资源简介

第五节　三角函数的图象与性质
1.能画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在上的性质.
教材再回首
1.用“五点法”作图的原理
(1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是(0,0),　　　　,　　　　,,　　　　.
(2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是　　　　,,　　　　,,(2π,1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义域 　　 　　 　　　　　 　
值域 [-1,1] [-1,1] R
奇偶 性 　　　 　　　 　　　
单 调 性 在　　　　　　　　　上单调递增,在　　　　　　　　　　　上单调递减 在　　　　　　　　上单调递增,在　　　　　　　　上单调递减 在每个　　　　　　　　　　　　　　　　上都单调递增
周 期 性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是　 周期是2kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是　　 周期是kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是　　
对 称 性 对称轴是　　　　　　　　　,对称中心是　　　　　　　　　 对称轴是　　　　　　　, 对称中心是　　　　　 对称中心是 　　　　
典题细发掘
1.(苏教必修①P204T2改编)函数y=tan 2x的定义域是 (　　)
A. B.
C. D.
2.(苏教必修①P224T7)下列各组函数中,在区间上都单调递增的函数为 (　　)
A.y=sin x,y=cos x B.y=sin x,y=tan x
C.y=cos x,y=tan x D.y=-sin x,y=-cos x
3.(人A必修①P199例1改编)函数y=1+cos x(x∈[0,2π])的简图是 (　　)
4.(人A必修①P214T10改编)函数y=cos,x∈的值域是　　　　.
第1课时　三角函数的定义域、值域及单调性
题点一　三角函数的定义域
[例1]　函数f(x)=的定义域为 (　　)
A.(k∈Z) B.∪(k∈Z)
C.(k∈Z) D.∪(k∈Z)
|思维建模|
求三角函数的定义域,实际上是构造简单的三角不等式(组),有时候还需要借助三角函数图象求解.
[即时训练]
1.函数y=lg(sin x)+的定义域为　　　　　　　　　　　.
2.函数y=的定义域为　　　　　　　　　 　　　　　.
题点二　三角函数的值域
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]
(1)(人A必修①P227例9改编)函数f(x)=3sin在区间上的值域为 (　　)
A. B.
C. D.
(2)已知x∈(0,π),则f(x)=cos 2x+2sin x的值域为 (　　)
A. B.
C. D.(-3,2]
|思维建模|　
求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型
(1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,可先化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值);
(2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数,再求值域(最值);
(3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值).
[即时训练]
3.若本例(1)变为函数f(x)=3sin的定义域是[0,m],值域为,则m的最大值是 (　　)
A. B.
C. D.
4.若x是三角形的最小内角,则函数y=sin x+cos x+sin xcos x的值域是 (　　)
A.[-1,+∞) B.[-1,]
C.(0,] D.
题点三　三角函数的单调性及其应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　求三角函数的单调区间
[例3]
(1)函数y=|tan x|在上的单调递减区间为　　　　　　.
(2)函数y=sin的单调递减区间为　　　　　　　　 　.
|思维建模|
求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的技巧
(1)数形结合:结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间;
(2)整体代换:确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间,采用“换元法”整体代换:将ωx+φ看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asin z的单调区间从而求出函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式将x的系数转化为正数,需将最终结果写成区间形式.
考法(二)　已知三角函数的单调性求参数
[例4]　若f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,则ω的取值范围是　　　　.
|思维建模|　
由单调性求参数范围的方法
(1)反子集法:由所给区间求出整体角的范围,由该范围是相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解.
(2)周期性法:由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解.
(3)子集法:求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求区间的子集,列不等式(组)求解.
[即时训练]
5.下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递减的是 (　　)
A.y=|cos x| B.y=tan x
C.y=cos D.y=|sin x|
6.(2024·唐山二模)若函数f(x)=sin(2x-φ)在上单调递增,则φ的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.
第五节　三角函数的图象与性质
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.(1)　(π,0)　(2π,0)　(2)(0,1)　(π,-1)
2.R　R　　奇函数　偶函数　奇函数　(k∈Z)　(k∈Z)　[2kπ-π,2kπ](k∈Z)　[2kπ,2kπ+π](k∈Z)　(k∈Z)　2π　2π　π　x=+kπ(k∈Z)　(kπ,0)(k∈Z)　x=kπ(k∈Z)　(k∈Z)　(k∈Z)
[典题细发掘]
1.D　2.B　3.D
4.解析:由x∈得x+∈,
所以y=cos∈.
