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2025年葫芦岛市连山区中考模拟数学试卷测试（二）
（本试卷共23道题，满分120分，考试时间120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各数在数轴上对应的点，离原点最近的是（　　）
A. B. C. D. 2
2. 鲁班锁是我国古代传统建筑固定结合器，也是广泛流传的益智玩具．如图是鲁班锁中的一个部件，它从前面看，得到的图形是（　　）
A. B.
C D.
3. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列计算正确是（ ）
A. B. C. D.
6. 在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（ ）
A. 15个 B. 14个 C. 13个 D. 12个
7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，，与交于点O，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图是小强散步过程中所走的路程（单位：）与步行时间（单位：）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（ ）
A. B. C. D.
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题；每小题3分，共15分）
11. 因式分解：______．
12. 如图，，两点的坐标分别为，，线段绕原点按顺时针方向旋转后，点的对应点是点，则点的对应点的坐标是__________．
13. 如图，在中，，以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；作射线，交于点E，交延长线于点F，则______．
14. 如图，的顶点在反比例函数的图像上，顶点在轴上，交轴于点，若，则的值为_____．
15. 如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为______．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
17. 在长为米的书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚厘米，每本语文书厚厘米．
（1）若数学书和语文书共本恰好摆满该书架，问数学书和语文书各有多少本？
（2）若书架上已摆放了本数学书，那么最多还可以摆多少本语文书？
18. 某中学组织七、八年级学生开展“航空航天”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校从七、八年级各抽取40名学生的成绩进行整理，绘制成如下统计表和统计图（条形统计图不完整）．
年级 平均数 中位数 众数
七年级 a分 b分 9分
八年级 8.8分 9分 c分
（1）根据以上信息填空：______，______，______．
（2）把条形统计图补充完整．
（3）若规定不低于9分的成绩为优秀，小红根据统计结果判断八年级成绩优秀的人数一定多于七年级成绩优秀的人数，你觉得小红的判断正确吗？请说明理由．
19. 研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况（该基地只种植一种蔬菜），并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的每天销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，每天销售量为1800千克；销售单价为15元时，每天销售量为1500千克．
任务一：建立函数模型
（1）求出与的函数关系式：
任务二：设计销售方案
（2）市场监督管理部门规定，该蔬菜销售单价不得超过每千克19元，据了解该蔬菜基地每天其他正常开支总计1000元，请帮助蔬菜基地设计：该蔬菜的销售单价应定为多少元时，每天的纯利润最大，最大纯利润为多少元？（注：每天的纯利润每天销售利润其他开支）
20. 根据以下材料，完成项目任务：
项目 测量光线入射点的距离及水池的深度
测量工具 测角仪、皮尺等
测量 光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角．为法线．入射光线和折射光线，及法线都在同一平面内，点到直线的距离为3米．
参考数据 ，，，，，，
项目任务
任务一 （1）求的长；（结果保留根号）
任务二 （2）若米，求水池的深（精确到0.01米）．
21. 如图，在菱形中，以直径作与交于点E，在上取一点F，使，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求的长．
22. 【问题初探】
（1）在数学活动课上，王老师提出如下问题：如图1，在正方形中，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，求的度数：
①小明同学给出的解题思路是：如图2，在上截取，连接，……；
②小亮同学给出如下解题思路是：如图3，过点F作，交的延长线于点H，……：
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程：
【类比分析】
（2）王老师发现两名同学都是根据图形的特点运用了构造全等的方法，体现了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，王老师提出了下面的问题，请你解答．如图4，在菱形中，，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，作射线交的延长线于点G．求证：；
