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广东省深圳市南山实验教育集团2024-2025学年九年级下学期第二次学业质量监测数学试卷（二模）
1．（2025·南山模拟）近年来，随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，以实现更加节能的出行方式．下列四款图案为新能源汽车的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
2．（2025·南山模拟）北斗卫星导航系统是我国自主研发的一款导航系统，北斗卫星导航系统服务性能优异，提供定位导航时授时精度最高可达0.000000005秒．数据0.000000005用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（2025·南山模拟）下列计算正确的是
A． B． C． D．
4．（2025·南山模拟）如图，在中，为的中位线，连接CD．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·南山模拟）《算法统宗》是我国明代数学家程大位（1533－1606）所著，文中记录了“二果问价”问题：四百五十文钱，甜果苦果买四百八。苦果七个四文钱，甜果九个十一文，苦甜果各几何？设苦果有个，甜果有个，则可列二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·南山模拟）如图，在中，点为边AD上一点，连结BE交对角线AC于点．若，，则DE的长为
A．3 B．4 C．6 D．5
7．（2025·南山模拟）下列说法正确的是
A．连接两点之间的线段，叫做两点间的距离
B．一元二次方程的根为
C．
D．若两个图形关于某条直线对称，则对称点的连线互相平行或在同一条直线上
8．（2025·南山模拟）如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论正确的有
①两城相距600千米；
②乙车比甲车晚出发2小时，却早到2小时；
③乙车出发后5小时追上甲车；
④甲乙两车相距50千米时，或．
A．3个 B．4个 C．2个 D．1个
9．（2025·南山模拟）因式分解： 　 　．
10．（2025·南山模拟）如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取1张，则这1张卡片的正面图案恰好是物理变化的概率是　 　．
11．（2025·南山模拟）“湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳的地标性建筑之一，如图①，A、B表示摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为是圆上的两点，，则的长为　 　m．（结果保留π）
12．（2025·南山模拟）如图，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图像上，AC交轴于点．若是AC的中点，的面积为5，则的值为　 　．
13．（2025·南山模拟）如图，点是正方形ABCD边AB上的一点，将沿直线CE翻折得到，连接DF并延长交CE的延长线于点，连接PA、PB．若，则　 　．
14．（2025·南山模拟）以下是小麟同学化简分式的过程，根据他的过程，完成相应的任务．
解：原式……………………………第一步 ……………………………第二步 ．……………………………第三步 ．……………………………第四步
任务一：
从第 ▲ 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ▲ ；
任务二：
请写出该分式化简的正确过程；
任务三：
当时，请你取合适的整数作为a的值，求出代数式的值．
15．（2025·南山模拟）受2025年春晚节目《秋BOT》的影响，人形机器人跳舞引发一番浪潮．为满足市场需求，某商场准备购入一批人形机器人，现有UnitreeH1和G1两款人形机器人适合．相关调研人员分别随机调查了这两款机器人各10台，记录了它们续航时间（分钟），并将其分四个等级：不合格，合格，良好，优秀，调查结果如下：
H1款：111，115，112，108，118，122，114，115，105，110；
G1款：
根据以上信息，解答下列问题：
类别 平均数 中位数 众数 方差
H1 113 113 a 21.8
G1 112 36.6
（1）上表中 ▲ ， ▲ ， ▲ ；
（2）若该商场购买一批G1款人形机器人500台，请估算这批G1款人形机器人续航时长的等级为“良好及以上”的台数；
（3）根据题中的信息和数据，你认为商场应该选择哪款人形机器人？请说明理由（写出一条理由即可）．
16．（2025·南山模拟）图（1）为深圳某大型商场的自动扶梯、图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了3m，发现日光灯刚好在他的正上方，已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m．
（1）求图中到一楼地面的高度；
（2）求日光灯到一楼地面的高度．（，结果精确到0.1）
17．（2025·南山模拟）
背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利．
素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，型机比型机平均每小时少喷洒2公顷农田，型机喷洒40公顷农田所用时间与型机喷洒50公顷农田所用时间相等．
素材2 若农业公司共购进20架无人机，型无人机5万元／架，型无人机6万元／架．
问题解决
任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？
任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买型和型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本．
18．（2025·南山模拟）如图，AB为直径，为上一点，过作的切线交AB的延长线于点．
