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黄石市石灰窑区四校2025年中考第一次模拟考试
数学试题卷
一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图，小球左端固定在弹簧上，若小球从静止位置向右，记作，则小球从静止位置向左，记作（ ）
A． B． C． D．
2. 下列图形是轴对称图形而不是中心对图形的是（ ）
A. B. C. D.
3．如图，已知直线AB//CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（ ）．
A．150° B．130° C．120° D．100°
4. 下列说法正确的是（ ）
A. “367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件
B. “任意买一张电影票，座位号是偶数”是不可能事件
C. 选出某校短跑最快的学生参加全市比赛用抽样调查
D. 调查春节联欢晚会的收视率用全面调查
5．某银行经过最近的两次降息，使一年期存款年利率由降至，设平均每次降息的百分率是x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6.不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若，则点F的坐标是（ ）
A. B. C. D.
8．如图所示，是半圆的直径，为的中点，，则的度数为（ ）.
A．80° B．100° C．140° D．110°
9. 如图，点在同一条直线上，点在点之间，点在直线同侧，，，，连接．设，给出下面三个结论∶①；② ；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ① ② B. ① ③ C. ② ③ D. ① ② ③
10．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与x轴交于，两点，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．（m为任意实数）
二、填空题（本大题包括5小题，每小题3分，共15分。请把各题的答案填写在答题卡上）
11．写出一个大小在和之间的整数是 ．
12. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其余差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为________．
13. 如图，在平行四边形中，，点、分别是、的中点，则__________．
14．声音在空气中传播的速度与气温（）之间的关系式为．当时，某人看到烟花燃放后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为 ．
15. 如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，若四边形的面积为6，则线段的长为__________．
三、解答题（本大题共9个小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（6分）先化简，再求值：，其中．
17. （6分）如图，在中，，，垂足为，点在上．求证：．
18.（6分）
综合与实践
【问题情境】龙象塔位于南宁市青秀山风景区，取“水行龙力大，陆行象力大”之意．某校数学实践小组利用所学数学知识测量龙象塔的高度．
【实践探究】下面是两个方案及测量数据：
项目 测量龙象塔的高度
方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角α，仰角β．
测量示意图
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值
1.61 m 1.59 m 1.6 m β 26.4° 26.6° 26.5°
1.18 m 1.22 m 1.2 m α 37.1° 36.9° 37°
38.9 m 39.1 m 39 m 34.8 m 35.2 m 35 m
【问题解决】
(1)根据“方案一”的测量数据，直接写出龙象塔的高度；
(2)根据“方案二”的测量数据，求出龙象塔的高度；（参考数据：，，，，，）
(3)请对本次实践活动进行评价（一条即可）．
19. （8分）
为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定个及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了名男生至月份的测试成绩．其中，月份测试成绩如表，月份测试成绩如图（尚不完整）．整理本学期测试数据得到表和图（尚不完整）．
表：月份测试成绩统计表
个数
人数
表：本学期测试成绩统计表
平均数个 众数个 中位数个 合格率
2月
3月
4月
5月
6月
图2请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出，，的值；
（2）从不同角度分析本次引体向上训练活动的效果；（写两条即可）
（3）该校八年级男生有人，以随机抽查的名男生月份训练成绩为样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数．
20. （8分）
如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD=4，sin∠AOD=，且点B的坐标为(n,-2)．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．
21．（8分）
如图，在中，，在上，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，交于点，过作，垂足为．
(1)与有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
(2)若的半径长为，，求的长．
22. （10分）
小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于进价，而每件的利润不高于进价的．
（1）设小明每月获得利润为w（单位：元），求每月获得利润w与销售单价x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得1500元的利润？
（3）当销售单价定为多少元时，每月利润最大？每月最大利润是多少？
23．（11分）
在中，，点是边上不与点重合的一动点，将绕点旋转得到，点的对应点落在直线上，与相交于点，连接．
(1)如图1，当点与点重合时，
①求证：；
②判断与的位置关系是______；
(2)如图2，当点不与点重合，点在边上时，判断与的位置关系，并写出证明过程；
(3)如图3，当点是的中点，点在边上时，延长相交于点．若，求的长．
24. （12分）
如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，直线交抛物线于点．
（1）填空：______，_____；
（2）若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上有一动点，过点作轴的垂线分别交直线和直线于点，设，点的横坐标为
