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备考2025年中考数学规律型探究题-点的坐标规律
1．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)关于轴对称图形为，画出的图形．点，，关于x轴的对称点是，，，请观察点A，B，C与，，的坐标有什么特点？请用一句话叙述．
(2)若点在x轴上，当最小时，在图中作出点的位置．
2．如图，在平面直角坐标系中， ，，都是等边三角形，都是等腰直角三角形．
(1)直接写出下列点的坐标：
①：______；②：______；③：______；④：______．
(2)是正整数，用含的代数式表示下列坐标：
①的横坐标为：______；②的坐标为______．
(3)若，点从点出发，沿着点运动，到点时运动停止，则点运动的路程为______．
3．在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P的横纵坐标的绝对值之和等于点Q的横纵坐标的绝对值之和，则称P，Q两点为“等和点”．下图中的P，Q两点即为“等和点”．
(1)已知点A的坐标为．
①在点中，与点A为“等和点”的是 （只填字母）；
②若点B在第一象限的角平分线上，且A，B两点为“等和点”，则点B的坐标为 ．
(2)已知点C的坐标为，点D的坐标为，连接，点M为线段CD上一点，过点作x轴的垂线l，若垂线l上存在点M的“等和点”，求n的取值范围．
4．在平面直角坐标系中，一机器人从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动个单位．其行走路线如图所示．
(1)填写下列各点的坐标：（____，____）， （_____，___）， （____，____）；
(2)写出点的坐标（是正整数）；
(3)指出机器人从点到的移动方向．
5．如图，在边长均为的正方形网格中建立平面直角坐标系，并描出下列各点：，，，，，，，，，．
(1)连接，，，，，描出它们的中点并写出这些中点的坐标；
(2)将上述中点的横坐标和纵坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标进行比较，你发现它们之间有什么关系？用文字语言表述出来．
(3)根据你的发现，若某线段两端点的坐标分别为，，则该线段中点的坐标为多少？
6．在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．
(1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标为________．
(2)在（1）问条件下，已知点，直线轴，求点P的坐标．
(3)在（1）问条件下，求的面积．
7．在平面直角坐标系中，一只电子蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示．

(1)填写下列各点的坐标：（ ， ），（ ， ），（ ， ）．
(2)写出点的坐标（n是正整数）．
(3)求出电子蚂蚁从点到点的移动方向．
8．平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点B为点A的可变点．例如：对于点，因为，所以，即点的可变点的坐标是；
(1)点的可变点的坐标是________；点的可变点的坐标是________；
(2)点，中有一个点的可变点在函数图象上，这个点是________；（填“A”或“B”）
(3)若点A在函数的图象上，求其可变点B的纵坐标的取值范围；
(4)若点A在函数的图象上，其可变点B的纵坐标的取值范围是，直接写出a的取值范围
9．对于平面直角坐标系中的两点，，()，给出如下定义：如果，那么称点Q是点P的m阶“生长点”．例如，点，，由，得，所以点Q是点P的2阶“生长点”．如图，已知点，，．
(1)点B是点A的_______阶“生长点”；
(2)已知点是点A的2阶“生长点”，若三角形的面积为4，求点C的坐标；
(3)若点是点B的1阶“生长点”，点是点O的m阶“生长点”，当时，总有，直接写出m的取值范围．
10．【问题情境】
数学课上，老师让同学们探究平面直角坐标系中不重合的两点和点，当横坐标相同或纵坐标相同时，判断直线与轴之间的位置关系及求和两点之间的距离，并把和两点之间的距离记为．
【探究结论】
①若，则轴，且；
②若，则轴，且．
【结论应用】
(1)已知点和点，则线段的长度为__________；
(2)已知点，当轴，时，求点的坐标；
(3)已知点，点，轴，求点的坐标．
11．【阅读理解】
我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，的对称中心的坐标为
【观察应用】
（1）如图，在平面直角坐标系中，若点，的对称中心是点，则点的坐标为 ；
（2）另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点A，B，C做循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，……则，的坐标分别为 ；
【拓展延伸】
（3）求出点的坐标，并直接写出在x轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标．
12．如图,一个粒子在第一象限内及x轴,y轴上运动，第一分钟内从原点运动到（1，0），第二分钟从（1，0）运动到（1，1），而后它接着按图中箭头所示的与x轴,y轴平行的方向来回运动，且每分钟移动1个长度单位．
（1）当粒子所在位置是（2，2）时，所经过的时间是 ；
（2）在第2014分钟时，这个粒子所在位置的坐标是 ．
13．在平面直角坐标系，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点．观察下图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数．
（1）画出由里向外的第四个正方形，在第四个正方形上有_____个整点．
（2）请你猜测由里向外画第n个正方形四条边上的整点个数共有_____个．
（3）显然，由里向外点（-1，1）在第2个正方形的边上，请你探究：由里向外点（-2，2）在第____个正方形的边上，点（-3，3）在第____个正方形的边上，………点（-n，n）在第____个正方形边上（n为正整数）．
14．如图所示，在边长为1的正方形网格中，点A的位置用来表示，点B的位置用来表示.