答案:
课堂·题点精研
第1课时　三角函数的定义域、值域及单调性
题点一
[例1]　选B　由函数式知∴
即x∈∪,k∈Z.
[即时训练]
1.解析:要使函数有意义,则有
即解得k∈Z,
所以2kπ所以函数的定义域为.
答案:
2.解析:法一　要使函数有意义,必须使sin x-cos x≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示.在[0,2π]内,满足sin x≥cos x的x范围为,再结合正弦、余弦函数的最小正周期是2π,所以原函数的定义域为.
法二　sin x-cos x=sin≥0,将x-视为一个整体,由正弦函数y=sin x的图象和性质可知2kπ≤x-≤π+2kπ(k∈Z),解得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),所以原函数的定义域为.
答案:
题点二
[例2]　(1)B　(2)B
(1)当x∈时,2x-∈,
sin∈,故3sin∈,
∴函数f(x)的值域为.
(2)由f(x)=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x,
设sin x=t,∵x∈(0,π),∴t∈(0,1],
∴g(t)=-2+,∴g(t)∈,
即f(x)=cos 2x+2sin x的值域为.
[即时训练]
3.选A　∵x∈[0,m],∴2x-∈.
∵f(x)的值域为,∴≤2m-≤,
解得≤m≤,∴m的最大值为.故选A.
4.选D　设t=sin x+cos x=sin,∵x∈,
∴x+∈,∴t∈(1,],
(注意x的范围)
∴y=t+=t2+t-∈,
∴所求函数的值域为.
题点三
[例3]　(1)和　(2),k∈Z
(1)如图,观察图象可知,y=|tan x|在上的单调递减区间为和.
(2)y=-sin的单调递减区间即为y=sin的单调递增区间.令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故所求函数的单调递减区间为,k∈Z.
[例4]　解析:法一:反子集法　因为x∈,ω>0,
所以ωx∈.
因为f(x)=2sin ωx在上单调递增,
所以(ω>0),故0<ω≤.
法二:数形结合法　画出函数f(x)=2sin ωx(ω>0)的图象如图所示.
要使f(x)在上单调递增,需(ω>0),即0<ω≤.
法三:子集法　由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z),得-+≤x≤+(k∈Z),故f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
由题意,得 (k∈Z,ω>0),从而有即0<ω≤.
答案:
[即时训练]
5.选D　对于A,y=|cos x|的图象是由y=cos x的图象将x轴下方的图象关于x轴对称上去,x轴及x轴上方部分不变,其函数图象如图1所示.
则y=|cos x|的最小正周期为π,但是在上单调递增,故A错误;对于B,y=tan x的最小正周期为π,但是在上单调递增,故B错误;对于C,y=cos的最小正周期T==4π,故C错误;对于D,y=|sin x|的图象是由y=sin x的图象将x轴下方的图象关于x轴对称上去,x轴及x轴上方部分不变,其函数图象如图2所示.
则y=|sin x|的最小正周期为π,且在上单调递减,故D正确.
6.选C　由x∈可得2x-φ∈.又|φ|≤,则≤-φ≤,且f(x)在上单调递增,所以解得≤φ≤,即φ的取值范围为.(共65张PPT)
第五节
三角函数的图象与性质
明确目标
1.能画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在上的性质.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.用“五点法”作图的原理
(1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是(0,0),
______,______,,________.
(2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是_____,
,______,,(2π,1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义域 ____ ____ ___________________________
R
R
续表
值域 [-1,1] [-1,1] R
奇偶性 _________ _________ _________
单 调 性 在______________________ 上单调递增, 在______________________ 上单调递减 在________________上单调递增,在 _________________上单调递减 在每个
________________
________
上都单调递增
(k∈Z)
(k∈Z)
奇函数
偶函数
奇函数
[2kπ-π,2kπ](k∈Z)
[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
(k∈Z)
续表
周 期 性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是___ 周期是2kπ(k∈Z且k≠ 0),最小正周期是___ 周期是kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期是__
对 称 性 对称轴是______________,对称中心是 ______________ 对称轴是___________, 对称中心是 ___________________ 对称中心是
_____________
2π
2π
π
x=+kπ(k∈Z)
(kπ,0)(k∈Z)
x=kπ(k∈Z)
(k∈Z)
(k∈Z)
典题细发掘
1.(苏教必修①P204T2改编)函数y=tan 2x的定义域是 (　　)
A.
