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第2课时　解三角形中的最值、范围问题
方法一　利用基本不等式求最值、范围
[例1]　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且+=+.
(1)求证:a+c=3b;
(2)若b=4,且D是边AC的中点,求BD的最小值.
|思维建模|
利用基本不等式解决三角形最值问题的策略
　　在解决三角形问题时,主要涉及边与角的关系,特别是在运用余弦定理、计算周长、计算面积时,会出现三角形两边的平方和、两边的和、两边的积等代数式,这就为基本不等式的应用提供了条件.因此在解决最值或范围问题时,应注意基本不等式的合理运用.
[即时训练]
1.(2025·新乡模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2-a2=2acsin B.
(1)求A;
(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.
方法二　利用三角函数的性质求最值、范围
[例2]　在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=btan A,且B为钝角.
(1)求B-A;
(2)求sin A-cos B+sin C的取值范围.
|思维建模|
借助三角函数性质解决三角形中最值或范围问题的策略
　　解决三角形问题时,通过正弦定理与余弦定理,将问题转化为某一内角的三角函数,然后借助三角恒等变换,求出三角函数的最值或值域,解决相关的最值或范围问题.
[即时训练]
2.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a2-b2=(a-c)c.
(1)求角B;
(2)若b=,求△ABC周长的最大值.
　第2课时　解三角形中的最值、范围问题
方法一
[例1]　解:(1)证明:∵+=+,
∴+=+,整理得sin A+sin C=3(sin Acos C+cos Asin C)=3sin B,由正弦定理得a+c=3b.
(2)∵b=4,且D是边AC的中点,∴AD=CD=2,
由余弦定理得,=-,
则2BD2=a2+c2-8.
∵b=4,∴a+c=3b=12,由a2+c2≥2ac,得a2+c2≥=72,
当且仅当a=c=6时,等号成立.
∴2BD2=a2+c2-8≥64,∴BD≥4,故BD的最小值为4.
[即时训练]
1.解:(1)因为b2+c2-a2=2acsin B,
由余弦定理可得cos A===,
由正弦定理知=,所以sin A==cos A.
又因为A∈(0,π),所以A=.
(2)因为a=2且A=,所以由余弦定理得b2+c2-a2=2bccos A,即b2+c2-4=bc.又因为b2+c2-4=bc≥2bc-4,当且仅当b=c时,等号成立,即2bc-4≤bc,解得bc≤4+2,所以△ABC的面积S=bcsin A=bc≤1+,
即△ABC面积的最大值为1+.
方法二
[例2]　解:(1)因为a=btan A,
由正弦定理得==,又sin A≠0,
故sin B=cos A=sin,由于在△ABC中,B为钝角,所以B+-A=π或B=-A(舍去),所以B-A=.
(2)由于C=π-(A+B)=π-=-2A,0所以0故sin A-cos B+sin C的取值范围为.
[即时训练]
2.解:(1)由a2-b2=(a-c)c,即b2=a2+c2-ac,∵b2=a2+c2-2accos B,∴cos B=.又B∈(0,π),∴B=.
(2)由==可得,a=2sin A,c=2sin C,△ABC的周长l=a+b+c=2sin A+2sin C+,∵A+C=,
∴l=2sin A+2sin+=3sin A+cos A+=2sin+.∵0第2课时　解三角形中的最值、范围问题
目录
01.方法一　利用基本不等式求最值、范围
02.方法二　利用三角函数的性质求最值、范围
03.课时跟踪检测
[例1]　在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且+=+.
(1)求证:a+c=3b;
解:证明:∵+=+,
∴+=+,
整理得sin A+sin C=3(sin Acos C+cos Asin C)=3sin B,
由正弦定理得a+c=3b.
方法一　利用基本不等式求最值、范围
(2)若b=4,且D是边AC的中点,求BD的最小值.
解:∵b=4,且D是边AC的中点,∴AD=CD=2,
由余弦定理得,=-,则2BD2=a2+c2-8.
∵b=4,∴a+c=3b=12,由a2+c2≥2ac,得a2+c2≥=72,
当且仅当a=c=6时,等号成立.∴2BD2=a2+c2-8≥64,∴BD≥4,
故BD的最小值为4.
利用基本不等式解决三角形最值问题的策略
在解决三角形问题时,主要涉及边与角的关系,特别是在运用余弦定理、计算周长、计算面积时,会出现三角形两边的平方和、两边的和、两边的积等代数式,这就为基本不等式的应用提供了条件.因此在解决最值或范围问题时,应注意基本不等式的合理运用.
