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[板块专题题库7-7-4]容斥原理之数论问题
一、容斥原理之数论问题
1．（2022六上·竞赛）在的全部自然数中，不是的倍数也不是的倍数的数有多少个？
【答案】解：100÷3=33……1
100÷5=20
100÷（3×5）=6……10
33+20-6
=53-6
=47（个）
100-47=53（个）
答：不是3的倍数也不是5的倍数的数有53个。
如图，
用长方形表示 的全部自然数， 圆表示 中 的倍数， 圆表示 中 的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是 的倍数也不是 的倍数的数。
由 可知， 中 的倍数有 个；由 可知， 中 的倍数有 个；由 可知， 既是 的倍数又是 的倍数的数有 个。
由包含排除法， 或 的倍数有： （个）。从而不是 的倍数也不是 的倍数的数有 （个）。
【知识点】容斥原理
【解析】【分析】用100除以3，所得的商就是100以内是3的倍数的个数；用100除以5，所得的商就是100以内是5的倍数的个数；用100除以（3×5），所得的商就是100以内是3和5的倍数的个数。所以，3或5的倍数的个数=100以内是3的倍数的个数+100以内是5的倍数的个数-100以内是3和5的倍数的个数，故不是3的倍数也不是5的倍数的个数=100-3或5的倍数的个数。
2．（2022六上·竞赛）在自然数中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？
【答案】解：解：100÷3=33……1
100÷5=20，
100÷（3×5）=6……10
33+20-6=47（个）
答：能被3或5中任一个整除的数有47个。
【知识点】容斥原理；2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【解析】【分析】本题先求出100中能被3整数的数的个数、能被5整数的数的个数和能被15整数的数的个数，那么能被3或5中任一个整除的数的个数=能被3整数的数的个数+能被5整数的数的个数-能被15整数的数的个数，据此作答即可。
3．（2022六上·竞赛）在前个自然数中，能被或整除的数有多少个？
【答案】解：100÷2=50
100÷3=33……1
100÷（2×3）=16……4
50+33-16=67（个）
答：能被2或3整除的数有67个。
如图所示，
圆内是前 个自然数中所有能被 整除的数， 圆内是前 个自然数中所有能被 整除的数， 为前 个自然数中既能被 整除也能被 整除的数。
前 个自然数中能被 整除的数有： （个）。由 知，前 个自然数中能被 整除的数有： 个。由 知，前 个自然数中既能被 整除也能被 整除的数有 个。
所以 中有 个数， 中有 个数， 中有 个数。因为 ， 都包含 ，根据包含排除法得到，能被 或 整除的数有： （个）。
【知识点】容斥原理；2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【解析】【分析】本题先求出100以内能被2整除的数的个数、能被3整除的数的个数和能被6整除的数的个数，那么能被2或3整除的个数=被2整除的数的个数+能被3整除的数的个数-能被6整除的数的个数，据此代入数值作答即可。
4．（2022六上·竞赛）在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个？
【答案】解：1000÷5=200
1000÷7=142……6
1000÷（5×7）=28……20
200+142-28=314（个）
1000-314=686（个）
答：既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有686个。
【知识点】容斥原理
【解析】【分析】用1000除以5，所得的商就是1000以内是5的倍数的个数；用1000除以7，所得的商就是1000以内是7的倍数的个数；用100除以（5×7），所得的商就是100以内是5和7的倍数的个数。所以，5或7的倍数的个数=100以内是5的倍数的个数+100以内是7的倍数的个数-100以内是5和7的倍数的个数，故不是5的倍数也不是7的倍数的个数=1000-5或7的倍数的个数。
5．（2022六上·竞赛）求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。
【答案】解：100÷3=33……1
100÷7=14……2
100÷（3×7）=4……16
33+14-4=43（个）
答：在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数是43个。
【知识点】容斥原理
【解析】【分析】用100除以3，所得的商就是100以内是3的倍数的个数；用100除以7，所得的商就是100以内是7的倍数的个数；用100除以（3×7），所得的商就是100以内是3和7的倍数的个数。所以，3或7的倍数的个数=100以内是3的倍数的个数+100以内是7的倍数的个数-100以内是3和7的倍数的个数。
6．（2022六上·竞赛）以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？
【答案】解：105=3×5×7（个）
105÷3=35（个）
105÷5=21（个）
105÷7=15（个）
105÷（3×5）=7（个）
105÷（3×7）=5（个）
105÷（5×7）=3（个）
105÷（3×5×7）=1（个）
105-35-21-15+7+5+3-1=48（个）
48÷2=24
答：以105为分母的最简真分数共有48个，它们的和为24。
【知识点】容斥原理
【解析】【分析】以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n与105互质，那么（105-n）与n互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24。
7．（2022六上·竞赛）分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和。
【答案】解：385=5×7×11
385÷5=77
385÷7=55
385÷11=35
385÷（5×7）=11
385÷（5×11）=7
385÷（7×11）=5
