资源简介

2025年九年级中考数学冲刺练习-二次函数与折叠问题
1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在x轴正半轴上，点C的坐标为，抛物线经过O，A两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线与线段的交点为D，连接，将沿直线折叠，点C的对应点为E，连接，求的长度．
(3)在抛物线的对称轴上存在一点P，使得，请写出点P的坐标．
2．如图，二次函数与x轴交于两点，顶点为C，连接、，若点B是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点A落在点的位置，线段与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．

(1)求二次函数的表达式；
(2)在线段上是否存在这样的点B，使得的值最小，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)当时，直线与二次函数的交点的横坐标为____________．
3．将一矩形纸片放在直角坐标系中，为原点，在轴上，，．
(1)如图（1），在上取一点，将沿折叠，使点落在边上的点，求点的坐标；
(2)如图（2），在、边上选取适当的点、，将沿折叠，使点落在边上的点，过作交于点，交于点，求证：．
(3)在（2）的条件下，设的坐标为．①探求：与之间的函数关系式．②试求出纵坐标的最大值．
4．如图，抛物线经过原点，且对称轴是直线，点在抛物线上，点在轴上，直线交抛物线于点、，点在抛物线上，且轴．

(1)求抛物线的解析式和点D坐标；
(2)求的度数；
(3)设点F是线段的中点，点P是线段上一动点，将沿折叠，若与重叠部分的面积是面积的，求的长．
5．已知：在矩形中，，，点P是边上的一个动点，将矩形折叠，使点B与点P重合，点A落在点G处，折痕为．

(1)如图1，当点P与点D、C均不重合时，取的中点O，连接并延长与的延长线交于点M，连接、、．
①求证：四边形是平行四边形；
②当时，求四边形的面积．
(2)如图2，设，用含t的式子表示四边形的面积S，并求出S的最大值及此时t的值．
6．已知，在平面直角坐标系内有四边形，点A与点C分别在y轴与x轴上，其中，且点B坐标为，y轴上有一点D，将沿折叠，点A的对应点E在x轴上．
(1)如图1，求线段的长度和点D的坐标；
(2)将四边形沿x轴向右平移，得到四边形形，点A，O，E，B的对应点分别为．当点到达点C时停止平移．设，四边形与重叠部分的面积为S．
①如图2，当四边形与重叠部分的图形为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，直接写出S的取值范围．
7．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，、的长分别是方程的两根（），抛物线过、两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，将沿折叠，使点落在抛物线上的点处，求的面积；
(3)有一平行于轴的动直线，从轴开始以一个单位长度每秒的速度向右平移，平移到与重合为止．直线扫过的面积为（如图3的阴影部分），运动时间为秒，试求与的函数关系式，并写出相应的取值范围．
8．把矩形放置在如图所示的平面直角坐标系中，点在边上，把点沿折叠，使点恰好与原点重合，已知，．
(1)点的坐标为______．
(2)已知抛物线经过点，，且与直线仅有一个交点，求该抛物线的解析式．
(3)在（2）的条件下，若该抛物线上存在点使得，请直接写出点的横坐标；若无，则请说明原因．
9．如图1，抛物线：经过点和点，已知直线l的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2．当时，直线与抛物线交于M、N两点，点P是抛物线位于直线l上方的一点，当面积最大时，求P点坐标，并求面积的最大值；
(3)如图3，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图像与原抛物线剩余的部分组成的新图像记为，直接写出直线l与图像有四个交点时k的取值范围．
10．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且点，点，抛物线的对称轴为直线，连接AC，BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将沿直线BC折叠，得到，请问：点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D落在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D没有落在对称轴上，请说明理由；
(3)若点E是抛物线位于第一象限内的一个动点，连接AE交直线BC于点F，设，求n的最大值并求出此时点E的坐标．
11．如图，抛物线过点A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴上方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合）连接EF．将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在第一象限内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A(﹣1，0)，点B(3，0)与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D是第一象限内抛物线上一点，连接BC，DO交于点E，若S△CDE：S△COE＝2：3，求D的坐标；
（3）如图2，点P是抛物线上一点，连接BP，将BP沿直线BC折叠，当点P恰好落在抛物线的对称轴上时，求P点的横坐标．
13．如图，在平面直角坐标系下，抛物线与轴交于点A（0，4），与轴交于点B（2，0）、C（，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D在第一象限的抛物线上，过点D作直线AB的垂线段DE，E为垂足，求DE的最大值；
（3）如图，将抛物线在AB上方的图象沿AB折叠后与轴交与点F，求点F的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，折痕为，连接．已知点的坐标为，二次函数图象经过、、三点．

