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2024年湖南省长沙市部分学校中考三模数学试题
1．（2024九下·长沙模拟）的绝对值是（　　）
A．2 B． C． D．0
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是2，
故答案为：A．
【分析】直接根据负数的绝对值是它的相反数求解即可．
2．（2024九下·长沙模拟）由4个相同的小正方体组成的几何体如图所示，则它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看可得到第一列为2个正方形，第二列有一个正方形．
故答案为：D．
【分析】根据从左面看所得到的图形逐项判断解题．
3．（2024九下·长沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项，，错误；
B选项，，错误；
C选项，，错误；
D选项，，正确。
故答案为：D.
【分析】A选项利用合并同类项的计算步骤，“把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和指数不变”计算即可；B和C选项，按照“同底数幂相乘除，底数不变、指数相加减”计算即可；D选项，按照乘方法则，“把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”计算即可。
4．（2024九下·长沙模拟）一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴方程没有实数根．
故答案为：D．
【分析】根据，方程没有实数根解答即可．
5．（2024九下·长沙模拟）如图，在菱形中，对角线与相交于点，交于点．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴．
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质得到，再根据得到E是的中点，利用直角三角形斜边中线的性质解题即可．
6．（2024九下·长沙模拟）将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知，是等腰直角三角形，，
∴，
又∵由题意可知，，，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，根据等腰直角三角形的性质，得到，再由，得到，结合，即可求出答案．
7．（2024九下·长沙模拟）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有个人，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ 每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元， 设共有个人，
∴可列方程为，
故答案为：A．
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据物品的价格是定值，结合" 每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元"列出方程即可．
8．（2024九下·长沙模拟）下列说法正确的是（　　）
A．调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式
B．数据，，，，的中位数是4
C．“清明时节雨纷纷”是必然事件
D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为，则乙的成绩比甲的稳定
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；中位数；方差
【解析】【解答】解：A、调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式，故此选项符合题意；
B、数据3，5，4，1，2的中位数是3，故此选项不符合题意；
C、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故此选项不符合题意；
D、甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差，则甲的成绩比乙的稳定，故此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据调查方式、中位数的定义、事件的分类、方差的意义逐项判断解答即可．
9．（2024九下·长沙模拟）如图，已知四边形内接于，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形内接于，
∴，而，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】
由于圆内接四边形对角互补可得，再根据圆周角定理可知等于的2倍．
10．（2024九下·长沙模拟）如图，在中，是线段上一点（点不与重合），过点作，交于点为中点，连接，得到以下四个结论：①当时，；②当垂直平分线段时，；③当时，；④当为的中点时，面积最大．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：在中，，
，
，
，
，，，
，
即，
解得：，
，
为中点，
，故①正确；
垂直平分线段，
，
为中点，
，
，
，
，
，
，故②正确；
在中，，
，
，
，为中点，
，
，即，
，
，
，
，
，故③错误；
，
，即，
，
，
，
，
，
整理得：，
当时，的面积最大，
，
当为的中点时，面积最大，故④正确，
综上所述，正确的有：①②④，
故选：C．
【分析】根据勾股定理求出的长，即可得到，根据对应边成比例求出的长，即可求出长判断①；利用线段垂直平分线性可得，根据相似三角形的性质判断②；根据正切得到，然后根据等腰三角形性质求出，再根据相似三角形性质得到长，求出的长判断③；将用含的式子表示，根据三角形面积公式，配方为二次函数的顶点式得到最值判断④即可解题．
11．（2024九下·长沙模拟）分解因式：3x2-6x=　 　.
【答案】3x（x-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3x2-6x=3x（x-2）.
故答案为：3x（x-2）.
【分析】观察多项式可知每一项都有公因式3x，所以可用提公因式法分解因式.
12．（2024九下·长沙模拟）若扇形的圆心角为 ，半径为 ，则该扇形的弧长为　 　.
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】扇形的圆心角为 ，半径为 ，
则弧长
故答案为： .
【分析】根据弧长公式 求解即可.
13．（2024九下·长沙模拟）如图，直线和直线相交于，则关于的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线和直线相交于，
∴观察图像可知：关于的不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】观察函数图象可知，不等式的解集就是直线y=x+1高于或交于直线y=mx+5的图象所对应的x的值，根据两直线的交点的横坐标的值即可求解.
