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广东省揭阳市普宁市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·普宁期末）如图， 直线、相交于点， 若，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·普宁期末）第19届亚运会在杭州顺利举行，下面几幅图片是代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·普宁期末）已知与互余，若，则∠B的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·普宁期末）全球可被人类利用的淡水总量约占地球上总水量的0.00003，因此珍惜水，保护水是每个公民的责任．其中数字0.00003用科学记数法表示为（　　）
A．3×10-5 B．3×10-4 C．0.3×10-5 D．0.3×10-4
5．（2024七下·普宁期末）如图，分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M、N， 作直线交于点D， 连接，若， 则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2024七下·普宁期末）用三根长度分别为，，的木条首尾顺次相接围成三角形， 这属于（　　）
A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．以上都不是
7．（2024七下·普宁期末）如图是某市一天的温度随时间变化的图象，则下列说法错误的是（　　）
A．这天15点时温度最高
B．这天最高温度与最低温度的差是
C．这天3 点时温度最低
D．这天18 点时温度是
8．（2024七下·普宁期末）下列运算正确的是 （　　）
A． B． C． D．
9．（2024七下·普宁期末）如图是由三角形组合而成的一组图案，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，按照此规律，第6个图案中三角形的个数为（　　）
A．17 B．18 C．19 D．20
10．（2024七下·普宁期末）如图，中，，的角平分线相交于点P， 则（　　）
A． B． C． D．
11．（2024七下·普宁期末）若，则　 　
12．（2024七下·普宁期末）某公司制作毕业纪念册的收费标准是：每册收取材料费4元，则总收费y（元）与制作纪念册的册数x （册）之间的关系式为　 　．
13．（2024七下·普宁期末）如图， 在中， ， 将其折叠， 使点A落在边上的点 E 处，与重合， 折痕为 ， 则的度数是　 　．
14．（2024七下·普宁期末）如图，一个转盘被分成6等分，自由转动转盘一次，停止后，指针落在阴影区域的概率是　 　．
15．（2024七下·普宁期末）若则　 　．
16．（2024七下·普宁期末）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则　 　．
17．（2024七下·普宁期末）计算：
18．（2024七下·普宁期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点都在格点上．
（1）画出关于直线对称的；
（2）在直线上画出点P， 使得的值最小．
19．（2024七下·普宁期末）先化简，再求值：，其中．
20．（2024七下·普宁期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，表格是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000
摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602
摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 个；
（3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个．
21．（2024七下·普宁期末）甲、乙两地相距210千米，一辆货车将货物由甲地运至乙地，卸货后返回甲地．若货车距乙地的距离 y（千米）与时间 t（时）的关系如图所示，根据所提供的信息，回答下列问题：
（1）货车在乙地卸货停留了 小时；
（2）在货车往返速度中，哪个速度更快些 请说明理由．
22．（2024七下·普宁期末）如图，、、分别是的高线、角平分线和中线．
（1）若，， 求的面积．
（2）若， 求的度数．
23．（2024七下·普宁期末）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A. B. C.
（2）应用你从 （1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 求的值；
②简便计算：．
24．（2024七下·普宁期末）综合与实践：
【问题情境】如图①所示， 已知在中， ， ， 是的中线，过点C作， 垂足为M， 且交于点E．
【数学思考】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由；
【猜想证明】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点N， 即可得， 该结论正确吗 请说明理由；
【拓展延伸】（3）小刚在（2）的基础上，连接，如图③所示，请你帮助小刚证明．
25．（2024七下·普宁期末）综合与实践数学社团的同学以“两条平行线，和一块含 角的直角三角板 （， ）”为主题开展数学活动， 已知点E、F不能同时落在直线和 之间．
（1）观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G 分别放在，上，若则 的度数为 ；
（2）类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点 G 放在上，且保持不动，绕点 G 转动三角板，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为 （即 求 的度数；
（3）解决问题：把三角板的锐角顶点G放在上，在绕点G旋转三角板的过程中，若存在()， 请求出射线与相交所夹锐角的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：与互为对顶角；
故；
故选：B．
【分析】本题主要考查了对顶角定义，如果两条直线相交，在交点两侧形成的对顶角的度数是相等的，据此作答，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案.
