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第六节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
　　　　　　　　　　　　　　　　
教材再回首
1.作f(x)=Asin(ωx+φ)图象的五个关键点
ωx+φ 0 　 π 　 2π
x 　 　　
y=f(x) 0 A 0 -A 0
2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象变换
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,所得图象对应的函数解析式为y=sinx. (　　)
(2)将y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,得到y=sin的图象. (　　)
(3)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-A. (　　)
(4)y=2sin的初相为-. (　　)
2.(人A必修①P239T2改编)已知函数f(x)=sin,g(x)=sin x,要得到函数y=f(x)的图象,只需将函数y=g(x)图象上所有的点 (　　)
A.横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位
B.横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位
C.横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移个单位
D.横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移个单位
3.(人B必修③P66T8改编)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则点(ω,φ)的坐标是　 　　.
4.(人A必修①P241T5改编)已知函数f=3cos,若将函数f的图象向左平移个单位长度,再将横坐标扩大为原来的2倍,得到函数g的图象,则函数g的解析式为　　　　　　　　　　　.
题点一　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]　已知函数f(x)=sin.
(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的简图;
(2)请说明由g(x)=sin x到f(x)的变换过程.
|思维建模|
1.作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象常用的两种方法
(1)五点法作图,用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,π,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象;
(2)图象的变换法,由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
2.解决三角函数图象的变换问题要注意的两点
(1)掌握函数图象变换法则,即“左加右减,上加下减”;
(2)“五点法”作图中,相邻两点的横向距离均为;
(3)由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
[即时训练]
1.(2025·桂林模拟)为了得到函数y=cos的图象,只需将正弦函数y=sin x图象上各点 (　　)
A.横坐标向右平移-个单位长度,纵坐标不变
B.横坐标向左平移-个单位长度,纵坐标不变
C.横坐标向左平移个单位长度,纵坐标不变
D.横坐标向右平移个单位长度,纵坐标不变
2.(2025·本溪一模)将函数f(x)=2sin图象上所有的点向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标变为原来的后,得到函数g(x)的图象,则g= (　　)
A. B.
C. D.1
题点二　由图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　(2023·新课标 Ⅱ 卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　.
|思维建模|　
确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤和方法
(1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T,则ω=.
(3)求φ.常用方法如下:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
[即时训练]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.函数f(x)=2cos2(ωx+φ)+b的部分图象如图所示,则以下说法正确的是 (　　)
A.ω=,b=1 B.ω=,b=-1
C.ω=π,b=1 D.ω=π,b=-1
4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若图象上的所有点向左平移个单位长度得到g(x)的图象,且g(x)是奇函数,则图中的a值为 (　　)
A.-1 B.-
C.- D.-
题点三　三角函数的综合问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　三角函数图象与性质的综合问题
[例3]　已知函数f(x)=cos-sin xcos x+(cos4x-sin4x).
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)若方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.
方法引入:(1)先把函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用整体思想求解.
(2)将问题转化成2sin x=m在一定范围内有两解,利用数形结合的方法求解.
|思维建模|
(1)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性及最值等.
(2)与三角函数相关的方程根的问题(零点问题)常通过函数与方程思想转化为图象交点问题,再借助图象分析.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(二)　三角函数模型的应用
[例4]　(多选)如图,一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心O距离水面的高度为2.2 m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下则d为负数).若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,d与时间t(单位:s)之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+b,则下列结论正确的是 (　　)
A.A=3 B.ω=
C.sin φ=- D.b=-0.8
|思维建模|　
三角函数模型的实际应用类型及解题关键
(1)已知函数解析式,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系;
(2)函数解析式未知时,需把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.
[即时训练]
5.某个弹簧振子做简谐运动,已知在完成一次全振动的过程中,时间t(单位:s)与位移y(单位:cm)之间满足函数关系y=sin t+cos,则这个简谐运动的振幅是 (　　)
A.1 cm B.2 cm
C. cm D.2 cm
6.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为 (　　)
A.3 B.4
C.6 D.8
|考教衔接|
[即时训练]第6题源自人教A版必修①P237例1:画出函数y=2sin的简图.
