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甘肃省陇南市礼县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·礼县期末）2024年巴黎奥运会是历史上第33届夏季奥运会，将于7月26日开幕．如图是本届奥运会的吉祥物“弗里热（）”，将图中的“弗里热”通过平移可得到下列选项中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：将图中的“弗里热”通过平移可以得到.
故选：A．
【分析】本题考查了图形的平移，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，结合选项，逐项分析判断，即可求解．
2．（2024七下·礼县期末）的平方根为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：，4的平方根为；
故答案为：D．
【分析】利用算术平方根和平方根的定义及计算方法分析求解即可.
3．（2024七下·礼县期末）下列说法正确的是（ ）
A．没有算术平方根
B．两个整数相除，如果被除数除以除数永远除不尽，那么结果一定是个无理数
C．无理数可以用分数来表示，例如
D．任意一个无理数的绝对值都是正数
【答案】D
【知识点】无理数的概念；绝对值的概念与意义；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、的算术平方根是，则错误，故不符合题意；
B、两个整数相除，结果可能为无限循环小数，而无限循环小数是有理数，则错误，故不符合题意；
C、无理数不可以用分数来表示，不是分数，则错误，故不符合题意；
D、任意一个无理数的绝对值都是正数，则正确，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用算术平方根的定义及计算方法、无理数的定义及表示方法逐项分析判断即可.
4．（2024七下·礼县期末）某校2000名学生参加安全知识竞赛活动，为了了解本次竞赛的成绩分布情况，从中抽取了300名学生的成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．2000名学生是总体
B．每名学生是个体
C．这300名学生是样本容量
D．这300名学生的成绩是总体的一个样本
【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：A、2000名学生的成绩为总体，故原选项说法错误，不符合题意；
B、每名学生的成绩是个体，故原选项说法错误，不符合题意；
C、样本容量为300，故原选项说法错误，不符合题意；
D、这300名学生的成绩是总体的一个样本，说法正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用样本的定义（ 样本是从总体中抽取的一部分元素构成的集合）、总体的定义（总体 是包含所研究的全部个体或数据的集合）、个体的定义（个体是指总体中的每一个成员。总体表示考察对象的全体，而总体中的每一个成员就被称为个体）和样本容量的定义（ 样本容量是指一个样本中所包含的单位数，一般用n表示 ）分析求解即可.
5．（2024七下·礼县期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
故答案为：C．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
6．（2024七下·礼县期末）如图，直线，直线和相交于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：A．
【分析】先利用三角形外角的性质求出∠3的度数，再利用平行线的性质可得.
7．（2024七下·礼县期末）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，“马”所在位置是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：根据平面内点的平移规律可得，
把“帅”向右平移3个单位，向上平移3个单位得到“马”的位置，
，
即棋子“马”所在的点的坐标为．
故答案为：A．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
8．（2024七下·礼县期末）关于x，y的方程组的解为，则的平方根是（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）；已知二元一次方程组的解求参数
9．（2024七下·礼县期末）关于x，y的方程组的解中，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；一元一次不等式的含参问题；整体思想
10．（2024七下·礼县期末）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“三只雀、四只燕，共重12两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵雀每只两，燕每只两，
依题意可得，
故答案为：B．
【分析】设雀每只x两，燕每只y两，根据“三只雀、四只燕，共重12两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”列出方程组即可.
11．（2024七下·礼县期末）写出一个解是的二元一次方程： .
【答案】（答案不唯一）
【知识点】二元一次方程的解；列二元一次方程
12．（2024七下·礼县期末）如图，已知直线，现将一块含角的直角三角尺的顶点A放在直线n上，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】过点作，先利用平行线的性质可得，再利用角的运算及等量代换求出，最后求出即可.
13．（2024七下·礼县期末）如果a，b分别是2024的两个平方根，那么 ．
【答案】2024
【知识点】开平方（求平方根）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵分别是2024的两个平方根，
，
，
，
故答案为：2024．
【分析】利用平方根的定义及计算方法可得a+b=0，再求出，最后求出即可.
14．（2024七下·礼县期末）若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在第 象限．
【答案】二
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点A（﹣2，n）在x轴上，
∴n=0，
∴n-1=-1，n+1=1，
∴点B为（-1，1），
∴点B在第二象限.
