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19.2.2 一次函数
第1课时 一次函数的概念
A 基础题
知识点1 一次函数的概念
1.下列函数关系式:①y=--2x; ③y -1,其中是一次函数的是 ( )
A.①⑤ B.①④⑤
C.②⑤ D.②④⑤
2.写出下列函数关系式中k，b的值.
(1)y=2x---1:k= ,b= .
3.把方程3x--2y=1写成y是x的一次函数的形式是 ;当x=--1时,y=
4.(1)若y=(m+2)x+1是关于x的一次函数,则m的取值范围是 .
(2)若函数 是关于x的一次函数，则m的值为 .
知识点 2 由自变量和函数的对应值求解析式
5.在一次函数y= kx+3中,当x=2时,y=-3,则 k= .
6.已知一次函数y= kx+b,当x=--2时,y=7;当x=1时,y=--11,求k,b的值.
知识点3 列一次函数解析式
7.一名老师带领x名学生到青青世界参观，已知成人票每张60元，学生票每张40元.设门票的总费用为 y元，则y与x 之间的函数解析式为 ；当有 50名学生时，门票的总费用为 元.
8.王大爷要围一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好为 24米，所围成的菜园是如图所示的矩形ABCD.设边 BC的长为x米，边AB的长为y米，则y与x之间的函数解析式是 ，自变量x的取值范围是 .
9.写出下列各题中 y与x 之间的函数解析式，并判断y是不是x的正比例函数，y是不是x的一次函数.
(1)某小区每个月的物业费是按房屋面积来计算的，价格为2.5元/平方米，则该小区业主每个月应缴纳的物业费y(元)与房屋面积x(平方米)的关系.
(2)已知地面气温是 28 ℃，若高度每升高1km,气温会下降5℃ ,则气温y(℃)与高度x(km)的关系.
(3)圆的面积 S(cm )与半径r(cm)的关系.
B 中档题
10.如图,在△ABC中,已知BC=8,边 BC 上 的高AD=5,动点 C'由点 C沿CB 向点 B 移动(不与点 B 重合).设 CC'的长为x,△ABC'的面积为 S,则S与x之间的解析式为 ，自变量x的取值范 围是 .
11.已知
(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数
(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数
12.已知y-1与x+3成正比例,当x=-1时,y=3.
(1)求出 y与x的函数关系式.
(2)若点(a，-2)在这个函数的图象上，求a的值.
(3)试判断点(-2，5)是否在此函数图象上，并说明理由.
13.下图是一个“函数求值机”的示意图，其中 y是x的函数.通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值如下表所示：
输入x # # -6 0 2
输出y …… 2 6 16
根据以上信息，解答下列问题：
(1)当输入x的值为1时，输出y的值为 .
(2)求 k,b的值.
(3)当输出的y值为0时，求输入的x值.
C综合题
14.将长为30cm,宽为 10 cm的矩形白纸按如图所示的方法粘合后得到一个大矩形，粘合部分的宽是3cm.设x张白纸粘合后的总长度为y cm.
(1)求y与x之间的函数解析式，并判断y是不是x的一次函数.
(2)当x=20时,求y的值.
(3)白纸粘合后的总长度能为2 024 cm吗 为什么
第2课时 一次函数的图象与性质
A 基础题
知识点1 一次函数图象的平移
1.(1)将正比例函数y=--2x的图象向上平移3个单位长度，则平移后所得图象的函数解析式为 .
(2)(2023·无锡改编)将函数y=2x+1的图象向下平移2个单位长度，则平移后所得图象的函数解析式是 .
2.若直线y= kx+2是由直线 y=--2x--2平移得到的,则k= ,即将直线y=-2x-2沿 y轴向 平移 个单位长度可得到直线y= kx+2.
3.(教材习题变式)在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出三个函数的图象有什么关系.
知识点2 一次函数的图象
4.(2023·通辽)在平面直角坐标系中，一次函数y=2x--3的图象是 ( )
5.一次函数y=--3x+1的图象经过 ( )
A.第一、二、四象限B.第一、三、四象限
C.第一、二、三象限D.第二、三、四象限
6.(2023·沈阳)已知一次函数y= kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是 ( )
A. k>0,b>0
B. k>0,b<0
C. k<0,b>0
D. k<0,b<0
7.一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标为 ，与y 轴的交点坐标为
知识点3 一次函数的性质
8. 新考向 开放性问题请写出一个y 随x的增大而增大的一次函数的解析式：
9.(2024·长沙)对于一次函数y=2x--1,下列结论正确的是 ( )
A.它的图象与y轴交于点(0，-1)
B. y随x的增大而减小
C.当 时,y<0
D.它的图象经过第一、二、三象限
10.已知P (-3,y ),P (2,y )是一次函数 y=2x+k的图象上的两个点，则 y ，y 的大小关系是 ( )
D.不能确定
11.已知一次函数y=(2m+4)x+m--3.