14．（2024九下·长沙模拟）如图，电路上有3个开关、、和1个小灯泡，任意闭合电路上2个开关，小灯泡发光的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画出树状图如下：
共有6种等可能结果，其中小灯泡发光的结果有①②，①③，②①，③①4种，
∴若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为：，
故答案为：．
【分析】画树状图得到所有等可能的结果然后找出符合条件的结果数，利用概率公式解题即可．
15．（2024九下·长沙模拟）如图，的半径为是的内接三角形，半径于点．当时，的长是　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵的半径为，
∴，
∵是的内接三角形，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，，，
∵半径于，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，，可得是等腰直角三角形，解直角三角形求出BE长即可．
16．（2024九下·长沙模拟）如图，点是反比例函数图像上的一点，过点作轴于点，点在轴上．若的面积是3，则　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵点是反比例函数图像上的一点，
∴，
∴，
∵双曲线过第二象限，
∴；
故答案为：．
【分析】连接，根据平行线可得，根据双曲线所在象限，得到值解题．
17．（2024九下·长沙模拟）计算：．
【答案】解：

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算绝对值，零指数次幂、负整数指数次幂、代入特殊角的三角函数值，然后加减解题即可．
18．（2024九下·长沙模拟）求不等式组的非负整数解．
【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的非负整数解是．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求每个不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”得到公共解集，然后得到非负整数解即可．
19．（2024九下·长沙模拟）已知：如图，点在的边上．小樱根据要求进行尺规作图，请你依据小樱的作图痕迹回答下列问题．
（1）填空：由作图可知，射线是的______；
（2）以点为圆心、长为半径画弧，交射线于点，连接，试判断与的位置关系并说明理由．
【答案】（1）角平分线
（2）解：，理由如下：
由作图可知：，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；内错角相等，两直线平行；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：由作图可知，射线是的角平分线；
故答案为：角平分线；
【分析】（1）根据作图痕迹可得射线是的角平分线；
（2）由作图得到，根据等边对等角得到，即可得到，证明结论．
20．（2024九下·长沙模拟）为进一步提高课后服务质量，将“双减”政策落地，某校利用课外活动时间开设了“．园艺、．厨艺、．木工、．编织”四大类劳动课程．为了解八年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了八年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）随机抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数为______；
（2）补全条形统计图：
（3）若该校八年级共有800名学生，请估计该校八年级学生选择“厨艺”劳动课的人数．
【答案】（1）400；108
（2）解：补全条形统计图，如图所示：
（3）解：（人），
答：该校八年级800名学生中选择“厨艺”劳动课的大约有240人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由统计图可知：参加“园艺”劳动课的人数为100人，占调查人数的，
∴样本容量为：，
参加“编织”劳动课的学生人数为：（人），
参加“厨艺”劳动课的学生人数为：（人），
∴“”所对应的圆心角的度数为；
故答案为：400；108．
【分析】（1）由两个统计图可得，参加“园艺”的人数为100人，占调查人数的，然后样本容量即可；先求出“厨艺”的人数，然后用乘“”所占的百分比，即可得出“”所对应的圆心角的度数即可；
（2）根据求出的“厨艺”和“编织”的人数，即可补全条形统计图；
（3）根据样本估计整体，求出样本中“厨艺”所占的百分比，进而估计整体中“厨艺”所占的百分比，进而求出答案．
21．（2024九下·长沙模拟）如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接．
（1）求证：四边形为矩形：
（2）连接．若，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形.
（2）解：由（1）可知，，，
，
菱形的面积．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证出四边形为平行四边形，再结合，即可证出四边形为矩形；
（2）先利用勾股定理求出AC的长，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列出算式求解即可.