（1）尺规作图：过作CE的垂线，交CE于点，交于点；（保留作图痕迹，标明相应字母，不写作法）
（2）若，求BF的长．
19．（2025·南山模拟）综合与探究
【定义】对于y关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为函数的极差值，记作．
【示例】对于函数，在范围内，当时，该函数取最大值；当时，该函数取最小值，即．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）一次函数的极差值 ▲ ；
（2）已知函数的图象经过以下各点：
①绘图：
列表：下表是与的几组对应值，其中 ▲ ；
… -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
… 0 3 4 3 0 5 …
描点：根据表中各组对应值，请在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，下图画出了部分图象，请你把图象补充完整；
②求该函数的R[2，10]的值；
（3）已知函数和函数是关于的函数，并且两个函数的相等．其中函数的图象经过点，请直接写出的值．
20．（2025·南山模拟）
（1）（一）探究过程
如图①，在ABC中，BD平分交AC于点，该同学得出．如图②，该同学给出如下证明过程：
方法一： 如图②，过点作，交AD延长线于点， ▲ ① 平分 ▲ ② 方法二： 如图③过点D作于点于点，过点作于点，平分，且 ▲ ③ ▲ ④ 又
请完成填空：① ▲ ；② ▲ ；③ ▲ ；④ ▲ ；
（2）（二）内化迁移
如图④，点为的边CA延长线上一点，连接BD，M为边CB延长线上一点，当时，判断与的数量关系，并给出证明；
（3）（三）问题解决
如图⑤，在矩形ABCD中，为边BC上一点，为CB延长线上一点．为矩形内部一动点，连接CQ并延长交AB于点，连接QE，若平分交BC于点，当时，连接QG、QD，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A既不是中心对称图形又不是轴对称图形，错误，不符合题意；
B是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，不符合题意；
C是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，不符合题意；
D既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据0.000000005用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．【答案】C
【知识点】合并同类项法则及应用；幂的乘方运算；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，不符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据立方根，算术平方根，合并同类项法则，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，AC=BC，∠B=70°
∴∠A=∠B=70°
∴∠ACB=180°-70°×2=40°
∵AC=BC，AD=DB
∴
∵DE为△ABC的中位线
∴DE∥BC
∴∠EDC=∠DCB=20°
故答案为：C
【分析】根据等边对等角可得∠A=∠B=70°，再根据三角形内角和定理可得∠ACB=40°，根据等腰三角形性质可得，再根据三角形中位线定理可得DE∥BC，再根据直线平行性质即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：设苦果有个，甜果有个，
由题意可得
故答案为：B
【分析】设苦果有个，甜果有个，根据题意建立方程组即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=8
∴AD∥BC，AD=BC=9
∴△AGE∽△CGB
∴
∵
∴
∵CB=9
∴AE=3
∴DE=AD-AE=6
故答案为：C
【分析】根据平行四边形性质可得AD∥BC，AD=BC=9，再根据相似三角形判定定理可得△AGE∽△CGB，则，根据题意可得AE=3，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；线段上的两点间的距离；常用角的度量单位及换算；轴对称的性质
【解析】【解答】解：A：连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，错误，不符合题意；
B：，则x2-x=0，解得：x=0或x=1，错误，能不符合题意；
C：，错误，能不符合题意；
D：若两个图形关于某条直线对称，则对称点的连线互相平行或在同一条直线上，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据两点间间的距离的定义，二次方程的解，角度的单位换算，轴对称的性质逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可得，两城相距600千米，故①正确
乙车比甲车晚出发2小时，却早到2小时，②正确
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，
把(10，600)代入可求得k=60，
∴y甲=60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n
把（2，0)和(8，600）代入可得
解得
∴y乙=100t-100，
令y甲=y乙可得：60t=100t-100，
解得t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③错误；
当乙追上甲后，令y乙-y甲=50，100t-100-60t=50
解得
当乙到达目的地，甲自己行走时，y甲＝60t=250
解得
∴综上所述，当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或，故④错误
综上可知正确的有①②，共2个.
