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湖南省邵阳市邵东市2024年中考数学三模试卷
1．（2024·邵东模拟）-2024的倒数是（　　）
A．-2024 B． C． D．2024
2．（2024·邵东模拟）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024·邵东模拟）芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·邵东模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024·邵东模拟）“非学无以广才”，意为不学习就难以增长才干，出自诸葛亮《诫子书》．将“非学无以广才”六个字分别写在一个正方体的六个面上，展开图如图所示，那么正方体中和“学”相对的字是（　　）
A．无 B．以 C．广 D．才
6．（2024·邵东模拟）如图，已知∠1 = 40°，∠2=40°，∠3 = 140°，则∠4的度数等于（　　）
A．40° B．36° C．44° D．100°
7．（2024·邵东模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有鸡鬼同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何 ”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上更数共有35个头，下面数共有九十四只脚，问鸡兔各有几只 如果设鸡有只、兔有只，则列出正确的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024·邵东模拟）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（　　）
A．-2023 B．2023 C．-2024 D．2024
9．（2024·邵东模拟）下列说法正确的是（　　）
A．为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式
B．一组数据“1，2，2，5，5，3”的众数和平均数都是3
C．若甲、乙两组数据的方差分别是0.09，0.1，则乙组数据比甲组数据更稳定
D．“明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨
10．（2024·邵东模拟）如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：
①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别与AB，BC交于M，N两点；
②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点，作射线BD，BD与AC交于点E；
③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段PQ，PQ与BC于点F；
④连接EF，若，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024·邵东模拟）分解因式：　 　．
12．（2024·邵东模拟）若为正整数，要使有意义，则　 　（写出1个即可）．
13．（2024·邵东模拟）点在反比例函数的图象上，则的值为　 　．
14．（2024·邵东模拟）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《孟子》的概率是　 　．
15．（2024·邵东模拟）如图，为的直径，弦，垂足为，连接，，，则的半径为　 　．
16．（2024·邵东模拟） 已知关于x的分式方程的解为非负数，则k的取值范围为　 　．
17．（2024·邵东模拟）如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若，，则这个圆锥的侧面积为　 　（结果保留）．
18．（2024·邵东模拟）如图，点是正方形ABCD边BC上一动点，（点E不与点B、C重合），连接DE，过点作交CD于，垂足为，连接PC，已知正方形的边长为2，则PC的最小值为　 　．
19．（2024·邵东模拟）计算：．
20．（2024·邵东模拟）分式的化简求值：
，再从四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
21．（2024·邵东模拟）每年的8月8日是“全民健身日”，全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，以青少年和儿童为重点．为了解某校初三年级学生对健身知识的掌握情况，随机抽取了50名学生进行问卷调查，称将他们的成绩进行整理得到下列不完整的统计图表．
组别 分数段 频数 频率
A 6
B 12
C 18
D n
请根据所给信息，解答以下问题：
（1）填空：　 　；
（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
（3）若把等级定为“优秀”等级，等级定为“良好”等级，请你估计该校初三年级800名学生中达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人
22．（2024·邵东模拟）随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少
（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少
23．（2024·邵东模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点，过点作，且，连接CE.
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）连接AE．若，求菱形ABCD的面积.
24．（2024·邵东模拟）华为手机自带AR测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法.如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者AB与浮雕像CD垂直于地面BE，若手机显示，，求浮雕像CD的高度.（结果精确到0.1，参考数据sin53°）
25．（2024·邵东模拟）如图，已知点是以AB为直径的上一点，于点，过点作的切线交直线AC于点，点为CH的中点，连接AE并延长交BD于点，直线CF交AB的延长线于．
（1）求证：；
（2）求证：CG是的切线：
（3）若，求的半径．
26．（2024·邵东模拟）有一组邻边相等的凸四边形叫做“乐学四边形”，如菱形，正方形等都是“乐学四边形”，这一组相等的邻边叫做“善思线段”．拋物线与轴交于A、B两点（点A在点的左侧），与轴交于点，拋物线的顶点为点．
（1）当，请判断四边形COBD是否为“乐学四边形”，如果是，请说明理由并指出“善思线段”，如果不是，请说明理由.