(1)当m 为何值时，函数图象平行于直线y=-x
(2)在(1)的条件下,当--1≤x<2时,求 y的取值范围.
易错点 忽视正比例函数是特殊的一次函数而致错
12.若一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限，则下列选项正确的是 ( )
A. k<0,b>0 B. k<0,b<0
C. k<0,b≤0 D. k<0,b≥0
B 中档题
13. 新考向 开放性问题 (本课 时 T8 变式)(2024·长春)已知直线 y= kx+b(k,b是常数)经过点(1，1)，且y随x的增大而减小，则b的值可以是 .(写出一个即可)
14.已知点(k，b)为第四象限内的点，则一次函数y=kx+b的图象大致是 ( )
15.将直线y=2x+1向上平移2个单位长度，相当于 ( )
A.向左平移2个单位长度
B.向左平移1个单位长度
C.向右平移2个单位长度
D.向右平移1个单位长度
16.如图，直线 分别与x轴、y轴交于点A 和点C，直线y =-x+3分别与x轴、y轴交于点 B 和点C,P(m,2)是△ABC 内部(包括边上)的一点，则m的最大值与最小值之差为 ( )
A.1
B.2
C.4
D.6
17.若一次函数y= kx+1在-2≤x≤2的范围内，y的最大值比最小值大 8，则k 的值为
18.若直线 则称直线 为这两条直线的“友好直线”.
(1)直线 y=3x+2与y=--4x+3的“友好直线”为 .
(2)已知直线l是直线y=-2x+m与y=3mx--6(m≠0)的“友好直线”,且直线l经过第一、三、四象限，求m的取值范围.
C综合题
19.如图，直线 分别交x轴、y轴于点A，B，将△AOB向x轴负半轴平移9个单位长度得到△CDE，则图中阴影部分的面积为( )
A.36
B.45
C.48
D.54
微专题 7一次函数的图象与字母系数的关系
【方法指导】 一次函数 y= kx+b(k≠0)的图象与字母系数的关系：
k,b符号
大致图象
经过象限 一、 二、三 一、 二、四
增减性 y随x 的增大而____—— y随x的增大而____
针对训练
1.已知一次函数y= kx+b的图象如图所示，则一次函数y=-bx+k的图象大致是( )
2.下列图象中，在同一平面直角坐标系中表示一次函数y= kx--b与正比例函数y= kbx(k，b为常数，且kb≠0)的图象不可能为( )
3.一次函数y= ax+b和y= bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线 y= kx+1--k不经过第 象限.
第 3课时 用待定系数法求一次函数的解析式
A 基础题
知识点1 用待定系数法求一次函数的解析式
1.若一个正比例函数的图象经过点(2，--1)，则它的解析式为 ( )
A. y=-2x B. y=2x
2.已知直线l经过点A(4,0),B(0,3),则直线l的函数解析式为 ( )
B. y=3x+4
C. y=4x+3 D. y=-3x+3
3.已知y是x的一次函数,当x=0时,y=3;当x=2时，y=7，则y与x之间的函数解析式为 .
4.如图,矩形 ABCO 在平面直角坐标系中，顶点 O为坐标原点.已知点 B(3,2),则对角线 AC 所在直线l 的函数解析式为 .
5.若一条直线经过点(2，--1)，且与直线 y=—3x+1平行，则这 条直线 的 解 析 式 为
6.已知一次函数的图象经过 A(--1,5),B(3,-3),C(--2,m)三点,求 m的值.
知识点2 一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积
7.如图,若直线 y= kx+b经过点(1,9),且与x轴交于点A(--2,0)，与y轴正半轴交于点 B，则△OAB 的面积为 .
8.已知一次函数的图象如图所示.
(1)求这个一次函数的解析式.
(2)求一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积.
易错点 距离与坐标的转化未进行分类讨论而致错
已知直线经过点(0，—2)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，则直线的解析式为
B 中档题
10.(2023·鄂州)象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.如图所示，这是某次对弈的残图，若建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点(--2，--1)的位置，则在同一平面直角坐标系中，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为 ( )
A. y=x+1 B. y=x-1
C. y=2x+1 D. y=2x-1
11.若直线l与直线y=2x-3关于x轴对称，则直线l的解析式为 .
12. 新考向 开放性问题(2024·宁夏)在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能为 (写出一个即可).
13.已知当一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6时，相应函数值y的取值范围是--11≤y≤9，则该一次函数的解析式为
14.如图，直线l :y=-x--3与过点 A(0,3)的直线l 交于点C(m,1),与y轴交于点 B.
(1)求直线 l 的解析式.