①求关于的函数关系式；
②求满足为整数的点的个数．答案解析
1.【答案】B
【分析】本题考查了用正负数来表示具有相反意义的量，明确方向与符号的对应关系（右为，左为）是解题的关键．以静止位置为原点，向右为正方向（），向左为负方向（）．
【详解】解：小球从静止位置向右，记作，
小球从静止位置向左，记为，
故选：B．
2.【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．既是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
3.【答案】C
【详解】解：∵直线AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，
∵∠CDB=180°-∠CDE=30°，
∴∠ABD=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=60°，
∵AB∥CD，
∴∠C=180°-∠ABC=180°-60°=120°．
故选C．
4.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了必然事件、随机事件、抽样调查、全面调查，根据必然事件、随机事件、抽样调查、全面调查的定义逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件，故原说法正确，符合题意；
B、“任意买一张电影票，座位号是偶数”是随机事件，故原说法错误，不符合题意；
C、选出某校短跑最快的学生参加全市比赛用全面调查，故原说法错误，不符合题意；
D、调查春节联欢晚会的收视率用抽样调查，故原说法错误，不符合题意；
故选：A．
5.【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据一年期存款的原年利率及经过两次降息后的年利率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：A．
6.【答案】B
【分析】本题考查了解不等式组，把不等式组的解集表示在数轴上，掌握不等式的性质，不等式组的解集的取值方法是解题的关键．
根据不等式的性质求出不等式的解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集，并把解决表示在数轴上即可．
【详解】解：，
解①得，，
解②得，
∴不等式的解集为，
表示在数轴上如图所示，
故选：B ．
7.【答案】C
【解析】
【分析】根据位似图形的性质得出求出，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵与位似，
∴，
∴与的位似比为1：3，
∵点，
∴F点的坐标为，
即F点的坐标为（3，9），
故选：C．
8.【答案】D
【分析】连接OC，OD，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：连接OC，OD，
∵OC=OB，∠B=40°，
∴∠BCO=∠B=40°，∠AOC=80°．
∵点D是弧AC的中点，
∴∠AOD=∠COD=40°，
∵OD=OC，
∴∠OCD=70，
∴∠BCD=70°+40°=110°．
故选:D.
9.【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系，由“”证明，即可判断①；得出，，由勾股定理得出，再由三角形三边关系即可判断②；由勾股定理计算即可判断③．
【详解】解：，
，
，
，
，故①正确；
，，
，
，
，故②正确；
，故③错误，
综上所述，正确的有①②，
故选：A．
10.【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线开口向上，对称轴，与y轴交点位置，即可判断选项A；根据抛物线与x轴交点、一元二次方程根与系数关系、对称轴等知识即可判断选项B；根据“对称轴为直线，”可判断选项C； 当时，为最小值，据此可判断选项D．
【详解】解：A．∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，
原题结论错误，故此选项不符合题意；
B．当时，，抛物线与轴有两个交点，与x轴交于，两点，
∴有两个不相等的实数根分别为，
∴
原题结论错误，故此选项不符合题意；
C．∵对称轴为直线，，
∴，
∴当时，
原题结论错误，故此选项不符合题意；
D．当时，为最小值，
∴，
∴，
原题结论正确，故此选项符合题意．
故选：D．
11.【答案】（答案不唯一，5,6都可以）
【分析】本题考查了立方根，无理数的估算，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键．求出，估算，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴符合题意的整数是：或或，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】
【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：
由图知：共有4种等可能结果，其中两次都摸到红球的只有1种结果，
所以两次都摸到红球的概率为．
故答案为：．
13.【答案】3
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，由三角形的中位线定理可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E，F分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴
故答案为：3．
14.【答案】1695
【分析】此题考查了一次函数的应用．先求出当时声音在空气中传播的速度，根据路程等于速度乘以时间即可求出答案．
【详解】解：当时，
∴（米）．
答：此人与燃放烟花所在地距离是1695米．
故答案为：1695．
15.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，图形翻折的特征，矩形的判定和性质，三角形全等判定和性质，勾股定理，作出合理的辅助线是解决问题的关键．连接交于，过点作于．根据四边形的面积为6，得到，设，利用翻折特征，得到，证明，依次得到，，在利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：连接交于，过点作于，如图所示，
四边形为正方形，
四边形是梯形，
四边形面积为，又，
，
设，则，，
，，，
四边形为矩形，
，
,
四边形为矩形，
,
点是点沿着的翻折点，
，
，
，又，，
，
，
在中，根据翻折特征，，利用勾股定理得，
，即，
解得，
，
故答案为：．
16.【答案】，2
【分析】先利用通分和同分母分式加法法则计算括号里的，在利用平方差公式和完全平方公式进行变形，最后进行约分求得最简结果，将其代入，即可求得最简值．
本题考查了分式的化简求值，解题的关键在于熟练掌握运算法则．
【详解】解：
，
当时，．
17.【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；
根据等腰三角形三线合一的性质，然后利用证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】证明：，，
在和中
