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北师大版2024-2025学年七年级（下）期末数学模拟试卷1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，每小题3，分共30分）
1．轴对称图形以其特有的对称美，给人们带来了一种和谐的美感．下列图形中，轴对称图形的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．计算x3 x4的结果是（　　）
A．x7 B．x12 C．2x7 D．2x12
3．被称为“大魔王”的新冠病毒变异毒株奥密克戎直径约为0.00000011米，则用科学记数法表示数据0.00000011为（　　）
A．1.1×10﹣6 B．1.1×10﹣7 C．1.1×10﹣8 D．1×10﹣9
4．如果一个角是60°，那么它的补角的度数是（　　）
A．30° B．60° C．120° D．140°
5．下列各式中，是完全平方式的是（　　）
A．x2﹣x+4 B．x2﹣2x+4 C．x2﹣4x+4 D．x2﹣4x+2
6．下列图形中，由∠1＝∠2不能判断直线AB∥CD的是（　　）
A． B．
C． D．
7．甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程S（米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请你根据图象，判断下列说法中正确的是（　　）
A．甲比乙多跑了200米路程
B．甲率先到达终点
C．乙比甲早到终点0.2分钟
D．比赛中两人从出发到2.2分钟时间段，乙的速度比甲的速度快
8．已知△ABC，作BC边上的高，下列作图中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，已知∠C＝∠D，CE＝DE，BC＝AD，A，E，B三点在一条直线上．下列结论：①∠A＝∠B；②E是AB的中点；③∠AEC＝∠BED；④AD⊥BC，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷20次，都是反面朝上，则抛掷第21次出现正面朝上的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
二．填空题（共5小题，每小题3，分共15分）
11．如图，点P是直线AB上的一个动点，点C是直线AB外一定点，现给出以下结论：
①点P在运动过程中，使直线PC⊥AB的点P有两个；
②若∠CBA＞90°，当点P从A出发，沿射线AB的方向运动时，∠CPB先变大再变小；
③若AB＝2AP，则三角形ACB的面积是三角形BCP的面积的2倍；
④当∠CPA＝90°时，线段CP的长度就是点C到直线AB的距离．其中正确的是 　 　 ．（写出所有正确结论的序号）
12．计算：（a3）5＝　 　 ．
13．随着各行各业有序复工复产，企业提倡员工实行“两点一线”上下班模式，减少不必要的聚集．小华爸爸早上开车以60km/h的平均速度行驶20min到达单位，下班按原路返回，若返回时平均速度为v，则路上所用时间t（单位：h）与速度v（单位：km/h）之间的关系可表示为 　 　 ．
14．如图，将Rt△ABC沿AB方向平移2cm得到Rt△DEF，CH＝2cm，EF＝4cm．下列结论：①BH∥EF；②AD＝BE；③∠C＝∠BHD；④阴影部分的面积为6cm2．正确的有 　 　 ．（填序号）
15．若a（a﹣b）＝3，则（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2的值为 　 　 ．
三．解答题（7小题，共55分）
16．计算：
（1）201×199（简便计算）；
（2）．
17．如图，点A在射线OX上．OA等于2cm．如果OA绕点O按逆时针方向旋转30°到OA'，那么点A'的位置可以用（2，30°）表示．试在图中画出点B（3，50°）、点C（4，140°）．
18．先化简，再求值：[4（x﹣1）2+（x﹣2）（x+2）]÷2x，其中x＝﹣2．
19．某校举行了“喜迎二十大”知识竞赛，并设立了一、二、三等奖，根据设奖情况买了50件奖品，其中二等奖奖品的件数比一等奖奖品件数的2倍少8件，各种奖品的单价如下表所示：
一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品
单价（单位：元） 15 12 8
数量（单位：件） x m n
（1）求表格中m，n的值（用含x的式子表示）；
（2）用含x的式子表示购买这50件奖品所需总费用（化成最简）；
（3）若一等奖奖品购买了10件，求该校购买这50件奖品共花费多少元？
20．如图，将一副三角尺中的直角顶点叠放在一起．∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，求∠ACE的度数．（画出符合条件的图形，并直接写出相应的∠ACE的度数）
21．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，AD、BE交于点H，连接CH，
（1）求证AD＝BE，∠DHE＝∠DCE；
（2）判断下列两个结论是否正确，（正确打“√”，不正确打“×”），若正确请证明；
①CH平分∠BCD； 　 　
②HC平分∠AHE； 　 　
（3）若∠DCE＝60°，试判定线段CH，DH，HE之间有什么样的数量关系，说明理由？
22．【发现问题】
