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北师大版2024-2025学年七年级（下）期末数学模拟试卷3
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共12小题，每小题3分。共36分）
1．下列事件是随机事件的是（　　）
A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数为6
B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于0
C．掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数小于7
D．掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于7
2．纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形是轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．可能性很大的事情是必然发生的
B．可能性很小的事情是不可能发生的
C．“任意画一个三角形，其内角和是180°”是必然事件
D．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是不可能事件
4．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝105°，则∠4的度数是（　　）
A．60° B．75° C．80° D．105°
5．如图，∠1＝∠2，下列结论正确的是（　　）
A．AB∥CD B．AD∥BC C．AD∥EF D．EF∥BC
6．如图，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED．若∠ABC＝60°，则∠E的度数为（　　）
A．25° B．27° C．30° D．45°
7．若n为任意的正整数，则（3n+1）2﹣9n2总是能被（　　）
A．2整除
B．绘画成一次函数
C．当成任意方程的负数解
D．绘画成二次函数
8．目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一．0.015毫米等于多少米？将结果用科学记数法表示为（　　）
A．0.015×10﹣3米 B．15×10﹣6米
C．1.5×10﹣5米 D．1.5×10﹣6米
9．小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原来的速度返回，父亲在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下列给出的图象中表示父亲离家距离与离家时间的函数关系是（　　）
A． B．
C． D．
10．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　）
A．AB＝3，BC＝4 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝60°，AB＝6
11．如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C、B，若用“ASA”证明△ABC≌△DCB还需添加的条件为（　　）
A．AB＝CD B．AC＝DB C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB
12．在一个不透明的袋子中共有5个除颜色外均相同的小球，小明连续摸两个球，两个球都是红色的概率是，袋中红球的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．当x＝1时，代数式ax3+x2+cx的值为2022，则当x＝﹣1时，代数式ax3+x2+cx的值为 　 　 ．
14．已知一个角的余角等于70°，则这个角的补角等于 　 　 °．
15．△ABC中，∠A＝∠B＝40°，点D是AB边的中点，则∠ACD的度数为 　 　 ．
16．已知3x+5y＝6，则8x 32y÷4＝　 　 ．
17．如图，已知△ABC的周长是15cm，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于点D．若OD＝4cm，则△ABC的面积是 　 　 ．
18．已知直线MN∥PQ，现将一副直角三角板作如图摆放，且∠CAB＝60°，∠DEF＝45°．下列结论：①AB∥DF；②∠ACE＝150°；③∠MAC＝65°；④∠NAB＝∠DFE，其中正确结论的序号为 　 　 ．
三．解答题（共7小题，共66分）
19．计算：
（1）；
（2）（2x）3 （﹣5xy2）÷（﹣2x2y）2．
20．先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）﹣3（2x2﹣xy）+y2]÷（x），其中x，y．
21．如图，有一个可以自由转动的转盘，转盘被平均分成6等份，每个扇形区域内分别标有3，4，5，6，7，8这六个数字，转动转盘，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为转出的数字．
请回答下列问题：
（1）随机转动转盘，转出数字1是 　 　 事件，转出数字8是 　 　 事件；（从“随机”，“必然”，“不可能”中选一个填空）
（2）随机转动转盘，转出的数字是奇数的概率是 　 　 ；
（3）现有两张分别写有3和4的卡片，随机转动转盘，转盘停止转动后，将转出的数字与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，则这三条线段能构成三角形的概率是多少？请说明理由．
22．阅读下列材料，解决相应问题．
【学科融合】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角，反射角r＝入射角i，这就是光的反射定律．
（1）在图1中，证明∠1＝∠2；
