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(共42张PPT)
第1课时　向量数量积的概念
预 学 案
一、向量的夹角
1．定义：已知两个________a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则________叫作向量a与b的夹角，夹角的取值范围是________．
2．特例：
(1)当θ＝0时，向量a，b________．
(2)当θ＝π时，向量a，b________．
(3)当θ＝时，向量a，b________，记作________．
非零向量
∠AOB＝θ
0≤θ≤π
同向
反向
垂直
a⊥b
练习　若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是(　　)
A．60° B．120°
C．30° D．150°
答案：A
解析：因为向量a与向量b的夹角为60°，根据向量夹角的几何意义，－a与－b构成的夹角和a与b的夹角相等，故选A.
二、向量的数量积
已知两个非零向量a与b，我们把数量________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作________，即________________(θ为a，b的夹角)．
规定：零向量与任一向量的数量积为________．
|a||b|cos θ
a·b
a·b＝|a||b|cos θ
0
练习　已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝4，|b|＝4，则a·b＝(　　)
A．4 B．4
C．8 D．8
答案：C
解析：因为平面向量a，b的夹角为，且|a|＝4，|b|＝4，
所以a·b＝|a||b|cos ＝4×4×＝8.
故选C.
三、投影向量
1．如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影叫做向量a在向量b上的________．
投影向量
2．如图(2)，我们可以在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的________．
3．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝________．
投影向量
|a|cos θ e
练习　已知|a|＝3，e为单位向量，它们的夹角为，则向量a在e上的投影向量是________．
e
解析：a和e夹角为锐角，于是a在e上的投影向量和e同向共线，故投影向量为|a|·cos ·e＝e.
四、向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝________．
(2)a⊥b ________．
(3)当a与b同向时，a·b＝________；当a与b反向时，a·b＝________．特别地，a·a＝________或|a|＝________．
(4)|a·b|____|a||b|.
|a|cos θ
a·b＝0
|a||b|
－|a||b|
|a|2
≤
练习　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)a与b的数量积a·b是一个向量．(　　)
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　)
(3)若a⊥b，则a·b＝0.(　　)
(4)向量a在b上的投影向量是一个模等于|acos θ|(θ是a与b的夹角)，方向与b相同或相反的一个向量．(　　)
×
×
√
√
2．若|a|＝1，|b|＝3，a·b＝，则向量a与b的夹角为(　　)
A．　　B． C．　　D．
答案：C
解析：设向量a与b的夹角为θ，
由|a|＝1，|b|＝3，a·b＝，
得cos θ＝＝＝，
所以θ＝.故选C.
微点拨
按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，
∠BAC不是向量与向量的夹角，∠BAD才是向量与向量的夹角．
微点拨
(1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
(2)两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a、b的乘积ab(或a·b)是不同的．
(3)在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0；但是在数量积中，当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．因为其中cos θ有可能为0，即任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.
(4)已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝bc a＝c；但对于向量，该推理就是不正确的，即a·b＝b·cD a＝c.
微点拨
(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量．
(2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性．
微点拨
(1)a⊥b a·b＝0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算．
(2)a·a＝a2＝|a|2与|a|＝＝也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)用cos θ＝求两向量的夹角，且夹角的取值与a·b的符号有关．
设两个非零向量a与b的夹角为θ，则
当θ＝0时，cos θ＝1，a·b＝|a||b|；
当θ为锐角时，cos θ>0，a·b>0；
当θ为直角时，cos θ＝0，a·b＝0；
当θ为钝角时，cos θ<0，a·b<0；
当θ＝π时，cos θ＝－1，a·b＝－|a||b|.
(4)|a·b|≤|a||b|可以用来通过构造向量来证明不等式问题或解决最值问题．
共 学 案
【学习目标】　
(1)知道向量数量积的物理背景，理解并掌握向量数量积的定义及投影向量．
(2)掌握向量数量积的性质，并会求向量的模与向量的夹角．
题型 1 两向量的夹角
【问题探究1】　如图，一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为W＝|F||s|cos θ，在该公式中，涉及力与位移的夹角，我们要先定义向量的夹角的概念．什么是向量的夹角？
提示：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角，夹角的取值范围是0≤θ≤π.
例1　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
解析：如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以为邻边作平行四边形OACB，
则＝a＋b，＝a－b.
因为|a|＝|b|＝2，
所以平行四边形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
笔记
(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
(2)特别地，与的夹角为θ，λ1与λ2 （λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
训练1　在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案：C
解析：如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°.故选C.
题型 2 两向量的数量积
【问题探究2】　类比力做功的物理模型，你能给出向量数量积的定义吗？两个向量的数量积还是向量吗？
提示：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为a，b的夹角)．由数量积的定义知两个向量的数量积不是向量是数量．
例2　如图，在平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
解析：(1)平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，
∵＝，∴·＝2＝9.
(2)∵＝－，
∴·＝－2＝－16.
(3)根据平面向量数量积的定义知，
·＝||×||×cos 60°＝4×3×＝6.
笔记：
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式·＝||||cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
训练2　在等边三角形ABC中，边长为2，求··的值．
解析：·＝||||cos A＝2×2×＝2，
·＝－·＝－||||cos B＝－2×2×＝－2.
题型 3 投影向量
【问题探究3】　如图，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么与e，a，θ之间有怎样的关系？
提示：＝|a|cos θ e.
例3　如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点．
(1)求在上的投影向量；
(2)求在上的投影向量．
解析：因为△ABC为等腰三角形，且D为BC的中点，
所以AD⊥BC，又因为AB＝2，∠ABC＝30°，
所以CD＝BD＝AB·cos 30°＝.
由图可知向量与向量的夹角为∠ABC的补角，
所以向量与向量的夹角为150°，
＝＝.
(1)在上的投影向量为
||cos 150°×＝2×cos 150°×＝－.
(2)在上的投影向量为
||cos 150°×＝×cos 150°×＝－.
笔记
(1)任意的非零向量在另一非零向量上的投影向量等于||cos θ(θ为向量的夹角，为与同向的单位向量)．
(2)在平面几何图形中，求一个向量在另一个向量上的投影向量时，关键是作出恰当的垂线，根据题意确定向量的模及两向量的夹角．
训练3　已知|a|＝1，|b|＝3，a·b＝－3，则向量a在向量b上的投影向量为________．
－b
解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝－3，又|b|＝3，
∴|a|cos θ＝－1，又＝，
所以向量a在向量b方向上的投影向量为－b.
题型 4 向量数量积的性质
【问题探究4】　探究以下问题，尝试发现数量积的性质．
(1)向量a与单位向量e的数量积结果是什么？
(2)当两个非零向量a与b互相平行或垂直时，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性，这时它们的数量积又有怎样的特殊性？
(3)|a·b|与|a||b|有什么关系？

