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浙江省杭州市临安区2025年中考数学一模考试 试卷
1．（2025·临安模拟）在下列各数中：，，，，，0，其中是负数的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2025·临安模拟）全国统一的医保信息平台已全面建成，为超过1360 000 000个参保人员提供医保服务. 数1 360 000 000 用科学记数法表示为 （　　）
A． B． C． D．
3．（2025·临安模拟）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（　　）．
A． B．
C． D．
4．（2025·临安模拟）中考结束后，九年（8）班全体同学和老师们举行了户外研学活动， 若九年（8）班共有学生45人，老师5人． 为了活动方便，植树小组打算进行两两随机组队． 若小哲和小涵都选择了植树，则他们被分到同一组的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·临安模拟）设，则S最接近的数是（　　）
A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
6．（2025·临安模拟）如图，，下列结论：①；②图中有两个余角；③若平分，则平分；④的平分线平分．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2025·临安模拟）小红读一本400页的书，计划10天内读完，前5天因种种原因只读了100页，为了按计划读完，则从第六天起平均每天至少要读多少页 设第六天起平均每天至少要读x页，则根据题意列不等式为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·临安模拟）如图，在矩形中，，，以为直径作，将矩形绕点顺时针旋转，使所得矩形的边与相切，边与相交于点，则的长为（　　）
A． B． C．3 D．4
9．（2025·临安模拟）已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下，则关于的方程的解是（　　）
… …
… …
A．， B．
C． D．，
10．（2025·临安模拟）如图、点分别是正方形边上的点，且．连接并延长，交的延长线于点M，设，则( )
A． B．
C． D．
11．（2025·临安模拟）下列算式中计算正确的有　 　（填序号）．
①，②，
③，④．
12．（2025·临安模拟）若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
13．（2025·临安模拟）若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是　 　．
14．（2025·临安模拟）《墨子 天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图1和如图2，正方形的边长为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，已知．
（1）四边形的外接圆半径为　 　．
（2）将正方形顺时针旋转一定角度，达到如图所示的位置，若点在线段延长线上，则长为　 　．
15．（2025·临安模拟）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是边上一动点，将沿折叠，点的对应点为点，当射线经过矩形一边的中点时（不含点），则的长为　 　．
16．（2025·临安模拟）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论①；②若点为的中点，则；③连接，，若，则；④．其中一定正确的是　 　．（填序号）
17．（2025·临安模拟）(1)先化简，再求值：[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]÷(4x).其中x=100，y=25.
(2)已知3a＝2b，求代数式[(a＋b)2－a2－b2＋4b(a－b)]÷(2b)的值．
18．（2025·临安模拟）如图，已知，，点D在边上，相交于点O．，
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
19．（2025·临安模拟）某校九年级（1）班为了了解本班同学的体育训练情况，全班同学进行了一次中考体育模拟考试，并对全班同学的体育模拟考试成绩进行了统计，将数据整理后得到下列不完整的统计图表，根据图表中的信息解答下列问题：
组别 分数段 人数
（1）九年级（1）班共有 　　名学生，表中的＝　　；
（2）写出该班学生的中考体育模拟考试成绩的中位数所落的分数段是第 　　组（填组别）；
（3）扇形统计图中组所对应的圆心角的度数是 　　；
（4）组的三名同学的成绩分别是：，这组数据的方差为 　　；
（5）该校九年级有学生人，请估计成绩未达到分的有 　　人．
20．（2025·临安模拟）如图，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度米，拱高米，其中C为的中点，D为弧的中点．（参考数据：，结果保留）
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）求弧的长．
21．（2025·临安模拟）宿迁市桃树栽培历史悠久，素有“夭桃千顷、翠柳万行”的美誉．小李家有一片80棵桃树的桃园，现准备多种一些桃树提高桃园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该桃园每棵桃树产桃y（千克）与增种桃树x（棵）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当桃园总产量为7000千克时，求x的值；
（3）如果增种的桃树x（棵）满足：，请你写出桃园的总产量W（千克）与x之间的函数关系式，并帮小李计算，桃园的总产量最多是多少千克？
22．（2025·临安模拟）已知：在矩形中，是对角线．求作：菱形，使点分别在边上．
作法：如图，①分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在线段两侧分别交于点；
②作直线交于点，与分别交于点；
③连接．
所以四边形就是所求的菱形．
根据上面设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
∵，
∴是的垂直平分线 （填推理根据）．
∴．
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∴ ．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形 （填推理根据）．
又∵，
∴四边形是菱形 （填推理根据）．
23．（2025·临安模拟）综合与实践
如图，在矩形中，点E是边AD上的一点（点E不与点A，点D重合），连结BE．过点C作交AD的延长线于点F，过点B作交FC的延长线于点G，过点F作交BE的延长线于点H．点P是线段CF上的一点，且．
探究发现：（1）点点发现结论：．请判断点点发现的结论是否正确，并说明理由．
深入探究：（2）老师请学生经过思考，提出新的问题，请你来解答．
①“运河小组”提出问题：如图1，若点P，点D，点H在同一条直线上，，，求的长．
②“武林小组”提出问题：如图2，连结和，若，，，求的值．
24．（2025·临安模拟）如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连结．
（1）求证：是的切线；
（2）如图2，过点B作的平行线交于点E．
①求的长；
②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点Q，当时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴负数有：，，，共个．
故答案为：B．
【分析】先分别化简可化简的数，再判断是否是负数，然后作出选择．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法通常形式为，其中 是一个不小于1但小于10的实数， 是一个整数，据此即可求解.