3．【答案】A
【知识点】余角
4．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】由科学记数法的定义得：0.00003=3×10 5，
故答案为：A.
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
5．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，是线段的垂直平分线，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查了作垂线，线段垂直平分线的性质，根据题意，得到是线段的垂直平分线，得到，即可求解.
6．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；事件的分类
【解析】【解答】解：，
用三根长度分别为，，的木条首尾顺次相接不能围成一个三角形，属于不可能事件；
故选：A．
【分析】本题考查了三角形三边的关系与事件发生的可能性的大小，先根据三角形三边的关系，判定这三根木条首尾顺次相接能否围成一个三角形，再根据事件发生的可能性的大小，即可得到答案．
7．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】A中， 这天15点时温度最高，正确，所以A不符合题意；
A中，这天最高温度与最低温度的差是，错误，所以B符合题意；
A中，这天3 点时温度最低，正确，所以C不符合题意；
A中，这天18 点时温度是，正确，所以D不符合题意；
故选B．
【分析】本题考查了函数图象的识别，根据函数图象，确定横坐标的意义和单位长度，明确纵坐标的意义和单位长度，结合选项，逐项分析判断，即可求解.
8．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A中，，错误，故A不符合要求；
B中，，错误，故B不符合要求；
C中，，错误，故C不符合要求；
D中，，正确，故D符合要求；
故选：D．
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，幂的乘方等知识，根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，幂的乘方，进行运算，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案.
9．【答案】C
【知识点】用代数式表示图形变化规律
10．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
11．【答案】25
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：由，
又，
故．
故答案为：25．
【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法运算法则是：同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此得到，将，代入计算，即可求解.
12．【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据题意，得；
故答案为：．
【分析】本题考查了关系式计算，根据费用=单价×数量，列式计算，即可得到答案．
13．【答案】52
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠的性质，得，
故答案为：52．
【分析】本题主要考查了翻折的性质，图形的翻折就是将一个图形沿着一条轴折叠的运动。在数学应用中，翻折后两个图形全等，根据折叠的性质，即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由图可知自由转动转盘一次，停止后，指针落在阴影区域的概率是＝，
故答案为：．
【分析】本题主要考查概率公式，根据随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，结合阴影部分的份数除以总份数，即可得到答案．
15．【答案】3
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由
去括号得：
可得：，
故答案为：.
【分析】本题考查了整式的乘法，利用单项式乘以多项式的法则，得到，求得，的值，将其代入代数式，计算求值，即可得到答案.
16．【答案】
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点C作，
∵，
∴，
∴，，
又，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过点C作，证得，根据平行线的性质，得到，，求得且，结合，即可求解.
17．【答案】解：由
．
【知识点】零指数幂；化简含绝对值有理数；整数指数幂的运算
【解析】【分析】本题考查了乘方，零指数幂，绝对值的运算，根据乘方，零指数幂，绝对值的定义，逐项计算，最后加减运算求值，即可得到答案.
18．【答案】（1）解：由轴对称的性质作图，如图1，即为所求；
（2）解：如图1，连接交于，连接，由轴对称的性质可得，，
∴，
∴当三点共线时，最小，点即为所作．
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
19．【答案】解：由
；
当时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；多项式除以单项式
【解析】【分析】本题考查了整式的化简求值，根据题意，去括号，合并同类项，再计算多项式除以单项式，化简得到，将代入代数式，计算求值，即可求解.
20．【答案】（1）0.6
（2）30
（3）10
【知识点】分式方程的实际应用；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6．
故答案为：0.6；
解：（2）袋子中有黑球50×0.6=30个．
故答案为：30
解：（3）设应增加x个白球，根据题意得：
，
解得：x=10，
经检验：x=10是原方程的解，且符合题意，
∴可以在袋子中增加相同的白球10个．
故答案为：10.
【分析】
（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近知，即可得到答案．
（2）用大量重复实验中事件的频率估计概率，用球的总数乘以黑球的概率即可求得黑球的个数；
（3）设应增加x个白球，根据题意，列出方程，求得x的值，即可求解.