【问题解决】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，EF是射入潜望镜的光线，GH是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有∠2＝∠1，∠4＝∠5；
（2）请问∠2和∠5有什么关系？并说明理由；
（3）请问光线EF和GH是否平行？并说明理由．
23．如图1，小钱家、体育公园、文具店依次在同一条马路上．某日，小钱步行从家出发，先到体育公园锻炼20分钟，再到文具店，用时5分钟购买文具，然后按原路返回家中，小钱往返途中的步行速度不变．设小钱从家出发x分钟时，距家y米，y关于x的函数的部分图象如图2所示．
（1）求小钱的步行速度；
（2）求小钱从文具店回家过程中y关于x的函数解析式，并补全图象；
（3）当小钱从家出发t分钟时，弟弟小塘以和小钱相同的速度从家中出发，沿相同路线前往文具店．若小钱从文具店返回途中恰好与小塘在体育公园相遇，求t的值．
24．如图，在△ABC中，D，E是边AB，AC上的点，CD与BE交于点F，已知AB＝AC，∠1＝∠2．
（1）证明：BD＝CE；
（2）若∠1＝25°，∠ACB＝70°，求证：BE⊥CD．
25．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1．【考点】随机事件
【分析】根据在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件判断即可．
解：A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数为6，是随机事件，故本选项符合题意；
掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于0，是必然事件，故本选项不符合题意；
掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数小于7，是必然事件，故本选项不符合题意；
掷一枚质地均匀的骰子，朝上点数大于7，是不可能事件，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，掌握在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
2．【考点】轴对称图形
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
3．【考点】可能性的大小；三角形内角和定理；随机事件
【分析】根据事件发生的可能性大小以及随机事件的概念判断即可．
解：A、可能性很大的事情不一定是必然发生的，说法错误，本选项不符合题意；
B、可能性很小的事情是可能发生的，说法错误，本选项不符合题意；
C、“任意画出一个三角形，其内角和是180°”是必然事件，本选项说法正确，符合题意；
D、“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是随机事件发生可能性的大小，必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．【考点】平行线的判定与性质
【分析】由∠1＝∠2，同位角相等，两直线平行可得AB∥CD，由两直线平行，同位角相等可得∠3＝∠MND＝105°，由邻补角的定义可得∠MND+∠4＝180°，计算即可得出答案．
解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴∠3＝∠MND＝105°，
∵∠MND+∠4＝180°，
∴∠4＝180°﹣∠MND＝180°﹣105°＝75°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．
5．【考点】平行线的判定
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行），
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
6．【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】首先证明BE平分∠ABC，再证明△ABD≌△CED，可得∠E＝∠ABD即可解决问题．
解：∵BE⊥AC，AD＝DC，
∴BA＝BC，
∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝30°，
在△ADB和△CDE中，
，
∴△ADB≌△CDE（SAS），
∴∠E＝∠ABD＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题．
7．【考点】平方差公式
【分析】把（3n+1）2﹣9n2利用平方差公式分解因式即可得到答案．
解：∵（3n+1）2﹣9n2
＝（3n+1+3n）（3n+1﹣3n）
＝6n+1，
∴（3n+1）2﹣9n2总是能被绘画成一次函数，
故选：B．
【点评】本题考查的是利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式是解本题的关键．
8．【考点】科学记数法—表示较小的数
【分析】得出0.015毫米＝0.000015米，0.000015左起第一个不为零的数为1，1前面有5个零，故n＝﹣5，即可求解．
解：根据题意可知，0.015毫米＝0.015×10﹣2米＝0.000015米＝1.5×10﹣5米．
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较小的数，掌握一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10是关键．
9．【考点】函数的图象；函数的概念
【分析】由题意知，当x＝0时，y＝0；当x＝20时，y＝900；当x＝30时，y＝900；当x＝45时，y＝0；找出满足以上条件的图象即可．
解：由题意知，当x＝0时，y＝0；
当x＝20时，y＝900；
当x＝30时，y＝900；
当x＝45时，y＝0；
∴满足以上条件的函数关系为C选项，
故选C．
【点评】本题考查了与路程问题有关的函数图象．解题的关键在于理解题意．
10．【考点】全等三角形的判定