（1）点D，C，E的位置可分别用________、________、________来表示；
（2）在这块方格纸上的处有一只蚂蚁，处有一块食物，则蚂蚁的爬行路线是→________→________→________→________→________→；
（3）点B在点A的________方向，距点A________处；点A在点D的________方向，距点D________处；
（4）若是等腰三角形，则点F的位置可能是什么？（至少写出4个）
15．如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成.已知，，，；，，，.
（1）观察每次变换前后三角形的变化，找出规律，按此规律再将变换成，则点，的坐标分别是________，________；
（2）若按（1）中找到的规律将进行n次变换，得.比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推出点，的坐标分别是________，________；
（3）请你参照上述方法，推断出的面积为__________.
《备考2025年中考数学规律型探究题-点的坐标规律》参考答案
1．(1)图见解析，点A，B，C与，，三个对应点的横、纵坐标分别互为相反数
(2)见解析
【分析】本题考查了作图，轴对称变换，最短路线问题，掌握轴对称变换的定义和性质，是解答本题的关键．
（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接，得到答案；分别作出三个顶点关于x轴的对称点，观察即可得出结论；
（2）作点B关于x轴的对称点，连接，与轴交于点P， 点P即为所求．
【详解】（1）如图所示：即为所求；
观察图象得：点A，B，C与，，三个对应点的横、纵坐标分别互为相反数．
（2）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点，点就是所要求的点．
2．(1)①；②；③；④
(2)①；②
(3)
【分析】本题考查图形与坐标，涉及点的坐标规律、等腰三角形性质、等边三角形性质及勾股定理，数形结合，准确找到点的坐标特征是解决问题的关键．
（1）由平面直角坐标系及所给的图形可找到规律，是正整数；，是自然数；，是自然数；代值求解即可得到答案；
（2）由（1）中所得规律，结合题中要求即可得到答案；
（3）由图形及题意，数形结合即可得到答案．
【详解】（1）解：在平面直角坐标系中， ，
，是正整数，
，；
，都是等边三角形，
中，以轴上的边为底的高长为，
，是自然数；
都是等腰直角三角形，
如图所示，，是自然数；
，
；
故答案为：①；②；③；④；
（2）解：由（1）中，是自然数；，是自然数；
当是正整数时，；；
故答案为：①；②；
（3）解：由题意及前问解析可知，点在轴上，
点从点出发，沿着点运动，到点时运动停止，点运动的路程为100段与100段的和，
，
点运动的路程为，
故答案为：．
3．(1)①、W；②
(2)
【分析】（1）①由“等和点”的定义进行判断即可；
②由“等和点”的定义可求解；
（2）先求出直线的解析式为，设点M的坐标为，求出，设直线l上任意一点的坐标为，根据“等和点”的定义得出，根据，得出，即可求出n的取值范围．
【详解】（1）解：①点A的坐标为，
，
点，
，，，
与点A是“等和点”的是、W，
故答案为：、W；
②∵点B在第一象限的角平分线上，
∴设点B的坐标为，
∵A，B两点为“等和点”，
∴，
解得：，
点，
故答案为：；
（2）解：∵点C的坐标为，点D的坐标为，
∴设直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点M在线段上，
∴设点M的坐标为，
∴，
∵过点作x轴的垂线l，
∴设直线l上任意一点的坐标为，
∵直线l上存在点M的“等和点”，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，绝对值的意义，点的坐标规律，理解“等和点”的定义并运用是解题的关键．
4．(1)1，1，2，1，5，0
(2)
(3)向右
【分析】本题考查了在平面坐标系中点的坐标特点，坐标的规律．
（1）根据题意知道按向上、向右、向下、向右的方向每次移动1个单位，即可解题；
（2）观察点的位置，由图可知，蚂蚁每走4步为一个周期，得出的值，再根据点在轴的正半轴上，即可解题；
（3）根据点的坐标，分析可得点的坐标，再结合题意知道按方向每次移动1个单位，得到点和点的坐标．
【详解】（1）解：小蚂蚁每次移动1个单位，由图可知，，，，
故答案为：1，1，2，1，5，0；
（2）由图可知，蚂蚁每走4步为一个周期，
，点在轴的正半轴上，
．
（3）当时，
，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
蚂蚁从点到点的移动方向为向右．
5．(1)见解析，，，，，；
(2)见解析，中点的横坐标为对应线段的两个端点的横坐标和的一半，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标和的一半；