故答案为：二.
【分析】由点A（﹣2，n）在x轴上，求得n=0，从而求得点B的坐标为（-1，1），再根据第二象限点的符合特征即可确定点B所在象限.
15．（2024七下·礼县期末）质检工人从生产的一批冰箱中随机抽取了台进行质量检测，从而了解这批冰箱的合格率，这种调查方式为 ．
【答案】抽样调查
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：质检工人从生产的一批冰箱中随机抽取了台进行质量检测，从而了解这批冰箱的合格率，这种调查方式为抽样调查．
故答案为：抽样调查．
【分析】根据抽样调查的定义即可求出答案.
16．（2024七下·礼县期末）已知不等式组的解集为，则 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由得，
∵不等式组的解集为-1＜x＜3，
∴a+1＝3，3+2b＝-1，
解得：a＝2，b＝-2，
∴（a+1）（b-1）＝（2+1）×（-2-1）＝-9，
故答案为：-9
【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组的解集为-1＜x＜3，可以求出a、b的值，从而求得（a+1）（b-1）的值.
17．（2024七下·礼县期末）在平面直角坐标系中，点，若，则称点与点互为“对角点”．例如：点，因为，所以点与点互为“对角点”．若点的“对角点”在轴上，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：设，
根据题意得：，
解得：，
∴；
故答案为：.
【分析】设，根据“对角点”的定义可得，求出t的值，从而可得点B的坐标.
18．（2024七下·礼县期末）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的解集是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意可得，不等式组可以转化为，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出不等式组，再求解即可.
19．（2024七下·礼县期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质、立方根的性质及有理数的乘方化简，再计算即可；
（2）先利用二次根式的性质、立方根的性质及有理数的乘方化简，再计算即可.
（1）解：原式
；
（2）原式
．
20．（2024七下·礼县期末）解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
由得，，
解得，
将代入②得，
解得，
∴该方程组的解为；
（2）解：方程整理为：，
由得，，
将代入②得，
解得，
∴该方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：
由得，，解得，
将代入②得，解得，
∴该方程组的解为；
（2）解：
方程整理为：，
由得，，
将代入②得，解得，
∴该方程组的解为．
21．（2024七下·礼县期末）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
22．（2024七下·礼县期末）平面直角坐标系中，O为原点，点，，．
（1）如图①，则三角形ABC的面积为______；
（2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求的面积．
【答案】（1）6；
（2）解：∵将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，，
∴得到对应点坐标为，
连接，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，，
∴
.
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：∵O为原点，点，，．
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：6.
【分析】（1）先求出OA、OB和OC的长，再利用线段的和差求出BC的长，最后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积即可；
（2）连接，过点作轴于点，过点作轴于点，先求出DE和DF的长，再利用三角形的面积公式及割补法求出△ACD的面积即可.
（1）解：∵O为原点，点，，．
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：6；
（2）解：∵将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，，
∴得到对应点坐标为，
连接，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，，
∴
；
23．（2024七下·礼县期末）完成下面的推理过程：
如图，已知于点F，于点M，，．
求证：．（依据推理证明填空）
证明：，，
（________________），
（________________）
（________________）．
（已知），
（等量代换）：
（________________），
________（________________），
（已知），
________（等量代换），
（________________）．
【答案】证明：，，
（垂线的定义），
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）．
（已知），
（等量代换）：
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】推理与论证；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理步骤分析求解即可.
24．（2024七下·礼县期末）已知点，解答下列问题．
（1）若点A在y轴上，求出点A的坐标；
（2）若点B的坐标为，且轴，求出点A的坐标．
【答案】（1）解：∵点A在y轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标为；
（2）解：∵点B的坐标为，且轴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标为．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【分析】（1）根据在轴上的点的特征，横坐标为零，得到，求出的值即可得到点的坐标；
（2）由点的坐标为，且轴可得，求出的值即可得到点的坐标．
25．（2024七下·礼县期末）某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1）本次随机调查了________名学生；
（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；
（3）若该校共有2000名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数．
【答案】（1）200
（2）解：选择“书画”课程的人数为（人），
则选择“戏曲”课程的人数为（人），
补全条形图如下：
（3）解：估计全校学生选择“戏曲”类的约有（人）．
答：估计全校选择戏曲类有400人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次随机调查学生的人数为（人），
故答案为：200.