故答案为：C
【分析】根据图象信息逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】a(a-1)(a+1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a+1）（a-1）
【分析】观察多项式的特点：含有公因式a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
10．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
属于物理变换的有2张
∴这1张卡片的正面图案恰好是物理变化的概率是
故答案为：
【分析】根据简单时间的概率公式即可求出答案.
11．【答案】38π
【知识点】弧长及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：38π
【分析】根据弧长公式即可求出答案.
12．【答案】-10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：作CD⊥y轴，垂足为点D
在△AOB和△CDB中
∴△AOB≌△CDB
∴
∴
∴
∵反比例函数图象在第二象限
∴k=-10
故答案为：-10
【分析】作CD⊥y轴，垂足为点D。根据全等三角形判定定理可得△AOB≌△CDB，则，即，再根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接AC，作CQ⊥PD于点Q，则∠PQC=∠DQC=90°
∵四边形ABCD是正方形，AD=3
∴AB=AD=CD=BC=3，∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°
∴，∠ACD=∠CAD=45°
由翻折得FC=BC，
∴FC=DC
∴
∴
∴∠CPQ=∠PCQ=45°
∴PQ=QC
∴
∴
∴△ACP∽△DCQ
∴∠APC=∠DQC=90°
∵AE=2BE
∴2BE+BE=3，即BE=1
∴
∵∠APE=∠CBE=90°，∠AEP=∠CEB
∴△AEP∽△CEB
∴
∴
∵∠PEB=∠AEC
∴△PEB∽△AEC
∴
∴
故答案为：
【分析】连接AC，作CQ⊥PD于点Q，则∠PQC=∠DQC=90°，根据正方形性质可得AB=AD=CD=BC=3，∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°，根据勾股定理可得，∠ACD=∠CAD=45°，再根据折叠性质可得FC=BC，，则FC=DC，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得∠CPQ=∠PCQ=45°，则PQ=QC，根据勾股定理可得，再根据相似三角形判定定理可得△ACP∽△DCQ，则∠APC=∠DQC=90°，根据边之间的关系可得BE，再根据相似三角形判定定理可得△AEP∽△CEB，则，即，由相似三角形判定定理可得△PEB∽△AEC，则，代值计算即可求出答案.
14．【答案】解：任务一
第二步
通分时候分子分母没有同时乘以
任务二
解：原式
任务三
解：由题得
且
6分
当且为整数时
或
①当时，原式
②当时，原式
（第三问求值中只需要求一个且正确即得分）
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】任务一：根据分式的运算法则即可求出答案.
任务二：根据分式的混合运算，结合平方差公式化简即可求出答案.
任务三：根据分式有意义的条件代值计算即可求出答案.