21．【答案】（1）1
（2）解：货车返回速度快货车由甲地至乙地的速度为(千米/小时)，
货车返回速度为(千米/小时)
∵千米/小时千米/小时，
∴货车返回速度快．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）∵(小时)
∴货车在乙地卸货停留了小时，
故答案为：．
【分析】（1）根据函数图象信息可知，小时到小时之间，到乙地的距离是，得出货车在乙地卸货停留的时间；
（2）从函数图象上得到甲乙两地的距离千米，去的时间为小时，返回的时间为小时，根据行驶路程和行驶时间，分别求出往返速度，进行比较，即可得到答案.
22．【答案】（1）解：根据是中线，且，∴ ，
∴是的高，且，，
∴．
（2）解：∵，∴，
∵是角平分线，是高，
∴，，．
∴．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的中线；三角形的高
23．【答案】（1）B
（2）解：①根据，且
故．
②根据题意，得．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得剪去小正方形后余下图形的面积为；
重新拼图后得到一个长为，宽为得长方形，
根据面积不变性质，建立等式得．
故选B．
【分析】（1）根据题意，得剪去小正方形后余下图形的面积为；重新拼图后得到一个长为，宽为得长方形，结合面积不变性质，建立等式，即可求解；
（2）①根据，结合已知求的值，即可求解．
②根据题意，结合平方差公式，得到，即可求解．
24．【答案】证明（1）证明：∵，，
∴，，
∴．
证明；（2）结论是正确的．理由如下：
证明：∵，，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
证明：（3）∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；余角
【解析】【分析】（1）根据题意，得到，，结合余角的性质，即可得证；
（2）利用等腰直角三角形的性质，得到，再由，平分，结合ASA，即可证得；
（3）由是的中线，得到，再由，得到，根据，平分，得到，结合，即可证得.
25．【答案】（1）100
（2）解：过E作，∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
（3）解：设，则，如图2，当 在之上时，设的交点为H，
∵，，
∴，
解得，
∴．
∵，
∴，
∴．
如图3，当 在之下时，延长与的交点为H，
∵，，
∴，
解得，
∴．
∵，
∴，
∴．
综上所述，射线与相交所夹锐角的度数或．
．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：100．
【分析】（1）根据题意，得到，得出，求得，结合，，即可得到答案；
（2）过E作，推得，得到，，求得，进而求得的度数；
（3）设，则，分 在之上和下面，两种情况讨论，结合平行线的性质，列式计算，即可求解.
1 / 1广东省揭阳市普宁市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·普宁期末）如图， 直线、相交于点， 若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：与互为对顶角；
故；
故选：B．
【分析】本题主要考查了对顶角定义，如果两条直线相交，在交点两侧形成的对顶角的度数是相等的，据此作答，即可求解.
2．（2024七下·普宁期末）第19届亚运会在杭州顺利举行，下面几幅图片是代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案.
3．（2024七下·普宁期末）已知与互余，若，则∠B的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】余角
4．（2024七下·普宁期末）全球可被人类利用的淡水总量约占地球上总水量的0.00003，因此珍惜水，保护水是每个公民的责任．其中数字0.00003用科学记数法表示为（　　）
A．3×10-5 B．3×10-4 C．0.3×10-5 D．0.3×10-4
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】由科学记数法的定义得：0.00003=3×10 5，
故答案为：A.
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
5．（2024七下·普宁期末）如图，分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M、N， 作直线交于点D， 连接，若， 则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，是线段的垂直平分线，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查了作垂线，线段垂直平分线的性质，根据题意，得到是线段的垂直平分线，得到，即可求解.
6．（2024七下·普宁期末）用三根长度分别为，，的木条首尾顺次相接围成三角形， 这属于（　　）
A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．以上都不是
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；事件的分类
【解析】【解答】解：，
用三根长度分别为，，的木条首尾顺次相接不能围成一个三角形，属于不可能事件；
故选：A．
【分析】本题考查了三角形三边的关系与事件发生的可能性的大小，先根据三角形三边的关系，判定这三根木条首尾顺次相接能否围成一个三角形，再根据事件发生的可能性的大小，即可得到答案．
7．（2024七下·普宁期末）如图是某市一天的温度随时间变化的图象，则下列说法错误的是（　　）
A．这天15点时温度最高
B．这天最高温度与最低温度的差是
C．这天3 点时温度最低
D．这天18 点时温度是
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】A中， 这天15点时温度最高，正确，所以A不符合题意；
A中，这天最高温度与最低温度的差是，错误，所以B符合题意；
A中，这天3 点时温度最低，正确，所以C不符合题意；
A中，这天18 点时温度是，正确，所以D不符合题意；
故选B．
【分析】本题考查了函数图象的识别，根据函数图象，确定横坐标的意义和单位长度，明确纵坐标的意义和单位长度，结合选项，逐项分析判断，即可求解.
