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第七节 正弦定理和余弦定理
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.理解三角形的面积公式并能应用.
3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
　　　　　　　　　　　　　　　　
教材再回首
1.余、正弦定理的内容及其变形
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径,则
定理 余弦定理 正弦定理
内容 a2=　　　　　; b2=　　　　　; c2=　　　　 =　　　　==2R
变形 cos A=　　　　; cos B=　　　　; cos C=　　　 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)a∶b∶c=　　　　　　　　; (3) ==2R
2.三角形解的判断
A为锐角 A为钝角 或直角
图形
关系式 a=bsin A bsin A< ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
3.三角形常用的面积公式
(1)S=aha(ha表示边a上的高).
(2)S=absin C=　　　　=　　　　　.
(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径).
解题结论拓展
(1)大边对大角,大角对大边,如a>b A>B sin A>sin B.
(2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(3)在△ABC中,内角A,B,C成等差数列 B=,A+C=.
(4)有关三角形内角的三角函数关系式:
①sin(A+B)=sin C;
②cos(A+B)=-cos C;
③tan(A+B)=-tan C;
④sin=cos;
⑤cos=sin.
(5)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B. (　　)
(2)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形. (　　)
(3)在△ABC中,已知a,b,A,则三角形有唯一解. (　　)
(4)在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3. (　　)
2.(苏教必修②P114T7)在△ABC中,若=1,则A= (　　)
A.150° B.120°
C.90° D.60°
3.(人A必修②P44T2改编)在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC= (　　)
A. B.
C. D.
4.(人A必修②P48T2(2)改编)在△ABC中,已知b=2,A=45°,C=75°,则c=　　　　.
5.(人A必修②P55引用“阅读与思考”:海伦和秦九韶)若一个三角形的三边长分别为a,b,c,设p=(a+b+c),则该三角形的面积S=,这就是著名的“海伦—秦九韶公式”.若△ABC的三边长分别为5,6,7,则该三角形的面积为　　　　.
题点一　利用正弦定理、余弦定理解三角形
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)在△ABC中,sin(B-A)=,2a2+c2=2b2,则sin C= (　　)
A. B.
C. D.1
|谨记结论|
　　在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则
(1)b2+c2-a2=bc A=;
(2)b2+c2-a2=bc A=;
(3)b2+c2-a2=bc A=;
(4)b2+c2+bc=a2 A=;
(5)b2+c2+bc=a2 A=;
(6)b2+c2+bc=a2 A=.
(2)(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C= (　　)
A. B.
C. D.
|思维建模|
(1)解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,则要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;如果以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
(2)掌握并识记一些常见的三角函数值,如cos=sin=,sin=cos=等,可以提升解题速度.
[即时训练]
1.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin 2A=asin B,且c=2b,则等于 (　　)
A.2 B.3
C. D.
2.在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且b2-bcsin A+c2=a2.
(1)求角A的大小;
(2)若b=2,c=3,求a和sin 2B的值.
拓展与建模:三角形中的射影定理
　　设△ABC的三边是a,b,c,它们所对的角分别是A,B,C,则有a=bcos C+ccos B;b=ccos A+acos C;c=acos B+bcos A.
注:以“a=bcos C+ccos B”为例,b,c在a上的射影分别为bcos C,ccos B,故名射影定理.
证明:如图,在△ABC中,AD⊥BC,则bcos C=CD,ccos B=BD,
故bcos C+ccos B=CD+BD=BC=a,即a=bcos C+ccos B.
同理可证b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A.
[示例]　已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3bcos C+3ccos B=5asin A,且A为锐角,则当取最小值时,的值为　　　　.
解题观摩:由3bcos C+3ccos B=5asin A及射影定理得3a=5asin A,可得sin A=①.
而A是锐角,所以cos A=,则由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc②,
所以==-≥-=,
当且仅当b=c时,取得最小值③,
此时a2=b2,即a=b,所以=.
习得方略:①处还可以这样解,由正弦定理得3sin Bcos C+3sin Ccos B=5sin2A,即3sin(B+C)=5sin2A,则由sin(B+C)=sin A>0可得sin A=;
②处,由题设中的结构形式联想利用余弦定理化简变形;
③处,借助基本不等式求最值,注意写出等式成立的条件.
题点二　判断三角形的形状
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,C=,则△ABC的形状是 (　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
|思维建模|
1.判断三角形形状的途径
(1)化边为角,通过三角变换找出角之间的关系.
