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第2课时　三角函数的周期性、奇偶性及对称性
题点一　三角函数的周期性
[例1]
(1)已知函数f(x)=sin+cos ωx(ω>0),f(x1)=0,f(x2)=,且|x1-x2|的最小值为π,则ω的值为 (　　)
A. B.
C.1 D.2
(2)函数f(x)=sin 2x+|sin 2x|的最小正周期为　　　　.
|思维建模|　
1.三角函数最小正周期的求解方法
(1)定义法.
(2)公式法:函数y=Asin(ωx+φ)(y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=.
(3)图象法:求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象,通过观察图象得出周期.
2.有关周期的2个结论
(1)函数y=|Asin(ωx+φ)|,y=|Acos(ωx+φ)|,y=|Atan(ωx+φ)|的最小正周期均为T=.
(2)函数y=|Asin(ωx+φ)+b|(b≠0),y=|Acos(ωx+φ)+b|(b≠0)的最小正周期均为T=.
[即时训练]
1.下列函数中,以2π为周期的函数是 (　　)
A.y=tan B.y=sin
C.y=|sin x| D.y=sin|x|
2.若函数f(x)=tan(ω>0)的图象与直线y=a(a∈R)的相邻两交点间的距离为2π,则ω=　　　　.
题点二　三角函数的奇偶性与对称性
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]
(1)已知函数f(x)=cos,则 (　　)
A.f(x)的图象关于点对称
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f为偶函数
D.f(x)的最小正周期为2π
(2)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f= (　　)
A.- B.-
C. D.
[变式拓展]　若本例(2)的条件变为已知函数f(x)=sin(ωx+φ),f=-f,f=f,且f(x)在区间上具有单调性,则f的值为 (　　)
A.- B.
C. D.1
|思维建模|
1.判断三角函数奇偶性的方法
三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式.
2.三角函数对称性问题的2种求解方法
(1)定义法:正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线,对称中心是图象与x轴的交点,即函数值为0的点.
(2)公式法:函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴为x=-+,对称中心为;函数y=Acos(ωx+φ)的对称轴为x=-,对称中心为;函数y=Atan(ωx+φ)的对称中心为.上述k∈Z.
3.(1)函数y=sin x与y=cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线.
(2)①正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
②正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
[即时训练]
3.函数f(x)=(1+cos 2x)sin2x是 (　　)
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且与点M相邻的f(x)的图象的一条对称轴为直线x=,则ω=　　　　,φ=　　　　.
题点三　三角函数性质的综合应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]对于函数f(x)=sin 2x和 g(x)=sin,下列说法正确的有 (　　)
A.f(x)与g(x)有相同零点
B.f(x)与g(x)有相同最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
|思维建模|　
解决三角函数图象与性质综合问题的方法
先将y=f(x)化为y=asin x+bcos x的形式,然后用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再借助y=Asin(ωx+φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.
[即时训练]
5.(2025·青岛阶段练习)[多选]已知函数f(x)=+,则 (　　)
A.f(x)的定义域为(k∈Z)
B.x=是y=f(x)图象的一条对称轴
C.f(x)在区间上单调递增
D.f(x)的最大值为
第2课时　三角函数的周期性、奇偶性及对称性
题点一
[例1]　(1)B　(2)π
(1)f(x)=sin ωx+cos ωx=sin,是函数的最大值,由题意可知,的最小值是个周期,所以×=π,得ω=.
(2)作出函数f(x)的大致图象,如图所示.根据图象可知f(x)为周期函数,最小正周期为π.
[即时训练]
1.选C　对于A,因为函数y=tan x的最小正周期为T=π,所以函数y=tan的最小正周期为T==4π,故A错误;对于B,因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,所以函数y=sin的最小正周期为T==4π,故B错误;对于C,因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,所以根据图象变换可知函数y=|sin x|的最小正周期为π,所以2π也是它的一个周期,故C正确;对于D,作出函数y=sin|x|的图象,如图所示,
根据图象可知该函数不是周期函数,故D错误.
2.解析:由题意可知,函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为2π,因此,ω==.
答案:
题点二
[例2]　(1)C　(2)D
(1)∵f=cos=cos=1,∴f(x)的图象不关于点对称,故A错误.
