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二○二五年初中学业考试模拟训练数学
1．本试卷共6页，共120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效．
4．选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作图题用2B铅笔（加黑加粗，描写清楚）或0.5毫米的黑色签字笔作答．其它题目用0.5毫米的黑色签字笔作答．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
5．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1. 如图几何体由8个完全相同的小正方体构成，其三视图中为轴对称图形的是（ ）
A. 主视图 B. 主视图和俯视图 C. 俯视图 D. 俯视图和左视图
2. 已知一个水分子的质量约为克，请用科学记数法表示0.6千克的水中所含水分子的个数（ ）
A. B. C. D.
3. 点与点关于轴对称，点与点关于轴对称．若点坐标为，则点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列运算结果是的是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知直线，等边的顶点刚好落在上，与交于点．已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 《孙子算经》记载了一道题：今有木，不知长短，引绳度之，绳余四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出四尺五寸；将这根绳子对折来量，绳子差一尺．这根木材有多长？（1尺寸，设木材长寸，绳子长寸，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正六边形内切圆的半径为，则正六边形的面积为（ ）
A. B. C. D. 6
9. 定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（ ）
A. B. C. D.
10. 已知二次函数过点，，且不论取何值，都有，则以下五个结论错误的是（ ）
①； ②； ③若当时，随增大而减小，则；
④若抛物线与轴一个交点在与0之间；则有；
⑤若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则．
A. ②③ B. ②④⑤ C. ②③④⑤ D. ③④⑤
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）
11. 若是一个完全平方式，则的值为______．
12. 在函数中，的取值范围_____．
13. 计算：_____．
14. 图，菱形，，，反比例函数图象与菱形交于点，，点是边中点，点，分别为，上的动点，且．点关于的对称点刚好落在反比例函数图象上，则点坐标为_____．
15. 已知实数满足以下条件：
①关于的分式方程的解为非负数；
②关于的不等式组的整数解仅有3个．
则满足以上所有条件的整数是_____．
16. 如图，点，分别是正方形边，上的点且，延长至点，使，连结分别交，于点，，连接，分别交，于点，．下列五个结论正确的有_____．（只填序号）
①；②，，三点共线；③；④；⑤．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. “五一”期间，威海某景点迎来了大量游客．景区管理部门发现，景区单日门票收入与游客人数相关．若门票价格每降低元，日均游客人数可增加人；反之，每提高元，日均游客人数减少人，若当前门票价格为元/人，日均游客量为人，票价定为多少元（以元为调整单位），能使该景点“五一”某天的门票总收入为万元？
18. 如图，四边形各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，且与各边交于点I，J，K，L．若四边形是矩形．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，则_____．
19. 甲醛是装修常见污染物，沸点低（），易溶于水，温度升高会加速其挥发，挥发周期可达3－15年，对人体危害极大，长期接触低浓度甲醛可能引发咽喉炎、皮肤过敏、免疫力下降，长期接触高浓度可能诱发白血病等恶性疾病．
某家庭新装修后测得甲醛浓度为（国际标准），尝试三种治理方案，每周检测数据及折线图如下：
治理方案 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天
仅通风 0.28 0.26 0.25 024 0.23 0.22 0.21
通风+活性炭 0.25 0.22 0.20 0.18 0.16 0.15 0.14
通风+光触媒 0.20 0.18 015 0.12 0.10 0.08 0.06
表1
某机构调查了若干装修家庭（每户），统计了七种甲醛治理方案，记录了7天后浓度、总成本（初期购买以及一个周的费用和）、使用户数以及使用比例，数据如下：
治理方案 7天后浓度（） 总成本（元） 使用户数（户） 使用占比（%）
A仅通风 0.21 0 25
B通风+活性炭 0.14 370
C通风+光触媒 0.06 1500 15
D绿植吸附 0.28 600 10
E空气净化器 0.19 2150 12
F甲醛清除剂 0.17 1000 8
G专业治理公司 0.04 6000
表3
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）将图2和图4中的统计图补充完整，并直接写出表1中通风+光触媒的极差以及，的值；
（2）假如小丽家装修完想除甲醛，请你多角度分析为其提一条合理化建议；
（3）若甲，乙两个家庭分别从，，，四种治理方案中选择一种，请通过画树状图或者列表法求两个家庭选中同一种方案的概率．