（1）求函数解析式；
（2）在轴下方抛物线上有一动点，过点作轴，交轴于点，连接，当与相似时，求点的坐标．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点，使有最大值？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，若折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知折痕， 且，以为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线经过点．
(1)求的值；
(2)点是线段上一动点，点在抛物线上，且始终满足，在点运动过程中，能否使得？若能，求出所有符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由；
(3)已知点是拋物线上一动点，点在的延长线上，且，若在轴上存在一点，使有最小值，求点的纵坐标的最大值．

《2025年九年级中考数学冲刺练习-二次函数与折叠问题》参考答案
1．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）先求出点D的坐标，延长交y轴与点G，延长交x轴与点F，证明是等腰直角三角形，得到，由折叠的性质得：，推出，求出，，利用勾股定理即可求解；
（3）设与抛物线对称轴交于点H，连接，求出直线的解析式为，根据抛物线的对称轴为，求出点，设，则，根据，，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：，，抛物线经过O，A两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：四边形是菱形，，
点的纵坐标为4，
令抛物线，
解得：或，
根据题意：，
，
，
，
，
由折叠的性质得：，
延长交y轴与点G，延长交x轴与点F，
轴，
轴，
则，
是等腰直角三角形，
，
由折叠的性质得：，
，
轴，
，即轴，
，，
，，
；
（3）解：设与抛物线对称轴交于点H，连接，
由（2）知，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
抛物线的对称轴为，
，
，
设，则，
，
，
，
解得：或，
或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与图形面积问题，折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用二次函数的性质是解题的关键．
2．(1)；
(2)存在，；
(3)或．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）证明，得，由，得到，则的最小值就是的最小值，当时，求得最小，则最小，即的值最小，再求出，代入即可求解；
（3）根据相似三角形的性质求得，则，如图2，作抛物线对称轴交x轴于P，连接，过点作于G，延长交于H，证明，得到，则，设，则，，由勾股定理，得：，解得：，（舍去），则，，从而求得，然后用待定系数法求出直线的解析式为，最后联立直线与抛物线的解析式，求解即可．
【详解】（1）解：把，分别代入，得
，解得：，
∴；
（2）解：∵二次函数与x轴交于两点，顶点为C，
根据抛物线的对称性，∴，，
由翻折可得：，
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴的最小值就是的最小值，
∵
∴
∴
∴当时，最小，则最小，即的值最小，
∴的最小值
∴的最小值为．
（3）解：∵
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
如图2，作抛物线对称轴交x轴于P，连接，过点作于G，延长交于H，