∵f=cos=cos=,
∴f(x)的图象不关于直线x=对称,故B错误.
∵f=cos
=cos=cos 2x,
又f=cos(-2x)=cos 2x,即f=f,∴f为偶函数,故C正确.
f(x)的最小正周期为T==π,故D错误.
(2)由题意得×=-,解得ω=2.易知x=是f(x)的最小值点,所以×2+φ=+2kπ(k∈Z),得φ=+2kπ(k∈Z).不妨取k=0,于是f(x)=sin,
f=sin=sin=,故选D.
[变式拓展]
选B　因为f=-f,所以函数f(x)的图象关于点中心对称.
又f=f,所以f(x)的图象关于直线x=对称,且f(x)在区间上具有单调性,所以-=,即T=,ω=3.又3×+φ=kπ,k∈Z,|φ|<,所以φ=0,所以f(x)=sin 3x,所以f=.
[即时训练]
3.选D　f(x)=(1+cos 2x)sin2x=2cos2xsin2x=sin22x=,则f(x)的最小正周期为T==且为偶函数.
4.解析:∵f(x)是偶函数,∴φ=kπ+,k∈Z,
∵0≤φ≤π,∴φ=,∴f(x)=sin=cos ωx.
设f(x)的最小正周期为T,
由题知=-=,则T=π,得ω==2.
答案:2　
题点三
[例3]　选BC　令f(x)=sin 2x=0,解得x=(k∈Z),即为f(x)零点,令g(x)=sin=0,解得x=+(k∈Z),即为g(x)零点,显然f(x),g(x)零点不同,故A错误;
显然f(x)max=g(x)max=1,故B正确;
f(x),g(x)的最小正周期均为=π,故C正确;
根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+(k∈Z) x=+(k∈Z),g(x)的对称轴满足2x-=kπ+(k∈Z) x=+(k∈Z),显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,故D错误.故选BC.
[即时训练]
5.快审准解:由可得定义域判断A,证明f=f(x)判断B,平方后化简函数式,再结合正弦函数的单调性判断C,根据单调性求得最大值判断D.
选ABD　由得2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z,A正确;
f=+
=+=f(x),
所以x=是y=f(x)图象的一条对称轴,B正确;由y=+,得y2=sin x+cos x+2=sin+,当x∈时,x+∈,y=sin单调递减,2x∈,y=sin 2x单调递减,从而y=单调递减,所以y2=sin+单调递减,所以f(x)单调递减,C错误;当x∈时,x+∈,2x∈,由C可得f(x)在上单调递增,f(x)的最小正周期是2π,所以f(x)max=f=+=2×=,D正确.(共52张PPT)
第2课时　三角函数的周期性、奇偶性及对称性
目录
01.题点一　三角函数的周期性
02.题点二　三角函数的奇偶性与对称性
04.课时跟踪检测
03.题点三　三角函数性质的综合应用
[例1] (1)已知函数f(x)=sin+cos ωx(ω>0),f(x1)=0,f(x2)=,且|x1-x2|的最小值为π,则ω的值为(　　)
A. B.
C.1 D.2
解析:f(x)=sin ωx+cos ωx=sin,是函数的最大值,由题意可知,的最小值是个周期,所以×=π,得ω=.
√
题点一　三角函数的周期性
(2)函数f(x)=sin 2x+|sin 2x|的最小正周期为　　.
解析:作出函数f(x)的大致图象,如图所示.根据图象可知f(x)为周期函数,最小正周期为π.
π
1.三角函数最小正周期的求解方法
(1)定义法.
(2)公式法:函数y=Asin(ωx+φ)(y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=.
(3)图象法:求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象,通过观察图象得出周期.
思维建模
2.有关周期的2个结论
(1)函数y=|Asin(ωx+φ)|,y=|Acos(ωx+φ)|,y=|Atan(ωx+φ)|的最小正周期均为T=.
(2)函数y=|Asin(ωx+φ)+b|(b≠0),y=|Acos(ωx+φ)+b|(b≠0)的最小正周期均为T=.