启示:我们经常说高考题源于教材,但高于教材或改编太多,所以有时候教材还是不能引起我们的足够重视.以上两题,我们只要掌握了教材题,高考题直接就出来了,这更好地诠释了教材的重要性.
7.(2024·芜湖三模)[多选]已知g(x)=2sincos(ω>0),则下面结论正确的是 (　　)
A.当ω=1时,g(x)在上单调递增
B.若g(x1)=1,g(x2)=-1,且|x1-x2|的最小值为π,则ω=1
C.若g(x)在[0,2π]上恰有7个零点,则ω的取值范围是
D.存在ω∈(1,3),使得g(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
　
第六节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.　　-　
[典题细发掘]
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.选B　由题得f(x)=sin,而g(x)=sin x,所以将函数y=g(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度得到y=f(x)的图象.
3.
4.解析:把函数f=3cos的图象向左平移个单位长度后,可得到y=3cos=3cos的图象,再将横坐标扩大为原来的2倍,得到函数g=3cos的图象.
答案:g(x)=3cos
课堂·题点精研
题点一
[例1]　解:(1)函数f(x)=sin在上的取值,列表为
x
2x- 0 π 2π
f(x) 0 1 0 -1 0
描点,连线,即得函数f(x)的图象,如图所示.
(2)先将g(x)的图象向右平移个单位长度得到y=sin的图象,再将所得函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到y=sin,即f(x)的图象.
[即时训练]
1.选B　把y=sin x=cos上的所有点向左平移-个单位长度,得到函数y=cos的图象.
2.选A　将函数f(x)=2sin图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=2sin=2sin 2x的图象,
(注意:如果x的系数不是1,那么要先把x的系数提取出来,再确定平移的单位长度和方向)
再把所有点的横坐标变为原来的,得到函数g(x)=2sin 2(2x)=2sin 4x的图象,所以g=2sin=.
题点二
[例2]　解析:由题意,设A,B,则x2-x1=,由y=sin(ωx+φ)的图象可知,
ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=,即ω(x2-x1)=,
∴ω=4.又f=sin=0,∴+φ=kπ,k∈Z,
即φ=-+kπ,k∈Z,观察图象,可知当k=2时,φ=-满足条件,∴f(π)=sin=-.
答案:-
[即时训练]
3.快审准解:先把函数解析式化成y=Acos(ωx+φ)的形式,再结合函数的周期和值域求值.
选B　因为f(x)=2cos2(ωx+φ)+b=cos(2ωx+2φ)+b+1,所以由函数图象可知b+1=0 b=-1.又=-=1,所以T=2.所以T= ω=.故选B.
4.选A　由f(x)max=2得A=2,f(x)的图象上的所有点向左平移个单位长度后得到g(x)的图象,且g(x)为奇函数,所以g(x)的图象关于原点对称,得函数f(x)的图象过点,所以-=,所以T==π,故ω=2.又ω+φ=0,得φ=-,所以f(x)=2sin,a=2sin=-1,故选A.
题点三
[例3]　解:(1)因为f(x)=cos-sin xcos x+(cos4x-sin4x)=-sin 2x+(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=-sin 2x+cos 2x=cos 2x+sin 2x=2sin,
所以T==π,即f(x)的最小正周期为π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由-≤x≤0,得-≤2x+≤.作出y=2sin x,x∈的图象,如图所示,由图可知,当m∈(-2,-]时,方程2sin x=m有两个不同的实根.所以实数m的取值范围是(-2,-].
[例4]　选AC　对于A、D,由题意,dmax=3+2.2=5.2(m),dmin=2.2-3=-0.8(m),所以解得故A正确,D错误;对于B,因为逆时针方向每分钟转1.5圈,所以ω==,故B错误;对于C,由题意知,当t=0时,d=0,所以0=3sin φ+2.2,所以sin φ=-=-,故C正确.故选AC.
[即时训练]
5.快审准解:利用两角差的余弦公式以及辅助角公式化简函数解析式,即可得出这个简谐运动的振幅.