【分析】（1）利用“棋类”的人数除以对应的百分比可得总人数；
（2）先求出“书画”和“戏曲”的人数，再作出条形统计图即可；
（3）先求出“戏曲”的百分比，再乘以2000可得答案.
（1）解：本次随机调查学生的人数为（人），
故答案为：200；
（2）解：选择“书画”课程的人数为（人），
则选择“戏曲”课程的人数为（人），
补全条形图如下：
（3）解：估计全校学生选择“戏曲”类的约有（人）．
答：估计全校选择戏曲类有400人．
26．（2024七下·礼县期末）阅读与思考：
【阅读材料】：
把（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
【任务】：
（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”；
（2）是“雅系二元一次方程的“完美值”，求m的值；
（3）是否存在n，使得“雅系二元一次方程与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：根据定义，得，解得：，
∴“雅系二元一次方程”的“完美值”为8.
（2）解：根据定义，得到，
是“雅系二元一次方程”的“完美值”，
，
解得：.
（3）解：不存在，理由如下：根据定义，得，
解得：，
假设存在n，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同，
则，无解，
∴不存在n，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同．
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据“雅系二元一次方程”和“完美值”的定义列出方程，再求解即可；
（2）根据“雅系二元一次方程”和“完美值”的定义求出，再将代入计算即可；
（3）根据“雅系二元一次方程”和“完美值”的定义求出，再列出方程，最后求解即可.
（1）解：根据定义，得，
解得，
∴“雅系二元一次方程”的“完美值”为8；
（2）解：根据定义，得到，
是“雅系二元一次方程”的“完美值”，
，
解得；
（3）解：不存在，理由如下：
根据定义，得，
解得，
假设存在n，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同，
则，无解，
∴不存在n，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同．
27．（2024七下·礼县期末）文化旅游节期间，某市所有A级旅游景区将实行门票五折的优惠政策．一商店抓住商机，决定购进甲、乙两种旅游节纪念品在节会期间进行销售．若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元．
（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，其中甲种纪念品的数量不少于38件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过6800元，那么该商店共有几种进货方案？
【答案】（1）解：设购进每件甲种纪念品需要x元，购进每件乙种纪念品需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：购进每件甲种纪念品需要80元，购进每件乙种纪念品需要60元．
（2）解：设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品件，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以为38，39，40，
∴该商店共有3种进货方案．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进每件甲种纪念品需要x元，购进每件乙种纪念品需要y元，根据“ 甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品件，根据“ 用于购买这100件纪念品的资金不能超过6800元 ”列出不等式组，再求解即可.
（1）解：设购进每件甲种纪念品需要x元，购进每件乙种纪念品需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：购进每件甲种纪念品需要80元，购进每件乙种纪念品需要60元．
（2）设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品件，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以为38，39，40，
∴该商店共有3种进货方案．
28．（2024七下·礼县期末）已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧．
（1）如图，若，则=_______°；
（2）若的平分线交边于点F．
①如图，当，且时，试说明：；
②如图，当保持不变时，试求出与α之间的数量关系．
【答案】（1）45
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在直角三角形中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵当保持不变时，总有，
在直角三角形中，，
∴，
∵
∴，且，
∵平分，
∴，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】（1）解：如图，过点E作，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
故答案为：45；
【分析】（1）过点E作，则，根据直线平行性质即可求出答案.
（2）①根据直线平行性质可得，，再根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
②根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质可得，且，根据角平分线定义可得，再根据补角即可求出答案.
