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湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年九年级下学期数学期中试题
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024九下·邵东期中）已知，若，则的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的倒数；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴2024b=1
解之：
故答案为：B.
【分析】将a的值代入ab=1，可求出b的值.
2．（2024九下·邵东期中）如图，，点为上一点，连接．若，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C=38°，
∵∠BED=∠B+∠D
∴∠BED=38°+37°=75°.
故答案为：C.
【分析】利用两直线平行，内错角相等，可求出∠C的度数，再利用三角形外角的性质可知∠BED=∠B+∠D，然后代入计算求出∠BED的度数.
3．（2024九下·邵东期中）如图是小强用八块相同的小正方体积木搭建的几何体，这个几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看，有两列两行，第一列有2个正方形，第二列有1个正方形，第一行有1个正方形，第二行有2个正方形，只有D符合题意.
故答案为：D.
【分析】左视图就是从几何体的左面所看到的平面图形，据此可得答案.
4．（2024九下·邵东期中）《红楼梦》是我国古典四大名著之一，其总字数大约731000字，其中731000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 731000=
故答案为：B.
【分析】 科学记数法是一种表示大数或小数的方法，通常形式为a× 10n ，其中 1 ≤ | a | < 10 ， n是整数，表示1后面有n个0。本题首先确定a=7.31，然后确定n=5，即可表示出。
5．（2024九下·邵东期中）图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条和的夹角为，的长为，贴纸部分的宽为，则弧的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵OA=30cm，∠AOB=150°，
∴弧AB的长为
故答案为：D.
【分析】利用已知可得到OA的长及∠AOB的度数，再利用弧长公式进行计算.
6．（2024九下·邵东期中）下列说法正确的是（　　）
A．随机抛掷一枚硬币，反面一定朝上
B．数据3，3，5，5，8的众数是8
C．某商场抽奖活动获奖的概率为，说明每买50张奖券中一定有一张中奖
D．想了解湖南省城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；概率的意义；事件发生的可能性；众数
【解析】【解答】解：选项A， 随机抛掷一枚硬币，反面一定朝上 ，错误；
选项B， 数据3，3，5，5，8的众数是8 ，错误；
选项C， 某商场抽奖活动获奖的概率为，说明每买50张奖券中一定有一张中奖 ，错误；
选项D， 想了解湖南省城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查 ，正确。
故答案为：D.
【分析】选项A，随机抛掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上；选项B，数据3，3，5，5，8的众数是5；选项C，某商场抽奖活动获奖的概率为 ，说明每买50张奖券中可能有一张中奖。
7．（2024九下·邵东期中）如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将四边形纸片沿折叠，
∴∠AEF=∠A1EF，∠A1FE=∠AFE，
∵∠1+∠2=90°，
∴2∠AEF+2∠AFE=360°-90°=270°，
∴∠AEF+∠AFE=135°，
∴∠A=180°-（∠AEF+∠AFE）=180°-135°=45°.
故答案为：A.
【分析】利用折叠的性质可证得∠AEF=∠A1EF，∠A1FE=∠AFE，由此可求出∠AEF+∠AFE的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠A的度数.
8．（2024九下·邵东期中）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几 ”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板距离地面的高度就与人的身高相等，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长 "若设绳索长为尺，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，其中DE=1尺，DF=10尺，CG=5尺，
∴BC=DF=10尺，BD=5-1=4尺，此时AB=（x-4）尺，AC=x尺，
在直角三角形ABC中，BC2+AB2=AC2，即，
解得x=14.5尺
故答案为：B
【分析】本题画出图来进行分析，最后放到直角三角形ABC中利用勾股定理列式即可。
9．（2024九下·邵东期中）如图，点，，，在上，，垂足为，若，，则（　　）
A．6 B． C． D．3
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接OC，
∵，
∴∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°，
∴∠EOC=90°-60°=30°，
∴OC=2OE=OA，
∴，
∴
∵OA⊥BC，
∴CB=2CE，∠COE=90°，
在Rt△COE中，
，
∴BC=2×3=6.
故答案为：6.
【分析】连接OC，利用圆周角定理求出∠O的度数，利用直角三角形的两锐角互余可求出∠EOC的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OC的长，再利用垂径定理可推出CB=2CE，在Rt△COE中，利用解直角三角形求出CE的长，可得到BC的长.