由（a﹣b）2≥0得，a2+b2≥2ab；如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：，当且仅当a＝b时取到等号．
【提出问题】
若a＞0，b＞0，利用配方能否求出a+b的最小值呢？
【分析问题】
例如：已知x＞0，求式子的最小值．
解：令a＝x，，则由，得，当且仅当时，即x＝2时，式子有最小值，最小值为4．
【解决问题】
请根据上面材料回答下列问题：
（1）2+3 　 　 ；6+6 　 　 ；（用“＝”“＞”“＜”填空）
（2）当x＞0，式子的最小值为 　 　 ；
【能力提升】
（3）当x＜0，则当x＝　 　 时，式子取到最大值；
（4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．【考点】轴对称图形
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：左起第一、第三、第四共3个图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
第二个图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．【考点】同底数幂的乘法
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
解：x3 x4＝x3+4＝x7．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
3．【考点】科学记数法—表示较小的数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：0.00000011＝1.1×10﹣7．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【考点】余角和补角
【分析】根据补角的定义进行计算即可．
解：∵60°+120°＝180°，
∴60°角的补角是120°，
故选：C．
【点评】本题考查余角与补角，理解补角的定义是正确计算的前提．
5．【考点】完全平方式
【分析】根据完全平方式a2±2ab+b2的结构特征解决此题．
解：A．根据完全平方式a2±2ab+b2的结构特征，x2﹣x+4不是完全平方式，那么A不符合题意．
B．根据完全平方式a2±2ab+b2的结构特征，x2﹣2x+4不是完全平方式，那么B不符合题意．
C．根据完全平方式a2±2ab+b2的结构特征，x2﹣4x+4是完全平方式，那么C符合题意．
D．根据完全平方式a2±2ab+b2的结构特征，x2﹣4x+2不是完全平方式，那么D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解决本题的关键．
6．【考点】平行线的判定
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
解：A、如图，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD，
故A不符合题意；
B、∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
故B不符合题意；
C、∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
故C不符合题意；
D、∵∠1＝∠2，
∴AC∥BD，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
7．【考点】函数的图象
【分析】根据给出的函数图象对每个选项进行分析即可．
解：从图象可以看出，
甲、乙两人进行1000米赛跑，A说法错误，不符合题意；
乙率先到达终点，B说法错误，不符合题意；
乙比甲早到终点0.2分钟，C说法正确，符合题意；
比赛中两人从出发到2.2分钟时间段，乙的速度比甲的速度慢，D说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是函数的图象，从函数图象获取正确的信息是解题的关键．
8．【考点】作图—基本作图；三角形的角平分线、中线和高
【分析】根据三角形高的定义，过A点作BC的垂线即可．
解：作BC边上的高，作图中正确为．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的角平分线、中线和高．
9．【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】证明△EAD≌△EBC（SAS），根据全等三角形的性质即可得到∠A＝∠B，AE＝BE，∠AED＝∠BEC．则可得到结论．
解：在△EAD和△EBC中，
，
∴△EAD≌△EBC（SAS），
∴∠A＝∠B，AE＝BE，∠AED＝∠BEC，
∴∠AEC＝∠BED，
故①②③正确，
∵∠A+∠B≠90°，
∴④不正确，
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
10．【考点】概率公式
【分析】根据概率公式即可求解．
解：硬币有两面，每次抛掷一次出现正面朝上的概率为，与次数无关，
故选：B．
【点评】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．【考点】三角形的面积；点到直线的距离
【分析】根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，逐项分析即可．
解：①点P在运动过程中，使直线PC⊥AB的点P有两个，说法错误，只有一个；
②若∠CBA＞90°，当点P从A出发，沿射线AB的方向运动时，∠CPB先变大再变小，说法正确；