(2)化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.解题注意点
无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制.
[即时训练]
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2asin B,cos A=cos C,则△ABC的形状为 (　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,则△ABC的形状为 (　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
题点三　三角形的面积问题
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,且a2+b2-c2=ab.
(1)求B;
(2)若△ABC的面积为3+,求c
.
|思维建模|　与三角形面积有关问题的解题策略
(1)利用正弦、余弦定理解三角形,求出三角形的相关边、角之后,直接求三角形的面积.
(2)把面积作为已知条件之一,与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
[即时训练]
5.在锐角△ABC中,已知asin A=csin C+(b-c)sin B.
(1)求角A;
(2)若a=7,c=8,求△ABC的面积.
第七节　正弦定理和余弦定理
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.b2+c2-2bccos A　c2+a2-2cacos B　a2+b2-2abcos C　　　　　sin A∶sin B∶sin C
3.(2)acsin B　bcsin A
[典题细发掘]
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　2.C
3.选C　在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理得cos∠BAC===-.因为∠BAC为△ABC的内角,所以∠BAC=,故选C.
4.解析:由题意得B=180°-45°-75°=60°,由正弦定理,得=,得c=+.
答案:+
5.解析:∵p=(a+b+c)=×(5+6+7)=9,∴S△ABC===6.
答案:6
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)C　(2)C
(1)a2+c2-b2=2accos B,b2+c2-a2=2bccos A,两式相减,得2a2-2b2=2accos B-2bccos A=-c2,∴2acos B-2bcos A=-c.由正弦定理,得2sin Acos B-2sin Bcos A=-2sin(B-A)=-sin C,∴sin C=.故选C.
(2)法一　由正弦定理得sin Asin C=sin2B,因为B=,所以sin Asin C=sin2B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac,所以a2+c2=ac,所以sin2A+sin2C=sin Asin C,所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=sin Asin C=.又sin A>0,sin C>0,所以sin A+sin C=,故选C.
法二　由正弦定理得sin2B=sin Asin C,由B=,可得sin Asin C=,则sin A+sin C=sin A+≥2×=,当且仅当sin A=,即sin A=时等号成立,即sin A+sin C的最小值为,由于=,=,=均小于,而>,可排除A、B、D,故选C.
微技法:本题法二对条件化简,得到了两角之间的联系,利用基本不等式确定了待求式的范围,估算获得正确选项,避免了复杂的转化运算.
[即时训练]
1.选D　由正弦定理及bsin 2A=asin B,得2sin Bsin Acos A=sin Asin B.又sin A≠0,sin B≠0,所以cos A=.又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-4b2×=3b2,得=.
2.解:(1)由余弦定理可知b2-2bccos A+c2=a2,所以bcsin A=2bccos A tan A=.因为A∈(0,π),所以A=.
(2)由余弦定理可得b2-2bccos A+c2=a2=4-6+9=7,所以a=.再根据正弦定理可知asin B=bsin A= sin B=.因为c>b C>B,故cos B==,
所以sin 2B=2sin Bcos B=,即a=,sin 2B=.
题点二
[例2]　选B　法一　因为=,所以A,B∈,且acos B=bcos A,
所以由余弦定理得a·=b·,整理得a=b.又C=,所以A=B===C,故△ABC是等边三角形.
法二　因为=,所以A,B∈,且acos B=bcos A,由正弦定理可得sin Acos B=sin Bcos A,所以sin(A-B)=0,因为-谨记结论:三角形形状的判别
(1)cos A=cos B A=B △ABC为等腰三角形;
(2)sin 2A=sin 2B,即A=B或A+B= △ABC为等腰三角形或直角三角形;
(3)sin A=1,即△ABC是以A为直角的直角三角形;
(4)(a2-b2)(a2+b2-c2)=0 △ABC为等腰三角形或直角三角形;a=b且a2+b2=c2 △ABC为等腰直角三角形;
(5)a2+b2=c2 △ABC是以C为直角的直角三角形;a2+b2>c2,a2+c2>b2,b2+c2>a2 △ABC是锐角三角形;
a2+b2[即时训练]
3.快审准解:利用正弦定理将边化角,即可求出A,再由cos A=cos C求出C,即可得解.
选C　因为3b=2asin B,所以由正弦定理可得3sin B=2sin Asin B.因为0°所以A=C=60°,故△ABC为等边三角形,故选C.