(2)点 P 在直线l 上,且点 P 不与点 B 重合,PQ∥y轴,交直线 l 于点 Q.若 PQ=AB,求点 P 的坐标.
C综合题
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 y=—2x+a与y轴交于点C(0,6),与x轴交于点B.
(1)求这条直线的解析式.
(2)直线 AD与(1)中所求的直线相交于点D(-1,n),点 A 的坐标为(--3,0).
①求 n的值及直线AD 的解析式.
②△ABD的面积为 .
③点 M 是直线y=--2x+a 上的一点(不与点 B 重合)，且点 M 的横坐标为m,求△ABM的面积S 与m 之间的关系式.
第4课时 一次函数的应用
A 基础题
知识点1 一次函数的简单应用
1.(2024·山西)生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长 y(cm)是尾长x(cm)的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为 ( )
尾长x/ cm 6 8 10
体长 y/ cm 45.5 60.5 75.5
A. y=7.5x+0.5 B. y=7.5x--0.5
C. y=15x D. y=15x+45.5
2.(2024·上海)某种商品的销售额 y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时，销售额为1000万元，当投入90万元时，销售额为5 000 万元.则投入 80 万元时，销售额为 万元.
3.(2023·陕西)经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大，树就越高.通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y(m)是其胸径x(m)的一次函数.已知这种树的胸径为0.2m时，树高为20 m；这种树的胸径为0.28m时，树高为22m.
(1)求y与x之间的函数解析式.
(2)当这种树的胸径为0.3m时，其树高是多少
知识点2 分段函数的应用
4.(2023·威海)一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示.当0≤x≤0.5 时,y与x 之间的函数解析式为y=60x;当0.5≤x≤2时,y与x 之间的函数解析式为 .
5.为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费y(元)与用水量x(吨)之间的函数关系.当每月用水量为14吨时，水费是 元.
6.某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克；若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打八折.设一次购买量为x千克，付款金额为y元.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)某农户一次购买玉米种子30 千克，需付款 元.
7.随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚.甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km/h，乙骑行的路程s(km)与骑行的时间t(h)之间的关系如图所示.
(1)直接写出当0≤t≤0.2和t>0.2时,s与t之间的函数解析式.
(2)何时乙骑行在甲的前面
B 中档题
8.(2023·贵州)今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树景点旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y(km)与所用时间x(h)之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是 ( )
A.小星家离黄果树景点的路程为50 km
B.小星从家出发第 1 小时的平均速度为75 km/h
C.小星从家出发2 h离景点的路程为125 km
D.小星从家到黄果树景点的时间共用了 3 h
9.某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格，图中l ，l 分别表示去年、今年水费y(元)与用水量x(m )之间的关系，小雨家去年用水量为 140 m .若今年用水量与去年相同，则水费将比去年多 元.
10.某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价 4 元销售，全部售完.销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：
(1)降价前苹果的销售价格是 元/千克.
(2)求降价后的销售金额 y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围.
(3)该水果店这次销售苹果盈利了多少元
C综合题
11.有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘.如图所示反映的是所挖河渠长度y(米)与挖掘时间x(时)之间关系的部分图象.请解答下列问题：
(1)当乙队开挖到30 米时，用了 小时；当开挖 6 小时时，甲队比乙队多挖了 米.
(2)①甲队在0≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式为 ；
②乙队在0≤x≤2的时段内，y与x之间的函数关系式为 .
(3)开挖6小时后，甲、乙两个工程队的挖掘效率不变，如果两段河渠长度都为 80米，请计算说明甲比乙早几小时完工.
19.2.2 一次函数
第1课时 一次函数的概念
1. B 2.(1)2 - 1 (2)- 2 3. y= x- -2 4.(1)m≠-2 (2)-1 5.-3
6.解:将x=-2,y=7和x=1,y=-11分别代入y= kx+b,得 解得
7. y=40x+60 22060
9.解:(1)y=2.5x,y是x的正比例函数,y是x的一次函数.(2)y=28-5x,y是x的一次函数,但y不是x的正比例函数.(3)S=πr ,S不是r的一次函数.
11.解:(1)根据一次函数的定义,有m+1≠0且2-|m|=1,解得m=1.∴当m=1，n为任意实数时，y是x的一次函数.(2)根据正比例函数的定义,有m+1≠0且2-|m|=1,n+4=0,解得m=1,n=-4.∴当m=1,n=-4时,y是x的正比例函数.
12.解:(1)根据题意,设y-1=k(x+3).∵当x=-1时,y=3,∴3-1=k(-1+3),解得k=1.∴y-1=x+3,即y=x+4.∴y与x的函数关系式为y=x+4.(2)将点(a,-2)代入y=x+4,得-2=a+4,解得a=-6.(3)不在.理由:当x=-2时,y=-2+4=2≠5，∴点(-2，5)不在此函数的图象上.