选C　因为y=sin t+cos=sin t+cos tcos+sin tsin=sin t+cos t=sin,所以这个简谐运动的振幅是 cm.故选C.
6.选C　因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,函数y=2sin的最小正周期为T=,所以在x∈[0,2π]上函数y=2sin有三个周期的图象.在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示,由图可知,两函数图象有6个交点.故选C.
7.选CD　对于A,g(x)=2sincos=sin,
当x∈时,t=2x+∈,
而y=sin t在上不具有单调性,故A错误;
对于B,g(x)=sin,由的最小值为π,
则函数周期为2π,所以=2π,ω>0,解得ω=,故B错误;
对于C,g(x)=sin在[0,2π]上恰有7个零点,结合正弦曲线可知,2ω·2π+∈[7π,8π),解得ω∈,故C正确;
对于D,由g(x)=sin的图象向右平移个单位长度后得到y=sin的图象,由它关于y轴对称,可知-+=+kπ,k∈Z,解得ω=-1-3k,k∈Z,当ω∈(1,3)时,ω=2,故D正确.故选CD.(共75张PPT)
第六节
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
明确目标
1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.作f(x)=Asin(ωx+φ)图象的五个关键点
ωx+φ 0 π _____ 2π
x ___ ______
y=f(x) 0 A 0 -A 0
-
2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象变换
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,所得图象对应的函数解析式为y=sinx.(　　)
(2)将y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,得到y=sin的图象.(　　)
(3)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-A.(　　)
(4)y=2sin的初相为-.(　　)
×
×
×
√
2.(人A必修①P239T2改编)已知函数f(x)=sin,g(x)=sin x,要得到函数y=f(x)的图象,只需将函数y=g(x)图象上所有的点(　　)
A.横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位
B.横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位
C.横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移个单位
D.横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移个单位
√
解析:由题得f(x)=sin,而g(x)=sin x,所以将函数y=g(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度得到y=f(x)的图象.
3.(人B必修③P66T8改编)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则点(ω,φ)的坐标是__________.
4.(人A必修①P241T5改编)已知函数f=3cos,若将函数f的图象向左平移个单位长度,再将横坐标扩大为原来的2倍,得到函数g的图象,则函数g的解析式为　　　　　　　　.
解析:把函数f=3cos的图象向左平移个单位长度后,可得到y=3cos=3cos的图象,再将横坐标扩大为原来的2倍,得到函数g=3cos的图象.
g(x)=3cos
课堂·题点精研
02
[例1]　已知函数f(x)=sin.
(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的简图;
解:函数f(x)=sin在上的取值,列表为
题点一　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
x
2x- 0 π 2π
f(x) 0 1 0 -1 0
描点,连线,即得函数f(x)的图象,如图所示.
(2)请说明由g(x)=sin x到f(x)的变换过程.
解:先将g(x)的图象向右平移个单位长度得到y=sin的图象,再将所得函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到y=sin,即f(x)的图象.
1.作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象常用的两种方法
(1)五点法作图,用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,π,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象;
(2)图象的变换法,由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
思维建模
2.解决三角函数图象的变换问题要注意的两点
(1)掌握函数图象变换法则,即“左加右减,上加下减”;
(2)“五点法”作图中,相邻两点的横向距离均为;
(3)由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
1.(2025·桂林模拟)为了得到函数y=cos的图象,只需将正弦函数y=sin x图象上各点(　　)
A.横坐标向右平移-个单位长度,纵坐标不变
B.横坐标向左平移-个单位长度,纵坐标不变
C.横坐标向左平移个单位长度,纵坐标不变
D.横坐标向右平移个单位长度,纵坐标不变
即时训练
√
解析:把y=sin x=cos上的所有点向左平移-个单位长度,得到函数y=cos的图象.
2.(2025·本溪一模)将函数f(x)=2sin图象上所有的点向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标变为原来的后,得到函数g(x)的图象,则g=(　　)
A. B.
C. D.1
√
解析:将函数f(x)=2sin图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=2sin=2sin 2x的图象,
(注意:如果x的系数不是1,那么要先把x的系数提取出来,再确定平移的单位长度和方向)
再把所有点的横坐标变为原来的,得到函数g(x)=2sin 2(2x)=2sin 4x的图象,
所以g=2sin=.