4.快审准解:由正弦定理、余弦定理化角为边,化简已知等式可得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,即可判断△ABC的形状.
选D　由正弦定理、余弦定理及a2cos Asin B=b2cos Bsin A,得a2··b=b2··a,∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即a4-b4+c2(b2-a2)=0,则(a2+b2)(a2-b2)+c2(b2-a2)=(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a=b或a2+b2=c2,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
题点三
[例3]　解:(1)因为a2+b2-c2=ab,所以由余弦定理有cos C===,因为C∈(0,π),所以C=.
因为sin C=cos B=,所以cos B=.
因为B∈(0,π),所以B=.
(2)法一　由(1)知B=,C=,所以A=π--=,sin A=sin=sin=×+×=,
由正弦定理有==,从而a=·c=c,b=·c=c.所以S△ABC=absin C=·c·c·=c2=3+,解得c=2.
法二　由(1)知B=,C=.如图,作出△ABC,过A作BC边上的垂线,垂足为D,则BD=,AD=CD=.
因为△ABC的面积为3+,所以××=3+,解得c=2.
[即时训练]
5.解:(1)因为asin A=csin C+(b-c)sin B,所以由正弦定理的边角互化可得a2=c2+b2-bc,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A===,且△ABC为锐角三角形,所以A=.
(2)因为a=7,c=8,所以由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即49=b2+64-8b,解得b=3或b=5.因为△ABC为锐角三角形,当b=3时,边c最大,所以角C为最大角,
而cos C===-<0,
此时角C为钝角,与△ABC为锐角三角形矛盾,故b≠3;当b=5时,边c最大,所以角C为最大角,而cos C===>0,此时角C为锐角,所以b=5符合条件.
所以S△ABC=bcsin A=×5×8×=10.(共73张PPT)
第七节
正弦定理和余弦定理
明确目标
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.理解三角形的面积公式并能应用.
3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.余、正弦定理的内容及其变形
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径,则
定理 余弦定理 正弦定理
内容 a2=________________; b2=________________; c2=________________ =_____==2R
b2+c2-2bccos A
c2+a2-2cacos B
a2+b2-2abcos C
续表
变形 cos A=_________; cos B=_________; cos C=_________ (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;
(2)a∶b∶c=___________________;
(3)==2R
2.三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a=bsin A bsin Ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
3.三角形常用的面积公式
(1)S=aha(ha表示边a上的高).
(2)S=absin C=_________=_________.
(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径).
acsin B
bcsin A
解题结论拓展
(1)大边对大角,大角对大边,如a>b A>B sin A>sin B.
(2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(3)在△ABC中,内角A,B,C成等差数列 B=,A+C=.
(4)有关三角形内角的三角函数关系式:
①sin(A+B)=sin C;
②cos(A+B)=-cos C;
③tan(A+B)=-tan C;
④sin=cos;
⑤cos=sin.
(5)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.(　　)
(2)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形.(　　)
(3)在△ABC中,已知a,b,A,则三角形有唯一解.(　　)
(4)在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3.(　　)
√
×
×
×
2.(苏教必修②P114T7)在△ABC中,若=1,则A=(　　)
A.150° B.120°
C.90° D.60°
√
3.(人A必修②P44T2改编)在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC= (　　)
A. B.
C. D.
解析:在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理得cos∠BAC===-.因为∠BAC为△ABC的内角,所以∠BAC=,故选C.
√
4.(人A必修②P48T2(2)改编)在△ABC中,已知b=2,A=45°,C=75°,则c=　　　　.
解析:由题意得B=180°-45°-75°=60°,由正弦定理,得=,得c=+.
+
5.(人A必修②P55引用“阅读与思考”:海伦和秦九韶)若一个三角形的三边长分别为a,b,c,设p=(a+b+c),则该三角形的面积S=,这就是著名的“海伦—秦九韶公式”.若△ABC的三边长分别为5,6,7,则该三角形的面积为　 　.
解析:∵p=(a+b+c)=×(5+6+7)=9,
∴S△ABC=
==6.
6
课堂·题点精研
02
[例1]
(1)在△ABC中，sin(B-A)=，2a2+c2=2b2，则sin C=(　　)
A. B.
C. D.1
√
题点一　利用正弦定理、余弦定理解三角形
解析：a2+c2-b2=2accos B，b2+c2-a2=2bccos A，两式相减，得2a2-2b2=2accos B-2bccos A=-c2，∴2acos B-2bcos A=-c.由正弦定理，得2sin Acos B-2sin Bcos A=-2sin(B-A)=-sin C，∴sin C=.故选C.