15．【答案】（1）115，113，112；
（2）解：这批G1款人形机器人续航时长的等级为“良好及以上”的台数为：
（台）
（3）解：选择H1款人形机器人，理由如下（言之有理即可）：
因为两款人形机器人的平均续航时长相同，但是H1款人形机器人的众数和中位数均比G1款人形机器人大，且H1款人形机器人的方差较小，质量比较稳定，所以选择H1款人形机器人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）H1款中，115出现的次数最多为3，则众数a=115
G1款中，
将数据按从小到大的顺序排列：102，106，109，112，112，113，117，118，119，123
则中位数
故答案为：115，113，112；
【分析】（1）根据众数，平均数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据500乘以良好及以上的台数占比即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
16．【答案】（1）解：过点作于
设
的坡度为1：2.4
在Rt中，由勾股定理得：
解得：
答：到一楼地面的高度为5m．
（2）解：过点作于，过点作于，交BH于，如图所示：
则，四边形BGFH、四边形ADJH是矩形，
，
由（2）知
在Rt中，，
，
答：日光灯到一楼地面的高度为10.4m．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）过点作于，设，根据坡度比可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）过点作于，过点作于，交BH于，则，四边形BGFH、四边形ADJH是矩形，，根据矩形性质可得，由（2）知，根据边之间的关系可得AF，再根据正切定义可得CI，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】任务1：解：设型无人机每小时送喷洒公顷，则型每小时喷洒公顷
由题意可得：
解得：
经检验：是原分式方程的根，
答：型无人机每小时喷洒8公顷，型无人机每小时喷洒10公顷．
任务2：解：设型无人机台，则型无人机（20－a）台，总费用为万元，
由题意可知：
解得：
，
随的增大而减小，
当（万元）
此时型无人机（台）．
答：采购型无人机10台，型机10台时总费用最少，最少费用为110万元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】任务1：设型无人机每小时送喷洒公顷，则型每小时喷洒公顷，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：设型无人机台，则型无人机（20－a）台，总费用为万元，根据题意列出不等式，求出a的取值范围，再求出函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
18．【答案】（1）解：所作图形如图所示.
（2）解：如图，连接OC，CF
∵CD是的切线
，即
，
，
在Rt中，
连接AF
是的直径
在Rt中，
【知识点】平行线的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；尺规作图-垂线；已知余弦值求边长
【解析】【分析】（1）根据垂线的定义作图即可求出答案.
（2）连接OC，CF，根据切线性质可得，即，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据余弦定义可得，连接AF，根据圆周角定理可得，再根据余弦定义即可求出答案.
19．【答案】（1）3
（2）①5
②由函数图象可知，在的范围内，
当时，函数有最小值；
当时，函数有最大值；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）当x=-1时，y=1+5=6
当x=2时，y=5-2=3
∴6-3=3
故答案为：3
（3）当x=0时，y1=0
当，
∴
∵抛物线经过点(0，0)，则a2-4=01且a-2≠0，解得：a=-2
∴抛物线的表达式为y=-4x2+8x，且对称轴
当时
函数在x=0时取得最小值为0，则时取得最大值为
∴
解得：
当时，，舍去
当时，极差值为4，不符合题意，舍去
当时
则函数的顶点(1，4)取得最大值，在取得最小值为
∴
解得：或，此时，不符合题意，舍去
综上所述，
【分析】（1）根据一次函数的性质将x=-1，x=2代入解析式，再作差即可求出答案.
（2）①根据函数图象的对称性可得q值，再描点，连线作图即可.
②根据函数图象求出x=8，x=10的函数值，再作差即可求出答案.
（3）根据题意求出极差值，再根据待定系数法将点(0，0)代入抛物线解析式可得抛物线的表达式为y=-4x2+8x，求出对称轴，分情况讨论：当时，当时，当时，根据题意建立不等式，解不等式，结合极差值的定义即可求出答案.
20．【答案】（1）①，
②AB，
③，
④，
（2）证明：，
理由如下，如图①，
作，交BD于，
，
又
又
，
即BD平分
（3）解：如图③，
连接BQ，BD，
四边形ABCD是矩形，且，
，
平分，且，
，
，
又
，
由（2）得QG平分，
，
，
，
，
，
当B、Q、D三点共线时，，
．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质，等腰三角形性质，角平分线性质，三角形面积即可求出答案.
