A(0,-3).∴AE
【例2】 解:(1)∵点A在. 上,点A的纵坐标为1,∴x+2=1,解得x=-1.∴点A的坐标为(-1,1).∵点A在y = kx-1上,∴-k-1=1,解得k=-2.∴直线l 的解析式为y =-2x-1.(2)∵直线l 与x轴交于点B,∴x+2=0,解得x=-2.∴OB=2.依题意,得C(0,-1),D(0,2),即OC=1,OD=2.∴DC=2+1=3.∴S△ABC=
【例3】 解:(1)∵直线.y= kx+12与x轴交于点E(16,0),∴16k+12=0,解得 (2)过点 P作 PD⊥OA 于点D，连接OP，AP，∵点P(x，y)是第一象限内的直线上的一个动点，∴ ∵点A 的坐标为((12,0), 3)存在.在 中,当x=0时,y=12.∴OF=12,OE=16.∵△OPA的面积为△OEF 的面积的- ,∴ 解得x=8.将x=8代入 得y=6.∴点 P 的坐标为(8,6).
针对训练
1.解：(1)∵正比例函数y=kx与一次函数y=-x+b的图象相交于点A(4,3),∴3=4k,3=-4+b,解得 正比例函数.的解析式为 一次函数的解析式为y=-x+7.(2)∵PC∥x轴,P(0,4),∴把y=4代入 得x= .∴B( ,4).把y=4代入y=-x+7,得x=3.∴C(3,4). 又
2.解:(1)把 A(-2,0)代入 y= kx+4,得-2k+4=0. ∴k=2.∵A(-2,0),∴OA=2. ∵OC=OD=2OA,∴OC=OD=4.∴C(-4,0),D(0,-4).设直线CD 的解析式为y= mx+b,把C(-4,0),D(0,-4)代入,得 解得直线CD的解析式为y=-x-4.(2)联立 解得
3.解(1)∵一次函数y= kx+b(k≠0)的图象经过B(0,2),C(2,-2)两点，∴解得一次函数的解析式为y=-2x+2.(2)当y=0时,-2x+2=0,解得x=1,∴A(1,0).∵B(0,2),∴OA=1,OB=2.∵∠AOB=90°,∴S△AOB= OA·OB=1.(3)设 |--2x+2|=2,解得x=-1或x=3.当x=-1时,y=4;当x=3时,y=-4.∴P(-1,4)或P(3,-4).

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