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则
(1)b2+c2-a2=bc A=;(2)b2+c2-a2=bc A=;
(3)b2+c2-a2=bc A=;(4)b2+c2+bc=a2 A=;
(5)b2+c2+bc=a2 A=;(6)b2+c2+bc=a2 A=.
谨记结论
(2)(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C=(　　)
A. B.
C. D.
√
解析:法一　由正弦定理得sin Asin C=sin2B,因为B=,所以sin A
sin C=sin2B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac,所以a2+c2=ac,所以sin2A+sin2C=sin Asin C,所以(sin A+sin C)2=sin2A+
sin2C+2sin Asin C=sin Asin C=.又sin A>0,sin C>0,所以sin A+sin C
=,故选C.
法二　由正弦定理得sin2B=sin Asin C,由B=,可得sin Asin C=,则sin A+sin C=sin A+≥2×=,当且仅当sin A=,即sin A
=时等号成立,即sin A+sin C的最小值为,由于=,=
,=均小于,而>,可排除A、B、D,故选C.
微技法:本题法二对条件化简,得到了两角之间的联系,利用基本不等式确定了待求式的范围,估算获得正确选项,避免了复杂的转化运算.
(1)解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,则要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;如果以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
(2)掌握并识记一些常见的三角函数值,
如cos=sin=,sin=cos=等,可以提升解题速度.
思维建模
1.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin 2A=asin B,且c=2b,则等于(　　)
A.2 B.3
C. D.
解析:由正弦定理及bsin 2A=asin B,得2sin Bsin Acos A=sin Asin B.
又sin A≠0,sin B≠0,所以cos A=.又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-4b2×=3b2,得=.
即时训练
√
2.在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且b2-bcsin A
+c2=a2.
(1)求角A的大小;
解:由余弦定理可知b2-2bccos A+c2=a2,
所以bcsin A=2bccos A tan A=.
因为A∈(0,π),所以A=.
(2)若b=2,c=3,求a和sin 2B的值.
解:由余弦定理可得b2-2bccos A+c2=a2=4-6+9=7,所以a=.
再根据正弦定理可知asin B=bsin A= sin B=.
因为c>b C>B,故cos B==,
所以sin 2B=2sin Bcos B=,
即a=,sin 2B=.
拓展与建模
三角形中的射影定理
设△ABC的三边是a,b,c,它们所对的角分别是A,B,C,则有a=bcos C+ccos B;b=ccos A+acos C;c=acos B+bcos A.
注:以“a=bcos C+ccos B”为例,b,c在a上的射影分别为bcos C,ccos B,故名射影定理.
证明:如图,在△ABC中,AD⊥BC,则bcos C=CD,ccos B=BD,
故bcos C+ccos B=CD+BD=BC=a,即a=bcos C+ccos B.
同理可证b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A.
[示例]　已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3bcos C+3ccos B
=5asin A,且A为锐角,则当取最小值时,的值为　　　　.
解题观摩:由3bcos C+3ccos B=5asin A及射影定理得3a=5asin A,可得sin A=①. 而A是锐角,所以cos A=,则由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=
b2+c2-bc②, 所以==-≥-=,当且仅当b=c时,取得最小值③,此时a2=b2,即a=b,所以=.
①处还可以这样解,由正弦定理得3sin Bcos C+3sin Ccos B=
5sin2A,即3sin(B+C)=5sin2A,则由sin(B+C)=sin A>0可得sin A=;
②处,由题设中的结构形式联想利用余弦定理化简变形;
③处,借助基本不等式求最值,注意写出等式成立的条件.
习得方略
[例2]　在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,C=,则△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
√
题点二　判断三角形的形状
解析:法一　因为=,所以A,B∈,且acos B=bcos A,
所以由余弦定理得a·=b·,整理得a=b.又C=,所以A=B===C,故△ABC是等边三角形.