∵，
∴，，
∴，
由翻折可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，（舍去），
∴
∴
∴
设直线的解析式为，
把 ，代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立得，则
解得：，
∴直线与二次函数的交点的横坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质，求二次函数与一次函数交点坐标，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，本题属二次函数综合题目，难度较大． 用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
3．(1)点的坐标为
(2)见解析
(3)①；②当时，最大为
【分析】（1）设，则，， 由勾股定理得，则，由勾股定理得，，即，可求，进而可得点的坐标；
（2）由题意知，四边形是矩形，则，由折叠可知：，由，可得，则，进而可证．
（1）①如图，连接，证明，则，由勾股定理可得，整理作答即可；②由（1）可得，当时，最小，即，当恰好平分时，，此时最大，四边形为正方形，，则，根据二次函数的图象与性质，求解作答即可．
【详解】（1）解：∵矩形，
∴，，
设，则，，
由勾股定理得，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，
点的坐标为；
（2）证明：由题意知，四边形是矩形，
∴，
由折叠可知：，
由题意知，，
∴，
∴．
∴，即．
（3）①解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∴，
由勾股定理可得，整理得．
②解：由（1）可得，当时，最小，即，
当恰好平分时，，此时最大，四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，最大为．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，平行线的性质，等角对等边，二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握矩形与折叠，勾股定理，平行线的性质，等角对等边，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键．
4．(1)，
(2)
(3)的长为或
【分析】（1）根据对称轴方程可得，再将点代入，即可求函数的解析式；求出直线的解析式，再由方程，求点坐标即可；
（2）求出点坐标，再用勾股定理你定理判断是直角三角形，即可求；
（3）分两种情况讨论：当在上方时，设与交于点，根据面积和中点的性质，推导出四边形是平行四边形，则，设，由方程，确定点，即可求；当在下方时，同理可得四边形是平行四边形，．
【详解】（1）解：抛物线经过原点，
，
对称轴是直线，
，
，
，
将点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，解得或，
；
（2）解：轴，
，
，，，
，
是直角三角形，
；
（3）当在上方时，设与交于点，
是的中点，
，
，
，
，
是的中点，
由折叠可知，，
，
，
是的中点，
四边形是平行四边形，
，
设，
，
解得或（舍，
，
；
当在下方时，同理可得四边形是平行四边形，
；
综上所述：的长为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理及逆定理是解题的关键．
5．(1)①见解析；②四边形的面积为7.5；
(2)，当时，．
【分析】（1）①利用折叠对应图形全等得到平行，再由中点得出等边便可以求出全等三角形，即可得到四边形对角线互相平分，得证四边形为平行四边形；
②通过折叠得到折痕垂直平分对应点连线，将已知三角函数的角转换到可计算的直角三角形中，计算求出，再设元利用勾股定理方程求出平行四边形的底，最后用平行四边形面积公式求解即可；
（2）为方便计算将梯形的上底和下底设未知数，通过各个直角三角形勾股定理列出方程，用t表示出上底和下底，最后用梯形面积公式表示出S，用配方法求出最大值即可．
【详解】（1）①矩形，
，
由折叠可知，仍有，
，，
又为中点，
，
≌，
，
与互相平分，
四边形是平行四边形．
②连接，交于点N，
矩形沿折叠，点B与点P重合，
，，
又，
，
，
，
，
，
设，
中得：
，
解得，
又，
；
（2）连接、、，