10．（2024九下·邵东期中）如图，二次函数的图像与轴正半轴相交于A，B两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数开口向下，可知 a <0，
与 y 轴的交点在 x 轴的下方，可知 c <0，
又对称轴为直线 x =2，
∴>0，
∴ b >0，
∴abc >0，故①正确；
由图象可知当 x =3时， y >0，
∴9a+3b+c >0，故②错误；
由图象可知 OA <1，
∴OA = OC ，
∴OC <1，即﹣ c <1，
∴-1< c <0，故③正确；
∵OA = OC =- c ，
将 A (- c ，0)代入 y =ax2+ bx + c 得：
ac2- bc + c =0，
两边同除以 ac 变形得：，
而ax2+ bx + c =0( a ≠0）的根x=，将代入，得到x=。
当b≥2时，x的一个值为 。故④正确；
综上可知正确的结论有①③④，
故答案为：C.
【分析】本题首先根据二次函数开口方向、与y轴交点以及对称轴可以轻松判断①是正确的；然后将x=3代入即可判断②是错误的；然后根据OA=OC，推出③是正确的；最后根据二次函数的求根公式和，即可判断④是正确的。
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2024九下·邵东期中）已知，那么　 　.
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：a2-b2=（a+b）（a-b）==
故答案为：。
【分析】本题无需具体求出a和b的值，可以利用平方差公式变形，然后代入计算即可。
12．（2024九下·邵东期中）如图，在中，，，则　 　度．
【答案】
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴∠B=∠C，
∵∠B+∠C+∠A=180°，
∴2∠B=180°-40°，
解之：∠B=70°.
故答案为：70°.
【分析】利用圆周角定理可证∠B=∠C，利用三角形的内角和定理可求出∠B的度数.
13．（2024九下·邵东期中）已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=0代入原一元二次方程中，得到a2-4=0，因此a=2或a=-2.
因为方程是一元二次方程，因此a=-2.
∴原一元二次方程式为-4x2+2x=0，
解得x=0和x=.
故答案为：.
【分析】先将x=0代入，求出a的两个值，根据一元二次方程的概念进一步确定a值，进而求解方程即可。
14．（2024九下·邵东期中）如图，小明在处测得风筝的仰角为，同时在正对着风筝方向距处30米的处，小明测得风筝的仰角为，则风筝此时的高度　 　米．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
由题意可知∠A=30°，∠CBD=60°，AB=30m，
∵∠CBD=∠A+∠ACB=60°，
∴∠ACB=60°-30°=30°
∴∠ACB=∠A，
∴AB=CB=30m，
在Rt△CBD中，
∴.
∴ 风筝此时的高度为m
故答案为：.
【分析】过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，利用仰角的概念可知∠A=30°，∠CBD=60°，AB=30m，利用三角形的外角的性质去证明∠ACB=∠A，利用等角对等边可求出CB的长，在Rt△CBD中，利用解直角三角形求出CD的长.
15．（2024九下·邵东期中）下列算式中计算正确的有　 　（填序号）．
①，②，
③，④．
【答案】②③
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：①，
②，
③
④．
因此正确的有②③。
故答案为：②③.
【分析】 本题需要运用到代数的基本规则和二次根式的性质，对每个算式逐一分析，确定其计算的准确性。对于①，因为两个相同幂次的项相加，幂次不变，系数相加，计算即可；②可以利用完全平方公式进行计算；③先去掉括号，然后进行同底数幂相乘计算；④因为没有同类项，无法进行合并计算。
16．（2024九下·邵东期中）不等式组的正整数解是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
首先，解析第一个不等式 2 ( x 1 ) + 4 > 0 。
化简得： 2 x 2 + 4 > 0
进一步化简得： 2 x + 2 > 0
即： x + 1 > 0
解得： x> 1
第二个不等式是 ，
两边同乘以-2，得：x < 2
综上，不等式组的解集是： 1 < x < 2 ，
因此，这个不等式组的正整数解是 1 。
故答案为：1.
【分析】本题求不等式组的正整数解，首先要求出不等式组的解集，即分别计算出不等式组中的两个方程x的取值范围，然后找到交集综合列出x的取值范围，最后找到在这个范围内的正整数即可。需要注意的是，不等式的左右两边同时乘以负数时，不等号方向改变。
17．（2024九下·邵东期中）如图，是坐标原点，平行四边形OABC的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，反比例函数的图像经过位于第二象限的顶点，若平行四边形OABC的面积为16，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 平行四边形OABC的面积为16，且的坐标为 ，
∴OC=AB=16÷4=4，
∵ 顶点在轴的负半轴上，且 反比例函数的图像经过位于第二象限的顶点，
∴B点坐标为（-3-4，4），即B点坐标为（-7，4），
将B点坐标代入反比例函数 ，即，
解得k=-28.