（2）作，交BD于，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，根据等边对等角可得，再根据边之间的关系可得，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（3）连接BQ，BD，根据勾股定理可得BD，再根据角平分线定义可得，根据边之间的关系可得，则，再根据边之间的关系可得，根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可得，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据边之间的关系当B、Q、D三点共线时，，即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市南山实验教育集团2024-2025学年九年级下学期第二次学业质量监测数学试卷（二模）
1．（2025·南山模拟）近年来，随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，以实现更加节能的出行方式．下列四款图案为新能源汽车的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A既不是中心对称图形又不是轴对称图形，错误，不符合题意；
B是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，不符合题意；
C是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，不符合题意；
D既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．（2025·南山模拟）北斗卫星导航系统是我国自主研发的一款导航系统，北斗卫星导航系统服务性能优异，提供定位导航时授时精度最高可达0.000000005秒．数据0.000000005用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据0.000000005用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．（2025·南山模拟）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】合并同类项法则及应用；幂的乘方运算；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，不符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据立方根，算术平方根，合并同类项法则，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025·南山模拟）如图，在中，为的中位线，连接CD．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，AC=BC，∠B=70°
∴∠A=∠B=70°
∴∠ACB=180°-70°×2=40°
∵AC=BC，AD=DB
∴
∵DE为△ABC的中位线
∴DE∥BC
∴∠EDC=∠DCB=20°
故答案为：C
【分析】根据等边对等角可得∠A=∠B=70°，再根据三角形内角和定理可得∠ACB=40°，根据等腰三角形性质可得，再根据三角形中位线定理可得DE∥BC，再根据直线平行性质即可求出答案.
5．（2025·南山模拟）《算法统宗》是我国明代数学家程大位（1533－1606）所著，文中记录了“二果问价”问题：四百五十文钱，甜果苦果买四百八。苦果七个四文钱，甜果九个十一文，苦甜果各几何？设苦果有个，甜果有个，则可列二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：设苦果有个，甜果有个，
由题意可得
故答案为：B
【分析】设苦果有个，甜果有个，根据题意建立方程组即可求出答案.
6．（2025·南山模拟）如图，在中，点为边AD上一点，连结BE交对角线AC于点．若，，则DE的长为
A．3 B．4 C．6 D．5
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=8
∴AD∥BC，AD=BC=9
∴△AGE∽△CGB
∴
∵
∴
∵CB=9
∴AE=3
∴DE=AD-AE=6
故答案为：C
【分析】根据平行四边形性质可得AD∥BC，AD=BC=9，再根据相似三角形判定定理可得△AGE∽△CGB，则，根据题意可得AE=3，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．（2025·南山模拟）下列说法正确的是
A．连接两点之间的线段，叫做两点间的距离
B．一元二次方程的根为
C．
D．若两个图形关于某条直线对称，则对称点的连线互相平行或在同一条直线上
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；线段上的两点间的距离；常用角的度量单位及换算；轴对称的性质
【解析】【解答】解：A：连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，错误，不符合题意；
B：，则x2-x=0，解得：x=0或x=1，错误，能不符合题意；
C：，错误，能不符合题意；
D：若两个图形关于某条直线对称，则对称点的连线互相平行或在同一条直线上，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据两点间间的距离的定义，二次方程的解，角度的单位换算，轴对称的性质逐项进行判断即可求出答案.
8．（2025·南山模拟）如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论正确的有
①两城相距600千米；
②乙车比甲车晚出发2小时，却早到2小时；
③乙车出发后5小时追上甲车；
④甲乙两车相距50千米时，或．
A．3个 B．4个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可得，两城相距600千米，故①正确
乙车比甲车晚出发2小时，却早到2小时，②正确
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，
把(10，600)代入可求得k=60，
∴y甲=60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n
把（2，0)和(8，600）代入可得
解得
∴y乙=100t-100，
令y甲=y乙可得：60t=100t-100，
解得t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③错误；
当乙追上甲后，令y乙-y甲=50，100t-100-60t=50
解得
当乙到达目的地，甲自己行走时，y甲＝60t=250
解得
∴综上所述，当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或，故④错误
综上可知正确的有①②，共2个.