22．（2024九下·长沙模拟）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．作为一个国际性的盛事，亚运会为杭州城市的发展带来巨大的机遇．杭州街头增添了许多令人惊叹的高科技设施．在准备过程中，政府计划购买两种型号的能为手机无线充电的智能太阳能座椅．已知购买1套型座椅和1套型座椅需5500元，购买2套型座椅和1套型座椅需8500元．
（1）求，型座椅的单价分别是多少元；
（2）政府计划购买两种智能太阳能座椅共80台，要求型座椅数量不少于型座椅数量的．设购买台型座椅，购买型两种座椅的总费用为元，求关于的函数解析式，并求出购买两种座椅的总费用最少需要多少元．
【答案】（1）解：设A型座椅单价是x元，B型座椅单价是y元，根据题意得：
，解得：，
∴A型座椅单价是3000元，B型座椅单价是2500元；
（2）解：∵A型座椅数量不少于B型座椅数量的，
∴，解得：，
根据题意得：
∵，
∴w随a的增大而增大，
∴时，w取最小值，最小值为（元）
答：w关于a的函数表达式是，购买两种设备的总费用最少需要元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型座椅单价是x元，B型座椅单价是y元，根据题意列二元一次方程组解答即可；
（2）根据题意列不等式求出的取值范围，然后求出w关于a的函数关系式，根据一次函数的增减性解答即可．
23．（2024九下·长沙模拟）如图，在Rt中，，点是边上一点，交的延长线于点，点是的中点，连接．
（1）求证：：
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：
又点是的中点，
在和中
（2）由（1）可知∴，，
∵，
∴，
∴
∵，又
，
【知识点】三角形全等的判定-SSS；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）先得到，然后根据SSS证明结论即可；
（2）利用全等三角形的对应边相等得到，再利用正切的定义求出，利用等边对等角得到，即可得到，然后证明，根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
24．（2024九下·长沙模拟）如图，四边形内接于，对角线交于点，连接．若的半径为．
（1）若，求证：平分；
（2）试用含的式子表示的值；
（3）记，，，的面积分别为，，，，当时，求证：．
【答案】（1）解：连接、，由，得：，
又∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴
∴，即：平分．
（2）解：如图，作，，，连接、，得四边形为矩形，，
根据垂径定理得
则
即：
（3）证明由两边同时平方化简得：∵（等高，面积之比等于底之比）
∴
∴
∴，，即，
因为和共底，则它们的高相等，由平行线之间的距离处处相等
，
∴，
∴，
，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得，即可得到，然后根据等角对等边得得到；即可证明，解题即可；
（2）作，，，连接、，得到矩形，然后利用垂径定理和勾股定理计算解题即可；
（3）根据面积关系整理可得，即可得到，然后根据弧、弦、圆心角的关系得到结论即可．
25．（2024九下·长沙模拟）对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，（为实数，且，我们称这个函数在上是“民主函数”．比如：函数在上是“民主函数”．理由：由，得．，，解得，，是“民主函数”．
（1）反比例函数是上的“民主函数”吗？请判断并说明理由：
（2）若一次函数在上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含的代数式表示）；
（3）若抛物线在上是“民主函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于点，与轴相交于点．若的内心为，外心为，试求的长．
【答案】（1）解：当时，则：，∵，在第一象限内随的增大而减小，
∴时，，
∴，
∴反比例函数是上的“民主函数”；
（2）解：由题意，得：当时，，
∵，
当时，随着的增大而增大，
∴当时，，当时，，
∴，解得：，
即：；
当时，随着的增大而减小，
∴当时，，当时，，
∴，解得：，
即：；
综上：或；
（3）解：∵抛物线的顶点式为，顶点坐标为，
，，
，
抛物线在上是递增的，
当时，取最小值，
，解得，，
抛物线的函数表达式为，
抛物线与直线相交于、两点，设，，
假设点在点的左侧，即，
，解得，，，
在中，，，，
，，，
外心在线段的垂直平分线上，设，则，
，解得，，
，
在中，根据内心的性质，设内心到各边距离为，得，
，
∵是等腰三角形，轴为的角平分线，
内心在轴上，
，
，
．
【知识点】反比例函数的性质；三角形的内切圆与内心；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据“民主函数”的定义运算判断即可；
（2）分和两种情况，利用“民主函数”的定义以及一次函数的增减性求出函数的解析式即可；
（3）根据题意可得抛物线的对称轴为，则抛物线在上y随x的增大而增大，可知时，取最小值为，求出抛物线的解析式，即可得到、、的坐标，设，利用，求出点的坐标，然后根据面积法得到点的坐标解题．
1 / 12024年湖南省长沙市部分学校中考三模数学试题
1．（2024九下·长沙模拟）的绝对值是（　　）
A．2 B． C． D．0
2．（2024九下·长沙模拟）由4个相同的小正方体组成的几何体如图所示，则它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·长沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·长沙模拟）一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（2024九下·长沙模拟）如图，在菱形中，对角线与相交于点，交于点．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九下·长沙模拟）将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·长沙模拟）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有个人，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·长沙模拟）下列说法正确的是（　　）
A．调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式
B．数据，，，，的中位数是4
C．“清明时节雨纷纷”是必然事件
D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为，则乙的成绩比甲的稳定
9．（2024九下·长沙模拟）如图，已知四边形内接于，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九下·长沙模拟）如图，在中，是线段上一点（点不与重合），过点作，交于点为中点，连接，得到以下四个结论：①当时，；②当垂直平分线段时，；③当时，；④当为的中点时，面积最大．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
11．（2024九下·长沙模拟）分解因式：3x2-6x=　 　.