【分析】根据全等三角形的判定方法依次进行判断即可．
解：A选项中，AB＝3，BC＝4，
两边对应相等，不能判定两三角形全等，
故A选项不符合题意；
B选项中，AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，
边边角不能判定两三角形全等，
故B选项不符合题意；
C选项中，∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，
根据ASA可判定两三角形全等，
故C选项符合题意；
D选项中，∠C＝60°，AB＝6，
一个角和一条边不能判定两三角形全等，
故D选项不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
11．【考点】全等三角形的判定
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
解：∵AC⊥CB，DB⊥CB，，
∴∠ACB＝∠DBC＝90°，
又BC＝CB，
A、AB＝CD，则Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故A不符合题意；
B、AC＝DB，则△ABC≌△DCB（SAS），
故B不符合题意；
C、∠A＝∠D，则△ABC≌△DCB（AAS），
故C不符合题意；
D、∠ABC＝∠DCB，则△ABC≌△DCB（ASA），
故D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
12．【考点】概率公式
【分析】设袋中红球的个数是x个，根据题意可列方程为，求出x的值即可．
解：设袋中红球的个数是x个，
∵小明连续摸两个球，两个球都是红色的概率是，
∴，
解得x＝3或﹣2（舍去），
∴袋中红球的个数是3个．
故选：B．
【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
二．填空题（共6小题）
13．【考点】代数式求值
【分析】直接利用已知将x＝1代入，进而得出a+c＝2021，再把x＝﹣1代入得出答案．
解：∵当x＝1时，代数式ax3+x2+cx的值为2022，
∴a+1+c＝2022，
则a+c＝2021，
当x＝﹣1时，代数式ax3+x2+cx＝﹣a+1﹣c＝﹣（a+c）+1＝﹣2021+1＝﹣2020．
故答案为：﹣2020．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确得出a+c的值是解题关键．
14．【考点】余角和补角
【分析】根据余角和补角的定义进行计算，即可解答．
解：∵一个角的余角等于70°，
∴这个角＝90°﹣70°＝20°，
∴这个角的补角＝180°﹣20°＝160°，
故答案为：160．
【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．
15．【考点】等腰三角形的性质
【分析】两角相等可得出△ABC是等腰三角形及∠ACB＝100°，由等腰三角形“三线合一”即可求解．
解：∵∠A＝∠B＝40°，
∴∠ACB＝100°，AC＝BC，即△ABC是等腰三角形，
∵点D是AB边的中点，
∴CD是△ABC的角平分线，
∴，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
16．【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法
【分析】根据幂的乘方与同底数幂的乘法的计算方法进行计算即可．
解：∵3x+5y＝6，
∴8x 32y÷4
＝（23）x×（25）y÷22
＝23x×25y÷22
＝23x+5y﹣2
＝26﹣2
＝24
＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握同底数幂的乘法的计算方法以及幂的乘方与积的乘方的运算方法是正确解答的关键．
17．【考点】角平分线的性质
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，连接OA，根据角平分线的性质可得OE＝OD＝OF，进一步求△ABC的面积即可．
解：过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，连接OA，如图所示：
∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC，
∴OE＝OD＝OF，
∵OD＝4cm，△ABC的周长为15cm，
∴△ABC的面积＝S△AOB+S△AOC+S△BOC
＝30（cm2），
故答案为：30cm2．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质并灵活运用是解题的关键．
18．【考点】平行线的判定与性质
【分析】过点C作CG∥PQ，从而利用平行线的性质可得∠GCE＝∠DEF＝45°，再利用直角三角形的两个锐角互余，以及平角定义可得∠ACB＝30°，∠DFE＝45°，∠ABC＝∠BDF＝90°，然后利用内错角相等，两直线平行可得AB∥DF，再利用平角定义可得∠ACE＝150°，从而可得∠ACG＝105°，最后利用平行于同一条直线的两条直线平行可得MN∥CG，从而可得∠MAC＝75°，再利用平角定义可得∠NAB＝∠DFE＝45°，逐一判断即可解答．
解：过点C作CG∥PQ，
∴∠GCE＝∠DEF＝45°，
∵∠ABC＝∠EDF＝90°，∠CAB＝60°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CAB＝30°，∠DFE＝90°﹣∠DEF＝45°，∠BDF＝180°﹣∠EDF＝90°，
∴∠ABC＝∠BDF＝90°，
∴AB∥DF，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝150°，
∴∠ACG＝∠ACE﹣∠GCE＝105°，
∵MN∥PQ，
∴MN∥CG，
∴∠MAC＝180°﹣∠ACG＝75°，
∴∠NAB＝180°﹣∠MAC﹣∠CAB＝45°，
∴∠NAB＝∠DFE，
上列结论，其中正确结论的序号为①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