385÷（5×7×11）=1
385-77-55-35+5+11+7-1=240（个）
240÷2=120
答：分母是385的最简真分数有240个，这些真分数的和是120。
【知识点】容斥原理；真分数、假分数的含义与特征；最简分数的特征
【解析】【分析】385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240。对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120。
8．（2022六上·竞赛）在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有　 　个。
【答案】228
【知识点】容斥原理；2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【解析】【解答】解：1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有 个，3和7的倍数有 个，5和7的倍数有 个，3、5和7的倍数有 个。所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有（133-19）+（95-19）+（57-19）=228个。
故答案为：228。
【分析】从1开始到n这n个自然数中，求几个数的倍数，就是用n除以这几个数的最小公倍数，所以本题中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的个数=（3和5的倍数的个数-3、5和7的倍数）+（3和7的倍数的个数-3、5和7的倍数）+（5和7的倍数的个数-3、5和7的倍数），据此作答即可。
9．求1到100内有　 　个数不能被2、3、7中的任何一个整除。
【答案】28
【知识点】容斥原理；整除的性质及应用
【解析】【解答】解：被整除的有个，
被整除的有个，
被整除的有个
同时被和整除的有个，
同时被和整除的有个，
同时被和整除的有个
同时被和和整除的有个，
个
故答案为：28
【分析】本题要求计算1到100内不能被2、3、7中任何一个数整除的数的个数，需利用容斥原理来解决。首先计算能被2、3、7整除的数的总数，再用总数减去这些数的个数即可得到答案。
10．（2022六上·竞赛）在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？
【答案】解：故能被2整除的有：1998+2=999（个）。
能被2和3同时整除的有：[1998+（2×3）]=333（个）。
能被2和7同时整除的有：[1998+（2×7）]=142
能被2、3、7同时整除的有：[1998+（2×3×7）]=47（个）。
能被2整除，但不能被3或7整除的数有999-333-142+47 =571（个）
答：这样的数有571个。
【知识点】容斥原理；2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【解析】【分析】本题中，先求出能被2整除的数有多少个，再分别求出能被2和3、能被2和7分别整除的数的个数，那么用能被2整除的数的个数减去能被2和3整除的数的个数，再减去能被2和7整除的数的个数，最后再加上能同时被2、3、7整除的个数即为所求。
11．（2022六上·竞赛）50名同学面向老师站成一行。老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。问：现在面向老师的同学还有多少名？
【答案】解：50÷4=12……2
50÷6=8……2
4和6的倍数是12的倍数
50÷12=4……2
12+8-4=16（人）
50-16=34（人）
答：现在面向老师的同学还有34名。
【知识点】容斥原理
【解析】【分析】用50除以4，所得的商就是50以内是4的倍数的个数；用50除以6，所得的商就是50以内是6的倍数的个数；用100除以12，所得的商就是100以内是4和6的倍数的个数。所以，4或6的倍数的个数=50以内是4的倍数的个数+50以内是6的倍数的个数-50以内是4和6的倍数的个数，所以面向老师的同学的人数=50-4或6的倍数的个数。
12．（2021六上·市中期末）体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，60，然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有　 　人．
【答案】39
【知识点】倍数的特点及求法
【解析】【解答】解：第1次报数，4的倍数有：60÷4=15（个），那么背向老师的人数就是15人；
第2次报数，5的倍数有60÷5=12（个），此时就又有人面向老师，也就是4和5的公倍数，即20、40、60，那么此时背向老师的人数就是15+12-3-3=21人；
第3次报数，6的倍数有60÷6=10（个），这些数中只是6的倍数的数有6、18、42、54，一共4人，是4、6的公倍数有：12、24、36、48、60，是5、6的公倍数有：30、60，4、5和6的公倍数是60，所以此时背向老师的人数就是21+4-5-2+3=21人。
所以现在面向老师的学生有60-21=39人。
故答案为：39。
【分析】因为人数比较少，可以分3次进行考虑，即第1次报数后，4的倍数的学生背向老师；第2次报数后，除了只有5的倍数的学生背向老师，4和5的公倍数反而要面向老师；第3次报数后，除了只有6的倍数的学生背向老师，4和6的公倍数、5和6反而要面向老师，此间减去了2次4、5和6的公倍数，所以再加上3。故现在面向老师的学生=总人数-背向老师的人数。
13．（2022六上·竞赛）有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？
【答案】解：2000÷2=1000
2000÷3=666……2
2000÷5=400
2000÷（2×3）=333……2
2000÷（2×5）=200
2000÷（3×5）=133……5
2000÷（2×3×5）=66……20
只是2的倍数：1000-333-200+66=533（盏）
只是3的倍数：666-333-133+66=266（盏）
只是5的倍数：400-200-133+66=133（盏）
533+266+133=1002（盏）
2000-998=1002（盏）
答：亮着的灯有1002盏。