3．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由上向下观察物体得到的视图是A选项，所以它的俯视图是A选项．
故选：A．
【分析】本题考查几何体的三视图，三视图的投影规律具体表现为：主视图与俯视图长度方向对正，即主视图和俯视图的长度要相等；主视图与左视图高度方向平齐，即主视图和左视图的高度要相等；俯视图与左视图宽度方向相等，即左视图和俯视图的宽度要相等，据此作答，即可得到答案.
4．【答案】B
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解： ∵九年（8）班共有学生45人，老师5人 ，植树的占8%，
∴九年（8）班全体同学和老师们植树的人（人），
∴选择植树的有人，设另外两人分别为A和B，
∴列表如下：
　 A B 小哲 小涵
A 　 （B，A） （小哲，A） （小涵，A）
B （A，B） 　 （小哲，B） （小涵，B）
小哲 （A，小哲） （B，小哲） 　 （小涵，小哲）
小涵 （A，小涵） （B，小涵） （小哲，小涵） 　
∴一共有12种等可能得情况，其中他们被分到同一组的有4种情况，
∴他们被分到同一组的概率是．
故答案为：B．
【分析】先求出植树的人数，再用列表法求解概率．
5．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】设n为任意正整数，
∴
∴
，
因此与s最接近的整数是2009．
故答案为：B．
【分析】先得到，然后开方，再运用裂项相加解题即可．
6．【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：①∵，
∴，，
∴；故①不符合题意．
②∵，
∴，
∴有两个余角；故②符合题意；
③∵，平分，
∴，；
∴；
∴平分，故③符合题意．
④∵，（已证）；
∴的平分线与的平分线是同一条射线．故④符合题意．
故选：B．
【分析】此题主要考查角的和差运算，角平分线的定义，余角的含义，根据，由余角的含义，可得判定①不符合题意，②符合题意，再由平分，结合角平分线的定义，可判定③符合题意，结合角的和差运算，证得的平分线与的平分线是同一条射线，可得判定④符合题意．
7．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设第六天起平均每天要读x页，由题意可得，
，
即：．
故答案为：A．
【分析】设第六天起平均每天要读x页，根据100页+后5天读的页数≥400，列出不等式即可.
8．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；切线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：设边与相切于点F，连接，延长交于点G，作于点H，
∴
∵矩形绕点C旋转所得矩形为
，
∴四边形和都是矩形，，
，
，
，
∵四边形都是矩形，
，
∴，
．
故答案为：D．
【分析】先通过旋转的性质和添加的辅助线得到四边形和都是矩形，再利用矩形的性质求得OF，然后利用勾股定理求出CG的长度，最后利用垂径定理，求得CE．
9．【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表中数据可知，当x=0和x=2000时y的值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线x=，
∴x=500和x=1500时y=-1，
∴当y=-1时，x1=500，x2=1500，
∵当x=0时y=1，
∴c=1，
∴y=ax2+bx+1，
当y=-1时，ax2+bx+1=-1即ax2+bx+2=0
∴关于x的方程ax2+bx+2=0的解是x1=500，x2=1500.
故答案为：D.
【分析】利用表中数据，根据二次函数的对称性可求出抛物线的对称轴，再根据二次函数图象的对称性可知当y=-1时，x1=500，x2=1500，将x=0，y=1代入函数解析式，可得到y=ax2+bx+1，由此可知当y=-1时，可得到关于x的方程ax2+bx+2=0，由此可求出此方程的解.
10．【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴
设
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：
∵，
∴，
∴，
∴，
取，则
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用证明，再利用全等三角形的性质得到，设，再利用正方形的性质证明，然后列出比例式，从而求出，再利用，证得与的关系式，再求出DG与DF的比．
11．【答案】②③
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：①，
②，
③
④．
因此正确的有②③。
故答案为：②③.