[例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　.
题点二　由图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
-
解析:由题意,设A,B,则x2-x1=,由y=sin(ωx+φ)的图象可知,ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=,即ω(x2-x1)=,∴ω=4.又f=
sin=0,∴+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z,观察图象,可知当k=2时,φ=-满足条件,∴f(π)=sin=-.
确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤和方法
(1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T,则ω=.
(3)求φ.常用方法如下:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
思维建模
3.函数f(x)=2cos2(ωx+φ)+b的部分图象如图所示,则以下说法正确的是 (　　)
A.ω=,b=1 B.ω=,b=-1
C.ω=π,b=1 D.ω=π,b=-1
快审准解:先把函数解析式化成y=Acos(ωx+φ)的形式,再结合函数的周期和值域求值.
即时训练
√
解析:因为f(x)=2cos2(ωx+φ)+b=cos(2ωx+2φ)+b+1,所以由函数图象可知b+1=0 b=-1.又=-=1,所以T=2.所以T= ω=.故选B.
4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若图象上的所有点向左平移个单位长度得到g(x)的图象,且g(x)是奇函数,则图中的a值为(　　)
A.-1 B.-
C.- D.-
√
解析:由f(x)max=2得A=2,f(x)的图象上的所有点向左平移个单位长度后得到g(x)的图象,且g(x)为奇函数,所以g(x)的图象关于原点对称,得函数f(x)的图象过点,所以-=,所以T==π,故ω=2.又ω+φ=0,得φ=-,所以f(x)=2sin,a=2sin=-1,故选A.
考法(一)　三角函数图象与性质的综合问题
[例3]　已知函数f(x)=cos-sin xcos x+(cos4x-sin4x).
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;
方法引入:先把函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用整体思想求解.
解:因为f(x)=cos-sin xcos x+(cos4x-sin4x)=
-sin 2x+(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=
题点三　三角函数的综合问题
-sin 2x+cos 2x
=cos 2x+sin 2x=2sin,
所以T==π,即f(x)的最小正周期为π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)若方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.
方法引入:将问题转化成2sin x=m在一定范围内有两解,利用数形结合的方法求解.
解:由-≤x≤0,得-≤2x+≤.作出y=2sin x,x∈的图象,如图所示,由图可知,当m∈(-2,-]时,方程2sin x=m有两个不同的实根.所以实数m的取值范围是(-2,-].
(1)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性及最值等.
(2)与三角函数相关的方程根的问题(零点问题)常通过函数与方程思想转化为图象交点问题,再借助图象分析.
思维建模
考法(二)　三角函数模型的应用
[例4]　(多选)如图,一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心O距离水面的高度为2.2 m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下则d为负数).若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,d与时间t(单位:s)之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+b ,则下列结论正确的是(　　)
A.A=3 B.ω=
C.sin φ=- D.b=-0.8
√
√
解析:对于A、D,由题意,dmax=3+2.2=5.2(m),dmin=2.2-3=-0.8(m),所以解得故A正确,D错误;对于B,因为逆时针方向每分钟转1.5圈,所以ω==,故B错误;对于C,由题意知,当t=0时,d=0,所以0=3sin φ+2.2,所以sin φ=-=-,故C正确.故选AC.
三角函数模型的实际应用类型及解题关键
(1)已知函数解析式,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系;
(2)函数解析式未知时,需把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.
思维建模
5.某个弹簧振子做简谐运动,已知在完成一次全振动的过程中,时间t(单位:s)与位移y(单位:cm)之间满足函数关系y=sin t+cos,则这个简谐运动的振幅是(　　)
A.1 cm B.2 cm
C. cm D.2 cm
快审准解:利用两角差的余弦公式以及辅助角公式化简函数解析式,即可得出这个简谐运动的振幅.
即时训练
√
解析:因为y=sin t+cos=sin t+cos tcos+
sin tsin=sin t+cos t=sin,所以这个简谐运动的振幅是 cm.故选C.