故答案为：C
【分析】根据图象信息逐项进行判断即可求出答案.
9．（2025·南山模拟）因式分解： 　 　．
【答案】a(a-1)(a+1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a+1）（a-1）
【分析】观察多项式的特点：含有公因式a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
10．（2025·南山模拟）如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取1张，则这1张卡片的正面图案恰好是物理变化的概率是　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
属于物理变换的有2张
∴这1张卡片的正面图案恰好是物理变化的概率是
故答案为：
【分析】根据简单时间的概率公式即可求出答案.
11．（2025·南山模拟）“湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳的地标性建筑之一，如图①，A、B表示摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为是圆上的两点，，则的长为　 　m．（结果保留π）
【答案】38π
【知识点】弧长及其计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：38π
【分析】根据弧长公式即可求出答案.
12．（2025·南山模拟）如图，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图像上，AC交轴于点．若是AC的中点，的面积为5，则的值为　 　．
【答案】-10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：作CD⊥y轴，垂足为点D
在△AOB和△CDB中
∴△AOB≌△CDB
∴
∴
∴
∵反比例函数图象在第二象限
∴k=-10
故答案为：-10
【分析】作CD⊥y轴，垂足为点D。根据全等三角形判定定理可得△AOB≌△CDB，则，即，再根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
13．（2025·南山模拟）如图，点是正方形ABCD边AB上的一点，将沿直线CE翻折得到，连接DF并延长交CE的延长线于点，连接PA、PB．若，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接AC，作CQ⊥PD于点Q，则∠PQC=∠DQC=90°
∵四边形ABCD是正方形，AD=3
∴AB=AD=CD=BC=3，∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°
∴，∠ACD=∠CAD=45°
由翻折得FC=BC，
∴FC=DC
∴
∴
∴∠CPQ=∠PCQ=45°
∴PQ=QC
∴
∴
∴△ACP∽△DCQ
∴∠APC=∠DQC=90°
∵AE=2BE
∴2BE+BE=3，即BE=1
∴
∵∠APE=∠CBE=90°，∠AEP=∠CEB
∴△AEP∽△CEB
∴
∴
∵∠PEB=∠AEC
∴△PEB∽△AEC
∴
∴
故答案为：
【分析】连接AC，作CQ⊥PD于点Q，则∠PQC=∠DQC=90°，根据正方形性质可得AB=AD=CD=BC=3，∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°，根据勾股定理可得，∠ACD=∠CAD=45°，再根据折叠性质可得FC=BC，，则FC=DC，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得∠CPQ=∠PCQ=45°，则PQ=QC，根据勾股定理可得，再根据相似三角形判定定理可得△ACP∽△DCQ，则∠APC=∠DQC=90°，根据边之间的关系可得BE，再根据相似三角形判定定理可得△AEP∽△CEB，则，即，由相似三角形判定定理可得△PEB∽△AEC，则，代值计算即可求出答案.
14．（2025·南山模拟）以下是小麟同学化简分式的过程，根据他的过程，完成相应的任务．
解：原式……………………………第一步 ……………………………第二步 ．……………………………第三步 ．……………………………第四步
任务一：
从第 ▲ 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ▲ ；
任务二：
请写出该分式化简的正确过程；
任务三：
当时，请你取合适的整数作为a的值，求出代数式的值．
【答案】解：任务一
第二步
通分时候分子分母没有同时乘以
任务二
解：原式
任务三
解：由题得
且
6分
当且为整数时
或
①当时，原式
②当时，原式
（第三问求值中只需要求一个且正确即得分）
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】任务一：根据分式的运算法则即可求出答案.
任务二：根据分式的混合运算，结合平方差公式化简即可求出答案.
任务三：根据分式有意义的条件代值计算即可求出答案.