．
18.【答案】(1)52米
(2)52.5米
(3)见解析
【分析】（1）由题意可知，从而得出，代入测量的平均值进行求解即可；
（2）根据锐角三角函数的正切值分别得出，，再根据进行求解即可；
（3）根据实践的结果进行合理评价即可．
【详解】（1）由题意可知，
∴，即，
解得，
∴龙象塔的高度为52米；
（2）在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，即．
∴米
∴龙象塔的高度为52.5米；
（3）答案不唯一，合理即可．
如：两种方案均可测量出龙象塔的高度；取平均值是减少误差的方式；方案一易受天气影响．
19.【答案】（1），，；
（2）见解析； （3）估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数为人．
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，折线统计图，统计表，样本估计总体，以及求平均数，众数 ，中位数的意义，掌握相关的统计量的意义是解题的关键．
（）根据总人数减去引体向上为其他个数的人数，进而补充条形统计图，根据题意求得合格率，补充折线统计图，根据平均数，众数的定义，即可得出，的值；
（）根据平均数，众数，中位数，合格率，分析；
（）根据样本估计总体即可求解．
【小问1详解】
解：月测试成绩中，引体向上个的人数为（人），补全图，
由表得：月份个数为的出现次数最多，共次，
故，
由图得：，
∴月份的合格率为；
则补全图，
【小问2详解】
解：答案不唯一，写两条即可，如：
本次引体向上训练活动的效果明显，
从平均数和合格率看，平均数和合格率逐月增加，
从中位数看，引体向上个数逐月增加，
从众数看，引体向上的个数越来越大；
【小问3详解】
解：（人），
答：估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数为人．
20.【答案】（1）；（2）当点E(0,8)或(0,5)或(0,-5)或(0,)时，△AOE是等腰三角形．
【解析】
【分析】（1）由垂直的定义及锐角三角函数定义求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，确定出A坐标，进而求出m的值确定出反比例解析式，把B的坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出B坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）分类讨论：当AO为等腰三角形腰与底时，求出点E坐标即可．
【详解】（1）一次函数与反比例函数图象交于与，且轴，
，
在中，，，
，即，
根据勾股定理得：，
，
代入反比例解析式得：，即，
把坐标代入得：，即，
代入一次函数解析式得：，
解得：，即；
（2）当，即，；
当时，得到，即；
当时，由，，得到直线解析式为，中点坐标为，
垂直平分线方程为，
令，得到，即，
综上，当点或或或时，是等腰三角形．
21.【答案】(1)与相切，证明详见解析；
(2)．
【分析】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点即为半径，再证垂直即可．
（1）由已知可证得，为圆的半径，所以与相切；
（2）连接，，由已知可得四边形为矩形，从而得到的长，再利用勾股定理求得的长，从而可求得的长，此时就不难求得了．
【详解】（1）解：与相切；
理由如下：
连接，
，
；
，
，
，
∴；
，
，
与相切．
（2）连接，；
，是的切线，
，，
又，
四边形为矩形，
；
在中，，
，
，，
．
答：长度为．
22.【答案】（1）
（2）当销售单价定为20元时，每月可获得利润1500元
（3）当销售单价定为24元时，每月利润最大，每月可获得利润2340元
【解析】
【分析】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
（1）由题意得，根据利润（定价-进价）销售量，从而列出关系式；
（2）令，解方程即可；
（3）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：，
即，
，
，
．
【小问2详解】
令，即，
解得：．
，
，
答：当销售单价定为20元时，每月可获得利润1500元；
【小问3详解】
，
对称轴直线．
∵，
∴抛物线开口向下．
∵其对称轴为直线，
∴当时，最大，
最大，
答：当销售单价定为24元时，每月利润最大，每月可获得利润2340元．
23.【答案】(1)①见解析；②
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）①根据旋转的性质可得，结合等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得即可求解；②根据题意可得，结合平行线的判定方法即可求解；
（2）根据题意可得，根据三角形内角和定理可得，，可证，由此即可求解；
（3）根据题意可证，，，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：①证明： ∵将绕点旋转得到，
∴．
∴，即，
∴．
∵，
∴．
在中，，
在中，．
∴．
∴．
∴．
②由上述证明可得，，
∴．
（2）解：∵将绕点旋转得到，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，即．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（3）解：∵，点是的中点，
∴．
∴．
由（2）可知，
∴．
∴＝．
∴．
∴．
∵，
∴，即．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
解得．
∵．
∴．
24.【答案】（1），
（2）
（3）①；②8个
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的综合，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，二次函数与几何的综合等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和待定系数法．
（1）利用直线解析式求得直线与坐标轴的交点坐标，再利用待定系数法求得二次函数解析式；
（2）利用相似三角形求得线段长度，进而求得点的坐标；
（3）①先求得直线的解析式，然后再分段求关于的函数关系式；②分两段进行求的取值，然后再确定的整数值即可.
【小问1详解】
解：根据直线可得：
，，将两点坐标代入可得
，，
故答案为：，．
【小问2详解】
解：
由（1）得，
当时，，解得或，
点，
过点作轴于，则，
，
，
，
点的横坐标为，把代入得，
点．
【小问3详解】
解：①设直线的解析式为，并把点，点代入得
，
直线的解析式为，
当时，
，
即，
当时，，
关于的函数关系式为
，
②（i）当时，
，
当时，取最大值为，
当时，，当时，，
，其中的整数值有2，3，4三个，
对应的点有5个，
（ii）当时，，
，此时随增大而增大，
当时，，当时，，
，其中的整数值有4，5，6三个，对应的点有3个，
因此，满足为整数的点的个数为8个．

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