故答案为：-28.
【分析】本题首先根据点A的坐标和平行四边形的面积，即可求出OC=AB=4，因为反比例函数在第二象限，因此B的坐标中横坐标为负数，纵坐标为正数，即可写出B点的坐标，最后代入计算即可。
18．（2024九下·邵东期中）如图1，在中，，，点为边的中点，作，射线交边于点，设，，若与的函数图象如图2所示，且其顶点坐标为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：由图2可知，当点M运动到点C时，BC=4，
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴AB=BCsin∠B=4sin45°=，
∵点P为AB的中点，
∴，
∵BM=x，则CM=4-x，
∵∠PMN=45°，
∴∠BMP+∠CMN=135°，
∵∠BMP+∠BPM=135°，
∴∠BPM=∠CMN，
∵∠B=∠C，
∴△BPM∽△CMN，
∴即
∴
∴顶点坐标
∵ 顶点坐标为 ，
∴m=2时，
∴
故答案为：.
【分析】由图2可知，当点M运动到点C时，可得到BC的长，利用解直角三角形求出AB的长，结合已知可求出BP的长；利用BM的长，可表示出CM的长，同时可证得∠BMP+∠CMN=135°，利用三角形的内角和定理可证得∠BMP+∠BPM=135°，由此可得到∠BPM=∠CMN，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△BPM∽△CMN，利用相似三角形的对应边成比例可得到y关于x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，可得到m、n的值，然后求出m+n的值即可.
三、解答题（本大题有8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024九下·邵东期中）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后合并即可.
20．（2024九下·邵东期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式的值．
【答案】解：，解得，
又，
当时，
【知识点】根据一元二次根的根的情况求参数；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】利用一元二次方程有两个相等的实数根，可得到b2-4ac=0，可求出a的值；再将括号里的分式通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后将a的值代入化简后的代数式进行计算.
21．（2024九下·邵东期中）端午节是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子"的习俗．我市某食品厂为了了解市民对今年销量较好的肉馅粽，豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味的粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图：
请根据所给信息，解答以下问题：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人
（2）请将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小明吃了两个。请用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
【答案】（1）解：（人），
∴本次参加抽样调查的居民有600人。
（2）解：180÷600×100%=30%，1-40%-30%-10%=20%，600-240-180-60=120人，
∴C是120人，占20%；A占30%。
（3）解：画树状图如下，
第二次有12种情况，吃到C的有3种情况，因此概率P=。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）从突破口D有240人、占比40%可以倒推出参加抽样调查的居民总人数；
（2）根据（1）题的计算结果，求出C的人数，从而可算出C的占比，因为ABCD占比总和是1，因此可求出A的占比，最后画图即可；
（3）画出树状图，然后计算即可求出第二个吃到的恰好是C粽的概率。
22．（2024九下·邵东期中）在中，，是的中点，E是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）证明：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：因为，是的中点，所以，
因为，所以，，又是的中点，所以
所以，所以，则，，
所以四边形是菱形
（2）解：连结，因为，所以四边形是平行四边形，则，
所以
【知识点】菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得AD=BD=CD，利用平行线的性质可证得∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE，利用线段中点的定义可证得AE=AD；再利用AAS可证得△AEF≌△DEB，利用全等三角形的对应边相等，可证AF=BD，据此可证得结论.
（2）连接DF，利用平行四边形的性质可求出DF的长，再利用菱形的面积公式可求出菱形ADCF的面积.
23．（2024九下·邵东期中）商场某柜台销售每台进价分别为160元、120元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 型号销售数量 型号销售数量 销售收入
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
（1）求、两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若商场准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，商场销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设、两种型号的电风扇的销售单价分别为元、元，
则，解得，
答：、两种型号风扇销售单价分别为200元，150元
（2）解：设种型号电风扇采购台，则型号风扇采购台，
则，解得，所以型号最多采购37台
（3）解：，解得，
即，因为整数，所以或37，
则采购方案：①型36台，型14台；②型37台，型13台
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为x元、y元， 利用表中数据可得到关于x，y的方程组，解方程组即可.
（2）设种型号电风扇采购m台，可表示出B型号风扇的台数，利用商场准备用不多于7500元的金额可得到关于m的不等式，然后求出不等式的最小整数解.
（3）再根据实现利润超过1850元的目标，可得到关于m的不等式，求出不等式组的解集，即可等等m的取值范围，然后求出整数m的值，可得到具体的采购方案.