四边形中，设，，
在中，，
得，
，
由折叠可知，
在与中：，
得，
，
，
故当时可取，此时四边形的面积最大为．
【点睛】本题考查矩形中折叠问题，需要利用折叠对应图形全等，折痕垂直平分对应点连线的性质．在几何计算中，设元和消元是常用的简化方法．在条件较多复杂构图的几何证明和计算中须理清楚目标，转化为一个个具体的边长和角度的推导，可帮助理清思路．
6．(1)，点的坐标为
(2)①；②
【分析】（1）过点作，易知四边形为矩形，可得，，，由勾股定理可求得，由折叠可知，，，由等腰三角形的性质可得，可得，设，则，由勾股定理，求解即可得到点的坐标；
（2）分当，当，当，进行讨论求出与的函数关系式；①在所求的函数关系式中找到四边形与重叠部分的图形为五边形即可求解；②根据函数关系式结合求每段函数的的取值范围进行讨论即可．
【详解】（1）过点作，
∵，，
∴四边形为矩形，
∵点的坐标为，，
∴，，，
由勾股定理可得：，
由折叠可知，，，
∴，
又∵，
∴，则，
设，则，
由勾股定理可得：，即：，
解得：，
∴点的坐标为；
（2）由（1）可知，，则，
∵，，，
∴，，
当时，则由平移可知，，，，则，
当，此时，如图，不与相交，与交于点，过作，
∴，
则，
此时四边形与重叠部分的图形为四边形，
重叠部分的面积，
即：；
当，此时，如图，与相交于点，与交于点，过作，同上，
，则，
此时四边形与重叠部分的图形为五边形，
重叠部分的面积
即：；
当，此时，如图，与相交于点，与交于点，过作，同上，
则，，
此时四边形与重叠部分的图形为四边形，
重叠部分的面积
即：；
综上：，
①由上可知，当四边形与重叠部分的图形为五边形时，；
②（i）当时，，
∴当时，随的增大而增大，
当时，，当时，，
即：；
（ii）当时，，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
当时，，当时，，当时，，
即：；
（iii）当时，，
∴当时，随的增大而减小，
当时，，当时，，
即：；
综上：当时，．
【点睛】本题考查矩形的判定及性质，翻折与勾股定理，二次函数与动态几何，数形结合，分情况讨论是解决问题的关键．
7．(1)
(2)6
(3)
【分析】（1）由得，，即可得，，，再用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）根据沿折叠，使点落在抛物线上的点处，可得，，，即可得，，设，在中，有，解得，故的面积为6；
（3）过作于，根据，可得，即得，由得直线解析式为，由得直线解析式为，由，得直线解析式为，分两种情况：当时，设直线交于，交于，可得，，故，从而；当时，设直线交于，交于，则，，，即可得．
【详解】（1）解：由得或，
，，
四边形是矩形，
，，，
把，代入，
得：，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：沿折叠，使点落在抛物线上的点处，
，，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
的面积为；
（3）解：过作于，如图：
由（2）得，
，
，
，，
，
，即，
，，
，
由得直线解析式为，
由得直线解析式为，
由，得直线解析式为，
当时，设直线交于，交于，如图：
在中令得，
，
在中令得，
，
，
；
当时，设直线交于，交于，如图：
在中令得，
，
在中令得，
，
，
，
；
．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，动点问题，解题的关键是注意分类讨论．
8．(1)；
(2)；
(3)或或．
【分析】（1）由矩形性质可得，再由折叠可得，运用勾股定理即可求得答案；
（2）根据抛物线经过点、，可设抛物线的解析式为，再由抛物线与直线仅有一个交点，运用根的判别式即可求得答案；
（3）显然点与点重合时，满足，当点与点不重合时，设，过点作轴于点，交的延长线于点，利用，即可求得答案．
【详解】（1）四边形是矩形，
，
把点沿折叠，使点恰好与原点重合，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）抛物线经过点、，
设抛物线的解析式为，
由，
整理得：，
抛物线与直线仅有一个交点，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（3）如图，，且点在抛物线上，
当点与点重合时，，
，即点的横坐标为；
当点与点不重合时，设，
过点作轴于点，交的延长线于点，
则，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
当或时，原方程可化为：，
，
解得：或，
当时，，
综上所述，点的横坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了矩形性质，折叠变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程根的判别式，直角三角形的性质等，涉及知识点较多，难度适中，解题关键是添加辅助线构造相似三角形．
9．(1)；
(2)面积最大值为8，；
(3)．
【分析】（1）利用两点式求出抛物线的解析式即可；
（2）过P做轴交直线l于点H，利用，将三角形的面积转化为二次函数，求最值即可；
（3）求出直线与之间的抛物线相切时，以及直线过点时的值，即可得出结论．
【详解】（1）∵抛物线：经过点和点
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，
设是抛物线位于直线上方的一点，
解方程组，解得或
不妨设、，
∴
过P做轴交直线l于点H，
则，，
∴
∵，，
∴当时，面积最大值为8，时；
（3）如图2，当直线在图中两直线之间时，直线与有4个交点；
∵
∴原抛物线的顶点为，
∵翻折，
∴，
∴翻折后的抛物线的解析式为：
当与抛物线相切时，由，
整理，得：，