【知识点】容斥原理；2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【解析】【分析】三次拉完后，亮着的灯包括不是2、3、5的倍数的数以及是6、10、15的倍数但不是30的倍数的数，所以本题先求出2000以内2的倍数、3的倍数、5的倍数、6的倍数、10的倍数、15的倍数、30的倍数的个数，据此求出只是2的倍数、只是3的倍数、只是5的倍数的盏数，所以灭掉的灯的总数=只是2的倍数的盏数+只是3的倍数的盏数+只是5的倍数的盏数，所以三次拉完后，亮着的灯的盏数=一共有灯的盏数-灭掉的灯的总数。
14．2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，3，……，2006。将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下。拉完后这着的灯数为　 　盏。
【答案】1004
【知识点】容斥原理；2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【解析】【解答】解：(盏)，
，共668(盏)，
，共401(盏)．
同时被2、3整除的数有，共334(盏)；
同时被3、5整除的有，共133(盏)；
同时被2、5整除的数有，共200(盏)；
同时被2、3、5整除的数有，共66(盏)，
所以，只能同时被2、3、5中2个数整除的数的个数为(盏)，
不能被2、3、5整除的数的个数为(盏)．
所以，最后亮着的灯一共为(盏)．
故答案为：1004
【分析】灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的．这道题实际上是求1到2006中不能被2、3、5整除的数和只能同时被2、3、5中2个数整除的数的总个数．首先需要确定每盏灯被拉的次数，根据拉线开关的特性（每次拉灯会改变状态），初始为亮，拉奇数次后灯灭，偶数次后灯亮。因此，需要计算每个编号的灯被拉的次数，并根据奇偶性判断最终状态。最终答案为总次数为偶数的灯的数量。
15．写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？
【答案】59
【知识点】容斥原理；2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【解析】【解答】解：因为灯在开始的时候是亮着的，
所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的．
没拉的灯有(盏)，
拉两次的有(盏)，
最后亮着的灯一共为(盏)
故答案为：59
【分析】第一次操作是拉所有3的倍数的灯，第二次是拉所有5的倍数的灯。由于灯初始是亮着的，每次拉开关会改变状态（亮变灭，灭变亮）。因此，需要确定每盏灯被拉的次数，进而判断最终状态。
16．200名同学编为1至200号面向南站成一排．第1次全体同学向右转（转后所有的同学面朝西）；第2次编号为2 的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有　 　名．
【答案】8
【知识点】容斥原理；倍数的特点及求法
【解析】【解答】解：2x2=4 因数3个
3x3=9 因数3个
4x4=16 因数5个 不合要求
5x5=25 因数3个
6x6=36 因数9个 不合要求
7x7=49 因数3个
8x8=64 因数7个
9x9=81 因数5个 不合要求
10x10=100 因数9个 不合要求
11x11=121 因数3个
12x12=144 因数27个
13x13=169 因数3个
14x14=196 因数9个不合要求
故最后面向东的有8名同学
故答案为：8
【分析】只有约数个数被除余的数，最后面向东．约数个数为的数有、、、、、，共个数．约数个数为的数有，个，约数个数为的数有，个，一共有个满足条件的编号．
17．下编号是1、2、3、……36号的36名学生按编号顺序面向里站成一圈. 第一次，编号是1的同学向后转，第二次，编号是2、3的同学向后转，第三次，编号是4、5、6的同学向后转，……，第36次，全体同学向后转.这时，面向里的同学还有　 　名.
【答案】18
【知识点】容斥原理
【解析】【解答】解：1+2+3+..+35=630(名).
630÷36=17(次)......18(名).
这时，面向里的同学还有18名第36次，全体同学向后转，这时，面向里的同学仍然是18名.
故答案为：18
【分析】根据题意可知：第1次向后转1个人，第2次向后转2个人，第3次向后转3个人……第35次向后转35个人.这时，向后转的同学总数为：1+2+3+..+35=630(名)可是，学生只有36名，所以630÷36=17……18.这说明每个学生向后转了17次后，各有18名同学面向里、面向外.
18．在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：
①标签号为2的倍数，奖2支铅笔；
②标签号为3的倍数，奖3支铅笔；
③标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；
④其他标签号均奖1支铅笔．
那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支
【答案】解：1～100，2的倍数有=50，3的倍数有=33个，
因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一定是6的倍数，
所以标签为这样的数有=16个．
既不是2的倍数，又不是3的倍数的数在1～100中有100-50-33+16=33．
50×2+33×3+33×1=232支
答： 游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有232支
【知识点】容斥原理；2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【解析】【分析】首先，根据奖券标签号的倍数关系，分别计算不同条件下的奖品数量。由于标签号同时是2和3的倍数时可以重复领奖，因此需要分别计算2的倍数、3的倍数以及两者的交集（即6的倍数）对应的奖品数量，最后再计算其他标签号的奖品数量，将所有结果相加得到总奖品数。
19．在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成　 　段.