12．（2024九下·长沙模拟）若扇形的圆心角为 ，半径为 ，则该扇形的弧长为　 　.
13．（2024九下·长沙模拟）如图，直线和直线相交于，则关于的不等式的解集为　 　．
14．（2024九下·长沙模拟）如图，电路上有3个开关、、和1个小灯泡，任意闭合电路上2个开关，小灯泡发光的概率为　 　．
15．（2024九下·长沙模拟）如图，的半径为是的内接三角形，半径于点．当时，的长是　 　．
16．（2024九下·长沙模拟）如图，点是反比例函数图像上的一点，过点作轴于点，点在轴上．若的面积是3，则　 　．
17．（2024九下·长沙模拟）计算：．
18．（2024九下·长沙模拟）求不等式组的非负整数解．
19．（2024九下·长沙模拟）已知：如图，点在的边上．小樱根据要求进行尺规作图，请你依据小樱的作图痕迹回答下列问题．
（1）填空：由作图可知，射线是的______；
（2）以点为圆心、长为半径画弧，交射线于点，连接，试判断与的位置关系并说明理由．
20．（2024九下·长沙模拟）为进一步提高课后服务质量，将“双减”政策落地，某校利用课外活动时间开设了“．园艺、．厨艺、．木工、．编织”四大类劳动课程．为了解八年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了八年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）随机抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数为______；
（2）补全条形统计图：
（3）若该校八年级共有800名学生，请估计该校八年级学生选择“厨艺”劳动课的人数．
21．（2024九下·长沙模拟）如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接．
（1）求证：四边形为矩形：
（2）连接．若，求菱形的面积．
22．（2024九下·长沙模拟）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．作为一个国际性的盛事，亚运会为杭州城市的发展带来巨大的机遇．杭州街头增添了许多令人惊叹的高科技设施．在准备过程中，政府计划购买两种型号的能为手机无线充电的智能太阳能座椅．已知购买1套型座椅和1套型座椅需5500元，购买2套型座椅和1套型座椅需8500元．
（1）求，型座椅的单价分别是多少元；
（2）政府计划购买两种智能太阳能座椅共80台，要求型座椅数量不少于型座椅数量的．设购买台型座椅，购买型两种座椅的总费用为元，求关于的函数解析式，并求出购买两种座椅的总费用最少需要多少元．
23．（2024九下·长沙模拟）如图，在Rt中，，点是边上一点，交的延长线于点，点是的中点，连接．
（1）求证：：
（2）若，求的长．
24．（2024九下·长沙模拟）如图，四边形内接于，对角线交于点，连接．若的半径为．
（1）若，求证：平分；
（2）试用含的式子表示的值；
（3）记，，，的面积分别为，，，，当时，求证：．
25．（2024九下·长沙模拟）对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，（为实数，且，我们称这个函数在上是“民主函数”．比如：函数在上是“民主函数”．理由：由，得．，，解得，，是“民主函数”．
（1）反比例函数是上的“民主函数”吗？请判断并说明理由：
（2）若一次函数在上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含的代数式表示）；
（3）若抛物线在上是“民主函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于点，与轴相交于点．若的内心为，外心为，试求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是2，
故答案为：A．
【分析】直接根据负数的绝对值是它的相反数求解即可．
2．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看可得到第一列为2个正方形，第二列有一个正方形．
故答案为：D．
【分析】根据从左面看所得到的图形逐项判断解题．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项，，错误；
B选项，，错误；
C选项，，错误；
D选项，，正确。
故答案为：D.