法二　因为=,所以A,B∈,且acos B=bcos A,由正弦定理可得sin Acos B=sin Bcos A,所以sin(A-B)=0,因为-三角形形状的判别
(1)cos A=cos B A=B △ABC为等腰三角形;
(2)sin 2A=sin 2B,即A=B或A+B= △ABC为等腰三角形或直角三角形;
(3)sin A=1,即△ABC是以A为直角的直角三角形;
谨记结论
(4)(a2-b2)(a2+b2-c2)=0 △ABC为等腰三角形或直角三角形;a=b且a2+b2=c2 △ABC为等腰直角三角形;
(5)a2+b2=c2 △ABC是以C为直角的直角三角形;
a2+b2>c2,a2+c2>b2,b2+c2>a2 △ABC是锐角三角形;
a2+b21.判断三角形形状的途径
(1)化边为角,通过三角变换找出角之间的关系.
(2)化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.解题注意点
无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制.
思维建模
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2asin B,cos A=
cos C,则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
快审准解:利用正弦定理将边化角,即可求出A,再由cos A=cos C求出C,即可得解.
即时训练
√
解析:因为3b=2asin B,所以由正弦定理可得3sin B=2sin A
sin B.因为0°4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,则△ABC的形状为(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
快审准解:由正弦定理、余弦定理化角为边,化简已知等式可得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,即可判断△ABC的形状.
√
解析:由正弦定理、余弦定理及a2cos Asin B=b2cos Bsin A,得a2··b=b2··a,∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即a4-b4+c2(b2-a2)=0,则(a2+b2)(a2-b2)+c2(b2-a2)=(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a=b或a2+b2=c2,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
[例3]　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,且a2+b2-c2=ab.
(1)求B;
解:因为a2+b2-c2=ab,所以由余弦定理有cos C===,因为C∈(0,π),所以C=.因为sin C=cos B=,所以cos B=.因为B∈(0,π),所以B=.
题点三　三角形的面积问题
(2)若△ABC的面积为3+,求c.
解:法一　由(1)知B=,C=,所以A=π--=,sin A=sin=sin
=×+×=,由正弦定理有==,
从而a=·c=c,b=·c=c.
所以S△ABC=absin C=·c·c·=c2=3+,解得c=2.
法二　由(1)知B=,C=.如图,作出△ABC,过A作BC边上的垂线,垂足为D,则BD=,AD=CD=.因为△ABC的面积为3+,
所以××=3+,解得c=2.
与三角形面积有关问题的解题策略
(1)利用正弦、余弦定理解三角形,求出三角形的相关边、角之后,直接求三角形的面积.
(2)把面积作为已知条件之一,与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
思维建模
5.在锐角△ABC中,已知asin A=csin C+(b-c)sin B.
(1)求角A;
解:因为asin A=csin C+(b-c)sin B,
所以由正弦定理的边角互化可得a2=c2+b2-bc,
即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A===,
且△ABC为锐角三角形,所以A=.
即时训练
(2)若a=7,c=8,求△ABC的面积.
解:因为a=7,c=8,所以由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,
即49=b2+64-8b,解得b=3或b=5.
因为△ABC为锐角三角形,当b=3时,
边c最大,所以角C为最大角,
而cos C===-<0,
此时角C为钝角,与△ABC为锐角三角形矛盾,故b≠3;当b=5时,边c最大,所以角C为最大角,而cos C===>0,此时角C为锐角,所以b=5符合条件.所以S△ABC=bcsin A=×5×8×=10.
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课时跟踪检测
03
一、单选题
1.在△ABC中,A=,C=,b=,则a=(　　)
A.1 B.
C. D.2
解析:由题意可得B=π-A-C=,由正弦定理=可得a=
==2.
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2.在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c= (　　)
A. B.
C.6 D.5
解析:因为sin A=6sin B,所以由正弦定理得a=6b.又a+2b=8,所以a=6,b=1.因为C=60°,所以由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=62+12-2×6×1×=31,解得c=.
√
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3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且满足b-a=2bsin2,则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形 　　　B.等边三角形
C.直角三角形或等腰三角形 　　　D.等腰直角三角形
解析:由题知,b-a=2bsin2,所以=sin2=,所以b-a=b-bcos C,得a=bcos C,所以a=b·,得a2+c2=b2.所以△ABC的形状为直角三角形,故选A.