13.解:(1)8 (2)根据题意,得 解得 (3)对于y=8x,令y=0,则8x=0,解得x=0<1(不符合题意,舍去);对于y=2x+6,令y=0,则2x+6=0,解得x=-3<1.∴当输出的y值为0时，输入的x值为-3.
14.解:(1)x张白纸粘合,需粘合(x-1)次,粘合部分的总宽是3(x-1) cm,故y=30x-3(x-1)=27x+3(x≥1且x是整数). y是x的一次函数.(2)当x=20时,y=27×20+3=543.(3)不能.理由如下:把y=2024代入y=27x+3,得27x+3=2024,解得x= 为整数，∴白纸粘合后的总长度不能为2 024 cm.
第2课时 一次函数的图象与性质
1.(1)y=-2x+3 (2)y=2x-1 2.-2 上 4
3.解：图略，三个函数的图象相互平行.
4. D 5. A 6. B 7.(-2,0) (0,2)8.答案不唯一,如y=x 9. A10. B
11.解：(1)∵函数图象平行于直线 解得m=-2.5.(2)由(1),得y=-x-5.5.当x=-1时,y=-4.5;当x=2时,y=-7.5,∴当-1≤x<2时,y的取值范围是-7.512. D 13.2(答案不唯一) 14. B 15. B 16. B 17.2或-2
18.解:(1)y=-x+6 (2)∵直线l是直线y=-2x+m与y=3mx-6(m≠0)的“友好直线”,∴直线l的解析式为y=(-2+3m)x-6m.∵直线l经过第一、三、四象限，.解得
19. B
微专题7
1. C 2. A 3. B 4.三
第3课时 用待定系数法求一次函数的解析式
1. C 2. A 3. y=2x+3 4. y=- x+2 5. y=-3x+5
6.解:设一次函数的解析式为 y= kx+b(k≠0).将A(-1,5),B(3,-3)代入y= kx+b,得 解得一次函数的解析式为y=-2x+3.∵点C(-2,m)在一次函数y=-2x+3的图象上,∴m=-2×(-2)+3=7.
7.6
8.解：(1)设一次函数的解析式为y=kx+b.由图象知，一次函数的图象经过点((-1,-1),(1,3),.解得 ·一次函数的解析式为y=2x+1.(2)在y=2x+1中,当x=0时,y=1;当y=0时 直线分别与坐标轴相交于点((0,1), 一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积是
或 10. A 11. y=-2x+3 1 2. y=x+1(答案不唯一) 或
14.解:(1)把y=1代入y=-x-3,得.x=-4,∴m=-4. ∴C(-4,1).设直线l 的解析式为y= kx+b.把点 A(0,3),C(-4,1)代入,得 解得 直线l 的解析式为 (2)在y=-x-3中,令x=0,得y=-3,∴B(0,-3).∴AB=3-(-3)=6.设P(m,-m-3).∵PQ∥y轴, 解得m=0(舍去)或m=-8.∴P(-8,5).
15.解:(1)∵直线y=-2x+a与y轴交于点C(0,6),∴a=6.∴这条直线的解析式为 y=-2x+6.(2)①∵点D(-1,n)在直线BC上,∴n=-2×(-1)+6=8.∴D(-1,8).设直线 AD的解析式为y= kx+b.将点A(-3,0),D(-1,8)代入,得 解得 直线AD的解析式为y=4x+12.②24 ③∵点 M 在且次y=-2x+6上,且点M的横坐标为m(m≠3),∴M(m,-2m .当m<3时, +6)=-6m+18;当m>3时,
第4课时 一次函数的应用
1. A 2.4500
3.解:(1)设y= kx+b(k≠0),根据题意,得 解得(2)当x=0.3时,y=25×0.3+15=22.5.答：当这种树的胸径为0.3m 时，其树高为22.5m .
4. y=80x-10 5.36
6.解:(1)当0≤x≤5时,y=20x;当x>5时,y=20×0.8(x-5)+20×5=16x+20.(2)500
7.解：(1)s与t之间的函数解析式为 (2)设 xh后乙在甲前面，根据题意，得20x-1> x,解得x>0.5.答:0.5h后乙骑行在甲的前面.
8. D 9.180
10.解:(1)16 (2)降价后苹果的销售量是(760-640)÷(16-4)=10(千克)，设降价后的销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式 是 y = kx+b. 将(40,640),(50,760)代入,得 解得 ∴降价后的销售金额 y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式是y=12x+160(40(3)该水果店这次销售苹果盈利了760-8×50=360(元).
11.解:(1)2 10 (2)①y=10x ②y=15x (3)10x=80,解得x=8，∴当河渠长度为80米时，甲需要8小时可以完工.设乙队在2

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