6.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　)
A.3 B.4
C.6 D.8
√
解析:因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,函数y=2sin的最小正周期为T=,所以在x∈[0,2π]上函数y=2sin有三个周期的图象.在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示,由图可知,两函数图象有6个交点.故选C.
|考|教|衔|接|
本题源自人教A版必修①P237例1:画出函数y=2sin的简图.
启示:我们经常说高考题源于教材,但高于教材或改编太多,所以有时候教材还是不能引起我们的足够重视.以上两题,我们只要掌握了教材题,高考题直接就出来了,这更好地诠释了教材的重要性.
7.(2024·芜湖三模)[多选]已知g(x)=2sincos(ω>0),
则下面结论正确的是(　　)
A.当ω=1时,g(x)在上单调递增
B.若g(x1)=1,g(x2)=-1,且|x1-x2|的最小值为π,则ω=1
C.若g(x)在[0,2π]上恰有7个零点,则ω的取值范围是
D.存在ω∈(1,3),使得g(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
√
√
解析:对于A,g(x)=2sin·cos=sin,
当x∈时,t=2x+∈,而y=sin t在上不具有单调性,故A错误;
对于B,g(x)=sin,由的最小值为π,则函数周期为2π,所以=2π,ω>0,解得ω=,故B错误;
对于C,g(x)=sin在[0,2π]上恰有7个零点,结合正弦曲线可知,2ω·2π+∈[7π,8π),解得ω∈,故C正确;
对于D,由g(x)=sin的图象向右平移个单位长度后得到y=sin的图象,由它关于y轴对称,可知-+=+kπ,k∈Z,解得ω=-1-3k,k∈Z,当ω∈(1,3)时,ω=2,故D正确.故选CD.
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课时跟踪检测
03
一、单选题
1.用“五点法”作函数y=cos在一个周期内的图象时,第四个关键点的坐标为(　　)
A. B. 　
C. 　D.
解析:令4x-=,得x=,∴第四个关键点的坐标为.
√
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2.(2024·青岛三模)为了得到y=sin 2x+cos 2x的图象,只要把y=cos 2x图象上所有的点(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
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解析:y=sin 2x+cos 2x=sin,
由诱导公式可知y=cos 2x=sin=sin.又y=sin=sin,则-=,所以只需把图象向右平移个单位长度.
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3.已知函数f(x)=tan(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则ωφ=(　　)
A. B.
C. D.
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解析:由题图可知,f(x)的最小正周期T=-==,则ω=2.由题图,得-φ=+kπ,k∈Z,则φ=-kπ,k∈Z.由0<φ<π,得φ=,则ωφ=.
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4.设函数f(x)=cos在[-π,π]的图象大致如图所示,则f(x)的最小正周期为(　　)
A. 　　　　B.
C. 　　　　D.
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解析:法一　由题图知,f=0,
∴-ω+=+kπ(k∈Z),解得ω=-(k∈Z).
设f(x)的最小正周期为T,易知T<2π<2T,∴<2π<,
∴1<|ω|<2,当且仅当k=-1时,符合题意,此时ω=,
∴T==.故选C.
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法二　由题图知,f=0且f(-π)<0,
f(0)>0,∴-ω+=-(ω>0),解得ω=,
∴f(x)的最小正周期T==.故选C.
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5.(2025·常德一模)将函数f(x)=2sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若函数y=g(x)的一个极值点是,且在上单调递增,则ω的值为(　　)
A. B.
C. D.
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解析:由题意得,g(x)=2sin=2sin,又函数y=g(x)的一个极值点是,即x=是函数g(x)的一条对称轴,所以+
+=+kπ(k∈Z),则ω=+2k(k∈Z).函数 g(x)在上单调递增,则函数g(x)的周期T=≥2,结合ω>0,解得0<ω≤2,则k=0,ω=,故选A.
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6.将函数g(x)=cos(ω∈N*)的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的2倍,得到函数f(x)的图象,若f(x)在上只有一个极大值点,则ω的最大值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
快审准解:根据伸缩变换规则可得f(x)=2cos(ω∈N*),再由余弦函数图象性质以及极值点个数解不等式可得结果.