（1）解：如图，过点E作，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
故答案为：45；
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在直角三角形中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵当保持不变时，总有，
在直角三角形中，，
∴，
∵
∴，且，
∵平分，
∴，
∴．
1 / 1甘肃省陇南市礼县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·礼县期末）2024年巴黎奥运会是历史上第33届夏季奥运会，将于7月26日开幕．如图是本届奥运会的吉祥物“弗里热（）”，将图中的“弗里热”通过平移可得到下列选项中的（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七下·礼县期末）的平方根为（ ）
A．4 B．2 C． D．
3．（2024七下·礼县期末）下列说法正确的是（ ）
A．没有算术平方根
B．两个整数相除，如果被除数除以除数永远除不尽，那么结果一定是个无理数
C．无理数可以用分数来表示，例如
D．任意一个无理数的绝对值都是正数
4．（2024七下·礼县期末）某校2000名学生参加安全知识竞赛活动，为了了解本次竞赛的成绩分布情况，从中抽取了300名学生的成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．2000名学生是总体
B．每名学生是个体
C．这300名学生是样本容量
D．这300名学生的成绩是总体的一个样本
5．（2024七下·礼县期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024七下·礼县期末）如图，直线，直线和相交于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024七下·礼县期末）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，“马”所在位置是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024七下·礼县期末）关于x，y的方程组的解为，则的平方根是（ ）
A．9 B． C． D．
9．（2024七下·礼县期末）关于x，y的方程组的解中，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024七下·礼县期末）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“三只雀、四只燕，共重12两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024七下·礼县期末）写出一个解是的二元一次方程： .
12．（2024七下·礼县期末）如图，已知直线，现将一块含角的直角三角尺的顶点A放在直线n上，若，则的度数为 ．
13．（2024七下·礼县期末）如果a，b分别是2024的两个平方根，那么 ．
14．（2024七下·礼县期末）若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在第 象限．
15．（2024七下·礼县期末）质检工人从生产的一批冰箱中随机抽取了台进行质量检测，从而了解这批冰箱的合格率，这种调查方式为 ．
16．（2024七下·礼县期末）已知不等式组的解集为，则 ．
17．（2024七下·礼县期末）在平面直角坐标系中，点，若，则称点与点互为“对角点”．例如：点，因为，所以点与点互为“对角点”．若点的“对角点”在轴上，则点的坐标为 ．
18．（2024七下·礼县期末）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的解集是 ．
19．（2024七下·礼县期末）计算：
（1）；
（2）．
20．（2024七下·礼县期末）解方程组：
（1）；
（2）．
21．（2024七下·礼县期末）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
22．（2024七下·礼县期末）平面直角坐标系中，O为原点，点，，．
（1）如图①，则三角形ABC的面积为______；
（2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求的面积．
23．（2024七下·礼县期末）完成下面的推理过程：
如图，已知于点F，于点M，，．
求证：．（依据推理证明填空）
证明：，，
（________________），
（________________）
（________________）．
（已知），
（等量代换）：
（________________），
________（________________），
（已知），
________（等量代换），
（________________）．
24．（2024七下·礼县期末）已知点，解答下列问题．
（1）若点A在y轴上，求出点A的坐标；
（2）若点B的坐标为，且轴，求出点A的坐标．
25．（2024七下·礼县期末）某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1）本次随机调查了________名学生；
（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；
（3）若该校共有2000名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数．
26．（2024七下·礼县期末）阅读与思考：
【阅读材料】：
把（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
【任务】：
（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”；
（2）是“雅系二元一次方程的“完美值”，求m的值；
（3）是否存在n，使得“雅系二元一次方程与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．
27．（2024七下·礼县期末）文化旅游节期间，某市所有A级旅游景区将实行门票五折的优惠政策．一商店抓住商机，决定购进甲、乙两种旅游节纪念品在节会期间进行销售．若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元．
（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，其中甲种纪念品的数量不少于38件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过6800元，那么该商店共有几种进货方案？
28．（2024七下·礼县期末）已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧．
（1）如图，若，则=_______°；
（2）若的平分线交边于点F．
①如图，当，且时，试说明：；
②如图，当保持不变时，试求出与α之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：将图中的“弗里热”通过平移可以得到.
故选：A．
【分析】本题考查了图形的平移，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，结合选项，逐项分析判断，即可求解．
2．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：，4的平方根为；
故答案为：D．
【分析】利用算术平方根和平方根的定义及计算方法分析求解即可.