③若AB＝2AP，则三角形ACB的面积是三角形BCP的面积的2倍，说法错误，因为点P在线段A点左边或在B点右边时，但点P不是线段AB中点，不能使三角形ACB的面积是三角形BCP的面积的2倍；
④当∠CPA＝90°时，线段CP的长度就是点C到直线AB的距离，说法正确．
综上，正确的是②④，
故答案为：②④．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离和三角形面积公式的理解，熟练掌握点到直线的距离和三角形面积公式是解题的关键．
12．【考点】幂的乘方与积的乘方
【分析】利用幂的乘方法则直接得结论．
解：（a3）5＝a3×5＝a15．
故答案为：a15．
【点评】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则是解决本题的关键．
13．【考点】函数关系式
【分析】根据速度＝路程÷时间求解即可，注意换算单位．
解：根据题意，得v，
故答案为：v．
【点评】本题考查了函数关系式，理解题意并熟练掌握“速度＝路程÷时间”是解题的关键．
14．【考点】平移的性质；平行线的判定与性质
【分析】根据平移的性质一一判断即可．
解：∵将Rt△ABC沿AB方向平移2cm得到Rt△DEF，CH＝2cm，EF＝4cm，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF，BE＝2cm，BC＝EF＝4cm，AB＝DE，BC∥EF，AC∥DF，
∴BH∥EF，∠C＝∠BHD，①③正确；
∴AB﹣DB＝DE﹣DB，
∴AD＝BE，②正确；
∵BC＝4cm，CH＝2cm，
∴BH＝BC﹣CH＝2cm，
阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣△DBH的面积
＝△DEF的面积﹣△DBH的面积
＝梯形BEFH的面积
（BH+EF） BE
（2+4）×2
＝6（cm2）．④正确；
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了平移的性质：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等．也考查了平行线的性质．
15．【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】把原式变形为2a（a﹣b），再整体代入即可．
解：原式＝a2﹣b2+a2﹣2ab+b2
＝2a2﹣2ab
＝2a（a﹣b）
＝2×3
＝6，
故答案为：6．
【点评】此题考查了整式的混合运算、提公因式法因式分解、代数式的求值．熟练掌握以上知识点是关键．
三．解答题（共7小题）
16．【考点】平方差公式；零指数幂；负整数指数幂；绝对值
【分析】（1）将原式化为（200+1）（200﹣1），再利用平方差公式进行计算即可；
（2）先计算零指数幂，负整式指数幂，绝对值和乘方，再计算加减即可．
解：（1）原式＝（200+1）×（200﹣1）
＝2002﹣1
＝39999；
（2）原式＝1+2﹣2﹣1
＝0．
【点评】本题主要考查了平方差公式，零指数幂，负整式指数幂，绝对值和乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17．【考点】作图—复杂作图；旋转的性质；坐标与图形性质
【分析】根据OA等于2cm，点A′的位置可以用（2，30°）来表示可知，只要从OA开始以O为圆心、以3cm为半径逆时针旋转50°即可得到点B（3，50°），再以4cm为半径逆时针旋转140°即可得到点C（4，140°）．
解：如图所示：点B（3，50°）、点C（4，140°）即为所求．
【点评】此题考查了作图﹣复杂作图，坐标与图形性质，旋转的性质，解决本题的关键是根据题意弄清各点坐标的表示方法，再画出图形．
18．【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】先算括号内的乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
解：[4（x﹣1）2+（x﹣2）（x+2）]÷2x
＝（4x2﹣8x+4+x2﹣4）÷2x
＝（5x2﹣8x）÷2x
x﹣4，
当x＝﹣2时，
原式（﹣2）﹣4＝﹣5﹣4＝﹣9．
【点评】本题考查了整式的混合运算—化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19．【考点】列代数式；整式的混合运算
【分析】（1）根据购买奖品的总数及一、二等奖奖品数量间的关系，即可用含x的代数式表示出m，n的值；
（2）利用总费用等于一等奖奖品的单价乘以购买一等奖奖品的数量加上二等奖奖品的单价乘以购买二等奖奖品的数量再加上三等奖奖品的单价乘以购买三等奖奖品的数量，即可用含x的代数式表示出购买件奖品所需总费用；
（3）当x＝10时，把x＝10代入（2）中的总费用即可求出答案．
解：（1）∵学校共买50件奖品，其中购买一等奖奖品x件，二等奖奖品的件数比一等奖奖品件数的2倍少8件，
∴购买二等奖奖品（2x﹣8）件，
三等奖奖品50﹣x﹣（2x﹣8）＝（58﹣3x）件，
故m＝2x﹣8；n＝58﹣3x．
（2）根据题意得：
所需总费用为15x+12（2x﹣8）+8（58﹣3x）＝（15x+368）元．
（3）当x＝10时，
15x+368＝15×10+368＝518（元），
所以该校购买这50件奖品共花费518元．