思维建模
1.(2025·新乡模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2-a2=2acsin B.
(1)求A;
解:因为b2+c2-a2=2acsin B,由余弦定理可得
cos A===,由正弦定理知=,
所以sin A==cos A.又因为A∈(0,π),所以A=.
即时训练
(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.
解:因为a=2且A=,所以由余弦定理得b2+c2-a2=2bccos A,
即b2+c2-4=bc.又因为b2+c2-4=bc≥2bc-4,
当且仅当b=c时,等号成立,
即2bc-4≤bc,解得bc≤4+2,所以△ABC的面积S=bcsin A=
bc≤1+,即△ABC面积的最大值为1+.
[例2]　在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=btan A,且B为钝角.
(1)求B-A;
解:因为a=btan A,由正弦定理得==,又sin A≠0,
故sin B=cos A=sin,由于在△ABC中,B为钝角,所以B+-A=π或B=-A(舍去),所以B-A=.
方法二　利用三角函数的性质求最值、范围
(2)求sin A-cos B+sin C的取值范围.
解:由于C=π-(A+B)=π-=-2A,0故sin A-cos B+sin C=sin A-cos+sin=2sin A+cos 2A
=2sin A+1-2sin2A=-2+,由于A∈,所以0故1<-2+≤,故sin A-cos B+sin C的取值范围为.
借助三角函数性质解决三角形中最值或范围问题的策略
解决三角形问题时,通过正弦定理与余弦定理,将问题转化为某一内角的三角函数,然后借助三角恒等变换,求出三角函数的最值或值域,解决相关的最值或范围问题.
思维建模
2.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a2-b2=(a-c)c.
(1)求角B;
解:由a2-b2=(a-c)c,即b2=a2+c2-ac,
∵b2=a2+c2-2accos B,∴cos B=.
又B∈(0,π),∴B=.
即时训练
(2)若b=,求△ABC周长的最大值.
解:由==可得,a=2sin A,c=2sin C,
△ABC的周长l=a+b+c=2sin A+2sin C+,
∵A+C=,∴l=2sin A+2sin+=3sin A+cos A+
=2sin+.∵0数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用
课时跟踪检测
03
1
2
3
4
1.(15分)(2024·宝山二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin2A+sin2C=sin2B+sin Asin C.
(1)求角B的大小;(5分)
解:由正弦定理得a2+c2=b2+ac,
又由余弦定理得cos B===,
因为B是三角形的内角,所以B=.
(2)若△ABC的面积为,求a+c的最小值,并判断此时△ABC的形状.(10分)
解:由三角形面积公式得S△ABC=acsin B=acsin=ac=,解得ac=4.
因为a+c≥2=4,当且仅当a=c=2时取等号,
所以a+c的最小值为4,此时△ABC为等边三角形.
1
2
3
4
2.(15分)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a-c=2ccos B.
(1)求证:B=2C;(5分)
快审准解:利用正弦定理以及三角恒等变换可求得sin(B-C)=sin C,再由角的范围可得B=2C;
解:证明:由a-c=2ccos B,根据正弦定理可得sin A-sin C=2sin Ccos B,
即sin(B+C)-sin C=2sin Ccos B,所以sin Bcos C+cos Bsin C-sin C
=2sin Ccos B,所以sin Bcos C-cos Bsin C=sin C,
即sin(B-C)=sin C,显然B>C.又在锐角△ABC中,故01
2
3
4
(2)若∠ABC的角平分线交AC于D,且a=6,求线段BD长度的取值范围.(10分)
快审准解:由正弦定理可得BD=,再由锐角三角形限定出角的范围,根据三角函数值可得BD长度的取值范围.
1
2
3
4
解:在△BCD中,由正弦定理可得=,
即=,所以BD===.
因为△ABC是锐角三角形,且B=2C,所以
解得1
2
3
4
3.(15分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足asin B
=bcos.
(1)求角A;(5分)
解:由asin B=bcos及正弦定理得
sin Asin B=sin Bcos,故sin Asin B
=sin B=sin Bcos A+sin Bsin A,
1
2
3
4
所以sin Asin B=sin Bcos A.
因为B∈(0,π),sin B≠0,
所以sin A-cos A=sin=0.
因为A∈(0,π),所以A=.
1
2
3
4
(2)若a=2,求△ABC周长的取值范围.(10分)
解:由(1)可知,A=,由余弦定理,得b2+c2-a2=bc.又a=2,所以b2+c2=bc+4.