（2）在第（1）问的条件下，试探究在第一象限内，抛物线上是否存在一点E使得，若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
（3）四边形COBD为“乐学四边形”，且．抛物线还满足：
①；
②为等腰直角三角形；
点是抛物线上任意一点，且．若恒成立，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：非零实数a的倒数为，故2024的倒数为.
故答案为：B.
【分析】直接根据非零a的倒数为得到结果即可.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义逐项判断即可。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000000007 =7×.
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法，将较小的数化为a×()的形式，即可得结果.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对A选项，，故A错误；
对B选项，，故B错误；
对C选项，，故C错误；
对D选项，，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的乘方、同底数幂的除法、积的乘方规则依次进行判断即可得结果.
5．【答案】C
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：以“无”字为底面 ，将正方形折起，“学”与“广”相对.
故答案为：C.
【分析】以“无”字为底面，将正方体的展开图还原，即可得“学”与“广”字相对.
6．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1＝40°，∠2＝40°，
∴∠1＝∠2，
∴PQMN，
∴∠4＝180°-∠3＝40°.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可知∠1=∠2，则PQ∥MN，由平行线的性质可得∠3+∠4=180°，据此计算.
7．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
9．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；方差；等可能事件的概率；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
10．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先求出公因式y，再利用平方差公式分解因式.
12．【答案】3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：3-x0得x.
故答案为：3.
【分析】直接由二次根式非负性可得x，取其中一个整数即可.
13．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点(a，-2a)代入函数得，即有，故a=.
故答案为：.
【分析】直接将点代入反比例函数表达式，即可得a的值.
14．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意列出以下图表
开始 论语 孟子 大学 中庸
论语 × 孟子、论语 大学、论语 中庸、论语
孟子 论语、孟子 × 大学、孟子 中庸、孟子
大学 论语、大学 孟子、大学 × 中庸、大学
中庸 论语、中庸 孟子、中庸 大学、中庸 ×
由图表知，事件发生的可能性有12种，而《论语》《孟子》被抽到的情况有2种，故概率P=
故答案为：.
【分析】先列出事件发生的所有可能情况，《论语》《孟子》被抽到的情况有2种，即可得概率.
15．【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，弦，，
∴AE=AB=4，OE2+AE2=AO2.
∵，
∴OE=OA-CE=OA-2.
∴（OA-2）2+42=AO2.解得AO=5.
故答案为：5.
【分析】先利用垂径定理求出AE，再利用勾股定理求出的半径 OA.
16．【答案】且
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：关于x的分式方程化为整式方程得，
，
解得，
由于分式方程的解为非负数，即，
所以，
而是分式方程的增根，当时，，
因此k的取值范围为且，
故答案为：且．
【分析】将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程的增根，综合求解即可。
17．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴这个圆锥的侧面积为：
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形的性质得到：进而解直角三角形得到：最后根据扇形面积计算公式计算即可.
18．【答案】
【知识点】线段最值问题
【解析】【解答】解：∠APD=90°，AD=2，故点P在以AD为直径的圆上运动，圆心为M，半径DM=1，
当C、P、M共线时，PC取最小值，
CM=，PCmin=-1
故答案为：.
【分析】由题意知点P的轨迹，当C、P、M共线时，可取最小值.
19．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别求出有理数除法、负指数幂、锐角三角函数，再合并同类二次根式即可得结果.
20．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】对分子分母进行因式分解、计算分式的减法，化简后再代入求值即可.
21．【答案】（1）24
（2）解：B组对应扇形的圆心角的度数为：；
（3）解：人，
答：估计该校初三年级800名学生中达到“优秀”和“良好”等级的学生共有512人．
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
22．【答案】（1）解：设乙型充电桩的单价是元，则甲型充电桩的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：甲型充电桩的单价为0.8元，乙型充电桩的单价为0.6元；
（2）解：设购买甲型充电桩的数量为个，则购买乙型充电桩的数量为个，
由题意得：，
解得：，
设所需费用为元，
由题意得：
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，
此时，，
答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需费用最少．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
23．【答案】（1）证明：四边形是菱形，对角线交于点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形OCED是矩形．
（2）解：，
，
，
，
菱形
菱形的面积为12．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】(1)由DE||OC，DE=OC得OCED为平行四边形，再由∠COD=90°得矩形；
(2)由条件知OD=CE=2，再由勾股定理得AC的长，即可求菱形ABCD的面积.
24．【答案】解：过点作，垂足为F，
.