3．【答案】D
【知识点】无理数的概念；绝对值的概念与意义；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、的算术平方根是，则错误，故不符合题意；
B、两个整数相除，结果可能为无限循环小数，而无限循环小数是有理数，则错误，故不符合题意；
C、无理数不可以用分数来表示，不是分数，则错误，故不符合题意；
D、任意一个无理数的绝对值都是正数，则正确，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用算术平方根的定义及计算方法、无理数的定义及表示方法逐项分析判断即可.
4．【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：A、2000名学生的成绩为总体，故原选项说法错误，不符合题意；
B、每名学生的成绩是个体，故原选项说法错误，不符合题意；
C、样本容量为300，故原选项说法错误，不符合题意；
D、这300名学生的成绩是总体的一个样本，说法正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用样本的定义（ 样本是从总体中抽取的一部分元素构成的集合）、总体的定义（总体 是包含所研究的全部个体或数据的集合）、个体的定义（个体是指总体中的每一个成员。总体表示考察对象的全体，而总体中的每一个成员就被称为个体）和样本容量的定义（ 样本容量是指一个样本中所包含的单位数，一般用n表示 ）分析求解即可.
5．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
故答案为：C．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
6．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：A．
【分析】先利用三角形外角的性质求出∠3的度数，再利用平行线的性质可得.
7．【答案】A
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：根据平面内点的平移规律可得，
把“帅”向右平移3个单位，向上平移3个单位得到“马”的位置，
，
即棋子“马”所在的点的坐标为．
故答案为：A．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
8．【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）；已知二元一次方程组的解求参数
9．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；一元一次不等式的含参问题；整体思想
10．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵雀每只两，燕每只两，
依题意可得，
故答案为：B．
【分析】设雀每只x两，燕每只y两，根据“三只雀、四只燕，共重12两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”列出方程组即可.
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】二元一次方程的解；列二元一次方程
12．【答案】
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】过点作，先利用平行线的性质可得，再利用角的运算及等量代换求出，最后求出即可.
13．【答案】2024
【知识点】开平方（求平方根）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵分别是2024的两个平方根，
，
，
，
故答案为：2024．
【分析】利用平方根的定义及计算方法可得a+b=0，再求出，最后求出即可.
14．【答案】二
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点A（﹣2，n）在x轴上，
∴n=0，
∴n-1=-1，n+1=1，
∴点B为（-1，1），
∴点B在第二象限.
故答案为：二.
【分析】由点A（﹣2，n）在x轴上，求得n=0，从而求得点B的坐标为（-1，1），再根据第二象限点的符合特征即可确定点B所在象限.
15．【答案】抽样调查
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：质检工人从生产的一批冰箱中随机抽取了台进行质量检测，从而了解这批冰箱的合格率，这种调查方式为抽样调查．
故答案为：抽样调查．
【分析】根据抽样调查的定义即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由得，
∵不等式组的解集为-1＜x＜3，
∴a+1＝3，3+2b＝-1，
解得：a＝2，b＝-2，
∴（a+1）（b-1）＝（2+1）×（-2-1）＝-9，
故答案为：-9
【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组的解集为-1＜x＜3，可以求出a、b的值，从而求得（a+1）（b-1）的值.
17．【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：设，
根据题意得：，
解得：，
∴；
故答案为：.
【分析】设，根据“对角点”的定义可得，求出t的值，从而可得点B的坐标.
18．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意可得，不等式组可以转化为，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出不等式组，再求解即可.
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质、立方根的性质及有理数的乘方化简，再计算即可；
（2）先利用二次根式的性质、立方根的性质及有理数的乘方化简，再计算即可.
（1）解：原式
；
（2）原式
．
20．【答案】（1）解：
由得，，
解得，
将代入②得，
解得，
∴该方程组的解为；
（2）解：方程整理为：，
由得，，
将代入②得，
解得，
∴该方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：
由得，，解得，
将代入②得，解得，
∴该方程组的解为；
（2）解：
方程整理为：，
由得，，
将代入②得，解得，
∴该方程组的解为．
21．【答案】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
22．【答案】（1）6；
（2）解：∵将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，，
∴得到对应点坐标为，
连接，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，，
∴
.
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：∵O为原点，点，，．
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：6.