8．（2024七下·普宁期末）下列运算正确的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A中，，错误，故A不符合要求；
B中，，错误，故B不符合要求；
C中，，错误，故C不符合要求；
D中，，正确，故D符合要求；
故选：D．
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，幂的乘方等知识，根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，幂的乘方，进行运算，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案.
9．（2024七下·普宁期末）如图是由三角形组合而成的一组图案，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，按照此规律，第6个图案中三角形的个数为（　　）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】C
【知识点】用代数式表示图形变化规律
10．（2024七下·普宁期末）如图，中，，的角平分线相交于点P， 则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
11．（2024七下·普宁期末）若，则　 　
【答案】25
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：由，
又，
故．
故答案为：25．
【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法运算法则是：同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此得到，将，代入计算，即可求解.
12．（2024七下·普宁期末）某公司制作毕业纪念册的收费标准是：每册收取材料费4元，则总收费y（元）与制作纪念册的册数x （册）之间的关系式为　 　．
【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据题意，得；
故答案为：．
【分析】本题考查了关系式计算，根据费用=单价×数量，列式计算，即可得到答案．
13．（2024七下·普宁期末）如图， 在中， ， 将其折叠， 使点A落在边上的点 E 处，与重合， 折痕为 ， 则的度数是　 　．
【答案】52
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠的性质，得，
故答案为：52．
【分析】本题主要考查了翻折的性质，图形的翻折就是将一个图形沿着一条轴折叠的运动。在数学应用中，翻折后两个图形全等，根据折叠的性质，即可得到答案.
14．（2024七下·普宁期末）如图，一个转盘被分成6等分，自由转动转盘一次，停止后，指针落在阴影区域的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由图可知自由转动转盘一次，停止后，指针落在阴影区域的概率是＝，
故答案为：．
【分析】本题主要考查概率公式，根据随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，结合阴影部分的份数除以总份数，即可得到答案．
15．（2024七下·普宁期末）若则　 　．
【答案】3
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由
去括号得：
可得：，
故答案为：.
【分析】本题考查了整式的乘法，利用单项式乘以多项式的法则，得到，求得，的值，将其代入代数式，计算求值，即可得到答案.
16．（2024七下·普宁期末）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点C作，
∵，
∴，
∴，，
又，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过点C作，证得，根据平行线的性质，得到，，求得且，结合，即可求解.
17．（2024七下·普宁期末）计算：
【答案】解：由
．
【知识点】零指数幂；化简含绝对值有理数；整数指数幂的运算
【解析】【分析】本题考查了乘方，零指数幂，绝对值的运算，根据乘方，零指数幂，绝对值的定义，逐项计算，最后加减运算求值，即可得到答案.
18．（2024七下·普宁期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点都在格点上．
（1）画出关于直线对称的；
（2）在直线上画出点P， 使得的值最小．
【答案】（1）解：由轴对称的性质作图，如图1，即为所求；
（2）解：如图1，连接交于，连接，由轴对称的性质可得，，
∴，
∴当三点共线时，最小，点即为所作．
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
19．（2024七下·普宁期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：由
；
当时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；多项式除以单项式
【解析】【分析】本题考查了整式的化简求值，根据题意，去括号，合并同类项，再计算多项式除以单项式，化简得到，将代入代数式，计算求值，即可求解.
20．（2024七下·普宁期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，表格是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000
摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602
摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 个；
（3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个．
【答案】（1）0.6
（2）30
（3）10
【知识点】分式方程的实际应用；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6．
故答案为：0.6；
解：（2）袋子中有黑球50×0.6=30个．
故答案为：30
解：（3）设应增加x个白球，根据题意得：
，
解得：x=10，
经检验：x=10是原方程的解，且符合题意，
∴可以在袋子中增加相同的白球10个．
故答案为：10.