24．（2024九下·邵东期中）在四边形中，，，，对角线与相交于点，线段、的中点分别为点、．
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）若直线与线段、分别相交于点、，的面积为2，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：点，分别为，的中点，，，
，，
，，，，
（2）解：，，，则，
又，，
（3）解：，，，的面积为2，
的面积为18，是等腰直角三角形，
，
，，则
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用已知易证EF是△OAB的中位线，利用三角形的中位线定理可证得，，结合已知可证得EF=CD，利用平行线的性质可知∠OCD=∠OEF，∠ODC=∠OFE，利用ASA可证得结论.
（2）利用勾股定理可表示出AC的长，然后利用正弦的定义可求出sin∠CAB的度数，然后证明∠OEF=∠CAB，即可求出结果.
（3）利用已知易证△AEG∽△ACD，利用相似三角形的性质可求出△ACD的面积，利用三角形的面积公式可求出BC的长，可得到AB的长，然后根据，可求出四边形ABCD的面积.
25．（2024九下·邵东期中）如图，平面内有一条线段AB，分别过点A、B向轴作垂线，垂足分别点C、D，我们把线段CD称之为线段AB在轴上的射影，线段CD的长称之为线段AB在轴上的射影长．
（1）若双曲线上有两点，求线段AB在轴上的射影长；
（2）若直线的图象上有两点A、B，且线段AB在轴上的射影长为4，求AB的长；
（3）若已知抛物线和直线，其中a、b、c满足，抛物线过点，且与直线相交于A、B两点，求线段AB在轴上的射影长CD的取值范围.
【答案】（1）解：，所以线段AB在轴上的射影长．
（2）解：点A、B在上，所以，
．
（3）解：令，则，设其两根为，
且，则，
，
，
所以，即线段AB在轴上的射影长CD的取值范围为．
【知识点】二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）将A、B两点代入双曲线中，求出m和n的值，最后m和n之间的距离就是射影长；
（2）已知x轴的摄影长是4，因此可以利用绝对值和两点之间的距离公式列式计算即可；
（3）利用根与系数的关系，可以化简计算出CD的关系式，最后根据a和c的取值范围进行进一步计算即可求出线段AB在轴上的射影长CD的取值范围.
26．（2024九下·邵东期中）新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．
问题探究：
（1）如图1，等边边长为3，求垂直于边的等积垂分线段长度；
（2）如图2，在中，，，，求垂直于边的等积垂分线段长度；
（3）如图3，在四边形中，，，，求出它的等积垂分线段长．
【答案】（1）解：过点作的垂线，为垂直于边的等积垂分线，
（2）解：作于，线段是垂直于边的等级垂分线，设，
在中，，，，
，，
，，
，，
解得或（舍弃），
边的等级垂分线段的长度为
（3）解：①当线段是等积垂分线段时，作于，
设交于．设，在中，，，，
，
，，，
，，
，，，，
，，，
，，
，，，
．
四边形的面积四边形的面积，的面积的面积，
的面积的面积，
，解得：（负根已经舍弃），．
②作于，交于，当线段是等积垂分线段时，设，
，，，，
，，，
，，
，，，
，由的面积的面积，
，解得（负根已经舍弃），
．
综上所述，四边形的一条等积垂分线段的长为
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）过点作的垂线，利用等边三角形的性质和等积垂分线的定义，可证得为垂直于边的等积垂分线，利用解直角三角形求出AD的长.
（2）作于，线段是垂直于边的等级垂分线，设，在中，利用解直角三角形求出AH的长，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，即可求解.
（3）分情况讨论：①当线段是等积垂分线段时，作于，设交于．设，利用勾股定理可求出BD的长，由EF∥AB，可证得△DEH∽△DAB，利用相似三角形的性质，可表示出EH，DH的长，即可求出BH的长；再利用HL可证得△ABD≌△CBD，利用全等三角形的性质可证得∠ABD=∠DBC，可推出FH=FB，由此可表示出HG的长，利用相似三角形的性质可表示出FG，FH的长，由此可得到EF的长；再根据四边形的面积四边形的面积，的面积的面积，可推出的面积的面积，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到EF的长；②作于，交于，当线段是等积垂分线段时，设，分别表示出BY、BH的长；再证明ED=EH，利用等腰三角形的性质可表示出DG的长，利用解直角三角形可表示出EG、EH的长，可得到EF的长；由的面积的面积，可得到关于y的方程，解方程求出y的值，可得到EF的长；综上所述，可得到它的等积垂分线段长.