(3)．
【分析】（）根据坐标的确定方法：分别读出各点的纵横坐标，即可得到各个点的坐标；
（）根据（）中的坐标与中点坐标找到规律；
（）利用()中的规律进行答题即可；
本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是熟记平面直角坐标系中线段中点的横坐标 为对应线段的两个端点的横坐标的平均数，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标的平均数．
【详解】（1）如图，
各中点的坐标分别是，，，，；
（2）对于点的坐标来说：，；
对点来说：，；
对点来说：，；
对点来说：，；
对点来说：，；
由此发现中点的横坐标为对应线段的两个端点的横坐标和的一半，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标和的一半；
（3）若某线段两端点的坐标分别为，，
那么该线段的中点坐标为．
6．(1)画图见解答；
(2)
(3)6
【分析】本题考查作图-轴对称变换，平面直角坐标系中点的特征等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）由题意可得，求出的值，即可得出答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为．
故答案为：．
（2）解：∵点，直线轴，
，
解得：，
∴点的坐标为．
（3）解：的面积为．
7．(1)2，0；4，0；6，0
(2)
(3)向右
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键．
（1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，的长度，然后写出坐标即可；
（2）根据（1）中规律写出的坐标即可；
（3）根据是2的倍数，可知从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致．
【详解】（1）解：由图可知，，，都在轴上，
∵小蚂蚁每次移动1个单位，
∴，，
∴，，，
故答案为：2，0；4，0；6，0；
（2）解：根据（1）可得：
∴
∴点的坐标为；
（3）解：∵，
∴是的整数倍，
∴从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致，为向右．
8．(1)，
(2)A
(3)或
(4)
【分析】本题考查坐标与图象，一次函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）根据可变点的定义，进行求解即可；
（2）求出可变点，代入函数解析式，进行判断即可；
（3）求出，，的函数值，根据可变点的定义求出的范围即可；
（4）易得点在函数上，得到当当时，有最大值为：，求出时，的值，即可得出的范围．
【详解】（1）解：∵，
∴点的可变点的坐标是；
∵，
∴点的可变点的坐标是；
故答案为：，；
（2）解：由题意，点，的可变点分别为：，
对于函数，当时，，当时，，
即：点在函数的图象上，
∴点的可变点在函数的图象上；
故答案为：A；
（3）解：∵点在上，
∴当时，，当时，，当时，，
设，
由题意，得：当时，，
∴，
当时，，
∴；
综上：或；
（4）解：由题意可知，点在函数上，
∴当时，有最大值为：，
∵，
当时，，解得：或，解得：，
∴当时，可变点B的纵坐标的取值范围是．
9．(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积．
（1）根据新定义求解即可；
（2）根据新定义可求出，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据新定义可求出，，然后根据当时，总有求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵点是点A的2阶“生长点”，
∴，
∴，
∴，
∵三角形的面积为4，
∴，
解得，
∴C的坐标为或；
（3）解：∵点是点B的1阶“生长点”，点是点O的m阶“生长点”，
∴，，
∴，，
当时，则，
∴，
当时，不等式左侧恒大与右侧，成立；
当时，，
，
∵当时，总有，
∴，
∴，
综上所述，当时，不等式恒成立，
故答案为：．
10．(1)8
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的位置关系，两点间的距离公式等知识，解题的关键是：
（1）根据A、B横坐标相同，则求解即可；
（2）根据轴，则C、D纵坐标相同，等于C、D横坐标差的绝对值求解即可；
（3）根据轴，则M、N的横坐标相等求解即可．
【详解】（1）解：∵点和点，
∴线段的长度为，
故答案为：8
（2）解：∵点，轴，
∴D在纵坐标为，
又，
∴D的横坐标为或，
∴D的坐标为或；
（3）解：∵点，点，轴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