在Rt中，，
在Rt中，
浮雕像的高度约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】作CEAD，求出CF和AF的长，即可得DF的长，再由勾股定理得CD的长.
25．【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
（为中点），
，
为的直径，
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
即．
（2）证明切于，
即，
是切线，
（3）解：（已证），，
是割线，，
由切割线定理得：，
在Rt中，由勾股定理得：，
解得：（舍去），
由勾股定理得：
的半径是．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
26．【答案】（1）解：四边形是“乐学四边形”，是“善思线段”.
理由如下：
当时，，
令，得，
解得：，
令，得，
，
，
顶点D，
四边形COBD是“乐学四边形”，是“善思线段”.
（2）解：存在．点的横坐标为．
过点作轴于点，连接，
则，
，
，
点在第一象限内，
点的纵坐标为2，
令，得，
解得：（舍去），
点的横坐标为．
（3）解：在抛物线中，顶点的坐标为，
．
．
，
为等腰直角三角形，过点作于点，
在中，令，得，
解得：，
，
，
DK，
，
联立（1）（2），且，
得，
抛物线解析式为，
，
当时，有最大值，
恒成立，
最大值，
，
，
的最小值为
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】解：（1）四边形是“乐学四边形”，是“善思线段”.理由如下：
当时，，
令，得，
解得：，
令，得，
，
，
顶点D，
四边形COBD是“乐学四边形”，是“善思线段”.
(2)存在．点的横坐标为．
过点作轴于点，连接，
则，
，
，
点在第一象限内，
点的纵坐标为2，
令，得，
解得：（舍去），
点的横坐标为．
(3)在抛物线中，顶点的坐标为，
．
．
，
为等腰直角三角形，过点作于点，
在中，令，得，
解得：，
，
，
DK，
，
联立（1）（2），且，
得，
抛物线解析式为，
，
当时，有最大值，
恒成立，
最大值，
，
，
的最小值为
【分析】(1)求出抛物线与x轴的交点，同时求出顶点，可得OC=CD，即可得结论；
(2)作EHx轴于点H，分别求出其底和高，求出面积表达式，即可得E的纵坐标为2，即可求出横坐标；
(3)由题意知CD=OC，得，求出t的最大值，即可得m的最小值.
1 / 1湖南省邵阳市邵东市2024年中考数学三模试卷
1．（2024·邵东模拟）-2024的倒数是（　　）
A．-2024 B． C． D．2024
【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：非零实数a的倒数为，故2024的倒数为.
故答案为：B.
【分析】直接根据非零a的倒数为得到结果即可.
2．（2024·邵东模拟）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义逐项判断即可。
3．（2024·邵东模拟）芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000000007 =7×.
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法，将较小的数化为a×()的形式，即可得结果.
4．（2024·邵东模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对A选项，，故A错误；
对B选项，，故B错误；
对C选项，，故C错误；
对D选项，，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的乘方、同底数幂的除法、积的乘方规则依次进行判断即可得结果.
5．（2024·邵东模拟）“非学无以广才”，意为不学习就难以增长才干，出自诸葛亮《诫子书》．将“非学无以广才”六个字分别写在一个正方体的六个面上，展开图如图所示，那么正方体中和“学”相对的字是（　　）
A．无 B．以 C．广 D．才
【答案】C
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：以“无”字为底面 ，将正方形折起，“学”与“广”相对.
故答案为：C.
【分析】以“无”字为底面，将正方体的展开图还原，即可得“学”与“广”字相对.
6．（2024·邵东模拟）如图，已知∠1 = 40°，∠2=40°，∠3 = 140°，则∠4的度数等于（　　）
A．40° B．36° C．44° D．100°
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1＝40°，∠2＝40°，
∴∠1＝∠2，
∴PQMN，
∴∠4＝180°-∠3＝40°.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可知∠1=∠2，则PQ∥MN，由平行线的性质可得∠3+∠4=180°，据此计算.