【分析】 本题需要运用到代数的基本规则和二次根式的性质，对每个算式逐一分析，确定其计算的准确性。对于①，因为两个相同幂次的项相加，幂次不变，系数相加，计算即可；②可以利用完全平方公式进行计算；③先去掉括号，然后进行同底数幂相乘计算；④因为没有同类项，无法进行合并计算。
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
∴；
故答案是：
【分析】根据分式有意义的条件（分母不为0）结合题意即可求解。
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当时，函数是二次函数，令，即，
当时，二次函数的图象与轴有交点，
解得：，
当时，函数是一次函数，其解析式为，
直线与轴有交点，
故的取值范围是．
故答案为：．
【分析】根据二次函数与坐标轴的有交点，分“”、“”两种情况下，函数与轴有交点时的取值范围．
14．【答案】；
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；三角形全等的判定-SAS；位似图形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，连接，
正方形与四边形是位似图形，
四边形是正方形，
，
∴是四边形的外接圆直径，
正方形的边长为4，，
，
，
四边形的外接圆半径为，
故答案为：．
（2）∵四边形是正方形，四边形是正方形， 正方形的边长为，，
∴，
∵点在线段延长线上，，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
设，
∴CD'=x+4，
∵
∴
解得：（负值舍去）
故答案为：．
【分析】（1）先利用正方形的边长为4和位似比求出，再利用勾股定理求得即可求得四边形的外接圆半径 ；
（2）先利用正方形的性质求得C'D'和CD，再证明，然后利用全等三角形的性质证明，设，再用x表示出CD'，接着利用勾股定理得到关于x的方程求解即可耱得DD'．
15．【答案】或或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：当射线经过矩形一边的中点时（不含点），可分三种情况讨论：
（1）当射线经过矩形的中点时，如图1．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵将沿折叠，点的对应点为点，
∴，
∴，
（2）当射线经过矩形的中点时，则，如图2．
∴，
∵将沿折叠，点的对应点为点，
∴，
∴，
（3）当射线经过矩形的中点时，如图3．
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：或或．
【分析】分“射线经过矩形的中点”、“射线经过矩形的中点”、“当射线经过矩形的中点”三种情况讨论，分别画出图形，解直角三角形求解，求出BP的长．
16．【答案】①②④
【知识点】三角形的外角性质；垂径定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵点E是的内心，
∴平分，
∴，，故①正确；
∴，
∵点G为的中点，，
∴即，故②正确；
∵，
∴，
∵点E是的内心，
∴，，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【分析】利用内心定义，可判断①；
根据垂径定理的推论，可判断②；
根据三角形的内角和定理和内心定义，可判断③；
根据三角形的外角性质、圆周角定理和等腰三角形的判定，可判断④．
17．【答案】解：(1)[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]÷(4x)
=(9x2-4y2-5x2-8xy+4y2)÷(4x)
= x-2y
当x=100，y=25时.
原式=100-25×2
=50；
(2) [(a＋b)2－a2－b2＋4b(a－b)]÷(2b)
=（a2+2ab+b2－a2－b2＋4ab-4b2）÷(2b)
=（6ab-4b2）÷(2b)
=3a-2b
因为3a＝2b，
所以原式=0.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据整式的乘除法则和加减法则进行计算化简，再代入已知值计算.