1 / 1湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年九年级下学期数学期中试题
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024九下·邵东期中）已知，若，则的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九下·邵东期中）如图，，点为上一点，连接．若，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·邵东期中）如图是小强用八块相同的小正方体积木搭建的几何体，这个几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·邵东期中）《红楼梦》是我国古典四大名著之一，其总字数大约731000字，其中731000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·邵东期中）图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条和的夹角为，的长为，贴纸部分的宽为，则弧的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九下·邵东期中）下列说法正确的是（　　）
A．随机抛掷一枚硬币，反面一定朝上
B．数据3，3，5，5，8的众数是8
C．某商场抽奖活动获奖的概率为，说明每买50张奖券中一定有一张中奖
D．想了解湖南省城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查
7．（2024九下·邵东期中）如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·邵东期中）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几 ”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板距离地面的高度就与人的身高相等，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长 "若设绳索长为尺，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024九下·邵东期中）如图，点，，，在上，，垂足为，若，，则（　　）
A．6 B． C． D．3
10．（2024九下·邵东期中）如图，二次函数的图像与轴正半轴相交于A，B两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2024九下·邵东期中）已知，那么　 　.
12．（2024九下·邵东期中）如图，在中，，，则　 　度．
13．（2024九下·邵东期中）已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为　 　.
14．（2024九下·邵东期中）如图，小明在处测得风筝的仰角为，同时在正对着风筝方向距处30米的处，小明测得风筝的仰角为，则风筝此时的高度　 　米．（结果保留根号）
15．（2024九下·邵东期中）下列算式中计算正确的有　 　（填序号）．
①，②，
③，④．
16．（2024九下·邵东期中）不等式组的正整数解是　 　．
17．（2024九下·邵东期中）如图，是坐标原点，平行四边形OABC的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，反比例函数的图像经过位于第二象限的顶点，若平行四边形OABC的面积为16，则的值为　 　．
18．（2024九下·邵东期中）如图1，在中，，，点为边的中点，作，射线交边于点，设，，若与的函数图象如图2所示，且其顶点坐标为，则的值为　 　．
三、解答题（本大题有8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024九下·邵东期中）计算：．
20．（2024九下·邵东期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式的值．
21．（2024九下·邵东期中）端午节是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子"的习俗．我市某食品厂为了了解市民对今年销量较好的肉馅粽，豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味的粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图：
请根据所给信息，解答以下问题：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人
（2）请将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小明吃了两个。请用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
22．（2024九下·邵东期中）在中，，是的中点，E是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）证明：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
23．（2024九下·邵东期中）商场某柜台销售每台进价分别为160元、120元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 型号销售数量 型号销售数量 销售收入
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
（1）求、两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若商场准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，商场销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
24．（2024九下·邵东期中）在四边形中，，，，对角线与相交于点，线段、的中点分别为点、．
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）若直线与线段、分别相交于点、，的面积为2，求四边形的面积．
25．（2024九下·邵东期中）如图，平面内有一条线段AB，分别过点A、B向轴作垂线，垂足分别点C、D，我们把线段CD称之为线段AB在轴上的射影，线段CD的长称之为线段AB在轴上的射影长．
（1）若双曲线上有两点，求线段AB在轴上的射影长；
（2）若直线的图象上有两点A、B，且线段AB在轴上的射影长为4，求AB的长；
（3）若已知抛物线和直线，其中a、b、c满足，抛物线过点，且与直线相交于A、B两点，求线段AB在轴上的射影长CD的取值范围.
26．（2024九下·邵东期中）新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．
问题探究：
（1）如图1，等边边长为3，求垂直于边的等积垂分线段长度；
（2）如图2，在中，，，，求垂直于边的等积垂分线段长度；
（3）如图3，在四边形中，，，，求出它的等积垂分线段长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴2024b=1
解之：
故答案为：B.
【分析】将a的值代入ab=1，可求出b的值.
2．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C=38°，
∵∠BED=∠B+∠D
∴∠BED=38°+37°=75°.
故答案为：C.
【分析】利用两直线平行，内错角相等，可求出∠C的度数，再利用三角形外角的性质可知∠BED=∠B+∠D，然后代入计算求出∠BED的度数.
3．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看，有两列两行，第一列有2个正方形，第二列有1个正方形，第一行有1个正方形，第二行有2个正方形，只有D符合题意.
故答案为：D.
【分析】左视图就是从几何体的左面所看到的平面图形，据此可得答案.
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 731000=
故答案为：B.
【分析】 科学记数法是一种表示大数或小数的方法，通常形式为a× 10n ，其中 1 ≤ | a | < 10 ， n是整数，表示1后面有n个0。本题首先确定a=7.31，然后确定n=5，即可表示出。
5．【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵OA=30cm，∠AOB=150°，
∴弧AB的长为
故答案为：D.