【答案】28
【知识点】容斥原理；锯木头段数问题
【解析】【解答】解：10，12，15的最小公倍数是60，
设木棍60厘米，60÷10=6(厘米)，60÷12=5(厘米)60÷15=4(厘米)，
10等分的为第一种刻度线，共10-1=9(条)，
12等分的为第二种刻度线，共12-1=11(条)
15等分的为第三种刻度线，过15-1=14(条)，
第一种与第二种刻度线重合的条数：6和5的最小公倍数是
30，60-30-1=2-1=1(条)，
第一种与第三种刻度线重合的条数：6和4的最小公倍数是12，60÷12-1=5-1=4(条)，
第二种与第三种刻度线重合的条数：5和4的最小公倍数是20，60÷20-1=3-1=2(条)，
三种刻度线重合的没有，6、5和4的最小公倍数是60，
因此，共有刻度线9+11+14-1-4-2=27(条)，
木棍总共被锯成27+1=28(段)；
答：木棍总共被锯成28段.
故答案为：28
【分析】很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数，若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线，在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，所以按容斥原理的方法来解决此问题
20．一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出　 　段．
【答案】75
【知识点】容斥原理；2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【解析】【解答】解：木棒上的刻度数，相当于1、2、3、…、100、101这101个自然数中2或3或5的倍数的个数，为：
，
故木棒上共有74个刻度，可以截出75段．
故答案为：75
【分析】先计算各刻度单独的刻度数，并利用容斥原理排除重复刻度，最终确定截断后的段数。
21．一根米长的木棍，从左端开始每隔2厘米画一个刻度，涂完后再从左端开始每隔3厘米画一个刻度，再从左端每隔5厘米画一个刻度，再从左端每隔7厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？
【答案】139
【知识点】容斥原理；整除的性质及应用
【解析】【解答】解：分别计算出180以内能被2、3、5、7整除的数的个数：
180 ÷ 2 = 90 个。
180 ÷ 3 = 60 个。
180 ÷ 5 = 36 个。
180 ÷ 7 ≈ 25 个。
能同时被2和3整除的数的个数为： 180 ÷ ( 2 × 3 ) = 30 个。
能同时被2和5整除的数的个数为： 180 ÷ ( 2 × 5 ) = 18 个。
能同时被2和7整除的数的个数为： 180 ÷ ( 2 × 7 ) ≈ 12 个。
能同时被3和5整除的数的个数为： 180 ÷ ( 3 × 5 ) = 12 个。
能同时被3和7整除的数的个数为： 180 ÷ ( 3 × 7 ) ≈ 8 个。
能同时被5和7整除的数的个数为： 180 ÷ ( 5 × 7 ) ≈ 5 个。
能同时被2、3和5整除的数的个数为： 180 ÷ ( 2 × 3 × 5 ) = 6 个。
能同时被2、3和7整除的数的个数为： 180 ÷ ( 2 × 3 × 7 ) ≈ 4 个。
能同时被2、5和7整除的数的个数为： 180 ÷ ( 2 × 5 × 7 ) ≈ 2 个。
能同时被3、5和7整除的数的个数为： 180 ÷ ( 3 × 5 × 7 ) ≈ 1 个。
180以内能同时被2、3、5和7整除的数的个数为0。
90+60+36+25 (30+18+12+12+8+5)+(6+4+2+1) 0=139 段小木棍。
故答案为：139
【分析】首先分别计算每种刻度单独截断的段数，再通过容斥原理减去重复的交点，最后得到总段数。
22．在循环小数中类似于，等，循环节是从小数点右边的第一位（即十分位）就开始的小数，叫做纯循环小数，包括和在内，共有　 　个正整数，其倒数是循环节恰好为六位的纯循环小数。
【答案】53
【知识点】容斥原理；循环小数的认识
【解析】【解答】解：
故答案为：53
【分析】根据循环节恰好为六位的纯循环小数，即这些小数可以表示为的形式。需找出能够约分后分子是1的分数的分母，即找出999999的因数，并排除9、99和999的因数，最后应用容斥原理求解. 根据容斥原理，999999=33×7×11×13×37的约数有4×24=64个，999=33×37的约数有4×2=8个，99=32×11的约数有3×2=6个，9=3×3的约数有3个， 所求的n的个数为（个）。
1 / 1[板块专题题库7-7-4]容斥原理之数论问题
一、容斥原理之数论问题
1．（2022六上·竞赛）在的全部自然数中，不是的倍数也不是的倍数的数有多少个？
2．（2022六上·竞赛）在自然数中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？
3．（2022六上·竞赛）在前个自然数中，能被或整除的数有多少个？
4．（2022六上·竞赛）在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个？
5．（2022六上·竞赛）求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。
6．（2022六上·竞赛）以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？
7．（2022六上·竞赛）分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和。
8．（2022六上·竞赛）在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有　 　个。
9．求1到100内有　 　个数不能被2、3、7中的任何一个整除。
10．（2022六上·竞赛）在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？
11．（2022六上·竞赛）50名同学面向老师站成一行。老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。问：现在面向老师的同学还有多少名？
12．（2021六上·市中期末）体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，60，然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有　 　人．
13．（2022六上·竞赛）有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？
14．2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，3，……，2006。将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下。拉完后这着的灯数为　 　盏。
15．写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？
16．200名同学编为1至200号面向南站成一排．第1次全体同学向右转（转后所有的同学面朝西）；第2次编号为2 的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有　 　名．
17．下编号是1、2、3、……36号的36名学生按编号顺序面向里站成一圈. 第一次，编号是1的同学向后转，第二次，编号是2、3的同学向后转，第三次，编号是4、5、6的同学向后转，……，第36次，全体同学向后转.这时，面向里的同学还有　 　名.