√
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解析:由题可知f(x)=2cos (ω∈N*),
当0若f(x)在上只有一个极大值点,
则由y=2cos x的图象可得2π<ωπ+≤4π,
解得<ω≤.因为ω∈N*,所以ω的最大值为3.
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二、多选题
7.已知函数f(x)=tan(ω>0)图象的相邻两个对称中心之间的距离为,则(　　)
A.ω=4
B.f(x)的最小正周期为
C.f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)=tan 2x的图象
D.f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
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√
√
快审准解:由题设知周期,得ω的值,求出函数的解析式,由正切函数的图象性质逐项判断即可.
解析:对于A、B,因为函数f(x)=tan(ω>0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为,则该函数的最小正周期为T=,所以ω==2,故A错误,B正确;
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对于C,f(x)=tan,f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)=tan=tan 2x的图象,故C正确;
对于D,由kπ-<2x-所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z),
故D正确.故选BCD.
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8.将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数f(x)的图象,则(　　)
A.f(x)=cos
B.是f(x)图象的一个对称中心
C.当x=-时,f(x)取得最大值
D.函数f(x)在区间上单调递增
√
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解析:将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数f(x)=sin 2=sin=-cos,A错误;f=sin
=0,则是f(x)图象的一个对称中心,B正确;f=sin=-1,故当x=-时,f(x)取得最小值,C错误;由x∈,可得2x-∈
,则函数f(x)=sin在区间上单调递增,D正确.
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9.如图是函数f(x)=Ksin(ωx+φ)的部分图象,A是图象的一个最高点,D是图象与y轴的交点,B,C是图象与x轴的交点,且D(0,-1),△ABC的面积等于,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)的图象关于直线x=对称
C.函数f(x)的图象可由y=2cos 2x的图象向
右平移个单位长度得到
D.函数f(x)与g(x)=cos x在[0,π]上有2个交点
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解析:设f(x)的最小正周期为T,
由题图可知K=2,S△ABC=BC×K=BC=,即T=,可得T=π,故A正确;
且ω>0,所以=π,解得ω=2.
又因为图象过点D(0,-1),可得2sin φ=-1,
即sin φ=-,且-<φ<,可得φ=-,
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所以f(x)=2sin.因为f=2sin=2sin=-2,为最小值,所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确;将y=2cos 2x的图象向右平移个单位长度,得到y=2cos 2=2cos=
2sin,所以函数f(x)的图象可由y=2cos(2x)的图象向右平移个单位长度得到,故C正确;注意到f(π)=f(0)=-1,
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在同一平面直角坐标系内,分别作出函数f(x)与g(x)=cos x在[0,π]上的图象,如图所示.
由图象可知,函数f(x)与g(x)=cos x在[0,π]上有3个交点,故D错误.
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三、填空题
10.去年某地的月平均气温y(℃)与月份x(月)近似地满足函数y=a+bsin(a,b为常数).若6月份的月平均气温约为22 ℃,12月份的月平均气温约为4 ℃,则该地8月份的月平均气温约为　　　　 ℃.
解析:将(6,22),(12,4)代入函数解析式,解得a=13,b=-18,所以y=13-18sin.当x=8时,y=13-18sin=31.
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11.蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹,取其中一段水波纹,其形状可近似于用函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象来描述,如图所示,则f(x)=　　 　　.
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sin
解析:由题知A=1,T==4=,
∴ω=,即f(x)=sin.
又∵f=1,|φ|<,∴×+φ=,
故φ=,即f(x)=sin.
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四、解答题
12.(13分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的最小正周期及解析式;(5分)
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解:由题图可知y=f(x)的最大值为1,最小值为-1,故A=1.
又=-==,∴ω=2,
将点代入y=f(x),f=sin=-1,
∴+φ=+2kπ,k∈Z,φ=+2kπ,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,
故f(x)的最小正周期为π,f(x)=sin.