B.
C.
D.
√
2.(苏教必修①P224T7)下列各组函数中,在区间上都单调递增的函数为(　　)
A.y=sin x,y=cos x
B.y=sin x,y=tan x
C.y=cos x,y=tan x
D.y=-sin x,y=-cos x
√
3.(人A必修①P199例1改编)函数y=1+cos x(x∈[0,2π])的简图是 (　　)
√
4.(人A必修①P214T10改编)函数y=cos,x∈的值域是
_________.
解析:由x∈得x+∈,
所以y=cos∈.
课堂·题点精研
02
第1课时　三角函数的定义域、值域及单调性
[例1]　函数f(x)=的定义域为(　　)
A.(k∈Z)
B.∪(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.∪(k∈Z)
√
题点一　三角函数的定义域
解析:由函数式知∴
即x∈∪,k∈Z.
求三角函数的定义域,实际上是构造简单的三角不等式(组),有时候还需要借助三角函数图象求解.
思维建模
1.函数y=lg(sin x)+的定义域为____________________________.
解析:要使函数有意义,则有
即解得k∈Z,所以2kπ即时训练
2.函数y=的定义域为　 　　　　　　　　　　.
解析:法一　要使函数有意义,必须使sin x-cos x≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示.在[0,2π]内,满足sin x≥cos x的x范围为,再结合正弦、余弦函数的最小正周期是2π,所以原函数的定义域为
.
法二　sin x-cos x=sin≥0,将x-视为一个整体,
由正弦函数y=sin x的图象和性质可知2kπ≤x-≤π+2kπ(k∈Z),
解得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),所以原函数的定义域为.
[例2]
(1)(人A必修①P227例9改编)函数f(x)=3sin在区间上的值域为(　　)
A. B.
C. D.
√
题点二　三角函数的值域
解析:当x∈时,2x-∈,
sin∈,故3sin∈,
∴函数f(x)的值域为.
(2)已知x∈(0,π),则f(x)=cos 2x+2sin x的值域为 (　　)
A. B.
C. D.(-3,2]
解析:由f(x)=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x,设sin x=t,
∵x∈(0,π),∴t∈(0,1],∴g(t)=-2+,∴g(t)∈,
即f(x)=cos 2x+2sin x的值域为.
√
求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型
(1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,可先化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值);
(2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数,再求值域(最值);
(3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x
±cos x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值).
思维建模
3.若本例(1)变为函数f(x)=3sin的定义域是[0,m],值域为,则m的最大值是(　　)
A. B. C. D.
解析:∵x∈[0,m],∴2x-∈.∵f(x)的值域为,∴≤2m-≤,解得≤m≤,∴m的最大值为.故选A.
即时训练
√
4.若x是三角形的最小内角,则函数y=sin x+cos x+sin xcos x的值域是 (　　)
A.[-1,+∞) B.[-1,]
C.(0,] D.
√
解析:设t=sin x+cos x=sin,
∵x∈,∴x+∈,∴t∈(1,],
(注意x的范围)
∴y=t+=t2+t-∈,
∴所求函数的值域为.
考法(一)　求三角函数的单调区间
[例3] (1)函数y=|tan x|在上的单调递减区间为_____________.
解析:如图,观察图象可知,y=|tan x|在上的单调递减区间为和.
题点三　三角函数的单调性及其应用
和
(2)函数y=sin的单调递减区间为_______________________.
解析:y=-sin的单调递减区间即为y=sin的单调递增区间.令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故所求函数的单调递减区间为,k∈Z.
,k∈Z
求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的技巧
(1)数形结合:结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间;
(2)整体代换:确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间,采用“换元法”整体代换:将ωx+φ看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asin z的单调区间从而求出函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式将x的系数转化为正数,需将最终结果写成区间形式.