提示：(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(3)|a·b|≤|a||b|.
例4　已知△ABC中，＝a，＝b，当a·b满足下列哪个条件时，能确定△ABC的形状？如能确定，指出三角形的形状，如不能确定，请说明理由．
(1)a·b<0；(2)a·b＝0；(3)a·b>0.

解析：∵a·b＝·＝||||cos A.
故(1)当a·b<0时，∠A为钝角，△ABC为钝角三角形；
(2)当a·b＝0时，∠A为直角，△ABC为直角三角形；
(3)当a·b>0时，∠A为锐角，△ABC的形状不确定．
笔记
利用数量积的性质判断三角形的形状关键看角的大小，若其中有一个角为钝角或直角，那么三角形为钝角三角形或直角三角形，若其中有一个角为锐角，三角形的形状不能判断为锐角三角形．
训练4　已知a，b，c是三个非零向量，则下列说法中正确的个数为(　　)
①若a·b＝±|a|·|b|，则a∥b；
②若a，b反向，则a·b＝－|a|·|b|；
③若a⊥b，则|a＋b|＝|a－b|；
④若|a|＝|b|，则|a·c|＝|b·c|.
A．1　　　B．2 C．3　　　D．4
答案：C
解析：对于①，设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cos θ，∴由a·b＝±|a||b|及a，b为非零向量，可得cos θ＝±1，∴θ＝0或π，∴a∥b，故①正确；对于②，若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b＝|a||b|·cos π＝－|a||b|，故②正确；对于③，当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|，故③正确；对于④，当|a|＝|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，|a·c|≠|b·c|，故④错误．故选C.
随堂练习
1．已知单位向量a，b，夹角为30°，则a·b＝(　　)
A．　　　B． C．1　　　D．－
答案：B
解析：由向量的数量积公式，得a·b＝|a||b|·cos 30°＝1×1×＝，故选B.
2．若a·b>0，则a与b的夹角θ的取值范围是(　　)
A．[0，) B．[，π)
C．(，π] D．(，π)
答案：A
解析：因为a·b>0，所以cos θ>0，所以θ∈[0，)．故选A.
3．已知平面向量a，b的夹角为，且＝4，＝4，则a·b＝(　　)
A．4　　　B．4 C．8　　　D．8
答案：C
解析：因为平面向量a，b的夹角为，且＝4，＝4，
所以a·b＝cos ＝4×4×＝8，故选C.
4．已知|a|＝2，a与b的夹角为，e是与b同向的单位向量，则a在b方向上的投影向量为________．
－e
解析：a在b方向上的投影向量为|a|cos 〈a，b〉·e＝2cos ·e＝－e.
课堂小结
1.向量数量积的定义，会用数量积的定义求两个向量的数量积．
2．会求一个向量在另一个向量上的投影向量．
3．向量数量积的性质的应用．

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