∵，
∴，即：
解得：或 （不合题意，舍掉），
当过B点时，，解得，
∴当时，直线l与图象有四个交点．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
10．(1)
(2)点不在对称轴上，理由见解析
(3)，
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；
（2）根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，根据中点坐标公式求得点的坐标即可；
（3）过点，分别作轴的垂线，交直线于点，先求得直线的解析式，根据题意设设，则，则根据，求得关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求得的最大值，即可求得的坐标．
【详解】（1）抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且点，点，抛物线的对称轴为直线，
，
设抛物线的解析式为，
将点代入得，
解得，
物线的解析式为，
即，；
（2）点不在对称轴上，理由如下，
，
，
，，
，
，
是直角三角形，
将沿直线BC折叠，得到，点A的对应点为点D，
，
，
设，则，
解得，
，
故点不在对称轴上；
（3）如图，过点，分别作轴的垂线，交直线于点，
，
，
，
,，
设直线解析式为，
则，
解得，
直线解析式为，
令，则，
，
，
设，则，
，
，
，
当时，取得最大值，最大值为，
．
此时．
【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质求最值，第三问中转化线段的比是解题的关键．
11．（1）；（2）；（3）或或
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与交于点N．解直角三角形求出点N的坐标，求出直线的解析式，构建方程组确定点D坐标即可．
（3）分三种情形：如图②﹣1中，当时，点H在第一象限，此时G，，O重合．如图②﹣2中，当90°时，点H在对称轴右侧．如图②﹣3中当90°时，点H在对称轴左侧，点在对称轴上，分别求解即可．
【详解】解：（1）把点A代入中，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M．
∵，
∴顶点，M（3，0）
∴，，
∴，
∴60°，
∵30°，
∴30°，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得
∴直线的解析式为，
由，解得或，
∴．
（3）如图②﹣1中，当90°时，此时G，O重合，可得，
∵，四边形AFEH是矩形，
∴利用平移的性质可得．
如图②﹣2中，当90°时，由题意得点G是OB的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴利用平移的性质可得．
如图②﹣3中当90°时，点H在对称轴左侧，由题意，
∵，30°，
∴EF=2，
∴，
∵点G为OE的中点，
∴，
∵，
∴利用平移的性质可得．
综上所述，满足条件的点H的坐标为或或．
【点睛】此题考查二次函数与图形的综合知识，利用待定系数法求函数解析式，求两个函数图象的交点坐标，利用特殊角的正切值求线段，轴对称的性质，矩形的性质，解题中运用分类思想解决问题是解题的关键．
12．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点D(1，4)或(2，3)；（3）点P（(1+，2)或(1﹣，2)．
【分析】（1）根据点A（﹣1，0）、点B（3，0）运用待定系数法求解即可；
（2）如图1，过点D作y轴的平行线交BC于点H，先求出直线BC的解析式，然后再证明△COE∽△HDE，根据相似三角形的性质可求得DH,设点D（m，﹣m2+2m+3），则点H（m，﹣m+3），最后根据DH的长列出关于m的方程求解即可；
（3）如图2，设抛物线对称轴MN交x轴于N，交直线BC于F，则将直线MN沿BC折叠得到直线l，则直线l与抛物线的交点P即为所求点；再求出点N、F的坐标，进而求值直线MN的解析式；再求出Q、N＇的坐标，进而得到直线l的解析式为y=2，最后将y=2代入抛物线解析式求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴，解得，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过点D作y轴的平行线交BC于点H，
，
∵y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0，y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
∵点B（3，0），
由点B、C的坐标可得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
∵OC∥DH，
∴△COE∽△HDE，
∴，
∴DH＝2，
设点D（m，﹣m2+2m+3），则点H（m，﹣m+3），则DH＝﹣m2+3m，
即﹣m2+3m＝2，解得：m＝1或2，
故点D（1，4）或（2，3）；
（3）如图2，设抛物线对称轴MN交x轴于N，交直线BC于F，则将直线MN沿BC折叠得到直线l，则直线l与抛物线的交点P即为所求点，
∵y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴N（1，0），F（1，2），
设直线NN′为y＝x+n，
代入N（1，0）得，n＝﹣1，
∴直线NN′为y＝x﹣1，
由得，
∴Q（2，1），
∵Q是线段NN′的中点，
∴N′（3，2），
∴直线l为y＝2，
把y＝2代入y＝﹣x2+2x+3得，2＝﹣x2+2x+3，
解得x＝1±，