18．【答案】（1）证明：∵，，，
∴
又∵，，
∴
（2）解：由（1）知，
∴
∴
∵
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平角概念和三角形形的内角和定理证得．即可利用AAS证明结论；
（2）根据全等三角形的性质可得再根据等腰三角形的性质，即可求解．
（1）证明一：∵，且，
∴
又∵，
∴
证明二：∵，
∴
∵，
∴
∴
即
又∵
∴
（2）解：由（1）知，
∴
∴
∵
∴．
19．【答案】（1），
（2）D
（3）
（4）
（5）
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）∵根据组学生在扇形统计图中所占百分比为，组学生在统计表格中的人数为名，
∴可求得全班总人数为：（名），
∴根据统计表格可求得组中学生人数；
故答案为：；
（2）∵全班学生人数：名，
∴第名和第名学生成绩的平均数是中位数，
∵，
∴中位数落在分数段；
故答案为：D；
（3）∵，
∴根据组的人数可求得在扇形统计图中所占的比为，
∴组所对应的圆心角的度数为；
故答案为：
（4）根据方差的定义可得：
组数据的平均数为：，
组数据的方差为：；
故答案为：；
（5）∵通过统计表格得成绩未达到分的人数为（人），
∴其与全班总人数的比为，
∴该校九年级成绩未达到分的有（人）；
故答案为：．
【分析】（1）根据组学生在扇形统计图中所占百分比和统计表格中的人数，可求得全班学生总人数，再根据统计表格可求得组中学生人数m；
（2）根据中位数的定义，可判断中位数所落的分数段；
（3）先根据组的人数，可求得在扇形统计图中所占的百分比，再 扇形统计图中组所对应百分比乘以，可求解组所对应的圆心角的度数；
（4）根据方差的定义计算；
（5）先求得所给的成绩未达到分的人数与全班总人数的比，再与该校九年级学生的总人数相乘即可．
（1）解：∵根据组学生在扇形统计图中所占百分比为，组学生在统计表格中的人数为名
∴可求得全班总人数为：（名），
∴根据统计表格可求得组中学生人数；
故答案为：；
（2）解：∵全班学生人数：名，
∴第名和第名学生成绩的平均数是中位数，
∵，
∴中位数落在分数段；
故答案为：D；
（3）解：∵由（1）得，
∴根据组的人数可求得在扇形统计图中所占的比为，
∴组所对应的圆心角的度数为；
故答案为：
（4）解：根据方差的定义可得：
组数据的平均数为：，
组数据的方差为：；
故答案为：；
（5）解：∵通过统计表格得成绩未达到分的人数为（人），
∴其与全班总人数的比为，
∴该校九年级成绩未达到分的有（人）；
故答案为：．
20．【答案】（1）解：设该圆弧的圆心为O，该圆弧所在圆的半径为r米，连接，
∵C为的中点，D为弧的中点，
∴，
∴三点共线，
∴米，
∵跨度米，拱高米，
∴米，米，
∵，
∴，
解得：，
∴该圆弧所在圆的半径为20米；
（2）解：如图所示，连接，
在中，∵AC=16，AO=20，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为米．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）先说明三点共线，再根据勾股定理列出关于r的方程求解；
（2）先利用余弦求得∠OAC，再利用直角三角形的两个锐角互余，求得∠AOC，再利用圆周角定理求得∠AOB，然后利用弧长公式求解．
（1）解：设该圆弧的圆心为O，连接，
∵C为的中点，D为弧的中点，
∴，
∴三点共线，
设该圆弧所在圆的半径为r米，则米，
∵跨度米，拱高米，
∴米，米，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴该圆弧所在圆的半径为20米；
（2）解：如图所示，连接，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为米．
21．【答案】（1）解：设，
∵，在函数的图象上，
∴，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解： 当桃园总产量为7000千克时，
，
解得：，，
∴x的值为20或60．
（3）解：，
∵，，
∴当时，W的最大值为7200．
答：桃园的总产量W（千克）与x之间的函数关系式为，桃园的总产量最多是7200千克．
【知识点】一元二次方程的其他应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先设一次函数解析式，将两点坐标代入，转化关于待定系数的方程组求解，求出函数关系式；
（2）根据“桃园总产量为7000千克”，建立一元二次方程求解即可；
（3）仿照（2）的过程，得到桃园的总产量W（千克）与x之间的函数关系式，再配方后，在自变量范围内求出最大值．
（1）设，代入，，得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）由题意得，，
解得，，
∴x的值为20或60．
（3），
∵，，
∴当时，W的最大值为7200．
答：桃园的总产量W（千克）与x之间的函数关系式为，桃园的总产量最多是7200千克．
22．【答案】（1）解：补全图形如图所示：
（2）到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（2）证明：连接，
∵，
∴是的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵，
∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
故答案为：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【分析】（1）根据作法作图；
（2）根据线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理求解．
（1）解：补全图形如图所示：
；
（2）证明：连接，
，
∵，
∴是的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵，
∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
故答案为：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
23．【答案】解：证明：（1）∵矩形，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∴点点发现的结论正确．
（2）①在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点H作，如图所示：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
②连结，在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边
24．【答案】（1）证明：以为直径的交于点D，M是的中点，如图1，
连接、、，
，
，
，
，
，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：①在中，，，，如图2， 连结，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
则，
解得，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
，
；
②过点D作于H，连结，，连结，
则，
，
，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）先利用圆周角定理求得，再根据直角三角形斜边上的中线的性质得出BM=DM=CD，再利用等边对等角，证明再利用等量代换得到，即可证明是的切线；
（2）先利用解直角三角形得到，再结合等腰三角形性质得到，然后利用等腰三角形性质求得，再根据线段的差求得AE求解，即可解题；
②先利用解直角三角形求得，，再求得，，然后证明，利用相似三角形性质求解．
（1）证明：以为直径的交于点D，M是的中点，如图1，连接、、，
，
，
，
，
，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：①在中，，，，如图2， 连结，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
则，
解得，
，
，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴，
，
，
；
②过点D作于H，连结，，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
连结，
，
，
，
，
，
．
1 / 1浙江省杭州市临安区2025年中考数学一模考试 试卷
1．（2025·临安模拟）在下列各数中：，，，，，0，其中是负数的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴负数有：，，，共个．
故答案为：B．
【分析】先分别化简可化简的数，再判断是否是负数，然后作出选择．
2．（2025·临安模拟）全国统一的医保信息平台已全面建成，为超过1360 000 000个参保人员提供医保服务. 数1 360 000 000 用科学记数法表示为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法通常形式为，其中 是一个不小于1但小于10的实数， 是一个整数，据此即可求解.