1.下列函数中,以2π为周期的函数是 (　　)
A.y=tan B.y=sin
C.y=|sin x| D.y=sin|x|
即时训练
√
解析:对于A,因为函数y=tan x的最小正周期为T=π,所以函数y=tan的最小正周期为T==4π,故A错误;对于B,因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,所以函数y=sin的最小正周期为T==4π,故B错误;对于C,因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,所以根据图象变换可知函数y=|sin x|的最小正周期为π,所以2π也是它的一个周期,故C正确;对于D,作出函数y=sin|x|的图象,如图所示,根据图象可知该函数不是周期函数,故D错误.
2.若函数f(x)=tan(ω>0)的图象与直线y=a(a∈R)的相邻两交点间的距离为2π,则ω=　　　　.
解析:由题意可知,函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为2π,因此,ω==.
[例2] (1)已知函数f(x)=cos,则(　　)
A.f(x)的图象关于点对称
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f为偶函数
D.f(x)的最小正周期为2π
√
题点二　三角函数的奇偶性与对称性
解析:∵f=cos=cos=1,∴f(x)的图象不关于点对称,故A错误.
∵f=cos=cos=,
∴f(x)的图象不关于直线x=对称,故B错误.
∵f=cos
=cos=cos 2x,
又f=cos(-2x)=cos 2x,
即f=f,∴f为偶函数,故C正确.
f(x)的最小正周期为T==π,故D错误.
(2)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f=(　　)
A.- B.-
C. D.
√
解析:由题意得×=-,解得ω=2.易知x=是f(x)的最小值点,所以×2+φ=+2kπ(k∈Z),得φ=+2kπ(k∈Z).
不妨取k=0,于是f(x)=sin,
f=sin=sin=,故选D.
[变式拓展]　若本例(2)的条件变为已知函数f(x)=sin(ωx+φ)
,f=-f,f=f,且f(x)在区间上具有单调性,则f的值为(　　)
A.- B.
C. D.1
√
解析:因为f=-f,所以函数f(x)的图象关于点中心对称.又f=f,所以f(x)的图象关于直线x=对称,且f(x)在区间上具有单调性,所以-=,即T=,ω=3.又3×+φ=kπ,k∈Z,
|φ|<,所以φ=0,所以f(x)=sin 3x,所以f=.
1.判断三角函数奇偶性的方法
三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式.
思维建模
2.三角函数对称性问题的2种求解方法
定义法 正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线,对称中心是图象与x轴的交点,即函数值为0的点
公式法 函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴为x=-+,对称中心为;函数y=Acos(ωx+φ)的对称轴为x=-,对称中心为;函数y=Atan(ωx+φ)的对称中心为.上述k∈Z
3.(1)函数y=sin x与y=cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线.
(2)①正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
②正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
3.函数f(x)=(1+cos 2x)sin2x是 (　　)
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的偶函数
解析:f(x)=(1+cos 2x)sin2x=2cos2xsin2x=sin22x=,则f(x)的最小正周期为T==且为偶函数.
即时训练
√
4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且与点M相邻的f(x)的图象的一条对称轴为直线x=,则ω=　　,φ=　　.
解析:∵f(x)是偶函数,∴φ=kπ+,k∈Z,
∵0≤φ≤π,∴φ=,∴f(x)=sin=cos ωx.
设f(x)的最小正周期为T,由题知=-=,则T=π,得ω==2.
　
2
[例3]　(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]对于函数f(x)=sin 2x和 g(x)=sin,下列说法正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)有相同零点
B.f(x)与g(x)有相同最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
√
题点三　三角函数性质的综合应用
√
解析:令f(x)=sin 2x=0,解得x=(k∈Z),即为f(x)零点,令g(x)=sin=0,解得x=+(k∈Z),即为g(x)零点,显然f(x),g(x)零点不同,故A错误;显然f(x)max=g(x)max=1,故B正确;f(x),g(x)的最小正周期均为=π,故C正确;根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+(k∈Z) x=+(k∈Z),g(x)的对称轴满足2x-=kπ+(k∈Z) x=+(k∈Z),显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,故D错误.故选BC.
解决三角函数图象与性质综合问题的方法
先将y=f(x)化为y=asin x+bcos x的形式,然后用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再借助
y=Asin(ωx+φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.