由基本不等式得b2+c2≥2bc,即bc+4≥2bc,所以bc≤4,当且仅当b=c=2时,等号成立.又(b+c)2=b2+c2+2bc=3bc+4≤16,即0a=2,所以21
2
3
4
4.(15分)已知函数f(x)=2sin xcos-cos xcos +sin2x-.
(1)若f(α)=,且<α<,求cos 2α;(6分)
解: f(x)=2sin x+sin xcos x-cos2x
=sin 2x-cos 2x=2sin,
因为f(α)=,所以2sin=,即sin=.
1
2
3
4
因为<α<,所以0<2α-<,
则cos==,
所以cos 2α=cos
=cos×-sin×=×-×=.
1
2
3
4
(2)若△ABC为锐角三角形,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(B)=,
c=2,求△ABC面积的取值范围.(9分)
解:由f(B)=,可得f(B)=2sin=,即sin=.
又0.由正弦定理=及c=2,
1
2
3
4
得a====1+∈(1,4),
所以S△ABC=acsin B=a∈,
即△ABC面积的取值范围为.
1
2
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4课时跟踪检测(三十五)　解三角形中的最值、范围问题
1.(15分)(2024·宝山二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,
已知sin2A+sin2C=sin2B+sin Asin C.
(1)求角B的大小;(5分)
(2)若△ABC的面积为,求a+c的最小值,并判断此时△ABC的形状.(10分)
2.(15分)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a-c=2ccos B.
(1)求证:B=2C;(5分)
(2)若∠ABC的角平分线交AC于D,且a=6,求线段BD长度的取值范围.(10分)
3.(15分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足asin B=bcos.
(1)求角A;(5分)
(2)若a=2,求△ABC周长的取值范围.(10分)
4.(15分)已知函数f(x)=2sin xcos-cos xcos+sin2x-.
(1)若f(α)=,且<α<,求cos 2α;(6分)
(2)若△ABC为锐角三角形,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(B)=,c=2,求△ABC面积的取值范围.(9分)
课时跟踪检测(三十五)
1.解:(1)由正弦定理得a2+c2=b2+ac,
又由余弦定理得cos B===,
因为B是三角形的内角,所以B=.
(2)由三角形面积公式得
S△ABC=acsin B=acsin=ac=,解得ac=4.
因为a+c≥2=4,当且仅当a=c=2时取等号,
所以a+c的最小值为4,此时△ABC为等边三角形.
2.快审准解:(1)利用正弦定理以及三角恒等变换可求得sin(B-C)=sin C,再由角的范围可得B=2C;
(2)由正弦定理可得BD=,再由锐角三角形限定出角的范围,根据三角函数值可得BD长度的取值范围.
解:(1)证明:由a-c=2ccos B,根据正弦定理可得sin A-sin C=2sin Ccos B,即sin(B+C)-sin C=2sin Ccos B,
所以sin Bcos C+cos Bsin C-sin C=2sin Ccos B,
所以sin Bcos C-cos Bsin C=sin C,即sin(B-C)=sin C,显然B>C.又在锐角△ABC中,故0(2)在△BCD中,由正弦定理可得=,
即=,所以BD===.
因为△ABC是锐角三角形,且B=2C,所以
解得所以线段BD长度的取值范围是(2,3).
3.解:(1)由asin B=bcos及正弦定理得sin Asin B=sin Bcos,故sin Asin B=sin B=sin Bcos A+sin Bsin A,所以sin Asin B=sin Bcos A.因为B∈(0,π),sin B≠0,所以sin A-cos A=sin=0.因为A∈(0,π),所以A=.
(2)由(1)可知,A=,由余弦定理,得b2+c2-a2=bc.
又a=2,所以b2+c2=bc+4.
由基本不等式得b2+c2≥2bc,即bc+4≥2bc,所以bc≤4,当且仅当b=c=2时,等号成立.又(b+c)2=b2+c2+2bc=3bc+4≤16,即0a=2,所以24.解:(1)f(x)=2sin x+sin xcos x-cos2x=sin 2x-cos 2x=2sin,
因为f(α)=,所以2sin=,
即sin=.
因为<α<,所以0<2α-<,
则cos==,
所以cos 2α=cos
=cos×-sin×
=×-×=.
(2)由f(B)=,可得f(B)=2sin=,
即sin=.
又0则可得.
由正弦定理=及c=2,得a====1+∈(1,4),
所以S△ABC=acsin B=a∈,
即△ABC面积的取值范围为.

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