18．在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：
①标签号为2的倍数，奖2支铅笔；
②标签号为3的倍数，奖3支铅笔；
③标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；
④其他标签号均奖1支铅笔．
那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支
19．在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成　 　段.
20．一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出　 　段．
21．一根米长的木棍，从左端开始每隔2厘米画一个刻度，涂完后再从左端开始每隔3厘米画一个刻度，再从左端每隔5厘米画一个刻度，再从左端每隔7厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？
22．在循环小数中类似于，等，循环节是从小数点右边的第一位（即十分位）就开始的小数，叫做纯循环小数，包括和在内，共有　 　个正整数，其倒数是循环节恰好为六位的纯循环小数。
答案解析部分
1．【答案】解：100÷3=33……1
100÷5=20
100÷（3×5）=6……10
33+20-6
=53-6
=47（个）
100-47=53（个）
答：不是3的倍数也不是5的倍数的数有53个。
如图，
用长方形表示 的全部自然数， 圆表示 中 的倍数， 圆表示 中 的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是 的倍数也不是 的倍数的数。
由 可知， 中 的倍数有 个；由 可知， 中 的倍数有 个；由 可知， 既是 的倍数又是 的倍数的数有 个。
由包含排除法， 或 的倍数有： （个）。从而不是 的倍数也不是 的倍数的数有 （个）。
【知识点】容斥原理
【解析】【分析】用100除以3，所得的商就是100以内是3的倍数的个数；用100除以5，所得的商就是100以内是5的倍数的个数；用100除以（3×5），所得的商就是100以内是3和5的倍数的个数。所以，3或5的倍数的个数=100以内是3的倍数的个数+100以内是5的倍数的个数-100以内是3和5的倍数的个数，故不是3的倍数也不是5的倍数的个数=100-3或5的倍数的个数。
2．【答案】解：解：100÷3=33……1
100÷5=20，
100÷（3×5）=6……10
33+20-6=47（个）
答：能被3或5中任一个整除的数有47个。
【知识点】容斥原理；2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【解析】【分析】本题先求出100中能被3整数的数的个数、能被5整数的数的个数和能被15整数的数的个数，那么能被3或5中任一个整除的数的个数=能被3整数的数的个数+能被5整数的数的个数-能被15整数的数的个数，据此作答即可。
3．【答案】解：100÷2=50
100÷3=33……1
100÷（2×3）=16……4
50+33-16=67（个）
答：能被2或3整除的数有67个。
如图所示，
圆内是前 个自然数中所有能被 整除的数， 圆内是前 个自然数中所有能被 整除的数， 为前 个自然数中既能被 整除也能被 整除的数。
前 个自然数中能被 整除的数有： （个）。由 知，前 个自然数中能被 整除的数有： 个。由 知，前 个自然数中既能被 整除也能被 整除的数有 个。
所以 中有 个数， 中有 个数， 中有 个数。因为 ， 都包含 ，根据包含排除法得到，能被 或 整除的数有： （个）。
【知识点】容斥原理；2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【解析】【分析】本题先求出100以内能被2整除的数的个数、能被3整除的数的个数和能被6整除的数的个数，那么能被2或3整除的个数=被2整除的数的个数+能被3整除的数的个数-能被6整除的数的个数，据此代入数值作答即可。
4．【答案】解：1000÷5=200
1000÷7=142……6
1000÷（5×7）=28……20
200+142-28=314（个）
1000-314=686（个）
答：既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有686个。
【知识点】容斥原理
【解析】【分析】用1000除以5，所得的商就是1000以内是5的倍数的个数；用1000除以7，所得的商就是1000以内是7的倍数的个数；用100除以（5×7），所得的商就是100以内是5和7的倍数的个数。所以，5或7的倍数的个数=100以内是5的倍数的个数+100以内是7的倍数的个数-100以内是5和7的倍数的个数，故不是5的倍数也不是7的倍数的个数=1000-5或7的倍数的个数。
5．【答案】解：100÷3=33……1
100÷7=14……2
100÷（3×7）=4……16
33+14-4=43（个）