故点P（ 1+，2）或（1﹣，2）．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与相应以及三角形的面积问题，灵活运用二次函数的性质以及数形结合思想成为解答本题的关键．
13．（1）；（2）最大值为；（3）F（0，）
【分析】（1）将点A（0，4），B（2，0），C（，0）代入得到方程组求解即可；
（2）点D作DM⊥x轴，垂足为点M，交AB于点N，先求出直线AB的解析式为y＝﹣2x+4，进而可设点D（m，），则点N（m，-2m+4），进而表示出DN的长，再由勾股定理求得AB的长，最后根据EDN∽OBA可得，由此可得，配成顶点式即可求得DE的最大值；
（3）在AB上方的抛物线图象取点F的对称点，过点作y轴的平行线交直线AC于点G．先证A＝G．继而由直线AB的解析式为y＝﹣2x+4可设点（n，﹣2n2+2n+4），则G（n，﹣2n+4）．根据A2＝G2求出n的值，从而得出，A＝G＝FA＝，从而得出点F的坐标．
【详解】解：（1）将点A（0，4），B（2，0），C（，0）代入得：
，
解得：，
∴；
（2）如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，交AB于点N，
设直线AB为y=kx+b，
将A（0，4），B（2，0）代入y=kx+b得
，
解得，
∴直线AB为y=-2x+4，
设点D（m，），则点N（m，-2m+4），
∴DN=，
在RtAOB中，，
∵DE⊥AB，DM⊥x轴，
∴∠DEN=∠DMB=90°，
∴∠EDN+∠END=∠MBN+∠MNB=90°，
∵∠END=∠MNB，
∴∠EDN=∠MBN，
又∵∠DEN=∠AOB=90°，
∴EDN∽OBA，
∴，
∴，
∴
∴当时，DE取得最大值，最大值为；
（3）如图，在AB上方的抛物线图象取点F关于AB的对称点，过点作y轴的平行线交直线AB于点G，连接A．
由题意得：∠FAB＝∠AB，A＝FA．
∵AO∥G，
∴∠FAB＝∠AG．
∵∠FAB＝∠AB，∠FAB＝∠AG．
∴∠AB＝∠AG，
∴A＝G．
∵直线AB的解析式为：y＝﹣2x+4．
设点（n，﹣2n2+2n+4），则G（n，﹣2n+4）．
∴G＝﹣2n2+4n，A2＝n2+(﹣2n2+2n+4-4)2＝n2+(﹣2n2+2n)2．
∵A＝G．
∴A2＝G2．
即：n2+（﹣2n2+2n）2＝（﹣2n2+4n）2，
解得：n1＝0（舍去），．
∴．
∴A＝G＝FA＝，
∴F（0，）．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定及性质、折叠变换的性质及勾股定理等知识点．
14．（1）；（2）或；（3）存在，
【分析】（1）由矩形的性质、折叠的性质和勾股定理求得B点和F点的坐标，用待定系数法即可求得函数解析式.
（2）设，则，，由勾股定理求得，即，设，当时，，当时，，分别代入数据计算即可.
（3）点C（0，-8），两点关于对称轴x=3对称，连接BF交直线x=3于点M，此时有最大值，设直线BF：y=kx+b，求得解析式，当x=3时，y=-14，此时
【详解】解：（1）∵四边形为矩形，点坐标为
∴，，，
∴
∴，即
将、、分别代入中，得：
解得
∴二次函数解析式为
（2）设，则，
由勾股定理得：，解得
∴
设
当时，，即
解得：（不合题意，舍去），
此时
当时，，即
解得：（不合题意，舍去），
此时
∴或
（3）存在
点C（0，-8），两点关于对称轴x=3对称，
如图，连接BF交直线x=3于点M，此时有最大值
设直线BF：y=kx+b
代入B、F两点坐标得
，解得
所以直线BF：y=2x-20，
当x=3时，y=-14，
故
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
15．（1）；（2）存在点，；（3）点纵坐标的最大值为．
【分析】（1）由折叠和矩形的性质可知：∠EDB=∠BCE=90°，可证△ABD∽△ODE，从而求c；
（2）由（1）中的相似三角形可求得DA、AB，进而求出F的坐标，得BF=DF.再利用直角三角形的性质可得MD=MB，从而推导出结论；
（3）设抛物线与x轴交于M、N两点，过点D作x轴垂线交BC于点G.可求得DM=DN=DG，进而得出M、N为满足条件的点Q.
【详解】解：（1）由，设，则，，∴．
由题意，得，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，∴，
∴．
∵，在中，由勾股定理，得，即，
解得．∴．
∵抛物线经过点，
∴．
（2）假设存在．
由（1）知，，∴，．
∴．
易求直线BE的解析式为．
设，作PG⊥x轴于点，轴于点H．
∵，，
∴．
① 图1，若点在点左侧时，
则，
，，
∴．
∵点在线段BE上．
∴．
解得（舍去）或．
∴．

② 图2，若点在点右侧时，
则，，．
∴．
∵点在线段BE上，
∴，
解得（舍去）或．
∴
综上，存在点，，使得．
（3）∵，点在的延长线上，且，∴．
如图3，当点在轴左侧时，与轴的交点就是使得有最小值的点．
显然，当直线与抛物线只有一个公共点时，点的纵坐标最大．
设直线的解析式为y=kx+b，则，
∴，∴．
令，
即，
∴，
解得（舍去），．
∴直线的解析式为．
∴点纵坐标的最大值为．

如图4，当点在轴右侧时，作点关于轴的对称点，则．连接交轴于点，则点就是使得有最小值的点．
显然，当直线与抛物线只有一个公共点时，点的纵坐标最大．设直线的解析式为y=kx+b，则．
∴，∴．
令，
即，
∴，
解得（舍去），．
∴直线的解析式为．
∴点的纵坐标的最大值为．
∵，∴，∴，
∴点纵坐标的最大值为．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质.
（1）中利用折叠的性质得到∠EDB=90°是关键；
（2）中，求得E、F的坐标，求得相应线段长是解题的关键；
（3）中确定Q点的位置时解题的关键

展开更多......

收起↑