思维建模
5.(2025·青岛阶段练习)[多选]已知函数f(x)=+,则(　　)
A.f(x)的定义域为(k∈Z)
B.x=是y=f(x)图象的一条对称轴
C.f(x)在区间上单调递增
D.f(x)的最大值为
即时训练
√
√
√
快审准解:由可得定义域判断A,证明f=f(x)判断B,平方后化简函数式,再结合正弦函数的单调性判断C,根据单调性求得最大值判断D.
解析:由得2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z,A正确;
f=+=+=f(x),
所以x=是y=f(x)图象的一条对称轴,B正确;
由y=+,得y2=sin x+cos x+2=sin+
,当x∈时,x+∈,y=sin单调递减,2x∈,
y=sin 2x单调递减,从而y=单调递减,所以y2=sin+
单调递减,所以f(x)单调递减,C错误;当x∈时,x+∈,
2x∈,由C可得f(x)在上单调递增,f(x)的最小正周期是2π,所以f(x)max=f=+=2×=,D正确.
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课时跟踪检测
04
一、单选题
1.(2025·盐城一模)函数f(x)=sin+cos的最小正周期是(　　)
A.6π B.3π
C. D.
解析:由题意,得f(x)=sin,所以f(x)的最小正周期为=6π.
√
1
5
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8
9
10
11
12
13
2
3
4
2.(2024·北京朝阳二模)下列函数中,既是奇函数又在其定义域上是增函数的是 (　　)
A.f(x)=sin x B.f(x)=cos x
C.f(x)= D.f(x)=x3
√
1
5
6
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8
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2
3
4
13
解析:f(x)=sin x是奇函数,它在区间,k∈Z上单调递增,在定义域内不是增函数,所以A是错误的;f(x)=cos x是偶函数,所以B是错误的;f(x)=既不是奇函数又不是偶函数,所以C是错误的;f(x)=x3满足既是奇函数又在其定义域上是增函数,所以D是正确的.故选D.
1
5
6
7
8
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2
3
4
13
3.(2024·泸州二模)已知函数f(x)=sin 2x+bcos 2x的图象关于直线x=对称,则b的值为(　　)
A.- B.-1
C. D.1
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
解析:因为f(x)=sin 2x+bcos 2x
=sin(2x+φ)(其中tan φ=b),
又函数f(x)的图象关于直线x=对称,
所以=,
所以1+b2=(1+b)2,解得b=1.
1
5
6
7
8
9
10
11
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2
3
4
13
4.(2024·乐山三模)已知f(x)=(x-3)2cos ωx,若存在常数a∈R,使得f(x+a)为奇函数,则ω的可能值为 (　　)
A. B.
C. D.π
√
1
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8
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12
2
3
4
13
解析:函数f(x)=(x-3)2cos ωx的定义域为R,由f(x+a)为奇函数,得f(x+a)=(x+a-3)2cos(ωx+ωa)是奇函数,
则必有函数y=(x+a-3)2是偶函数,函数y=cos(ωx+ωa)是奇函数,
此时a=3,ωa=+kπ,k∈Z,因此ω=+,k∈Z,当k=0时,ω=,
不存在整数k,使得ω的值为B、C、D,
当a=3,ω=时,f(x+3)=x2cos=-x2sinx是奇函数.
1
5
6
7
8
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2
3
4
13
5.已知f(x)=2tan(ωx+φ),f(0)=,最小正周期T∈,f(x)图象的一个对称中心为点,则f的值为(　　)
A.- B.
C. D.-
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
13
解析:由f(0)=,可得2tan φ=,tan φ=.又|φ|<,所以φ=.因为f(x)图象的一个对称中心为点,所以ω+=,k∈Z,得ω=3k-1,k∈Z.
(易错提醒:根据正切函数图象的对称中心的有关结论,写出参数ω满足的关系式,注意不要想当然地认为ω+=kπ,k∈Z,而是ω+=,k∈Z)
因为T∈,所以<<,解得<ω<4,所以ω=2.故f(x)=2tan,所以f=2tan=-,故选D.
1
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4
13
6.已知函数f(x)=sin(x+φ)的图象关于点对称,若当x∈时,f(x)的最小值是-1,则m的最大值是(　　)
A.- B.-
C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
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12
2
3
4
13
解析:由题意可得+φ=kπ(k∈Z),则φ=-+kπ(k∈Z).又-<φ<0,故φ=-,即f(x)=sin.