【分析】利用已知可得到OA的长及∠AOB的度数，再利用弧长公式进行计算.
6．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；概率的意义；事件发生的可能性；众数
【解析】【解答】解：选项A， 随机抛掷一枚硬币，反面一定朝上 ，错误；
选项B， 数据3，3，5，5，8的众数是8 ，错误；
选项C， 某商场抽奖活动获奖的概率为，说明每买50张奖券中一定有一张中奖 ，错误；
选项D， 想了解湖南省城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查 ，正确。
故答案为：D.
【分析】选项A，随机抛掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上；选项B，数据3，3，5，5，8的众数是5；选项C，某商场抽奖活动获奖的概率为 ，说明每买50张奖券中可能有一张中奖。
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将四边形纸片沿折叠，
∴∠AEF=∠A1EF，∠A1FE=∠AFE，
∵∠1+∠2=90°，
∴2∠AEF+2∠AFE=360°-90°=270°，
∴∠AEF+∠AFE=135°，
∴∠A=180°-（∠AEF+∠AFE）=180°-135°=45°.
故答案为：A.
【分析】利用折叠的性质可证得∠AEF=∠A1EF，∠A1FE=∠AFE，由此可求出∠AEF+∠AFE的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠A的度数.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，其中DE=1尺，DF=10尺，CG=5尺，
∴BC=DF=10尺，BD=5-1=4尺，此时AB=（x-4）尺，AC=x尺，
在直角三角形ABC中，BC2+AB2=AC2，即，
解得x=14.5尺
故答案为：B
【分析】本题画出图来进行分析，最后放到直角三角形ABC中利用勾股定理列式即可。
9．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接OC，
∵，
∴∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°，
∴∠EOC=90°-60°=30°，
∴OC=2OE=OA，
∴，
∴
∵OA⊥BC，
∴CB=2CE，∠COE=90°，
在Rt△COE中，
，
∴BC=2×3=6.
故答案为：6.
【分析】连接OC，利用圆周角定理求出∠O的度数，利用直角三角形的两锐角互余可求出∠EOC的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OC的长，再利用垂径定理可推出CB=2CE，在Rt△COE中，利用解直角三角形求出CE的长，可得到BC的长.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数开口向下，可知 a <0，
与 y 轴的交点在 x 轴的下方，可知 c <0，
又对称轴为直线 x =2，
∴>0，
∴ b >0，
∴abc >0，故①正确；
由图象可知当 x =3时， y >0，
∴9a+3b+c >0，故②错误；
由图象可知 OA <1，
∴OA = OC ，
∴OC <1，即﹣ c <1，
∴-1< c <0，故③正确；
∵OA = OC =- c ，
将 A (- c ，0)代入 y =ax2+ bx + c 得：
ac2- bc + c =0，
两边同除以 ac 变形得：，
而ax2+ bx + c =0( a ≠0）的根x=，将代入，得到x=。
当b≥2时，x的一个值为 。故④正确；
综上可知正确的结论有①③④，
故答案为：C.
【分析】本题首先根据二次函数开口方向、与y轴交点以及对称轴可以轻松判断①是正确的；然后将x=3代入即可判断②是错误的；然后根据OA=OC，推出③是正确的；最后根据二次函数的求根公式和，即可判断④是正确的。
11．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：a2-b2=（a+b）（a-b）==
故答案为：。
【分析】本题无需具体求出a和b的值，可以利用平方差公式变形，然后代入计算即可。
12．【答案】
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴∠B=∠C，
∵∠B+∠C+∠A=180°，
∴2∠B=180°-40°，
解之：∠B=70°.
故答案为：70°.
【分析】利用圆周角定理可证∠B=∠C，利用三角形的内角和定理可求出∠B的度数.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=0代入原一元二次方程中，得到a2-4=0，因此a=2或a=-2.
因为方程是一元二次方程，因此a=-2.
∴原一元二次方程式为-4x2+2x=0，
解得x=0和x=.
故答案为：.
【分析】先将x=0代入，求出a的两个值，根据一元二次方程的概念进一步确定a值，进而求解方程即可。
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
由题意可知∠A=30°，∠CBD=60°，AB=30m，
∵∠CBD=∠A+∠ACB=60°，
∴∠ACB=60°-30°=30°
∴∠ACB=∠A，
∴AB=CB=30m，
在Rt△CBD中，
∴.
∴ 风筝此时的高度为m
故答案为：.