7．（2024·邵东模拟）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有鸡鬼同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何 ”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上更数共有35个头，下面数共有九十四只脚，问鸡兔各有几只 如果设鸡有只、兔有只，则列出正确的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
8．（2024·邵东模拟）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（　　）
A．-2023 B．2023 C．-2024 D．2024
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
9．（2024·邵东模拟）下列说法正确的是（　　）
A．为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式
B．一组数据“1，2，2，5，5，3”的众数和平均数都是3
C．若甲、乙两组数据的方差分别是0.09，0.1，则乙组数据比甲组数据更稳定
D．“明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；方差；等可能事件的概率；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
10．（2024·邵东模拟）如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：
①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别与AB，BC交于M，N两点；
②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点，作射线BD，BD与AC交于点E；
③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段PQ，PQ与BC于点F；
④连接EF，若，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
11．（2024·邵东模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先求出公因式y，再利用平方差公式分解因式.
12．（2024·邵东模拟）若为正整数，要使有意义，则　 　（写出1个即可）．
【答案】3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：3-x0得x.
故答案为：3.
【分析】直接由二次根式非负性可得x，取其中一个整数即可.
13．（2024·邵东模拟）点在反比例函数的图象上，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点(a，-2a)代入函数得，即有，故a=.
故答案为：.
【分析】直接将点代入反比例函数表达式，即可得a的值.
14．（2024·邵东模拟）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《孟子》的概率是　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意列出以下图表
开始 论语 孟子 大学 中庸
论语 × 孟子、论语 大学、论语 中庸、论语
孟子 论语、孟子 × 大学、孟子 中庸、孟子
大学 论语、大学 孟子、大学 × 中庸、大学
中庸 论语、中庸 孟子、中庸 大学、中庸 ×
由图表知，事件发生的可能性有12种，而《论语》《孟子》被抽到的情况有2种，故概率P=
故答案为：.
【分析】先列出事件发生的所有可能情况，《论语》《孟子》被抽到的情况有2种，即可得概率.
15．（2024·邵东模拟）如图，为的直径，弦，垂足为，连接，，，则的半径为　 　．
【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，弦，，
∴AE=AB=4，OE2+AE2=AO2.
∵，
∴OE=OA-CE=OA-2.
∴（OA-2）2+42=AO2.解得AO=5.
故答案为：5.
【分析】先利用垂径定理求出AE，再利用勾股定理求出的半径 OA.
16．（2024·邵东模拟） 已知关于x的分式方程的解为非负数，则k的取值范围为　 　．
【答案】且
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：关于x的分式方程化为整式方程得，
，
解得，
由于分式方程的解为非负数，即，
所以，
而是分式方程的增根，当时，，
因此k的取值范围为且，
故答案为：且．
【分析】将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程的增根，综合求解即可。
17．（2024·邵东模拟）如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若，，则这个圆锥的侧面积为　 　（结果保留）．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴这个圆锥的侧面积为：
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形的性质得到：进而解直角三角形得到：最后根据扇形面积计算公式计算即可.
18．（2024·邵东模拟）如图，点是正方形ABCD边BC上一动点，（点E不与点B、C重合），连接DE，过点作交CD于，垂足为，连接PC，已知正方形的边长为2，则PC的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】线段最值问题
【解析】【解答】解：∠APD=90°，AD=2，故点P在以AD为直径的圆上运动，圆心为M，半径DM=1，
当C、P、M共线时，PC取最小值，
CM=，PCmin=-1
故答案为：.
【分析】由题意知点P的轨迹，当C、P、M共线时，可取最小值.
19．（2024·邵东模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别求出有理数除法、负指数幂、锐角三角函数，再合并同类二次根式即可得结果.
20．（2024·邵东模拟）分式的化简求值：
，再从四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】对分子分母进行因式分解、计算分式的减法，化简后再代入求值即可.
21．（2024·邵东模拟）每年的8月8日是“全民健身日”，全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，以青少年和儿童为重点．为了解某校初三年级学生对健身知识的掌握情况，随机抽取了50名学生进行问卷调查，称将他们的成绩进行整理得到下列不完整的统计图表．
组别 分数段 频数 频率
A 6
B 12
C 18
D n
请根据所给信息，解答以下问题：
（1）填空：　 　；
（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
（3）若把等级定为“优秀”等级，等级定为“良好”等级，请你估计该校初三年级800名学生中达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人
【答案】（1）24
（2）解：B组对应扇形的圆心角的度数为：；
（3）解：人，
答：估计该校初三年级800名学生中达到“优秀”和“良好”等级的学生共有512人．
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
22．（2024·邵东模拟）随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少
（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少
【答案】（1）解：设乙型充电桩的单价是元，则甲型充电桩的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：甲型充电桩的单价为0.8元，乙型充电桩的单价为0.6元；
（2）解：设购买甲型充电桩的数量为个，则购买乙型充电桩的数量为个，
由题意得：，
解得：，
设所需费用为元，
由题意得：
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，
此时，，
答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需费用最少．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
23．（2024·邵东模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点，过点作，且，连接CE.