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(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.(8分)
解:由y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)=sin=sin,
∵x∈,∴2x-∈,∴当2x-=-,即x=0时,g(x)min=-;
当2x-=,即x=时,g(x)max=1.故函数g(x)在区间上的最大值为1,最小值为-.
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13.(15分)已知函数f(x)=sin2+sin·cos-.
(1)求f(x)的单调递增区间;(5分)
解: f(x)=sin2+sin·cos-
=+sin-=-cos 2x+sin 2x
+cos 2x-=sin 2x+cos 2x=sin.
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结合正弦函数的图象与性质,可得当-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),即-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)时,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
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(2)若函数y=|f(x)|-m在区间上恰有两个零点x1,x2,求m的取值范围.(10分)
解:令t=2x+,当x∈时,t∈,sin t∈,所以y=
∈,如图所示.所以要使
y=|f(x)|-m在区间上恰有两个
零点,则1
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13课时跟踪检测(三十二)　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
(选择题在答题区内作答,填空题、解答题在题后作答)
一、单选题
1.用“五点法”作函数y=cos在一个周期内的图象时,第四个关键点的坐标为 (　　)
A. B.
C. D.
2.(2024·青岛三模)为了得到y=sin 2x+cos 2x的图象,只要把y=cos 2x图象上所有的点 (　　)
A.向右平移个单位长度 　B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 　D.向左平移个单位长度
3.已知函数f(x)=tan(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则ωφ= (　　)
A. B.
C. D.
4.设函数f(x)=cos在[-π,π]的图象大致如图所示,则f(x)的最小正周期为 (　　)
A. 　　　　B.
C. 　　　　D.
5.(2025·常德一模)将函数f(x)=2sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若函数y=g(x)的一个极值点是,且在上单调递增,则ω的值为 (　　)
A. B.
C. D.
6.将函数g(x)=cos(ω∈N*)的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的2倍,得到函数f(x)的图象,若f(x)在上只有一个极大值点,则ω的最大值为 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
二、多选题
7.已知函数f(x)=tan(ω>0)图象的相邻两个对称中心之间的距离为,则 (　　)
A.ω=4
B.f(x)的最小正周期为
C.f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)=tan 2x的图象
D.f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
8.将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数f(x)的图象,则 (　　)
A.f(x)=cos B.是f(x)图象的一个对称中心
C.当x=-时,f(x)取得最大值 D.函数f(x)在区间上单调递增
9.如图是函数f(x)=Ksin(ωx+φ)的部分图象,A是图象的一个最高点,D是图象与y轴的交点,B,C是图象与x轴的交点,且D(0,-1),△ABC的面积等于,则下列说法正确的是 (　　)
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)的图象关于直线x=对称
C.函数f(x)的图象可由y=2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到
D.函数f(x)与g(x)=cos x在[0,π]上有2个交点
三、填空题
10.去年某地的月平均气温y(℃)与月份x(月)近似地满足函数y=a+bsin(a,b为常数).若6月份的月平均气温约为22 ℃,12月份的月平均气温约为4 ℃,则该地8月份的月平均气温约为　　　　 ℃.
11.蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹,取其中一段水波纹,其形状可近似于用函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象来描述,如图所示,则f(x)=　　　　　　　　.
四、解答题
12.(13分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的最小正周期及解析式;(5分)
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.(8分)
13.(15分)已知函数f(x)=sin2+sin·cos-.
(1)求f(x)的单调递增区间;(5分)
(2)若函数y=|f(x)|-m在区间上恰有两个零点x1,x2,求m的取值范围.(10分)
课时跟踪检测(三十二)
1.选A　令4x-=,得x=,∴第四个关键点的坐标为.
2.选A　y=sin 2x+cos 2x=sin,由诱导公式可知y=cos 2x=sin=sin.又y=sin=sin,则-=,所以只需把图象向右平移个单位长度.
3.选C　由题图可知,f(x)的最小正周期T=-==,则ω=2.由题图,得-φ=+kπ,k∈Z,则φ=-kπ,k∈Z.由0<φ<π,得φ=,则ωφ=.
4.选C　法一　由题图知,f=0,
∴-ω+=+kπ(k∈Z),解得ω=-(k∈Z).