20. 某学校九年级数学兴趣小组开展了“多维测算民族英雄邓世昌将军的纪念雕像高度”的活动．具体活动内容和数据如下表：
活动主题 多维测算民族英雄邓世昌将军的纪念雕像高度
方案 方案一 方案二 方案三
测量工具 皮尺、镜子、激光笔 皮尺、测角仪、计算器等 无人机（带高度传感器）、标记物等
活动过程 模型抽象 利用镜面反射原理 利用仰角解直角三角形原理 利用俯角解直角三角形原理
测算过程与数据信息 ①，，在同一条直线上，于点，于点．乙同学在点处放置镜子，使得站在处的甲同学能在镜子中看到雕像顶点； ②用皮尺测得的长度有：米，米，甲同学身高米． ①水平地面取两点，，使得点，，在同一条直线上； ②用皮尺测得米； ③在点，处用测角仪测得，； ④用计算器计算得：；；；；；． ①无人机在距离地面米的高度水平飞行； ②在点处测得处的俯角为，飞行了米到达了点处，此时测得处的俯角为．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题：
（1）方案一中的_____（结果用，，表示）；方案三中的_____；（结果用，，，表示）
（2）根据方案二中提供的数据，求．（结果保留整数）
21. 如图，是的直径，线段，与相切于点，，点是圆上一点，，，三点在同一条直线上，且．过点作于点，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）证明：；
（3）若，的半径为1，则弧的长度为_____．（结果保留）
22. 综合与实践：黄金分割
背景材料：
古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金分割比．黄金分割被广泛应用于各领域．
基础应用：
（1）贝多芬《第五交响曲》第一乐章中存在一个显著的结构转折点（称为黄金分割点），该位置将乐章分为前后两部分，其时间比接近黄金分割比．已知柏林爱乐乐团终身首席指挥卡拉扬1963年某次演奏中，这个显著的结构转折点出现在第185秒，则该版本的总时长为_____秒；（保留整数）
（2）杠杆平衡原理：当杠杆平衡时满足：动力动力臂=阻力阻力臂，即．其中，分别为动力，阻力，，分别为动力臂，阻力臂．研究发现，当阻力臂与动力臂的比接近黄金分割比，杠杆的操作最省力且稳定．
如图1，杠杆的支点左侧阻力臂长，右侧动力臂长．该杠杆是否符合黄金分割省力设计_____；（填“是”或“否”）若在杠杆左侧悬挂一个的重物，则右侧需要施加的力_____；若将支点向左侧移动，使，则新的动力臂_____cm．
（3）作法证明：
如图2，作已知线段的黄金分割点，方法如下：
①过点作，且；②连接，在上截取；
③在上截取，则点就是线段的黄金分割点，请说明理由．
拓展应用：
黄金矩形：的矩形．
（4）如图3，正方形，尺规作黄金矩形．
要求：点，分别在射线，上．（不写步骤，保留作图痕迹）
23. 抛物线，顶点为点．
（1）顶点坐标_____；
（2）当时，
①的值总大于4，求取值范围；
（3）当时，将抛物线向下平移6个单位，与轴交于点，（点在左侧），与轴交于点，顶点为．
②点以每秒1个单位速度从点运动到点，过点作交于点，连接，在整个运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值以及并直接写出此时点坐标；若不存在，请说明理由；
③④任选一道做即可
③点是直线上一点，且最大，直接写出点坐标_____；
④点是线段上一动点，则的最小值为_____．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点是线段的中点．点是直线上一动点，以为边作等边交轴于点，连接，分别交，轴于点，．
（1）求点坐标；（提示：，的中点坐标）
（2）若点位于线段上（不与点，重合），判断与轴的位置关系，并说明理由；
（3）已知点是第一象限一动点（不与点重合），当最小时，连接，．将沿直线折叠，点的对应点为点．连接，取中点，连接，则取值范围为___________．
二○二五年初中学业考试模拟训练数学
1．本试卷共6页，共120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效．
4．选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作图题用2B铅笔（加黑加粗，描写清楚）或0.5毫米的黑色签字笔作答．其它题目用0.5毫米的黑色签字笔作答．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
5．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】A
【10题答案】
【答案】C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】且
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】①②⑤
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
【17题答案】
【答案】元或元
【18题答案】
【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析
（2）1
【19题答案】
【答案】（1）补全统计图见解析，，，
（2）合理即可 （3）
【20题答案】
【答案】（1），
（2）15米
【21题答案】
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【22题答案】
【答案】（1）484；（2）否；100；200；（3）见解析；（4）见解析
【23题答案】
【答案】（1）；
（2）①的取值范围是；
（3）②的面积存在最大值，取得最大值．点坐标为．
③；④12．
【24题答案】
【答案】（1）
（2）轴，理由见详解
（3）

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