19．【考点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；有理数的混合运算
【分析】（1）先算绝对值，乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后算整式的除法即可．
解：（1）
＝3﹣1×1﹣（﹣8）
＝3﹣1+8
＝10；
（2）（2x）3 （﹣5xy2）÷（﹣2x2y）2
＝8x3 （﹣5xy2）÷（4x4y2）
＝﹣40x4y2÷（4x4y2）
＝﹣10．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】根据整式的加减运算、乘除运算进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．
解：原式＝（4x2﹣y2﹣6x2+3xy+y2）÷（x）
＝（﹣2x2+3xy）÷（x）
＝4x﹣6y，
当x，y时，
原式＝4×（）﹣6
＝﹣2﹣4
＝﹣6．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
21．【考点】列表法与树状图法；随机事件；概率公式
【分析】（1）根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义求解；
（2）根据概率公式求解；
（3）画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出这三条线段能构成三角形的结果数，然后根据概率公式计算．
解：（1）随机转动转盘，转出数字1是不可能事件，转出数字8是随机事件；
故答案为：不可能，随机；
（2）随机转动转盘，转出的数字是奇数的概率是；
故答案为：；
（3）画树状图为：
共有6种等可能的结果，根据三角形的三边关系，其中这三条线段能构成三角形的结果数为4种，
所以这三条线段能构成三角形的概率．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
22．【考点】平行线的判定与性质
【分析】（1）根据等角的余角相等解答即可；
（2）根据平行线的性质求解即可；
（3）求出∠3＝∠6，根据平行线的判定得出即可．
解：（1）∵∠i＝∠r，∠i+∠1＝90°，∠r+∠2＝90°，
∴∠1＝∠2；
（2）∵AB∥CD，
∴∠2＝∠5；
（3）由材料可知∠1＝∠2，∠4＝∠5，
∴∠1＝∠2＝∠4＝∠5，
∴180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（∠4+∠5），
∴∠3＝∠6，
∴EF∥GH．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
23．【考点】函数的图象
【分析】（1）利用路程除以时间进行求解即可；
（2）利用往返步行速度不变可求出返回耗时20分钟，然后根据y等于2000米减去小钱往回走的路程即可列出函数解析式，最后画出图象即可；
（3）根据小钱从文具店返回途中恰好与小塘在体育公园相遇列方程求解即可得到答案．
解：（1）2000÷（40﹣20）＝100（米/分）．
∴步行速度为100米/分；
（2）由题意可得：返回耗时20分钟，即回到家中为65分钟．
当45≤x≤65时，
y＝2000﹣100（x﹣45）＝﹣100x+6500．
图象如图所示．
；
（3）小塘从家中到体育公园所需的时间为500÷100＝5，
得t+5＝45+（2000﹣500）÷100，
解得t＝55．
【点评】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键．
24．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【分析】（1）证明△ABE≌△ACD（ASA），得AE＝AD，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得∠ABC＝∠ACB＝70°，再求出∠3＝∠5＝45°，然后由三角形内角和定理得∠4＝180°﹣（∠3+∠5）＝90°，即可得出结论．
证明：（1）在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
∴BD＝CE；
（2）在△ABC中，∠ACB＝70°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵∠2＝∠1＝25°，
∴∠3＝∠5＝70°﹣25°＝45°，
∴∠4＝180°﹣（∠3+∠5）＝180°﹣（45°+45°）＝90°，
∴BE⊥CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
25．【考点】完全平方公式的几何背景
【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）根据S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，将a+b＝10，ab＝23代入进行计算即可；
（3）根据S3（a2+b2﹣ab），S1+S2＝a2+b2﹣ab＝29，即可得到阴影部分的面积S3．
解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab；
（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，
∵a+b＝10，ab＝23，
∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×23＝31；
（3）由图可得，S3＝a2+b2b（a+b）a2（a2+b2﹣ab），
∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝29，
∴S329．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算
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