答：在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数是43个。
【知识点】容斥原理
【解析】【分析】用100除以3，所得的商就是100以内是3的倍数的个数；用100除以7，所得的商就是100以内是7的倍数的个数；用100除以（3×7），所得的商就是100以内是3和7的倍数的个数。所以，3或7的倍数的个数=100以内是3的倍数的个数+100以内是7的倍数的个数-100以内是3和7的倍数的个数。
6．【答案】解：105=3×5×7（个）
105÷3=35（个）
105÷5=21（个）
105÷7=15（个）
105÷（3×5）=7（个）
105÷（3×7）=5（个）
105÷（5×7）=3（个）
105÷（3×5×7）=1（个）
105-35-21-15+7+5+3-1=48（个）
48÷2=24
答：以105为分母的最简真分数共有48个，它们的和为24。
【知识点】容斥原理
【解析】【分析】以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n与105互质，那么（105-n）与n互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24。
7．【答案】解：385=5×7×11
385÷5=77
385÷7=55
385÷11=35
385÷（5×7）=11
385÷（5×11）=7
385÷（7×11）=5
385÷（5×7×11）=1
385-77-55-35+5+11+7-1=240（个）
240÷2=120
答：分母是385的最简真分数有240个，这些真分数的和是120。
【知识点】容斥原理；真分数、假分数的含义与特征；最简分数的特征
【解析】【分析】385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240。对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120。
8．【答案】228
【知识点】容斥原理；2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【解析】【解答】解：1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有 个，3和7的倍数有 个，5和7的倍数有 个，3、5和7的倍数有 个。所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有（133-19）+（95-19）+（57-19）=228个。
故答案为：228。
【分析】从1开始到n这n个自然数中，求几个数的倍数，就是用n除以这几个数的最小公倍数，所以本题中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的个数=（3和5的倍数的个数-3、5和7的倍数）+（3和7的倍数的个数-3、5和7的倍数）+（5和7的倍数的个数-3、5和7的倍数），据此作答即可。
9．【答案】28
【知识点】容斥原理；整除的性质及应用
【解析】【解答】解：被整除的有个，
被整除的有个，
被整除的有个
同时被和整除的有个，
同时被和整除的有个，
同时被和整除的有个
同时被和和整除的有个，
个
故答案为：28
【分析】本题要求计算1到100内不能被2、3、7中任何一个数整除的数的个数，需利用容斥原理来解决。首先计算能被2、3、7整除的数的总数，再用总数减去这些数的个数即可得到答案。
10．【答案】解：故能被2整除的有：1998+2=999（个）。
能被2和3同时整除的有：[1998+（2×3）]=333（个）。
能被2和7同时整除的有：[1998+（2×7）]=142
能被2、3、7同时整除的有：[1998+（2×3×7）]=47（个）。
能被2整除，但不能被3或7整除的数有999-333-142+47 =571（个）
答：这样的数有571个。
【知识点】容斥原理；2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【解析】【分析】本题中，先求出能被2整除的数有多少个，再分别求出能被2和3、能被2和7分别整除的数的个数，那么用能被2整除的数的个数减去能被2和3整除的数的个数，再减去能被2和7整除的数的个数，最后再加上能同时被2、3、7整除的个数即为所求。
11．【答案】解：50÷4=12……2
50÷6=8……2
4和6的倍数是12的倍数
50÷12=4……2
12+8-4=16（人）
50-16=34（人）
答：现在面向老师的同学还有34名。
【知识点】容斥原理
【解析】【分析】用50除以4，所得的商就是50以内是4的倍数的个数；用50除以6，所得的商就是50以内是6的倍数的个数；用100除以12，所得的商就是100以内是4和6的倍数的个数。所以，4或6的倍数的个数=50以内是4的倍数的个数+50以内是6的倍数的个数-50以内是4和6的倍数的个数，所以面向老师的同学的人数=50-4或6的倍数的个数。
12．【答案】39
【知识点】倍数的特点及求法