【点评】本题主要考查了列代数式，整式的混合运算，一元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式以及求代数式的值．
20．【考点】平行线的判定与性质
【分析】分五种情况：根据题目的已知条件画出图形，结合平行线的性质分别列式，然后进行分析计算，即可解答．
解：依题意，分五种情况：
①如图1，当AD∥BC时，∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝30°；
②如图2，当EB∥AC时，∠E＝45°，
∴∠ACE＝∠E＝45°；
③如图3，当AD∥CE时，∠A＝60°，
∴∠ACE＝180°﹣∠A＝120°；
④如图4，当DC∥EB时，∠E＝45°，
∴∠DCE＝∠E＝45°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝135°；
⑤如图5，当AD∥EB时，∠A＝60°，延长AC交EB于点F，
∴∠EFC＝180°﹣∠A＝120°，
∵∠ACE是△AEF的一个外角，
∴∠ACE＝∠E+∠CFE＝45°+120°＝165°；
综上所述：∠ACE的度数为30°或45°或120°或135°或165°．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
21．【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】（1）由CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，利用SAS，即可判定：△ACD≌△BCE，进而可以解决问题；
（2）首先作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，由△ACD≌△BCE，可证∠CAD＝∠CBE，再证△ACM≌△BCN，（或证△ECN≌△DCM），可得CM＝CN，即可证得HC平分∠AHE；
（3）在HE上截取HI＝DH，连接DI，可得△DHI是等边三角形，然后证明△HCD≌△IED（AAS），可得CH＝EI，进而可以解决问题．
（1）证明：如图，设AH和BC交于点F，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，
∵∠AFC＝∠BFH，
∴∠AHB＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠DCE，∠DHE＝∠AHB，
∴∠DHE＝∠DCE；
（2）①CH平分∠BCD；×；
②HC平分∠AHE；√；
证明：如图，过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAM＝∠CBN，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN（AAS），
∴CM＝CN，
∴HC平分∠AHE；
故答案为：×，√；
（3）解：CH+DH＝HE，理由如下：
如图，在HE上截取HI＝DH，连接DI，
∵CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴△ABC和△DCE都是等边三角形，
由（2）知∠AHB＝∠ACB＝60°，
∴∠AHE＝120°，
∵HC平分∠AHE，
∴∠CHE＝60°，
∴∠DHI＝60°，
∴△DHI是等边三角形，
∴∠DIH＝60°，DI＝DH，
∴∠DIE＝∠DHC＝120°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵∠CGE＝∠GDE+∠GED＝∠GHC+∠GCH，∠GDE＝∠GHC＝60°，
∴∠GED＝∠GCH，
在△HCD和△IED中，
，
∴△HCD≌△IED（AAS），
∴CH＝EI，
∴HE＝HI+IE＝DH+CH．
∴CH+DH＝HE．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、等边三角形的判定定理，掌握全等三角形的对应高相等、角平分线的判定定理是解题的关键．
22．【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方；完全平方公式的几何背景；分式的乘除法；分式的加减法；二次根式的应用
【分析】（1）根据当a≠b时，，当a＝b时，，即可求解；
（2）令a＝x，，根据“当a＞0，b＞0时，”，即可求解；
（3）令a＝4（﹣x），，根据“当且仅当a＝b时，”，即可求解；
（4）设一边长为x米，则另一边为y米，根据“面积为32平方米”得，求出得最小值，及此时的x得值，即可求解．
解：（1）由题意，∵当a＞0，b＞0时，，
当a≠b时，，
∴．
当a＝b时，，
∴．
故答案为：＞；＝．
（2）由题意，当x＞0，
∴，当且仅当时，即：x＝1时，有最小值，最小值为2．
故答案为：2．
（3）∵x＜0，
∴﹣x＞0．
∴，当且仅当时，即：x＝﹣3时有最小值，最小值为24．
故答案为：﹣3．
（4）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为y（0≤y≤20）米，
则：xy＝32，即：，
∴所用篱笆的长为米．
（米），
当且仅当时，即x＝4时，取得最小值16．
∴x＝4（米），（米）．
答：这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的变形，不等式，二次根式，解题的关键是灵活应用用材料所提供的结论
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