设f(x)的最小正周期为T,
易知T<2π<2T,∴<2π<,∴1<|ω|<2,
当且仅当k=-1时,符合题意,此时ω=,
∴T==.故选C.
法二　由题图知,f=0且f(-π)<0,f(0)>0,
∴-ω+=-(ω>0),解得ω=,
∴f(x)的最小正周期T==.故选C.
5.选A　由题意得,g(x)=2sin=2sin,又函数y=g(x)的一个极值点是,即x=是函数g(x)的一条对称轴,所以++=+kπ(k∈Z),则ω=+2k(k∈Z).函数 g(x)在上单调递增,则函数g(x)的周期T=≥2,结合ω>0,解得0<ω≤2,则k=0,ω=,故选A.
6.快审准解:根据伸缩变换规则可得f(x)=2cos(ω∈N*),再由余弦函数图象性质以及极值点个数解不等式可得结果.
选B　由题可知f(x)=2cos(ω∈N*),
当0则由y=2cos x的图象可得2π<ωπ+≤4π,
解得<ω≤.因为ω∈N*,所以ω的最大值为3.
7.快审准解:由题设知周期,得ω的值,求出函数的解析式,由正切函数的图象性质逐项判断即可.
选BCD　对于A、B,因为函数f(x)=tan(ω>0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为,则该函数的最小正周期为T=,所以ω==2,故A错误,B正确;
对于C,f(x)=tan,f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)=tan=tan 2x的图象,故C正确;
对于D,由kπ-<2x-8.选BD　将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数f(x)=sin 2=sin=-cos,A错误;f=sin=0,则是f(x)图象的一个对称中心,B正确;f=sin=-1,故当x=-时,f(x)取得最小值,C错误;由x∈,可得2x-∈ ,则函数f(x)=sin在区间上单调递增,D正确.
9.选ABC　设f(x)的最小正周期为T,
由题图可知K=2,S△ABC=BC×K=BC=,即T=,可得T=π,故A正确;且ω>0,所以=π,解得ω=2.
又因为图象过点D(0,-1),可得2sin φ=-1,
即sin φ=-,且-<φ<,可得φ=-,
所以f(x)=2sin.
因为f=2sin=2sin=-2,为最小值,
所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确;
将y=2cos 2x的图象向右平移个单位长度,
得到y=2cos 2=2cos=2sin,所以函数f(x)的图象可由y=2cos(2x)的图象向右平移个单位长度得到,故C正确;注意到f(π)=f(0)=-1,
在同一平面直角坐标系内,分别作出函数f(x)与g(x)=cos x在[0,π]上的图象,如图所示.
由图象可知,函数f(x)与g(x)=cos x在[0,π]上有3个交点,故D错误.
10.解析:将(6,22),(12,4)代入函数解析式,解得a=13,b=-18,所以y=13-18sin.当x=8时,y=13-18sin=31.
答案:31
11.解析:由题知A=1,T==4=,∴ω=,即f(x)=sin.又∵f=1,|φ|<,∴×+φ=,故φ=,即f(x)=sin.
答案:sin
12.解:(1)由题图可知y=f(x)的最大值为1,最小值为-1,故A=1.
又=-==,∴ω=2,将点代入y=f(x),f=sin=-1,∴+φ=+2kπ,k∈Z,φ=+2kπ,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,
故f(x)的最小正周期为π,f(x)=sin.
(2)由y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)=sin=sin,
∵x∈,∴2x-∈,
∴当2x-=-,即x=0时,g(x)min=-;
当2x-=,即x=时,g(x)max=1.
故函数g(x)在区间上的最大值为1,最小值为-.
13.解:(1)f(x)=sin2+sin·cos-=+sin-=-cos 2x+sin 2x+cos 2x-=sin 2x+cos 2x=sin.结合正弦函数的图象与性质,可得当-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),即-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)时,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)令t=2x+,当x∈时,t∈,sin t∈,
所以y=sin t,如图所示.所以要使y=|f(x)|-m在区间上恰有两个零点,则

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