【解析】【解答】解：第1次报数，4的倍数有：60÷4=15（个），那么背向老师的人数就是15人；
第2次报数，5的倍数有60÷5=12（个），此时就又有人面向老师，也就是4和5的公倍数，即20、40、60，那么此时背向老师的人数就是15+12-3-3=21人；
第3次报数，6的倍数有60÷6=10（个），这些数中只是6的倍数的数有6、18、42、54，一共4人，是4、6的公倍数有：12、24、36、48、60，是5、6的公倍数有：30、60，4、5和6的公倍数是60，所以此时背向老师的人数就是21+4-5-2+3=21人。
所以现在面向老师的学生有60-21=39人。
故答案为：39。
【分析】因为人数比较少，可以分3次进行考虑，即第1次报数后，4的倍数的学生背向老师；第2次报数后，除了只有5的倍数的学生背向老师，4和5的公倍数反而要面向老师；第3次报数后，除了只有6的倍数的学生背向老师，4和6的公倍数、5和6反而要面向老师，此间减去了2次4、5和6的公倍数，所以再加上3。故现在面向老师的学生=总人数-背向老师的人数。
13．【答案】解：2000÷2=1000
2000÷3=666……2
2000÷5=400
2000÷（2×3）=333……2
2000÷（2×5）=200
2000÷（3×5）=133……5
2000÷（2×3×5）=66……20
只是2的倍数：1000-333-200+66=533（盏）
只是3的倍数：666-333-133+66=266（盏）
只是5的倍数：400-200-133+66=133（盏）
533+266+133=1002（盏）
2000-998=1002（盏）
答：亮着的灯有1002盏。
【知识点】容斥原理；2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【解析】【分析】三次拉完后，亮着的灯包括不是2、3、5的倍数的数以及是6、10、15的倍数但不是30的倍数的数，所以本题先求出2000以内2的倍数、3的倍数、5的倍数、6的倍数、10的倍数、15的倍数、30的倍数的个数，据此求出只是2的倍数、只是3的倍数、只是5的倍数的盏数，所以灭掉的灯的总数=只是2的倍数的盏数+只是3的倍数的盏数+只是5的倍数的盏数，所以三次拉完后，亮着的灯的盏数=一共有灯的盏数-灭掉的灯的总数。
14．【答案】1004
【知识点】容斥原理；2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【解析】【解答】解：(盏)，
，共668(盏)，
，共401(盏)．
同时被2、3整除的数有，共334(盏)；
同时被3、5整除的有，共133(盏)；
同时被2、5整除的数有，共200(盏)；
同时被2、3、5整除的数有，共66(盏)，
所以，只能同时被2、3、5中2个数整除的数的个数为(盏)，
不能被2、3、5整除的数的个数为(盏)．
所以，最后亮着的灯一共为(盏)．
故答案为：1004
【分析】灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的．这道题实际上是求1到2006中不能被2、3、5整除的数和只能同时被2、3、5中2个数整除的数的总个数．首先需要确定每盏灯被拉的次数，根据拉线开关的特性（每次拉灯会改变状态），初始为亮，拉奇数次后灯灭，偶数次后灯亮。因此，需要计算每个编号的灯被拉的次数，并根据奇偶性判断最终状态。最终答案为总次数为偶数的灯的数量。
15．【答案】59
【知识点】容斥原理；2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【解析】【解答】解：因为灯在开始的时候是亮着的，
所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的．
没拉的灯有(盏)，
拉两次的有(盏)，
最后亮着的灯一共为(盏)
故答案为：59
【分析】第一次操作是拉所有3的倍数的灯，第二次是拉所有5的倍数的灯。由于灯初始是亮着的，每次拉开关会改变状态（亮变灭，灭变亮）。因此，需要确定每盏灯被拉的次数，进而判断最终状态。
16．【答案】8
【知识点】容斥原理；倍数的特点及求法
【解析】【解答】解：2x2=4 因数3个
3x3=9 因数3个
4x4=16 因数5个 不合要求
5x5=25 因数3个
6x6=36 因数9个 不合要求
7x7=49 因数3个
8x8=64 因数7个
9x9=81 因数5个 不合要求
10x10=100 因数9个 不合要求
11x11=121 因数3个
12x12=144 因数27个
13x13=169 因数3个
14x14=196 因数9个不合要求
故最后面向东的有8名同学
故答案为：8
【分析】只有约数个数被除余的数，最后面向东．约数个数为的数有、、、、、，共个数．约数个数为的数有，个，约数个数为的数有，个，一共有个满足条件的编号．
17．【答案】18
【知识点】容斥原理
【解析】【解答】解：1+2+3+..+35=630(名).
630÷36=17(次)......18(名).
这时，面向里的同学还有18名第36次，全体同学向后转，这时，面向里的同学仍然是18名.