【分析】过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，利用仰角的概念可知∠A=30°，∠CBD=60°，AB=30m，利用三角形的外角的性质去证明∠ACB=∠A，利用等角对等边可求出CB的长，在Rt△CBD中，利用解直角三角形求出CD的长.
15．【答案】②③
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：①，
②，
③
④．
因此正确的有②③。
故答案为：②③.
【分析】 本题需要运用到代数的基本规则和二次根式的性质，对每个算式逐一分析，确定其计算的准确性。对于①，因为两个相同幂次的项相加，幂次不变，系数相加，计算即可；②可以利用完全平方公式进行计算；③先去掉括号，然后进行同底数幂相乘计算；④因为没有同类项，无法进行合并计算。
16．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
首先，解析第一个不等式 2 ( x 1 ) + 4 > 0 。
化简得： 2 x 2 + 4 > 0
进一步化简得： 2 x + 2 > 0
即： x + 1 > 0
解得： x> 1
第二个不等式是 ，
两边同乘以-2，得：x < 2
综上，不等式组的解集是： 1 < x < 2 ，
因此，这个不等式组的正整数解是 1 。
故答案为：1.
【分析】本题求不等式组的正整数解，首先要求出不等式组的解集，即分别计算出不等式组中的两个方程x的取值范围，然后找到交集综合列出x的取值范围，最后找到在这个范围内的正整数即可。需要注意的是，不等式的左右两边同时乘以负数时，不等号方向改变。
17．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 平行四边形OABC的面积为16，且的坐标为 ，
∴OC=AB=16÷4=4，
∵ 顶点在轴的负半轴上，且 反比例函数的图像经过位于第二象限的顶点，
∴B点坐标为（-3-4，4），即B点坐标为（-7，4），
将B点坐标代入反比例函数 ，即，
解得k=-28.
故答案为：-28.
【分析】本题首先根据点A的坐标和平行四边形的面积，即可求出OC=AB=4，因为反比例函数在第二象限，因此B的坐标中横坐标为负数，纵坐标为正数，即可写出B点的坐标，最后代入计算即可。
18．【答案】
【知识点】二次函数的最值；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：由图2可知，当点M运动到点C时，BC=4，
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴AB=BCsin∠B=4sin45°=，
∵点P为AB的中点，
∴，
∵BM=x，则CM=4-x，
∵∠PMN=45°，
∴∠BMP+∠CMN=135°，
∵∠BMP+∠BPM=135°，
∴∠BPM=∠CMN，
∵∠B=∠C，
∴△BPM∽△CMN，
∴即
∴
∴顶点坐标
∵ 顶点坐标为 ，
∴m=2时，
∴
故答案为：.
【分析】由图2可知，当点M运动到点C时，可得到BC的长，利用解直角三角形求出AB的长，结合已知可求出BP的长；利用BM的长，可表示出CM的长，同时可证得∠BMP+∠CMN=135°，利用三角形的内角和定理可证得∠BMP+∠BPM=135°，由此可得到∠BPM=∠CMN，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△BPM∽△CMN，利用相似三角形的对应边成比例可得到y关于x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，可得到m、n的值，然后求出m+n的值即可.
19．【答案】解：原式
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后合并即可.
20．【答案】解：，解得，
又，
当时，
【知识点】根据一元二次根的根的情况求参数；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】利用一元二次方程有两个相等的实数根，可得到b2-4ac=0，可求出a的值；再将括号里的分式通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，约分化简，然后将a的值代入化简后的代数式进行计算.
21．【答案】（1）解：（人），
∴本次参加抽样调查的居民有600人。
（2）解：180÷600×100%=30%，1-40%-30%-10%=20%，600-240-180-60=120人，
∴C是120人，占20%；A占30%。
（3）解：画树状图如下，
第二次有12种情况，吃到C的有3种情况，因此概率P=。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）从突破口D有240人、占比40%可以倒推出参加抽样调查的居民总人数；
（2）根据（1）题的计算结果，求出C的人数，从而可算出C的占比，因为ABCD占比总和是1，因此可求出A的占比，最后画图即可；
（3）画出树状图，然后计算即可求出第二个吃到的恰好是C粽的概率。
22．【答案】（1）证明：因为，是的中点，所以，
因为，所以，，又是的中点，所以
所以，所以，则，，
所以四边形是菱形
（2）解：连结，因为，所以四边形是平行四边形，则，
所以
【知识点】菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得AD=BD=CD，利用平行线的性质可证得∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE，利用线段中点的定义可证得AE=AD；再利用AAS可证得△AEF≌△DEB，利用全等三角形的对应边相等，可证AF=BD，据此可证得结论.