【分析】A选项利用合并同类项的计算步骤，“把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和指数不变”计算即可；B和C选项，按照“同底数幂相乘除，底数不变、指数相加减”计算即可；D选项，按照乘方法则，“把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”计算即可。
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴方程没有实数根．
故答案为：D．
【分析】根据，方程没有实数根解答即可．
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴．
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质得到，再根据得到E是的中点，利用直角三角形斜边中线的性质解题即可．
6．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知，是等腰直角三角形，，
∴，
又∵由题意可知，，，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，根据等腰直角三角形的性质，得到，再由，得到，结合，即可求出答案．
7．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ 每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元， 设共有个人，
∴可列方程为，
故答案为：A．
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据物品的价格是定值，结合" 每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元"列出方程即可．
8．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；中位数；方差
【解析】【解答】解：A、调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式，故此选项符合题意；
B、数据3，5，4，1，2的中位数是3，故此选项不符合题意；
C、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故此选项不符合题意；
D、甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差，则甲的成绩比乙的稳定，故此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据调查方式、中位数的定义、事件的分类、方差的意义逐项判断解答即可．
9．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形内接于，
∴，而，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】
由于圆内接四边形对角互补可得，再根据圆周角定理可知等于的2倍．
10．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：在中，，
，
，
，
，，，
，
即，
解得：，
，
为中点，
，故①正确；
垂直平分线段，
，
为中点，
，
，
，
，
，
，故②正确；
在中，，
，
，
，为中点，
，
，即，
，
，
，
，
，故③错误；
，
，即，
，
，
，
，
，
整理得：，
当时，的面积最大，
，
当为的中点时，面积最大，故④正确，
综上所述，正确的有：①②④，
故选：C．
【分析】根据勾股定理求出的长，即可得到，根据对应边成比例求出的长，即可求出长判断①；利用线段垂直平分线性可得，根据相似三角形的性质判断②；根据正切得到，然后根据等腰三角形性质求出，再根据相似三角形性质得到长，求出的长判断③；将用含的式子表示，根据三角形面积公式，配方为二次函数的顶点式得到最值判断④即可解题．
11．【答案】3x（x-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3x2-6x=3x（x-2）.
故答案为：3x（x-2）.
【分析】观察多项式可知每一项都有公因式3x，所以可用提公因式法分解因式.
12．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】扇形的圆心角为 ，半径为 ，
则弧长
故答案为： .
【分析】根据弧长公式 求解即可.
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线和直线相交于，
∴观察图像可知：关于的不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】观察函数图象可知，不等式的解集就是直线y=x+1高于或交于直线y=mx+5的图象所对应的x的值，根据两直线的交点的横坐标的值即可求解.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画出树状图如下：
共有6种等可能结果，其中小灯泡发光的结果有①②，①③，②①，③①4种，
∴若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为：，
故答案为：．
【分析】画树状图得到所有等可能的结果然后找出符合条件的结果数，利用概率公式解题即可．
15．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵的半径为，
∴，
∵是的内接三角形，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，，，
∵半径于，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，，可得是等腰直角三角形，解直角三角形求出BE长即可．
16．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵点是反比例函数图像上的一点，
∴，
∴，
∵双曲线过第二象限，
∴；
故答案为：．
【分析】连接，根据平行线可得，根据双曲线所在象限，得到值解题．
17．【答案】解：

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算绝对值，零指数次幂、负整数指数次幂、代入特殊角的三角函数值，然后加减解题即可．
18．【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的非负整数解是．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求每个不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”得到公共解集，然后得到非负整数解即可．
19．【答案】（1）角平分线
（2）解：，理由如下：
由作图可知：，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；内错角相等，两直线平行；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：由作图可知，射线是的角平分线；
故答案为：角平分线；
【分析】（1）根据作图痕迹可得射线是的角平分线；
（2）由作图得到，根据等边对等角得到，即可得到，证明结论．
20．【答案】（1）400；108
（2）解：补全条形统计图，如图所示：
（3）解：（人），
答：该校八年级800名学生中选择“厨艺”劳动课的大约有240人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由统计图可知：参加“园艺”劳动课的人数为100人，占调查人数的，
∴样本容量为：，
参加“编织”劳动课的学生人数为：（人），
参加“厨艺”劳动课的学生人数为：（人），
∴“”所对应的圆心角的度数为；
故答案为：400；108．
【分析】（1）由两个统计图可得，参加“园艺”的人数为100人，占调查人数的，然后样本容量即可；先求出“厨艺”的人数，然后用乘“”所占的百分比，即可得出“”所对应的圆心角的度数即可；
（2）根据求出的“厨艺”和“编织”的人数，即可补全条形统计图；
（3）根据样本估计整体，求出样本中“厨艺”所占的百分比，进而估计整体中“厨艺”所占的百分比，进而求出答案．
21．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形.