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方法结论:三角形形状的判别
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① cos A=cos B A=B △ABC为等腰三角形
② sin 2A=sin 2B,即A=B或A+B= △ABC为等腰三角形或直角三角形
③ sin A=1,即△ABC是以A为直角的直角三角形
④ (a2-b2)(a2+b2-c2)=0 △ABC为等腰三角形或直角三角形;
a=b且a2+b2=c2 △ABC为等腰直角三角形
⑤ a2+b2=c2 △ABC是以C为直角的直角三角形;
a2+b2>c2,a2+c2>b2,b2+c2>a2 △ABC是锐角三角形;
a2+b24.(2025年1月·八省高考适应性演练)在△ABC中,BC=8,AC=10,
cos∠BAC=,则△ABC的面积为(　　)
A.6 B.8
C.24 D.48
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解析:设AB=x,根据余弦定理BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC,已知BC=8,AC=10,cos∠BAC=,代入可得82=102+x2-2×10×x×,即x2-12x+36=0,解得x=6.由于BC2+AB2=64+36=100=AC2,则△ABC为直角三角形,则S=×6×8=24. 故选C.
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5.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=1,C=,△ABC的面积S=2,则△ABC的外接圆的半径为(　　)
A.4 B.2
C.5 D.
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解析:因为b=1,C=,△ABC的面积S=2,所以S=a×1×sin=2,解得a=4.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(4)2+12-2×4×1×=25,解得c=5(舍负),所以结合正弦定理可知,△ABC的外接圆的半径为=,故选D.
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6.(2024·秦皇岛三模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2C,b=a,则(　　)
A.△ABC为直角三角形
B.△ABC为锐角三角形
C.△ABC为钝角三角形
D.△ABC的形状无法确定
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解析:由b=a,可得sin B=sin A,则sin 2C=sin(π-3C)
=sin 3C=sin 2Ccos C+cos 2Csin C,∵C∈(0,π),
∴sin C≠0,∴2cos C=2cos2C+(2cos2C-1),
即4cos2C-2cos C-=0,由B=2C>C,故C只能为锐角,
可得cos C=.因为01
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7.(2024·福州三模)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若面积S=,则tan=(　　)
A. B.
C. D.
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快审准解:先利用余弦定理的变形a2+b2-c2=2abcos C,结合三角形的面积公式S=absin C,可把条件转化为4cos C+4=3sin C,再根据同角三角函数的基本关系和三角形中sin C≠0,可求得sin C,cos C,tan C,利用倍角公式计算即可得出结果.
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解析:因为S=absin C,所以absin C==.
又由c2=a2+b2-2abcos C a2+b2-c2=2abcos C,
所以absin C= 4cos C+4=3sin C.
所以4cos C=3sin C-4 (4cos C)2=(3sin C-4)2 16cos2C=9sin2C-24sin C+16 16(1-sin2C)=9sin2C-24sin C+16,
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所以25sin2C-24sin C=0.又因为在△ABC中,sin C≠0,
所以sin C=.又因为4cos C=3sin C-4,解得cos C=-,
所以tan C=-,C为钝角,tan C=
=-,结合为锐角,解得tan=.
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二、多选题
8.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c且a=3,b=,c=,则下列结论正确的是(　　)
A.△ABC是锐角三角形 　B.B=
C.△ABC的面积为 　D.AB的中线长为
√
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解析:对于A,由题意可知a边最大,所以A为△ABC的最大内角,易知cos A===-<0,因此角A为钝角,即A错误;对于B,易知cos B===.又B∈(0,π),可得B=,即B正确;对于C,由S=acsin B=×3××=,可得△ABC的面积为,即C正确;对于D,设AB的中线为CD,易知CD2=a2+-2a×cos B=9+-3=,可得CD=,即D错误.
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9.在△ABC中,AB=2,AC=+1,BC=,∠BAC的平分线交BC于D,则(　　)
A.△ABC是钝角三角形 　　B.∠BAC=
C.AD=2 　　D.BD=-
√
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√
√
解析:由题意可知AC边长最大,即B是最大角,
由余弦定理知cos B===×-×=cos=cos>0,则B=<,△ABC是锐角三角形,故A错误;
由余弦定理知cos∠BAC==,
则∠BAC=,故B正确;由上可知C=,
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如图所示,由AD平分∠BAC,可知∠BDA=π--=,即AD=AB=2,故C正确;作EB⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,易得△EBC,△DFC均为等腰直角三角形,且DF=AD=1,AF=,所以CF=1 CD=,BD=-,故D正确.
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三、填空题
10.(2024·成都三模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=2ac且sin C=2sin A,则cos A的值为　　.
解析:因为sin C=2sin A,由正弦定理得c=2a.又因为b2=2ac,可得b2=4a2,所以b=2a,由余弦定理得cos A===.