（2）连接DF，利用平行四边形的性质可求出DF的长，再利用菱形的面积公式可求出菱形ADCF的面积.
23．【答案】（1）解：设、两种型号的电风扇的销售单价分别为元、元，
则，解得，
答：、两种型号风扇销售单价分别为200元，150元
（2）解：设种型号电风扇采购台，则型号风扇采购台，
则，解得，所以型号最多采购37台
（3）解：，解得，
即，因为整数，所以或37，
则采购方案：①型36台，型14台；②型37台，型13台
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为x元、y元， 利用表中数据可得到关于x，y的方程组，解方程组即可.
（2）设种型号电风扇采购m台，可表示出B型号风扇的台数，利用商场准备用不多于7500元的金额可得到关于m的不等式，然后求出不等式的最小整数解.
（3）再根据实现利润超过1850元的目标，可得到关于m的不等式，求出不等式组的解集，即可等等m的取值范围，然后求出整数m的值，可得到具体的采购方案.
24．【答案】（1）证明：点，分别为，的中点，，，
，，
，，，，
（2）解：，，，则，
又，，
（3）解：，，，的面积为2，
的面积为18，是等腰直角三角形，
，
，，则
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用已知易证EF是△OAB的中位线，利用三角形的中位线定理可证得，，结合已知可证得EF=CD，利用平行线的性质可知∠OCD=∠OEF，∠ODC=∠OFE，利用ASA可证得结论.
（2）利用勾股定理可表示出AC的长，然后利用正弦的定义可求出sin∠CAB的度数，然后证明∠OEF=∠CAB，即可求出结果.
（3）利用已知易证△AEG∽△ACD，利用相似三角形的性质可求出△ACD的面积，利用三角形的面积公式可求出BC的长，可得到AB的长，然后根据，可求出四边形ABCD的面积.
25．【答案】（1）解：，所以线段AB在轴上的射影长．
（2）解：点A、B在上，所以，
．
（3）解：令，则，设其两根为，
且，则，
，
，
所以，即线段AB在轴上的射影长CD的取值范围为．
【知识点】二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）将A、B两点代入双曲线中，求出m和n的值，最后m和n之间的距离就是射影长；
（2）已知x轴的摄影长是4，因此可以利用绝对值和两点之间的距离公式列式计算即可；
（3）利用根与系数的关系，可以化简计算出CD的关系式，最后根据a和c的取值范围进行进一步计算即可求出线段AB在轴上的射影长CD的取值范围.
26．【答案】（1）解：过点作的垂线，为垂直于边的等积垂分线，
（2）解：作于，线段是垂直于边的等级垂分线，设，
在中，，，，
，，
，，
，，
解得或（舍弃），
边的等级垂分线段的长度为
（3）解：①当线段是等积垂分线段时，作于，
设交于．设，在中，，，，
，
，，，
，，
，，，，
，，，
，，
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四边形的面积四边形的面积，的面积的面积，
的面积的面积，
，解得：（负根已经舍弃），．
②作于，交于，当线段是等积垂分线段时，设，
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，由的面积的面积，
，解得（负根已经舍弃），
．
综上所述，四边形的一条等积垂分线段的长为
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）过点作的垂线，利用等边三角形的性质和等积垂分线的定义，可证得为垂直于边的等积垂分线，利用解直角三角形求出AD的长.
（2）作于，线段是垂直于边的等级垂分线，设，在中，利用解直角三角形求出AH的长，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值，即可求解.
（3）分情况讨论：①当线段是等积垂分线段时，作于，设交于．设，利用勾股定理可求出BD的长，由EF∥AB，可证得△DEH∽△DAB，利用相似三角形的性质，可表示出EH，DH的长，即可求出BH的长；再利用HL可证得△ABD≌△CBD，利用全等三角形的性质可证得∠ABD=∠DBC，可推出FH=FB，由此可表示出HG的长，利用相似三角形的性质可表示出FG，FH的长，由此可得到EF的长；再根据四边形的面积四边形的面积，的面积的面积，可推出的面积的面积，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到EF的长；②作于，交于，当线段是等积垂分线段时，设，分别表示出BY、BH的长；再证明ED=EH，利用等腰三角形的性质可表示出DG的长，利用解直角三角形可表示出EG、EH的长，可得到EF的长；由的面积的面积，可得到关于y的方程，解方程求出y的值，可得到EF的长；综上所述，可得到它的等积垂分线段长.
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