【分析】（1）先求出OA、OB和OC的长，再利用线段的和差求出BC的长，最后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积即可；
（2）连接，过点作轴于点，过点作轴于点，先求出DE和DF的长，再利用三角形的面积公式及割补法求出△ACD的面积即可.
（1）解：∵O为原点，点，，．
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：6；
（2）解：∵将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，，
∴得到对应点坐标为，
连接，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，，
∴
；
23．【答案】证明：，，
（垂线的定义），
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）．
（已知），
（等量代换）：
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】推理与论证；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理步骤分析求解即可.
24．【答案】（1）解：∵点A在y轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标为；
（2）解：∵点B的坐标为，且轴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标为．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【分析】（1）根据在轴上的点的特征，横坐标为零，得到，求出的值即可得到点的坐标；
（2）由点的坐标为，且轴可得，求出的值即可得到点的坐标．
25．【答案】（1）200
（2）解：选择“书画”课程的人数为（人），
则选择“戏曲”课程的人数为（人），
补全条形图如下：
（3）解：估计全校学生选择“戏曲”类的约有（人）．
答：估计全校选择戏曲类有400人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次随机调查学生的人数为（人），
故答案为：200.
【分析】（1）利用“棋类”的人数除以对应的百分比可得总人数；
（2）先求出“书画”和“戏曲”的人数，再作出条形统计图即可；
（3）先求出“戏曲”的百分比，再乘以2000可得答案.
（1）解：本次随机调查学生的人数为（人），
故答案为：200；
（2）解：选择“书画”课程的人数为（人），
则选择“戏曲”课程的人数为（人），
补全条形图如下：
（3）解：估计全校学生选择“戏曲”类的约有（人）．
答：估计全校选择戏曲类有400人．
26．【答案】（1）解：根据定义，得，解得：，
∴“雅系二元一次方程”的“完美值”为8.
（2）解：根据定义，得到，
是“雅系二元一次方程”的“完美值”，
，
解得：.
（3）解：不存在，理由如下：根据定义，得，
解得：，
假设存在n，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同，
则，无解，
∴不存在n，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同．
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据“雅系二元一次方程”和“完美值”的定义列出方程，再求解即可；
（2）根据“雅系二元一次方程”和“完美值”的定义求出，再将代入计算即可；
（3）根据“雅系二元一次方程”和“完美值”的定义求出，再列出方程，最后求解即可.
（1）解：根据定义，得，
解得，
∴“雅系二元一次方程”的“完美值”为8；
（2）解：根据定义，得到，
是“雅系二元一次方程”的“完美值”，
，
解得；
（3）解：不存在，理由如下：
根据定义，得，
解得，
假设存在n，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同，
则，无解，
∴不存在n，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”（n是常数）的“完美值”相同．
27．【答案】（1）解：设购进每件甲种纪念品需要x元，购进每件乙种纪念品需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：购进每件甲种纪念品需要80元，购进每件乙种纪念品需要60元．
（2）解：设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品件，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以为38，39，40，
∴该商店共有3种进货方案．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进每件甲种纪念品需要x元，购进每件乙种纪念品需要y元，根据“ 甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品件，根据“ 用于购买这100件纪念品的资金不能超过6800元 ”列出不等式组，再求解即可.
（1）解：设购进每件甲种纪念品需要x元，购进每件乙种纪念品需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：购进每件甲种纪念品需要80元，购进每件乙种纪念品需要60元．
（2）设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品件，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以为38，39，40，
∴该商店共有3种进货方案．
28．【答案】（1）45
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在直角三角形中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵当保持不变时，总有，
在直角三角形中，，
∴，
∵
∴，且，
∵平分，
∴，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】（1）解：如图，过点E作，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
故答案为：45；
【分析】（1）过点E作，则，根据直线平行性质即可求出答案.
（2）①根据直线平行性质可得，，再根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
②根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质可得，且，根据角平分线定义可得，再根据补角即可求出答案.
（1）解：如图，过点E作，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
故答案为：45；
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在直角三角形中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵当保持不变时，总有，
在直角三角形中，，
∴，
∵
∴，且，
∵平分，
∴，
∴．
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