故答案为：18
【分析】根据题意可知：第1次向后转1个人，第2次向后转2个人，第3次向后转3个人……第35次向后转35个人.这时，向后转的同学总数为：1+2+3+..+35=630(名)可是，学生只有36名，所以630÷36=17……18.这说明每个学生向后转了17次后，各有18名同学面向里、面向外.
18．【答案】解：1～100，2的倍数有=50，3的倍数有=33个，
因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一定是6的倍数，
所以标签为这样的数有=16个．
既不是2的倍数，又不是3的倍数的数在1～100中有100-50-33+16=33．
50×2+33×3+33×1=232支
答： 游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有232支
【知识点】容斥原理；2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【解析】【分析】首先，根据奖券标签号的倍数关系，分别计算不同条件下的奖品数量。由于标签号同时是2和3的倍数时可以重复领奖，因此需要分别计算2的倍数、3的倍数以及两者的交集（即6的倍数）对应的奖品数量，最后再计算其他标签号的奖品数量，将所有结果相加得到总奖品数。
19．【答案】28
【知识点】容斥原理；锯木头段数问题
【解析】【解答】解：10，12，15的最小公倍数是60，
设木棍60厘米，60÷10=6(厘米)，60÷12=5(厘米)60÷15=4(厘米)，
10等分的为第一种刻度线，共10-1=9(条)，
12等分的为第二种刻度线，共12-1=11(条)
15等分的为第三种刻度线，过15-1=14(条)，
第一种与第二种刻度线重合的条数：6和5的最小公倍数是
30，60-30-1=2-1=1(条)，
第一种与第三种刻度线重合的条数：6和4的最小公倍数是12，60÷12-1=5-1=4(条)，
第二种与第三种刻度线重合的条数：5和4的最小公倍数是20，60÷20-1=3-1=2(条)，
三种刻度线重合的没有，6、5和4的最小公倍数是60，
因此，共有刻度线9+11+14-1-4-2=27(条)，
木棍总共被锯成27+1=28(段)；
答：木棍总共被锯成28段.
故答案为：28
【分析】很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数，若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线，在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，所以按容斥原理的方法来解决此问题
20．【答案】75
【知识点】容斥原理；2、5的倍数的特征；3的倍数的特征
【解析】【解答】解：木棒上的刻度数，相当于1、2、3、…、100、101这101个自然数中2或3或5的倍数的个数，为：
，
故木棒上共有74个刻度，可以截出75段．
故答案为：75
【分析】先计算各刻度单独的刻度数，并利用容斥原理排除重复刻度，最终确定截断后的段数。
21．【答案】139
【知识点】容斥原理；整除的性质及应用
【解析】【解答】解：分别计算出180以内能被2、3、5、7整除的数的个数：
180 ÷ 2 = 90 个。
180 ÷ 3 = 60 个。
180 ÷ 5 = 36 个。
180 ÷ 7 ≈ 25 个。
能同时被2和3整除的数的个数为： 180 ÷ ( 2 × 3 ) = 30 个。
能同时被2和5整除的数的个数为： 180 ÷ ( 2 × 5 ) = 18 个。
能同时被2和7整除的数的个数为： 180 ÷ ( 2 × 7 ) ≈ 12 个。
能同时被3和5整除的数的个数为： 180 ÷ ( 3 × 5 ) = 12 个。
能同时被3和7整除的数的个数为： 180 ÷ ( 3 × 7 ) ≈ 8 个。
能同时被5和7整除的数的个数为： 180 ÷ ( 5 × 7 ) ≈ 5 个。
能同时被2、3和5整除的数的个数为： 180 ÷ ( 2 × 3 × 5 ) = 6 个。
能同时被2、3和7整除的数的个数为： 180 ÷ ( 2 × 3 × 7 ) ≈ 4 个。
能同时被2、5和7整除的数的个数为： 180 ÷ ( 2 × 5 × 7 ) ≈ 2 个。
能同时被3、5和7整除的数的个数为： 180 ÷ ( 3 × 5 × 7 ) ≈ 1 个。
180以内能同时被2、3、5和7整除的数的个数为0。
90+60+36+25 (30+18+12+12+8+5)+(6+4+2+1) 0=139 段小木棍。
故答案为：139
【分析】首先分别计算每种刻度单独截断的段数，再通过容斥原理减去重复的交点，最后得到总段数。
22．【答案】53
【知识点】容斥原理；循环小数的认识
【解析】【解答】解：
故答案为：53
【分析】根据循环节恰好为六位的纯循环小数，即这些小数可以表示为的形式。需找出能够约分后分子是1的分数的分母，即找出999999的因数，并排除9、99和999的因数，最后应用容斥原理求解. 根据容斥原理，999999=33×7×11×13×37的约数有4×24=64个，999=33×37的约数有4×2=8个，99=32×11的约数有3×2=6个，9=3×3的约数有3个， 所求的n的个数为（个）。
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