3．（2025·临安模拟）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由上向下观察物体得到的视图是A选项，所以它的俯视图是A选项．
故选：A．
【分析】本题考查几何体的三视图，三视图的投影规律具体表现为：主视图与俯视图长度方向对正，即主视图和俯视图的长度要相等；主视图与左视图高度方向平齐，即主视图和左视图的高度要相等；俯视图与左视图宽度方向相等，即左视图和俯视图的宽度要相等，据此作答，即可得到答案.
4．（2025·临安模拟）中考结束后，九年（8）班全体同学和老师们举行了户外研学活动， 若九年（8）班共有学生45人，老师5人． 为了活动方便，植树小组打算进行两两随机组队． 若小哲和小涵都选择了植树，则他们被分到同一组的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解： ∵九年（8）班共有学生45人，老师5人 ，植树的占8%，
∴九年（8）班全体同学和老师们植树的人（人），
∴选择植树的有人，设另外两人分别为A和B，
∴列表如下：
　 A B 小哲 小涵
A 　 （B，A） （小哲，A） （小涵，A）
B （A，B） 　 （小哲，B） （小涵，B）
小哲 （A，小哲） （B，小哲） 　 （小涵，小哲）
小涵 （A，小涵） （B，小涵） （小哲，小涵） 　
∴一共有12种等可能得情况，其中他们被分到同一组的有4种情况，
∴他们被分到同一组的概率是．
故答案为：B．
【分析】先求出植树的人数，再用列表法求解概率．
5．（2025·临安模拟）设，则S最接近的数是（　　）
A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】设n为任意正整数，
∴
∴
，
因此与s最接近的整数是2009．
故答案为：B．
【分析】先得到，然后开方，再运用裂项相加解题即可．
6．（2025·临安模拟）如图，，下列结论：①；②图中有两个余角；③若平分，则平分；④的平分线平分．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：①∵，
∴，，
∴；故①不符合题意．
②∵，
∴，
∴有两个余角；故②符合题意；
③∵，平分，
∴，；
∴；
∴平分，故③符合题意．
④∵，（已证）；
∴的平分线与的平分线是同一条射线．故④符合题意．
故选：B．
【分析】此题主要考查角的和差运算，角平分线的定义，余角的含义，根据，由余角的含义，可得判定①不符合题意，②符合题意，再由平分，结合角平分线的定义，可判定③符合题意，结合角的和差运算，证得的平分线与的平分线是同一条射线，可得判定④符合题意．
7．（2025·临安模拟）小红读一本400页的书，计划10天内读完，前5天因种种原因只读了100页，为了按计划读完，则从第六天起平均每天至少要读多少页 设第六天起平均每天至少要读x页，则根据题意列不等式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设第六天起平均每天要读x页，由题意可得，
，
即：．
故答案为：A．
【分析】设第六天起平均每天要读x页，根据100页+后5天读的页数≥400，列出不等式即可.
8．（2025·临安模拟）如图，在矩形中，，，以为直径作，将矩形绕点顺时针旋转，使所得矩形的边与相切，边与相交于点，则的长为（　　）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；切线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：设边与相切于点F，连接，延长交于点G，作于点H，
∴
∵矩形绕点C旋转所得矩形为
，
∴四边形和都是矩形，，
，
，
，
∵四边形都是矩形，
，
∴，
．
故答案为：D．
【分析】先通过旋转的性质和添加的辅助线得到四边形和都是矩形，再利用矩形的性质求得OF，然后利用勾股定理求出CG的长度，最后利用垂径定理，求得CE．
9．（2025·临安模拟）已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下，则关于的方程的解是（　　）
… …
… …
A．， B．
C． D．，
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表中数据可知，当x=0和x=2000时y的值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线x=，
∴x=500和x=1500时y=-1，
∴当y=-1时，x1=500，x2=1500，
∵当x=0时y=1，
∴c=1，
∴y=ax2+bx+1，
当y=-1时，ax2+bx+1=-1即ax2+bx+2=0
∴关于x的方程ax2+bx+2=0的解是x1=500，x2=1500.