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11.(2024·南昌二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asin B=2bcos A,则tan A=　　.
解析:由asin B=2bcos A知cos A==>0,故tan A存在. 再由正弦定理=,即可得到tan A=====2.
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2
四、解答题
12.(13分)(2025·益阳一模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin C-ccos A-c=0.
(1)求A;(3分)
解:由正弦定理得a=2Rsin A,c=2Rsin C.
又asin C-ccos A-c=0,∴sin Asin C-sin Ccos A-sin C=0.
∵C∈(0,π),∴sin C≠0,∴sin A-cos A-1=0,
∴2sin=1.∵A∈(0,π),∴A=.
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(2)若a=4,△ABC的面积为2,求b+c的值.(10分)
解:∵△ABC的面积为2,∴2=bcsin A=bcsin=bc,∴bc=8.
∵a=4,A=,由a2=b2+c2-2bccos A得16=b2+c2-2bc×,
即(b+c)2=16+3bc=40,∴b+c=2.
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13.(13分)(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2.
(1)求A.(3分)
解:∵sin A+cos A=2,
∴2=2,即sin=1,
∵A+∈,∴A+=,∴A=.
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(2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.(10分)
解:由正弦定理得sin Bsin C=sin Csin 2B,
∴sin Bsin C=2sin Csin Bcos B.
∵sin B≠0,sin C≠0,∴=2cos B,∴cos B=.
∵B∈,∴B=,∴C=.∵==,∴==,
∴b=2,c=+,∴△ABC的周长为2++3.
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13课时跟踪检测(三十三)　正弦定理和余弦定理
一、单选题
1.在△ABC中,A=,C=,b=,则a= (　　)
A.1 B.
C. D.2
2.在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c= (　　)
A. B.
C.6 D.5
3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且满足b-a=2bsin2,则△ABC的形状为 (　　)
A.直角三角形 B.等边三角形
C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形
4.(2025年1月·八省高考适应性演练)在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC=,则△ABC的面积为 (　　)
A.6 B.8
C.24 D.48
5.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=1,C=,△ABC的面积S=2,则△ABC的外接圆的半径为 (　　)
A.4 B.2
C.5 D.
6.(2024·秦皇岛三模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2C,b=a,则 (　　)
A.△ABC为直角三角形 B.△ABC为锐角三角形
C.△ABC为钝角三角形 D.△ABC的形状无法确定
7.(2024·福州三模)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若面积S=,则tan= (　　)
A. B.
C. D.
二、多选题
8.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c且a=3,b=,c=,则下列结论正确的是 (　　)
A.△ABC是锐角三角形 B.B=
C.△ABC的面积为 D.AB的中线长为
9.在△ABC中,AB=2,AC=+1,BC=,∠BAC的平分线交BC于D,则 (　　)
A.△ABC是钝角三角形 B.∠BAC=
C.AD=2 D.BD=-
三、填空题
10.(2024·成都三模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=2ac且sin C=2sin A,则cos A的值为　　　　　.
11.(2024·南昌二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asin B=2bcos A,则tan A=　　　　.
四、解答题
12.(13分)(2025·益阳一模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin C-ccos A-c=0.
(1)求A;(3分)
(2)若a=4,△ABC的面积为2,求b+c的值.(10分)
13.(13分)(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2.
(1)求A.(3分)
(2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.(10分)
课时跟踪检测(三十三)
1.选D　由题意可得B=π-A-C=,由正弦定理=可得a===2.
2.选B　因为sin A=6sin B,所以由正弦定理得a=6b.又a+2b=8,所以a=6,b=1.因为C=60°,所以由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=62+12-2×6×1×=31,解得c=.
3.选A　由题知,b-a=2bsin2,所以=sin2=,所以b-a=b-bcos C,得a=bcos C,所以a=b·,得a2+c2=b2.所以△ABC的形状为直角三角形,故选A.