15．（2025·南山模拟）受2025年春晚节目《秋BOT》的影响，人形机器人跳舞引发一番浪潮．为满足市场需求，某商场准备购入一批人形机器人，现有UnitreeH1和G1两款人形机器人适合．相关调研人员分别随机调查了这两款机器人各10台，记录了它们续航时间（分钟），并将其分四个等级：不合格，合格，良好，优秀，调查结果如下：
H1款：111，115，112，108，118，122，114，115，105，110；
G1款：
根据以上信息，解答下列问题：
类别 平均数 中位数 众数 方差
H1 113 113 a 21.8
G1 112 36.6
（1）上表中 ▲ ， ▲ ， ▲ ；
（2）若该商场购买一批G1款人形机器人500台，请估算这批G1款人形机器人续航时长的等级为“良好及以上”的台数；
（3）根据题中的信息和数据，你认为商场应该选择哪款人形机器人？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）115，113，112；
（2）解：这批G1款人形机器人续航时长的等级为“良好及以上”的台数为：
（台）
（3）解：选择H1款人形机器人，理由如下（言之有理即可）：
因为两款人形机器人的平均续航时长相同，但是H1款人形机器人的众数和中位数均比G1款人形机器人大，且H1款人形机器人的方差较小，质量比较稳定，所以选择H1款人形机器人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）H1款中，115出现的次数最多为3，则众数a=115
G1款中，
将数据按从小到大的顺序排列：102，106，109，112，112，113，117，118，119，123
则中位数
故答案为：115，113，112；
【分析】（1）根据众数，平均数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据500乘以良好及以上的台数占比即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
16．（2025·南山模拟）图（1）为深圳某大型商场的自动扶梯、图（2）中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了3m，发现日光灯刚好在他的正上方，已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13m．
（1）求图中到一楼地面的高度；
（2）求日光灯到一楼地面的高度．（，结果精确到0.1）
【答案】（1）解：过点作于
设
的坡度为1：2.4
在Rt中，由勾股定理得：
解得：
答：到一楼地面的高度为5m．
（2）解：过点作于，过点作于，交BH于，如图所示：
则，四边形BGFH、四边形ADJH是矩形，
，
由（2）知
在Rt中，，
，
答：日光灯到一楼地面的高度为10.4m．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）过点作于，设，根据坡度比可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）过点作于，过点作于，交BH于，则，四边形BGFH、四边形ADJH是矩形，，根据矩形性质可得，由（2）知，根据边之间的关系可得AF，再根据正切定义可得CI，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．（2025·南山模拟）
背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利．
素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，型机比型机平均每小时少喷洒2公顷农田，型机喷洒40公顷农田所用时间与型机喷洒50公顷农田所用时间相等．
素材2 若农业公司共购进20架无人机，型无人机5万元／架，型无人机6万元／架．
问题解决
任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？
任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买型和型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本．
【答案】任务1：解：设型无人机每小时送喷洒公顷，则型每小时喷洒公顷
由题意可得：
解得：
经检验：是原分式方程的根，
答：型无人机每小时喷洒8公顷，型无人机每小时喷洒10公顷．
任务2：解：设型无人机台，则型无人机（20－a）台，总费用为万元，
由题意可知：
解得：
，
随的增大而减小，
当（万元）
此时型无人机（台）．
答：采购型无人机10台，型机10台时总费用最少，最少费用为110万元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】任务1：设型无人机每小时送喷洒公顷，则型每小时喷洒公顷，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：设型无人机台，则型无人机（20－a）台，总费用为万元，根据题意列出不等式，求出a的取值范围，再求出函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
18．（2025·南山模拟）如图，AB为直径，为上一点，过作的切线交AB的延长线于点．
（1）尺规作图：过作CE的垂线，交CE于点，交于点；（保留作图痕迹，标明相应字母，不写作法）
（2）若，求BF的长．
【答案】（1）解：所作图形如图所示.
（2）解：如图，连接OC，CF
∵CD是的切线
，即
，
，
在Rt中，
连接AF
是的直径
在Rt中，
【知识点】平行线的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；尺规作图-垂线；已知余弦值求边长
【解析】【分析】（1）根据垂线的定义作图即可求出答案.