故答案为：D.
【分析】利用表中数据，根据二次函数的对称性可求出抛物线的对称轴，再根据二次函数图象的对称性可知当y=-1时，x1=500，x2=1500，将x=0，y=1代入函数解析式，可得到y=ax2+bx+1，由此可知当y=-1时，可得到关于x的方程ax2+bx+2=0，由此可求出此方程的解.
10．（2025·临安模拟）如图、点分别是正方形边上的点，且．连接并延长，交的延长线于点M，设，则( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴
设
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：
∵，
∴，
∴，
∴，
取，则
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用证明，再利用全等三角形的性质得到，设，再利用正方形的性质证明，然后列出比例式，从而求出，再利用，证得与的关系式，再求出DG与DF的比．
11．（2025·临安模拟）下列算式中计算正确的有　 　（填序号）．
①，②，
③，④．
【答案】②③
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：①，
②，
③
④．
因此正确的有②③。
故答案为：②③.
【分析】 本题需要运用到代数的基本规则和二次根式的性质，对每个算式逐一分析，确定其计算的准确性。对于①，因为两个相同幂次的项相加，幂次不变，系数相加，计算即可；②可以利用完全平方公式进行计算；③先去掉括号，然后进行同底数幂相乘计算；④因为没有同类项，无法进行合并计算。
12．（2025·临安模拟）若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
∴；
故答案是：
【分析】根据分式有意义的条件（分母不为0）结合题意即可求解。
13．（2025·临安模拟）若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当时，函数是二次函数，令，即，
当时，二次函数的图象与轴有交点，
解得：，
当时，函数是一次函数，其解析式为，
直线与轴有交点，
故的取值范围是．
故答案为：．
【分析】根据二次函数与坐标轴的有交点，分“”、“”两种情况下，函数与轴有交点时的取值范围．
14．（2025·临安模拟）《墨子 天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图1和如图2，正方形的边长为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，已知．
（1）四边形的外接圆半径为　 　．
（2）将正方形顺时针旋转一定角度，达到如图所示的位置，若点在线段延长线上，则长为　 　．
【答案】；
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；三角形全等的判定-SAS；位似图形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，连接，
正方形与四边形是位似图形，
四边形是正方形，
，
∴是四边形的外接圆直径，
正方形的边长为4，，
，
，
四边形的外接圆半径为，
故答案为：．
（2）∵四边形是正方形，四边形是正方形， 正方形的边长为，，
∴，
∵点在线段延长线上，，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
设，
∴CD'=x+4，
∵
∴
解得：（负值舍去）
故答案为：．
【分析】（1）先利用正方形的边长为4和位似比求出，再利用勾股定理求得即可求得四边形的外接圆半径 ；
（2）先利用正方形的性质求得C'D'和CD，再证明，然后利用全等三角形的性质证明，设，再用x表示出CD'，接着利用勾股定理得到关于x的方程求解即可耱得DD'．
15．（2025·临安模拟）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是边上一动点，将沿折叠，点的对应点为点，当射线经过矩形一边的中点时（不含点），则的长为　 　．
【答案】或或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：当射线经过矩形一边的中点时（不含点），可分三种情况讨论：
（1）当射线经过矩形的中点时，如图1．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵将沿折叠，点的对应点为点，
∴，
∴，
（2）当射线经过矩形的中点时，则，如图2．
∴，
∵将沿折叠，点的对应点为点，
∴，
∴，
（3）当射线经过矩形的中点时，如图3．
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：或或．
【分析】分“射线经过矩形的中点”、“射线经过矩形的中点”、“当射线经过矩形的中点”三种情况讨论，分别画出图形，解直角三角形求解，求出BP的长．
16．（2025·临安模拟）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论①；②若点为的中点，则；③连接，，若，则；④．其中一定正确的是　 　．（填序号）
【答案】①②④
【知识点】三角形的外角性质；垂径定理；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵点E是的内心，
∴平分，
∴，，故①正确；
∴，
∵点G为的中点，，
∴即，故②正确；
∵，
∴，
∵点E是的内心，
∴，，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【分析】利用内心定义，可判断①；
根据垂径定理的推论，可判断②；
根据三角形的内角和定理和内心定义，可判断③；
根据三角形的外角性质、圆周角定理和等腰三角形的判定，可判断④．
17．（2025·临安模拟）(1)先化简，再求值：[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]÷(4x).其中x=100，y=25.
(2)已知3a＝2b，求代数式[(a＋b)2－a2－b2＋4b(a－b)]÷(2b)的值．
【答案】解：(1)[(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]÷(4x)
=(9x2-4y2-5x2-8xy+4y2)÷(4x)
= x-2y
当x=100，y=25时.