方法结论:三角形形状的判别
① cos A=cos B A=B △ABC为等腰三角形
② sin 2A=sin 2B,即A=B或A+B= △ABC为等腰三角形或直角三角形
③ sin A=1,即△ABC是以A为直角的直角三角形
④ (a2-b2)(a2+b2-c2)=0 △ABC为等腰三角形或直角三角形; a=b且a2+b2=c2 △ABC为等腰直角三角形
⑤ a2+b2=c2 △ABC是以C为直角的直角三角形; a2+b2>c2,a2+c2>b2,b2+c2>a2 △ABC是锐角三角形; a2+b24.选C　设AB=x,根据余弦定理BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC,
已知BC=8,AC=10,cos∠BAC=,代入可得82=102+x2-2×10×x×,即x2-12x+36=0,解得x=6.由于BC2+AB2=64+36=100=AC2,则△ABC为直角三角形,则S=×6×8=24.故选C.
5.选D　因为b=1,C=,△ABC的面积S=2,所以S=a×1×sin=2,解得a=4.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(4)2+12-2×4×1×=25,解得c=5(舍负),所以结合正弦定理可知,△ABC的外接圆的半径为=,故选D.
6.选A　由b=a,可得sin B=sin A,则sin 2C=sin(π-3C)=sin 3C=sin 2Ccos C+cos 2Csin C,∵C∈(0,π),∴sin C≠0,∴2cos C=2cos2C+(2cos2C-1),
即4cos2C-2cos C-=0,由B=2C>C,故C只能为锐角,可得cos C=.因为07.快审准解:先利用余弦定理的变形a2+b2-c2=2abcos C,结合三角形的面积公式S=absin C,可把条件转化为4cos C+4=3sin C,再根据同角三角函数的基本关系和三角形中sin C≠0,可求得sin C,cos C,tan C,利用倍角公式计算即可得出结果.
选D　因为S=absin C,所以absin C==.
又由c2=a2+b2-2abcos C a2+b2-c2=2abcos C,
所以absin C= 4cos C+4=3sin C.
所以4cos C=3sin C-4 (4cos C)2=(3sin C-4)2 16cos2C=9sin2C-24sin C+16 16(1-sin2C)=9sin2C-24sin C+16,
所以25sin2C-24sin C=0.又因为在△ABC中,sin C≠0,
所以sin C=.又因为4cos C=3sin C-4,解得cos C=-,所以tan C=-,C为钝角,tan C==-,
结合为锐角,解得tan=.
8.选BC　对于A,由题意可知a边最大,所以A为△ABC的最大内角,易知cos A===-<0,因此角A为钝角,即A错误;
对于B,易知cos B===.
又B∈(0,π),可得B=,即B正确;
对于C,由S=acsin B=×3××=,
可得△ABC的面积为,即C正确;
对于D,设AB的中线为CD,易知CD2=a2+-2a×cos B=9+-3=,可得CD=,即D错误.
9.选BCD　由题意可知AC边长最大,即B是最大角,
由余弦定理知cos B===×-×=cos=cos>0,
则B=<,△ABC是锐角三角形,故A错误;
由余弦定理知cos∠BAC==,则∠BAC=,故B正确;由上可知C=,如图所示,由AD平分∠BAC,可知∠BDA=π--=,即AD=AB=2,故C正确;作EB⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,易得△EBC,△DFC均为等腰直角三角形,且DF=AD=1,AF=,所以CF=1 CD=,BD=-,故D正确.
10.解析:因为sin C=2sin A,由正弦定理得c=2a.又因为b2=2ac,可得b2=4a2,所以b=2a,由余弦定理得cos A===.
答案:
11.解析:由asin B=2bcos A知cos A==>0,
故tan A存在. 再由正弦定理=,
即可得到tan A=====2.
答案:2
12.解:(1)由正弦定理得a=2Rsin A,c=2Rsin C.
又asin C-ccos A-c=0,∴sin Asin C-sin Ccos A-sin C=0.∵C∈(0,π),∴sin C≠0,∴sin A-cos A-1=0,
∴2sin=1.∵A∈(0,π),∴A=.
(2)∵△ABC的面积为2,∴2=bcsin A=bcsin=bc,∴bc=8.∵a=4,A=,由a2=b2+c2-2bccos A得16=b2+c2-2bc×,即(b+c)2=16+3bc=40,∴b+c=2.
13.解:(1)∵sin A+cos A=2,
∴2=2,即sin=1,
∵A+∈,∴A+=,∴A=.
(2)由正弦定理得sin Bsin C=sin Csin 2B,
∴sin Bsin C=2sin Csin Bcos B.
∵sin B≠0,sin C≠0,∴=2cos B,∴cos B=.
∵B∈,∴B=,∴C=.
∵==,∴==,
∴b=2,c=+,∴△ABC的周长为2++3.

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