【分析】
（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近知，即可得到答案．
（2）用大量重复实验中事件的频率估计概率，用球的总数乘以黑球的概率即可求得黑球的个数；
（3）设应增加x个白球，根据题意，列出方程，求得x的值，即可求解.
21．（2024七下·普宁期末）甲、乙两地相距210千米，一辆货车将货物由甲地运至乙地，卸货后返回甲地．若货车距乙地的距离 y（千米）与时间 t（时）的关系如图所示，根据所提供的信息，回答下列问题：
（1）货车在乙地卸货停留了 小时；
（2）在货车往返速度中，哪个速度更快些 请说明理由．
【答案】（1）1
（2）解：货车返回速度快货车由甲地至乙地的速度为(千米/小时)，
货车返回速度为(千米/小时)
∵千米/小时千米/小时，
∴货车返回速度快．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）∵(小时)
∴货车在乙地卸货停留了小时，
故答案为：．
【分析】（1）根据函数图象信息可知，小时到小时之间，到乙地的距离是，得出货车在乙地卸货停留的时间；
（2）从函数图象上得到甲乙两地的距离千米，去的时间为小时，返回的时间为小时，根据行驶路程和行驶时间，分别求出往返速度，进行比较，即可得到答案.
22．（2024七下·普宁期末）如图，、、分别是的高线、角平分线和中线．
（1）若，， 求的面积．
（2）若， 求的度数．
【答案】（1）解：根据是中线，且，∴ ，
∴是的高，且，，
∴．
（2）解：∵，∴，
∵是角平分线，是高，
∴，，．
∴．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的中线；三角形的高
23．（2024七下·普宁期末）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A. B. C.
（2）应用你从 （1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 求的值；
②简便计算：．
【答案】（1）B
（2）解：①根据，且
故．
②根据题意，得．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得剪去小正方形后余下图形的面积为；
重新拼图后得到一个长为，宽为得长方形，
根据面积不变性质，建立等式得．
故选B．
【分析】（1）根据题意，得剪去小正方形后余下图形的面积为；重新拼图后得到一个长为，宽为得长方形，结合面积不变性质，建立等式，即可求解；
（2）①根据，结合已知求的值，即可求解．
②根据题意，结合平方差公式，得到，即可求解．
24．（2024七下·普宁期末）综合与实践：
【问题情境】如图①所示， 已知在中， ， ， 是的中线，过点C作， 垂足为M， 且交于点E．
【数学思考】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由；
【猜想证明】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点N， 即可得， 该结论正确吗 请说明理由；
【拓展延伸】（3）小刚在（2）的基础上，连接，如图③所示，请你帮助小刚证明．
【答案】证明（1）证明：∵，，
∴，，
∴．
证明；（2）结论是正确的．理由如下：
证明：∵，，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
证明：（3）∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；余角
【解析】【分析】（1）根据题意，得到，，结合余角的性质，即可得证；
（2）利用等腰直角三角形的性质，得到，再由，平分，结合ASA，即可证得；
（3）由是的中线，得到，再由，得到，根据，平分，得到，结合，即可证得.
25．（2024七下·普宁期末）综合与实践数学社团的同学以“两条平行线，和一块含 角的直角三角板 （， ）”为主题开展数学活动， 已知点E、F不能同时落在直线和 之间．
（1）观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G 分别放在，上，若则 的度数为 ；
（2）类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点 G 放在上，且保持不动，绕点 G 转动三角板，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为 （即 求 的度数；
（3）解决问题：把三角板的锐角顶点G放在上，在绕点G旋转三角板的过程中，若存在()， 请求出射线与相交所夹锐角的度数．
【答案】（1）100
（2）解：过E作，∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
（3）解：设，则，如图2，当 在之上时，设的交点为H，
∵，，
∴，
解得，
∴．
∵，
∴，
∴．
如图3，当 在之下时，延长与的交点为H，
∵，，
∴，
解得，
∴．
∵，
∴，
∴．
综上所述，射线与相交所夹锐角的度数或．
．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：100．
【分析】（1）根据题意，得到，得出，求得，结合，，即可得到答案；
（2）过E作，推得，得到，，求得，进而求得的度数；
（3）设，则，分 在之上和下面，两种情况讨论，结合平行线的性质，列式计算，即可求解.
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