思维建模
考法(二)　已知三角函数的单调性求参数
[例4]　若f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,则ω的取值范围是　　　　.
解析:法一:反子集法　因为x∈,ω>0,
所以ωx∈.因为f(x)=2sin ωx在上单调递增,
所以(ω>0),故0<ω≤.
法二:数形结合法　画出函数f(x)=2sin ωx(ω>0)的图象如图所示.
要使f(x)在上单调递增,需(ω>0),即0<ω≤.
法三:子集法　由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z),得-+≤x≤+
(k∈Z),故f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
由题意,得 (k∈Z,ω>0),
从而有即0<ω≤.
由单调性求参数范围的方法
思维建模
反子 集法 由所给区间求出整体角的范围,由该范围是相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解
周期 性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解
子集法 求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求区间的子集,列不等式(组)求解
5.下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递减的是(　　)
A.y=|cos x| B.y=tan x
C.y=cos D.y=|sin x|
即时训练
√
解析:对于A,y=|cos x|的图象是由y=cos x的图象将x轴下方的图象关于x轴对称上去,x轴及x轴上方部分不变,其函数图象如图1所示.则y=|cos x|的最小正周期为π,但是在上单调递增,故A错误;对于B,
y=tan x的最小正周期为π,但是在上单调递增,故B错误;对于C,y=cos的最小正周期T==4π,故C错误;对于D,y=|sin x|的图象是由y=sin x的图象将x轴下方的图象关于x轴对称上去,x轴及x轴上方部分不变,其函数图象如图2所示.则y=|sin x|的最小正周期为π,且在上单调递减,故D正确.
6.(2024·唐山二模)若函数f(x)=sin(2x-φ)在上单调递增,则φ的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
√
解析:由x∈可得2x-φ∈.
又|φ|≤,则≤-φ≤,且f(x)在上单调递增,
所以解得≤φ≤,即φ的取值范围为.
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课时跟踪检测
03
一、单选题
1.函数y=的定义域为(　　)
A.
B.
C.{x|x≠kπ,k∈Z}
D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
解析:要使函数有意义,必须有
即
故函数的定义域为.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
2.函数f(x)=sin,x∈的最大值和最小值分别为(　　)
A.1,- B.1,-
C.,-1 D.1,-1
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
解析:由x∈,得2x+∈,则当2x+=,
即x=时,f(x)max=1,
当2x+=,即x=时,f(x)min=-,
所以所求最大值、最小值分别为1,-.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
3.函数 y=的定义域为(　　)
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
解析:由题意,得|sin x|-cos x≥0,即或解得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
4.函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为 (　　)
A. B.
C. D.
解析:设t=sin x-cos x,则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,sin xcos x=,且-≤t≤.∴y=-+t+=-(t-1)2+1,t∈[-,].当t=1时,ymax=1;当t=
-时,ymin=--.∴原函数的值域为.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
5.若函数f(x)=sin在(-a,a)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
解析:因为x∈(-a,a),所以a>0,且0∈(-a,a).因为函数f(x)=sin在(-a,a)上单调递增,所以 a≤,所以01
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
6.已知函数f(x)=cos ωx-2sin 2ωxsin ωx(ω>0)在(0,2π)上有最小值没有最大值,则ω的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
快审准解:根据给定条件,利用差角的余弦公式化简函数f(x),再由指定范围求出相位的取值范围,结合余弦函数的性质列式求解即得.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
解析:依题意,f(x)=cos(2ωx-ωx)-2sin 2ωxsin ωx
=cos(2ωx+ωx)=cos 3ωx,
当x∈(0,2π)时,3ωx∈(0,6ωπ),
若f(x)在(0,2π)上有最小值没有最大值,
则π<6ωπ≤2π,所以<ω≤.故选D.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
7.若直线x=是曲线y=sin(ω>0)图象的一条对称轴,且函数y=sin在区间上不具有单调性,则ω的最小值为(　　)
A.7 B.9
C.11 D.15
快审准解:首先根据对称轴的性质求出ω的表达式,再根据函数的单调区间确定ω的取值范围,从而得出ω的最小值.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
解析:因为直线x=是y=sin(ω>0)图象的一条对称轴,
所以ω-=kπ+,k∈Z,
整理可得ω=kπ++,即ω=4k+3,k∈Z.