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）连接AE．若，求菱形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：四边形是菱形，对角线交于点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形OCED是矩形．
（2）解：，
，
，
，
菱形
菱形的面积为12．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】(1)由DE||OC，DE=OC得OCED为平行四边形，再由∠COD=90°得矩形；
(2)由条件知OD=CE=2，再由勾股定理得AC的长，即可求菱形ABCD的面积.
24．（2024·邵东模拟）华为手机自带AR测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法.如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者AB与浮雕像CD垂直于地面BE，若手机显示，，求浮雕像CD的高度.（结果精确到0.1，参考数据sin53°）
【答案】解：过点作，垂足为F，
.
在Rt中，，
在Rt中，
浮雕像的高度约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】作CEAD，求出CF和AF的长，即可得DF的长，再由勾股定理得CD的长.
25．（2024·邵东模拟）如图，已知点是以AB为直径的上一点，于点，过点作的切线交直线AC于点，点为CH的中点，连接AE并延长交BD于点，直线CF交AB的延长线于．
（1）求证：；
（2）求证：CG是的切线：
（3）若，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
（为中点），
，
为的直径，
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
即．
（2）证明切于，
即，
是切线，
（3）解：（已证），，
是割线，，
由切割线定理得：，
在Rt中，由勾股定理得：，
解得：（舍去），
由勾股定理得：
的半径是．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
26．（2024·邵东模拟）有一组邻边相等的凸四边形叫做“乐学四边形”，如菱形，正方形等都是“乐学四边形”，这一组相等的邻边叫做“善思线段”．拋物线与轴交于A、B两点（点A在点的左侧），与轴交于点，拋物线的顶点为点．
（1）当，请判断四边形COBD是否为“乐学四边形”，如果是，请说明理由并指出“善思线段”，如果不是，请说明理由.
（2）在第（1）问的条件下，试探究在第一象限内，抛物线上是否存在一点E使得，若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
（3）四边形COBD为“乐学四边形”，且．抛物线还满足：
①；
②为等腰直角三角形；
点是抛物线上任意一点，且．若恒成立，求的最小值．
【答案】（1）解：四边形是“乐学四边形”，是“善思线段”.
理由如下：
当时，，
令，得，
解得：，
令，得，
，
，
顶点D，
四边形COBD是“乐学四边形”，是“善思线段”.
（2）解：存在．点的横坐标为．
过点作轴于点，连接，
则，
，
，
点在第一象限内，
点的纵坐标为2，
令，得，
解得：（舍去），
点的横坐标为．
（3）解：在抛物线中，顶点的坐标为，
．
．
，
为等腰直角三角形，过点作于点，
在中，令，得，
解得：，
，
，
DK，
，
联立（1）（2），且，
得，
抛物线解析式为，
，
当时，有最大值，
恒成立，
最大值，
，
，
的最小值为
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】解：（1）四边形是“乐学四边形”，是“善思线段”.理由如下：
当时，，
令，得，
解得：，
令，得，
，
，
顶点D，
四边形COBD是“乐学四边形”，是“善思线段”.
(2)存在．点的横坐标为．
过点作轴于点，连接，
则，
，
，
点在第一象限内，
点的纵坐标为2，
令，得，
解得：（舍去），
点的横坐标为．
(3)在抛物线中，顶点的坐标为，
．
．
，
为等腰直角三角形，过点作于点，
在中，令，得，
解得：，
，
，
DK，
，
联立（1）（2），且，
得，
抛物线解析式为，
，
当时，有最大值，
恒成立，
最大值，
，
，
的最小值为
【分析】(1)求出抛物线与x轴的交点，同时求出顶点，可得OC=CD，即可得结论；
(2)作EHx轴于点H，分别求出其底和高，求出面积表达式，即可得E的纵坐标为2，即可求出横坐标；
(3)由题意知CD=OC，得，求出t的最大值，即可得m的最小值.
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