【拓展延伸】
（3）如图5，在（2）的条件下，连接交于点M，若，，求的长．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若为某个矩形的两个顶点，且该矩形的一组对边与某条坐标轴平行，则称该矩形为点的“对角矩形”．
（1）如图2，点的坐标为．
①若点的坐标为，则点的“对角矩形”的周长为______；
②直线与轴交于点，与轴交于点，在线段上存在点，使点的“对角矩形”为正方形，请求出点的坐标；
（2）如图3，点的坐标为，点是函数图象上一点，且横坐标为，若点的“对角矩形”面积为，求的值；
（3）已知，点是抛物线上的点．
①当时，且点在第一象限，若点的“对角矩形”的周长为，求点的坐标；
②若是在之间的最高点，设点的“对角矩形”的面积为，当时，直接写出的取值范围．
2025年葫芦岛市连山区中考模拟数学试卷测试（二）
（本试卷共23道题，满分120分，考试时间120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】A
【10题答案】
【答案】D
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题；每小题3分，共15分）
【11题答案】
【答案】##
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】##0.25
【14题答案】
【答案】3
【15题答案】
【答案】或
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（1）解：
；
（2）解：
．
17．（1）解：设书架上数学书有本，语文书有本，
由题意得：，
解得，
答：数学书有本，语文书有本．
（2）解：设再摆本语文书，
根据题意得：，
解得：，
答：最多还可以摆本语文书．
18．（1）解：七年级A等级人数人，
B等级人数人，
C等级人数人，
D等级人数人，
∴；
将七年级竞赛成绩从低到高排列，中位数位于第两个同学成绩的平均数，
∵，
∴；
八年级C等级人数人，
B等级出现的人数最多，故众数为9分，即；
（2）解：补全图形如下：
（3）解：小红的判断不正确
理由：由样本知，七年级优秀率为，八年级优秀率为，
用样本估计总体，八年级优秀率高于七年级优秀率，但各年级的总人数不确定，就不能断定优秀人数的多少，所以八年级成绩优秀的人数“可能”多于七年级，但不能断定八年级“一定”多于七年级，所以小红的判断不正确．
19．解：（1）设与的函数关系式为，
将点代入，
可得，
解得，
；
（2）设每天的纯利润为元，根据题意，可得：
，
，
该函数图象开口向下，
对称轴为，
∴当时，随的增大而增大，
，
∴当时，取最大值，元，
答：这种蔬菜的销售单价应定为19元时，每天的纯利润最大，最大纯利润为8900元．
20．解：任务一：作，交的延长线于点F，则，
∴，，
∵，，
∴，，
∵米，
∴（米），（米），
∴（米），
即的长为米；
任务二：设水池的深为x米，则米，
由题意可知：，，米，
∴（米），（米），
∵，
∴，
解得，
即水池的深约为2.44米．
21．（1）证明：连接，，
∵是的直径，
，
∵四边形为菱形，
∴平分，
．
，
∵四边形为菱形，
，
，
，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：由（1）知：，
，
，
．
∵四边形为菱形，
，
设，则，
，
．
∴．
∵四边形为菱形，
，
，
．
22．（1）解：小明解题思路：如图，在上截取，使得，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
小亮解题思路：如图，过点F作交的延长线于点H，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，使得，连接，
∵四边形是菱形，，
，
，
，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
，
∵四边形是菱形，
，
，
在中，
，
，
；
（3）解：∵四边形是菱形，，
，，
，
，
由（2）知，，
，，
，
，
∴，
在上截取，使得，连接，过点B作，垂足为H，
由（2）知，
，
，
，
，
．
23．（1）解：①根据题意，如图所示，矩形是点的“对角矩形”，
∵，
∴，
∴周长为；
②直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，当时，，则，
∴，
如图所示，四边形是点的“对角矩形”为正方形，则，
设，则，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
∴；
（2）解：点是函数图象上一点，且横坐标为，
∴，
如图所示，矩形是点的“对角矩形”，
∴，
∴，
∴，整理得，，
解得，，
∴的值为或；
（3）解：①当时，抛物线解析式为，
当时，，当时，，
解得，，
∵点是抛物线图象上，且在第一象限，
∴设，
如图所示，矩形是点的“对角矩形”，
∴，
∴，
∴，整理得，，
解得，，
∴，
∴；
②抛物线，
∵，
∴图象开口向下，对称轴直线为，
第一种情况：当时，在中，时函数有最大值，即，
∴，
∴，
当时，，
∴或，
解得，或或或，
∵，
∴或，
当时，，
∴或，
解得，或或或，
∵，
∴或，
∴或；
第二情况：当时，抛物线对称轴直线为，
∴，
∴此时的顶点坐标为，
∴，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴或，
整理得，或，
∵，
∴无解，
解方程得，（舍去）或，
∴
当时，
∴或，
整理得，（无解）或，
解得，（舍去）或，
∴；
第三种情况：当时，时，函数有最大值，此时点与点在平行于轴的直线上，不符合题意，舍去；
综上所述，的取值范围或或．

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