由-≤ωx-≤,得-≤x≤.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
则函数y=sin在上单调递增.
因为函数y=sin在区间上不具有单调性,
所以<.
解得ω>9.因为ω=4k+3,k∈Z且ω>9,
所以ω的最小值为11.故选C.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
二、多选题
8.下列函数中,在区间上单调递减的函数是(　　)
A.y=sin B.y=sin x-cos x
C.y=|sin 2x| D.y=cos
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
√
解析:A选项,对于y=sin,由1
5
6
7
8
9
10
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9.(2024·济南二模)已知函数f(x)=sin x·|cos x|,则 (　　)
A.f(x)是奇函数
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)的最小值为-
D.f(x)在上单调递增
√
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√
解析:对于A,函数f(x)的定义域为R,有f(-x)=sin(-x)·|cos(-x)|
=-sin x·|cos x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,A正确;
对于B,有f=sin·=-,f=sin·=.
所以f≠f,这表明π不是f(x)的周期,B错误;
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对于C,f(x)=sin x·≥-=-≥-,由B得f=-,故f(x)的最小值为-,C正确;
对于D,由于f=sin·=0,f(0)=sin 0·|cos 0|=0,所以f(x)在上不具有单调性,D错误.
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三、填空题
10.已知函数f(x)=2sin,则f(x)在[-1,1]上的单调递增区间为　　　　　.
解析:令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,得x∈,
k∈Z,所以f(x)在[-1,1]上的单调递增区间为.
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11.已知函数f(x)=sin(ω>0),x∈的值域是,则ω的取值范围为　　　　.
解析:因为x∈,ω>0,所以ωx-∈.又当x∈时,f(x)∈,所以≤-≤,解得≤ω≤3.
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四、解答题
12.(10分)已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x.
(1)求f(x)的单调递增区间;(5分)
解: f(x)=sin 2x+cos 2x=2
=2=2sin,
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
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(2)当x∈时,求f(x)的最大值和最小值,并指出取得最值时x的值.(5分)
解:因为x∈,所以2x+∈,
所以当2x+=-,即x=-时,有f(x)min=2sin=-1,
当2x+=,即x=时,有f(x)max=2sin=2.
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13.(13分)已知函数f(x)=sin+cos,g(x)=2sin2.
(1)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值;(5分)
解:f(x)=sin+cos=sin x-cos x+cos x+sin x
=sin x,g(x)=2sin2=1-cos x.
由f(α)=,得sin α=,因为α是第一象限角,所以cos α>0,从而g(α)=1-cos α=1-=1-=.
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(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.(8分)
解:f(x)≥g(x)等价于sin x≥1-cos x,
即sin x+cos x≥1,于是sin≥,
从而2kπ+≤x+≤2kπ+π,k∈Z,即2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z,
故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为
.
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13课时跟踪检测(三十)　三角函数的定义域、值域及单调性
一、单选题
1.函数y=的定义域为 (　　)
A. B.
C.{x|x≠kπ,k∈Z} D.
2.函数f(x)=sin,x∈的最大值和最小值分别为 (　　)
A.1,- B.1,-
C.,-1 D.1,-1
3.函数 y=的定义域为 (　　)
A.,k∈Z B.,k∈Z
C.,k∈Z D.,k∈Z
4.函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为 (　　)
A. B.
C. D.
5.若函数f(x)=sin在(-a,a)上单调递增,则实数a的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
6.已知函数f(x)=cos ωx-2sin 2ωxsin ωx(ω>0)在(0,2π)上有最小值没有最大值,则ω的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
7.若直线x=是曲线y=sin(ω>0)图象的一条对称轴,且函数y=sin在区间上不具有单调性,则ω的最小值为 (　　)
A.7 B.9
C.11 D.15
二、多选题
8.下列函数中,在区间上单调递减的函数是 (　　)
A.y=sin B.y=sin x-cos x
C.y=|sin 2x| D.y=cos
9.(2024·济南二模)已知函数f(x)=sin x·|cos x|,则 (　　)
A.f(x)是奇函数 B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)的最小值为- D.f(x)在上单调递增
三、填空题
10.已知函数f(x)=2sin,则f(x)在[-1,1]上的单调递增区间为　　　　　.
