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二次函数单元练习卷
一．选择题
1．给出下面函数：①y＝x2+1；②y＝x；③y＝；④y＝x+12；⑤．其中是二次函数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
3．将二次函数y＝2x2的图象向左移1个单位，再向上移2个单位后所得函数的关系式为（　　）
A．y＝2（x+1）2﹣2B．y＝2（x﹣1）2﹣2C．y＝2（x+1）2+2D．y＝2（x﹣1）2+2
4．二次函数y＝x2﹣4x+5的最小值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
5．在同一坐标系中作y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝x2的图象，它们的共同特点是（　　）
A．都是关于x轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于y轴对称，抛物线开口向下
C．都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 D．都是关于y轴对称，顶点都是原点
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c，若a＜0，c＞0，那么它的图象大致是（　　）
A．B．C．D．
7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
8.函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第8题） （第10题）
9.若二次函数y＝x2﹣2x+k的图象经过点（﹣1，y1），（3，y2），则y1与y2的大小关系为（　　）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
10.如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴为l．则下列结论：
①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③2a+c＜0；④a+b＜0．其中所有正确的结论是（　　）
A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④
二、填空题
11．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3，若点P（﹣2，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是　　．
12．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是　　．
（第12题） (第16题)
13．抛物线y＝x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是　　．
14．抛物线y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为　　．
15．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1＜x＜4时，y的取值范围为　　．
16.如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为　　．
17．如图，在平面直角坐标系中，过点P（m，0）作x轴的垂线，分别交抛物线y＝x2+2与直线y＝﹣x于A、B，以线段AB为对角线作正方形ACBD，则正方形ACBD的面积的最小值为　　．
（第17题）
三、解答题
18．已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．
（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．
19．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
20．已知二次函数y＝2x2﹣mx﹣m2．
（1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；
（2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为（1，0），求B点坐标．
21．如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．
22．商场销售某种商品，平均每天可售出4件，每件盈利10元；为了尽快减少库存，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，该商品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）如果商场通过销售商品盈利64元，那么该商品的单价应降多少元？
（2）该商品的单价降了多少元时，商场通过销售该商品每天盈利最多？最多盈利多少元？
23．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y＝﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．
24.如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．
（1）求点A的坐标（用m表示）；
（2）求抛物线的解析式；
25．如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴相交于点C．求该函数的表达式；
参考答案
一、选择题
1.A 2.D 3.C 4.B 5.D 6.D 7.C 8.B 9.B 10.C
【解答】解：①∵二次函数图象的开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数图象的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，故②正确；
③∵a﹣b+c＝0，∴b＝a+c．
由图可知，x＝2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，∴4a+2（a+c）+c＜0，
∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故③正确；④∵a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a．
由图可知，x＝2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
∴4a+2b+b﹣a＜0，∴3a+3b＜0，∴a+b＜0，故④正确．故选：C．
二、填空题
11.Q(4,5) 12.X<-1或x>3　
13.【解答】解：将y＝x2﹣4x+3化为顶点式，得y＝（x﹣2）2﹣1，
抛物线y＝x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y＝﹣（x+2）2+1，
化为一般式，得y＝﹣x2﹣4x﹣3，
故答案为：y＝﹣x2﹣4x﹣3．
14.4　 15.
16.y＝﹣（x﹣20）2+16
17.【解答】解：由题可知，A（m，m2+2），B（m，﹣m）
∴AB＝m2+m+2＝（m+）2+，
当m＝﹣时，ABmin＝，
∴Smin＝ AB CD＝×＝，故答案为．
三、解答题
18.【解答】解：（1）该抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），
把C（2，8）代入得a 4 1＝8，解得a＝2，
所以抛物线解析式为y＝2（x+2）（x﹣1），
即y＝2x2+2x﹣4；
（2）y＝2x2+2x﹣4＝2（x+）2﹣，
所以抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣）．
19【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），
∴设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：
0＝4a﹣4，解得a＝1，
∴二次函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解方程，得x1＝3，x2＝﹣1．
∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（﹣1，0），
∴二次函数图象上的点（﹣1，0）向右平移1个单位后经过坐标原点或向右平移﹣3个单位，
故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（4，0）或（﹣4，0）．
20.【解答】解：（1）当二次函数图象与x轴相交时，
2x2﹣mx﹣m2＝0，
△＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣m2）＝9m2，
∵m2≥0，
∴△≥0．
∴对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；
（2）把（1，0）代入二次函数关系式，得0＝2﹣m﹣m2，
∴m1＝﹣2，m2＝1，
当m＝﹣2时，二次函数关系式为：y＝2x2+2x﹣4，
令y＝0，得：2x2+2x﹣4＝0，
解得：x＝1或﹣2，
∴二次函数图象与x轴有两个公共点的坐标是：（1，0），（﹣2，0）；
又∵A点坐标为（1，0），则B（﹣2，0）；当m＝1时，同理可得：B（﹣，0）．
21.【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y＝（x﹣2）2+m得（1﹣2）2+m＝0，解得m＝﹣1，所以二次函数解析式为y＝（x﹣2）2﹣1；
当x＝0时，y＝4﹣1＝3，
所以C点坐标为（0，3），
由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝2，
所以B点坐标为（4，3），
将A（1，0）、B（4，3）代入y＝kx+b得，解得，
所以一次函数解析式为y＝x﹣1；
（2）当kx+b≥（x﹣2）2+m时，1≤x≤4．
22.【解答】解：（1）设商品的单价应降x元，
根据题意得：（10﹣x）（4+2x）＝64，
解得：x＝2或x＝6，
∵商场为了尽快减少库存，增加盈利，
∴x＝6，
答：该商品的单价应降6元；
（2）设商场的总利润为W，
则W＝（10﹣x）（4+2x）
＝﹣2x2+16x+40
＝﹣2（x﹣4）2+72，
∴当x＝4时，W最大＝72，
答：该商品的单价降了4元时，商场通过销售该商品每天盈利最多，最多盈利72元．
23.（1）抛物线的解析式
（2）PM+PN的最大值是
24.【解答】方法一：
（1）解：由B（3，m）可知OC＝3，BC＝m，又△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝m，OA＝m﹣3，
∴点A的坐标是（3﹣m，0）．
（2）解：
∵∠ODA＝∠OAD＝45°
∴OD＝OA＝m﹣3，
则点D的坐标是（0，m﹣3）．
又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，
所以可设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2，
【解答】：令抛物线解析式为，即，则-4a=2,解得a=,所以该函数的表达式。

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