（2）连接OC，CF，根据切线性质可得，即，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据余弦定义可得，连接AF，根据圆周角定理可得，再根据余弦定义即可求出答案.
19．（2025·南山模拟）综合与探究
【定义】对于y关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为函数的极差值，记作．
【示例】对于函数，在范围内，当时，该函数取最大值；当时，该函数取最小值，即．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）一次函数的极差值 ▲ ；
（2）已知函数的图象经过以下各点：
①绘图：
列表：下表是与的几组对应值，其中 ▲ ；
… -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
… 0 3 4 3 0 5 …
描点：根据表中各组对应值，请在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，下图画出了部分图象，请你把图象补充完整；
②求该函数的R[2，10]的值；
（3）已知函数和函数是关于的函数，并且两个函数的相等．其中函数的图象经过点，请直接写出的值．
【答案】（1）3
（2）①5
②由函数图象可知，在的范围内，
当时，函数有最小值；
当时，函数有最大值；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）当x=-1时，y=1+5=6
当x=2时，y=5-2=3
∴6-3=3
故答案为：3
（3）当x=0时，y1=0
当，
∴
∵抛物线经过点(0，0)，则a2-4=01且a-2≠0，解得：a=-2
∴抛物线的表达式为y=-4x2+8x，且对称轴
当时
函数在x=0时取得最小值为0，则时取得最大值为
∴
解得：
当时，，舍去
当时，极差值为4，不符合题意，舍去
当时
则函数的顶点(1，4)取得最大值，在取得最小值为
∴
解得：或，此时，不符合题意，舍去
综上所述，
【分析】（1）根据一次函数的性质将x=-1，x=2代入解析式，再作差即可求出答案.
（2）①根据函数图象的对称性可得q值，再描点，连线作图即可.
②根据函数图象求出x=8，x=10的函数值，再作差即可求出答案.
（3）根据题意求出极差值，再根据待定系数法将点(0，0)代入抛物线解析式可得抛物线的表达式为y=-4x2+8x，求出对称轴，分情况讨论：当时，当时，当时，根据题意建立不等式，解不等式，结合极差值的定义即可求出答案.
20．（2025·南山模拟）
（1）（一）探究过程
如图①，在ABC中，BD平分交AC于点，该同学得出．如图②，该同学给出如下证明过程：
方法一： 如图②，过点作，交AD延长线于点， ▲ ① 平分 ▲ ② 方法二： 如图③过点D作于点于点，过点作于点，平分，且 ▲ ③ ▲ ④ 又
请完成填空：① ▲ ；② ▲ ；③ ▲ ；④ ▲ ；
（2）（二）内化迁移
如图④，点为的边CA延长线上一点，连接BD，M为边CB延长线上一点，当时，判断与的数量关系，并给出证明；
（3）（三）问题解决
如图⑤，在矩形ABCD中，为边BC上一点，为CB延长线上一点．为矩形内部一动点，连接CQ并延长交AB于点，连接QE，若平分交BC于点，当时，连接QG、QD，求的最小值．
【答案】（1）①，
②AB，
③，
④，
（2）证明：，
理由如下，如图①，
作，交BD于，
，
又
又
，
即BD平分
（3）解：如图③，
连接BQ，BD，
四边形ABCD是矩形，且，
，
平分，且，
，
，
又
，
由（2）得QG平分，
，
，
，
，
，
当B、Q、D三点共线时，，
．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质，等腰三角形性质，角平分线性质，三角形面积即可求出答案.
（2）作，交BD于，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，根据等边对等角可得，再根据边之间的关系可得，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（3）连接BQ，BD，根据勾股定理可得BD，再根据角平分线定义可得，根据边之间的关系可得，则，再根据边之间的关系可得，根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可得，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据边之间的关系当B、Q、D三点共线时，，即可求出答案.
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