（2）解：由（1）可知，，，
，
菱形的面积．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证出四边形为平行四边形，再结合，即可证出四边形为矩形；
（2）先利用勾股定理求出AC的长，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列出算式求解即可.
22．【答案】（1）解：设A型座椅单价是x元，B型座椅单价是y元，根据题意得：
，解得：，
∴A型座椅单价是3000元，B型座椅单价是2500元；
（2）解：∵A型座椅数量不少于B型座椅数量的，
∴，解得：，
根据题意得：
∵，
∴w随a的增大而增大，
∴时，w取最小值，最小值为（元）
答：w关于a的函数表达式是，购买两种设备的总费用最少需要元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型座椅单价是x元，B型座椅单价是y元，根据题意列二元一次方程组解答即可；
（2）根据题意列不等式求出的取值范围，然后求出w关于a的函数关系式，根据一次函数的增减性解答即可．
23．【答案】（1）证明：
又点是的中点，
在和中
（2）由（1）可知∴，，
∵，
∴，
∴
∵，又
，
【知识点】三角形全等的判定-SSS；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）先得到，然后根据SSS证明结论即可；
（2）利用全等三角形的对应边相等得到，再利用正切的定义求出，利用等边对等角得到，即可得到，然后证明，根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
24．【答案】（1）解：连接、，由，得：，
又∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴
∴，即：平分．
（2）解：如图，作，，，连接、，得四边形为矩形，，
根据垂径定理得
则
即：
（3）证明由两边同时平方化简得：∵（等高，面积之比等于底之比）
∴
∴
∴，，即，
因为和共底，则它们的高相等，由平行线之间的距离处处相等
，
∴，
∴，
，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得，即可得到，然后根据等角对等边得得到；即可证明，解题即可；
（2）作，，，连接、，得到矩形，然后利用垂径定理和勾股定理计算解题即可；
（3）根据面积关系整理可得，即可得到，然后根据弧、弦、圆心角的关系得到结论即可．
25．【答案】（1）解：当时，则：，∵，在第一象限内随的增大而减小，
∴时，，
∴，
∴反比例函数是上的“民主函数”；
（2）解：由题意，得：当时，，
∵，
当时，随着的增大而增大，
∴当时，，当时，，
∴，解得：，
即：；
当时，随着的增大而减小，
∴当时，，当时，，
∴，解得：，
即：；
综上：或；
（3）解：∵抛物线的顶点式为，顶点坐标为，
，，
，
抛物线在上是递增的，
当时，取最小值，
，解得，，
抛物线的函数表达式为，
抛物线与直线相交于、两点，设，，
假设点在点的左侧，即，
，解得，，，
在中，，，，
，，，
外心在线段的垂直平分线上，设，则，
，解得，，
，
在中，根据内心的性质，设内心到各边距离为，得，
，
∵是等腰三角形，轴为的角平分线，
内心在轴上，
，
，
．
【知识点】反比例函数的性质；三角形的内切圆与内心；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据“民主函数”的定义运算判断即可；
（2）分和两种情况，利用“民主函数”的定义以及一次函数的增减性求出函数的解析式即可；
（3）根据题意可得抛物线的对称轴为，则抛物线在上y随x的增大而增大，可知时，取最小值为，求出抛物线的解析式，即可得到、、的坐标，设，利用，求出点的坐标，然后根据面积法得到点的坐标解题．
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