11．（1）；（2），；（3）点的坐标，在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标为或或或
【分析】（1）根据对称中心的坐标公式求解即可得；
（2）根据对称中心的坐标公式依次求出点的坐标即可得；
（3）根据点的坐标归纳类推出一般规律：每6次为一个周期进行循环，由此即可点的坐标；再设在轴上与点，点构成等腰三角形的点为点，其坐标为，利用两点之间的距离公式求出的值，然后分三种情况：①，②和③，建立方程，利用平方根解方程即可得．
【详解】解：（1）∵点，的对称中心是点，
∴点的坐标为，即为，
故答案为：．
（2）由题意可知：，，，，
设点的坐标为，
∵点关于点的对称点为点，
∴，解得，
∴，
同理可得：，，，，，
故答案为：，．
（3）由（2）可知，点的坐标与点的坐标相同，点的坐标与点的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环，
∵，
∴点的坐标与点的坐标相同，即．
设在轴上与点，点构成等腰三角形的点为点，其坐标为，
∵，
∴，，
，
①当时，点，点，点构成等腰三角形，
则，即，解得或（此时点重合，舍去），
∴此时点的坐标为；
②当时，点，点，点构成等腰三角形，
则，即，解得，
∴此时点的坐标为或；
③当时，点，点，点构成等腰三角形，
则，即，解得，
∴此时点的坐标为；
综上，点的坐标，在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了对称中心的坐标公式、点坐标的规律探索、等腰三角形的定义、利用平方根解方程、两点之间的距离公式等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
12．6分钟；（44，10）
【详解】试题分析：（1）根据图形知当粒子所在位置是（2，2）时，所经过的时间是6分钟；
（2）观察横坐标和纵坐标的相同点：（0，0），粒子运动了0分钟；
（1，1）就是运动了2=1×2分钟，将向左运动；
（2，2）粒子运动了6=2×3分钟，将向下运动；
（3，3），粒子运动了12=3×4分钟．将向左运动…；
（44，44）点处粒子运动了44×45=1980分钟，此时粒子会将向下移动，在运动了2014分钟后，粒子又向下移动了2014-1980=34个单位长度，粒子所在位置为（44，10）．
故答案为6分钟；（44，10）．
考点：点的坐标
13．1）画对图形（2分），16（1分）；（2）4n（2分）；（3）4（1分）6（2分）2n（2分
【详解】试题分析：（1）由内向外规律，第一个正方形边上整点个数为4个，第二个正方形边上整点个数为8个，第三个正方形边上整点个数是12个，第四个正方形边上整点个数是16个
（2）第n个正方形边上的整点个数是4n个，
（3）由里向外点（-1，1）在第2个正方形的边上，请你探究：由里向外点（-2，2）在4个正方形的边上，点（-3，3）在第6个正方形的边上，………点（-n，n）在第2n个正方形边上（n为正整数）
考点：找规律-数字的变化
点评：解答本题的关键是仔细分析题意得到规律，再把这个规律应用于解题.
14．（1） ，，；（2），，，，；（3）北偏东，；南偏东，；（4）点F的位置可能是，，，，，，，，，.
【分析】（1）根据点A的位置用来表示，点B的位置用来表示可知道各点位置规律，利用坐标系分别表示出D，C，E的位置；（2）根据已知可知蚂蚁行走的路径有多种可能，如先沿横坐标走两格，再沿纵坐标走三格即可到达；（3）根据极坐标的表示求解即可；（4）根据是等腰三角形，则利用AC=CF求出点F的坐标即可.
【详解】解：（1）
（2） （答案不唯一）
（3）北偏东 南偏东
（4）点F的位置可能是，，，，，，，，，.（答出4个即可）
【点睛】本题考查了坐标系的运用，利用已知条件求出其他点的位置，熟练掌握坐标系的表示及坐标确定位置的条件是关键.
15．（1）(16,3),(32,0) （2） （3）.
【分析】(1)根据规律直接写出结论;
(2)由题可得,A点的规律为：横坐标为前一项的2倍，纵坐标为3；B点坐标规律为：横坐标为前一项的2倍，纵坐标为0，再写了，的坐标即可;
(3)根据三角形面积公式计算即可.
【详解】(1) ∵，，，；，，，,
∴A4（16，3），B4（32，0）;
(2)由，，，可得：横坐标为前一项的2倍，纵坐标为3，则第n个的横坐标为2n,纵坐标为3，即An(2n,3);
(3) 由，，，可得：横坐标为前一项的2倍，纵坐标为3，则第n个的横坐标为2n,纵坐标为3，即An(2n,3);
由，，，可得：横坐标为前一项的2倍，纵坐标为0，则第n个的横坐标为2n+1,纵坐标为0，即An(2n+1,0);
(3)S△OAnBn= .
【点睛】考查了坐标与图形性质，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键.

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