原式=100-25×2
=50；
(2) [(a＋b)2－a2－b2＋4b(a－b)]÷(2b)
=（a2+2ab+b2－a2－b2＋4ab-4b2）÷(2b)
=（6ab-4b2）÷(2b)
=3a-2b
因为3a＝2b，
所以原式=0.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】根据整式的乘除法则和加减法则进行计算化简，再代入已知值计算.
18．（2025·临安模拟）如图，已知，，点D在边上，相交于点O．，
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，，
∴
又∵，，
∴
（2）解：由（1）知，
∴
∴
∵
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平角概念和三角形形的内角和定理证得．即可利用AAS证明结论；
（2）根据全等三角形的性质可得再根据等腰三角形的性质，即可求解．
（1）证明一：∵，且，
∴
又∵，
∴
证明二：∵，
∴
∵，
∴
∴
即
又∵
∴
（2）解：由（1）知，
∴
∴
∵
∴．
19．（2025·临安模拟）某校九年级（1）班为了了解本班同学的体育训练情况，全班同学进行了一次中考体育模拟考试，并对全班同学的体育模拟考试成绩进行了统计，将数据整理后得到下列不完整的统计图表，根据图表中的信息解答下列问题：
组别 分数段 人数
（1）九年级（1）班共有 　　名学生，表中的＝　　；
（2）写出该班学生的中考体育模拟考试成绩的中位数所落的分数段是第 　　组（填组别）；
（3）扇形统计图中组所对应的圆心角的度数是 　　；
（4）组的三名同学的成绩分别是：，这组数据的方差为 　　；
（5）该校九年级有学生人，请估计成绩未达到分的有 　　人．
【答案】（1），
（2）D
（3）
（4）
（5）
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）∵根据组学生在扇形统计图中所占百分比为，组学生在统计表格中的人数为名，
∴可求得全班总人数为：（名），
∴根据统计表格可求得组中学生人数；
故答案为：；
（2）∵全班学生人数：名，
∴第名和第名学生成绩的平均数是中位数，
∵，
∴中位数落在分数段；
故答案为：D；
（3）∵，
∴根据组的人数可求得在扇形统计图中所占的比为，
∴组所对应的圆心角的度数为；
故答案为：
（4）根据方差的定义可得：
组数据的平均数为：，
组数据的方差为：；
故答案为：；
（5）∵通过统计表格得成绩未达到分的人数为（人），
∴其与全班总人数的比为，
∴该校九年级成绩未达到分的有（人）；
故答案为：．
【分析】（1）根据组学生在扇形统计图中所占百分比和统计表格中的人数，可求得全班学生总人数，再根据统计表格可求得组中学生人数m；
（2）根据中位数的定义，可判断中位数所落的分数段；
（3）先根据组的人数，可求得在扇形统计图中所占的百分比，再 扇形统计图中组所对应百分比乘以，可求解组所对应的圆心角的度数；
（4）根据方差的定义计算；
（5）先求得所给的成绩未达到分的人数与全班总人数的比，再与该校九年级学生的总人数相乘即可．
（1）解：∵根据组学生在扇形统计图中所占百分比为，组学生在统计表格中的人数为名
∴可求得全班总人数为：（名），
∴根据统计表格可求得组中学生人数；
故答案为：；
（2）解：∵全班学生人数：名，
∴第名和第名学生成绩的平均数是中位数，
∵，
∴中位数落在分数段；
故答案为：D；
（3）解：∵由（1）得，
∴根据组的人数可求得在扇形统计图中所占的比为，
∴组所对应的圆心角的度数为；
故答案为：
（4）解：根据方差的定义可得：
组数据的平均数为：，
组数据的方差为：；
故答案为：；
（5）解：∵通过统计表格得成绩未达到分的人数为（人），
∴其与全班总人数的比为，
∴该校九年级成绩未达到分的有（人）；
故答案为：．
20．（2025·临安模拟）如图，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度米，拱高米，其中C为的中点，D为弧的中点．（参考数据：，结果保留）
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）求弧的长．
【答案】（1）解：设该圆弧的圆心为O，该圆弧所在圆的半径为r米，连接，
∵C为的中点，D为弧的中点，
∴，
∴三点共线，
∴米，
∵跨度米，拱高米，
∴米，米，
∵，
∴，
解得：，
∴该圆弧所在圆的半径为20米；
（2）解：如图所示，连接，
在中，∵AC=16，AO=20，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为米．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）先说明三点共线，再根据勾股定理列出关于r的方程求解；
（2）先利用余弦求得∠OAC，再利用直角三角形的两个锐角互余，求得∠AOC，再利用圆周角定理求得∠AOB，然后利用弧长公式求解．
（1）解：设该圆弧的圆心为O，连接，
∵C为的中点，D为弧的中点，
∴，
∴三点共线，
设该圆弧所在圆的半径为r米，则米，
∵跨度米，拱高米，
∴米，米，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴该圆弧所在圆的半径为20米；
（2）解：如图所示，连接，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为米．
21．（2025·临安模拟）宿迁市桃树栽培历史悠久，素有“夭桃千顷、翠柳万行”的美誉．小李家有一片80棵桃树的桃园，现准备多种一些桃树提高桃园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该桃园每棵桃树产桃y（千克）与增种桃树x（棵）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当桃园总产量为7000千克时，求x的值；
（3）如果增种的桃树x（棵）满足：，请你写出桃园的总产量W（千克）与x之间的函数关系式，并帮小李计算，桃园的总产量最多是多少千克？
【答案】（1）解：设，
∵，在函数的图象上，
∴，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解： 当桃园总产量为7000千克时，
，
解得：，，
∴x的值为20或60．
（3）解：，
∵，，
∴当时，W的最大值为7200．