11.已知函数f(x)=sin(ω>0),x∈的值域是,则ω的取值范围为　　　　.
四、解答题
12.(10分)已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x.
(1)求f(x)的单调递增区间;(5分)
(2)当x∈时,求f(x)的最大值和最小值,并指出取得最值时x的值.(5分)
13.(13分)已知函数f(x)=sin+cos,g(x)=2sin2.
(1)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值;(5分)
(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.(8分)
课时跟踪检测(三十)
1.选D　要使函数有意义,必须有
即
故函数的定义域为.
2.选A　由x∈,得2x+∈,则当2x+=,即x=时,f(x)max=1,
当2x+=,即x=时,f(x)min=-,
所以所求最大值、最小值分别为1,-.
3.选D　由题意,得|sin x|-cos x≥0,
即或
解得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.
4.选C　设t=sin x-cos x,则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,sin xcos x=,且-≤t≤.∴y=-+t+=-(t-1)2+1,t∈[-,].当t=1时,ymax=1;当t=-时,ymin=--.∴原函数的值域为.
5.选A　因为x∈(-a,a),所以a>0,且0∈(-a,a).因为函数f(x)=sin在(-a,a)上单调递增,所以 a≤,所以06.快审准解:根据给定条件,利用差角的余弦公式化简函数f(x),再由指定范围求出相位的取值范围,结合余弦函数的性质列式求解即得.
选D　依题意,f(x)=cos(2ωx-ωx)-2sin 2ωxsin ωx=cos(2ωx+ωx)=cos 3ωx,
当x∈(0,2π)时,3ωx∈(0,6ωπ),若f(x)在(0,2π)上有最小值没有最大值,则π<6ωπ≤2π,所以<ω≤.故选D.
7.快审准解:首先根据对称轴的性质求出ω的表达式,再根据函数的单调区间确定ω的取值范围,从而得出ω的最小值.
选C　因为直线x=是y=sin(ω>0)图象的一条对称轴,所以ω-=kπ+,k∈Z,
整理可得ω=kπ++,即ω=4k+3,k∈Z.
由-≤ωx-≤,得-≤x≤.
则函数y=sin在上单调递增.
因为函数y=sin在区间上不具有单调性,所以<.解得ω>9.因为ω=4k+3,k∈Z且ω>9,所以ω的最小值为11.故选C.
8.选AC　A选项,对于y=sin,由9.选AC　对于A,函数f(x)的定义域为R,有f(-x)=sin(-x)·|cos(-x)|=-sin x·|cos x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,A正确;对于B,有f=sin·=-,f=sin·=.所以f≠f,这表明π不是f(x)的周期,B错误;对于C,f(x)=sin x·≥-=-≥-,由B得f=-,故f(x)的最小值为-,C正确;
对于D,由于f=sin·=0,f(0)=sin 0·|cos 0|=0,所以f(x)在上不具有单调性,D错误.
10.解析:令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,得x∈,k∈Z,所以f(x)在[-1,1]上的单调递增区间为.
答案:
11.解析:因为x∈,ω>0,所以ωx-∈.又当x∈时,f(x)∈,所以≤-≤,解得≤ω≤3.
答案:
12.解:(1)f(x)=sin 2x+cos 2x=2=2=2sin,
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)因为x∈,所以2x+∈,所以当2x+=-,即x=-时,有f(x)min=2sin=-1,
当2x+=,即x=时,有f(x)max=2sin=2.
13.解:f(x)=sin+cos
=sin x-cos x+cos x+sin x=sin x,
g(x)=2sin2=1-cos x.
(1)由f(α)=,得sin α=,因为α是第一象限角,所以cos α>0,从而g(α)=1-cos α=1-=1-=.
(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1-cos x,即sin x+cos x≥1,
于是sin≥,从而2kπ+≤x+≤2kπ+π,k∈Z,即2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z,
故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为.

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