答：桃园的总产量W（千克）与x之间的函数关系式为，桃园的总产量最多是7200千克．
【知识点】一元二次方程的其他应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先设一次函数解析式，将两点坐标代入，转化关于待定系数的方程组求解，求出函数关系式；
（2）根据“桃园总产量为7000千克”，建立一元二次方程求解即可；
（3）仿照（2）的过程，得到桃园的总产量W（千克）与x之间的函数关系式，再配方后，在自变量范围内求出最大值．
（1）设，代入，，得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）由题意得，，
解得，，
∴x的值为20或60．
（3），
∵，，
∴当时，W的最大值为7200．
答：桃园的总产量W（千克）与x之间的函数关系式为，桃园的总产量最多是7200千克．
22．（2025·临安模拟）已知：在矩形中，是对角线．求作：菱形，使点分别在边上．
作法：如图，①分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在线段两侧分别交于点；
②作直线交于点，与分别交于点；
③连接．
所以四边形就是所求的菱形．
根据上面设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
∵，
∴是的垂直平分线 （填推理根据）．
∴．
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∴ ．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形 （填推理根据）．
又∵，
∴四边形是菱形 （填推理根据）．
【答案】（1）解：补全图形如图所示：
（2）到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（2）证明：连接，
∵，
∴是的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵，
∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
故答案为：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【分析】（1）根据作法作图；
（2）根据线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理求解．
（1）解：补全图形如图所示：
；
（2）证明：连接，
，
∵，
∴是的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵，
∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
故答案为：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
23．（2025·临安模拟）综合与实践
如图，在矩形中，点E是边AD上的一点（点E不与点A，点D重合），连结BE．过点C作交AD的延长线于点F，过点B作交FC的延长线于点G，过点F作交BE的延长线于点H．点P是线段CF上的一点，且．
探究发现：（1）点点发现结论：．请判断点点发现的结论是否正确，并说明理由．
深入探究：（2）老师请学生经过思考，提出新的问题，请你来解答．
①“运河小组”提出问题：如图1，若点P，点D，点H在同一条直线上，，，求的长．
②“武林小组”提出问题：如图2，连结和，若，，，求的值．
【答案】解：证明：（1）∵矩形，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∴点点发现的结论正确．
（2）①在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点H作，如图所示：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
②连结，在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边
24．（2025·临安模拟）如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连结．
（1）求证：是的切线；
（2）如图2，过点B作的平行线交于点E．
①求的长；
②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点Q，当时，求的值．
【答案】（1）证明：以为直径的交于点D，M是的中点，如图1，
连接、、，
，
，
，
，
，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：①在中，，，，如图2， 连结，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
则，
解得，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
，
；
②过点D作于H，连结，，连结，
则，
，
，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）先利用圆周角定理求得，再根据直角三角形斜边上的中线的性质得出BM=DM=CD，再利用等边对等角，证明再利用等量代换得到，即可证明是的切线；
（2）先利用解直角三角形得到，再结合等腰三角形性质得到，然后利用等腰三角形性质求得，再根据线段的差求得AE求解，即可解题；
②先利用解直角三角形求得，，再求得，，然后证明，利用相似三角形性质求解．
（1）证明：以为直径的交于点D，M是的中点，如图1，连接、、，
，
，
，
，
，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：①在中，，，，如图2， 连结，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
则，
解得，
，
，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴，
，
，
；
②过点D作于H，连结，，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
连结，
，
，
，
，
，
．
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