当x∈时,x-∈,又f(x)的最小值是-1,则m-≤-,故m≤-+=-,即m的最大值是-.
1
5
6
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2
3
4
13
二、多选题
7.关于函数f(x)=sin 2x-cos 2x,下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)的最大值为2
C.直线x=是函数f(x)的图象的一条对称轴
D.点是函数f(x)的图象的一个对称中心
√
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√
解析:由已知得函数f(x)=sin 2x-cos 2x=sin.函数f(x)的最小正周期T==π,所以A正确;当sin=1时,函数取得最大值f(x)max=,所以B不正确;当x=时,f=sin=1,即f不是函数f(x)的最值,所以x=不是函数f(x)的对称轴,所以C不正确;当x=时,f=sin=0,所以点是函数f(x)的图象的一个对称中心,所以D正确.故选AD.
1
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13
8.(2024·南通三模)已知f(x)=sin,则(　　)
A.f(π+x)=f(x) 　B.f=f(x)
C.x∈,f(x)>1 　D.x∈,f'(x)<0
√
1
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2
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√
解析:f(x)的周期为=π,∴f(π+x)=f(x),故A正确;令2x+=+kπ,k∈Z,则x=+,k∈Z,若f=f(x)成立,则f(x)关于x=对称,令+=,解得k=,k Z,故B错误;∵x∈,∴2x+∈,∴sin∈
,∴f(x)∈(1,],故C正确;f'(x)=2cos,当x=时,f'(x)=0,故D错误.故选AC.
1
5
6
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2
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4
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9.已知函数g(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<π,0<φ<π),对于任意x∈R,有g=g=-g,则以下结论正确的为(　　)
A.函数g(x)的最小正周期为
B.函数g(x)的图象关于点对称
C.函数g(x)在上单调递减
D.函数g(x)在(-π,π)上共有6个极值点
√
1
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2
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√
√
解析:因为g=-g,所以g=-g(x),因此g
=g(x),从而=×n(n∈N*),注意到0<ω<π,故n=1,ω=3,所以g(x)=
sin(3x+φ).又g=g,即g(x)的图象关于直线x=对称,
从而sin=±1,即+φ=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z.又0<φ<π,所以φ=,所以g(x)=sin,所以g(x)的最小正周期为,A正确.
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因为g=-1,所以函数g(x)的图象不关于点对称,B错误.当x∈时,3x+∈,故函数g(x)在上单调递减,C正确.令3x+=kπ+,k∈Z,得x=-,k∈Z.令-π<-<π,得-k∈Z,故k=-2,-1,0,1,2,3,易知函数g(x)在,,
,上单调递增,在,,上单调递减,故函数g(x)在(-π,π)上共有6个极值点,D正确.
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三、填空题
10.(2025·深圳一模)若函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,其图象关于点中心对称,则φ=　　.
解析:由T==π(ω>0),得ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ).
又f(x)=sin(2x+φ)的图象关于点中心对称,所以+φ=kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z.又|φ|<,所以k=1,φ=-.
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11.若函数f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件:①f(x)为偶函数;②对于任意的x∈R,都有f=f,则其解析式可以是f(x)=　　 　　.
解析:因为对于任意的x∈R,都有f=f,所以函数的图象关于直线x=对称.又由于函数为偶函数,所以函数的解析式可以为f(x)=cos 3x.因为f(-x)=cos(-3x)=cos 3x=f(x),所以函数f(x)是偶函数.令3x=kπ,k∈Z,所以x=,k∈Z,所以函数f(x)的图象关于直线x=对称.
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cos 3x(答案不唯一)
四、解答题
12.(10分)已知函数f(x)=2sin xcos x+cos2x-sin2x.
(1)把f(x)化为y=Asin(ωx+φ)的形式,并求f(x)的最小正周期;(5分)
解: f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,
所以f(x)的最小正周期为T==π.
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(2)求f(x)的单调递增区间以及对称中心.(5分)
解:由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
由2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,
所以f(x)的对称中心为,k∈Z.
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13.(13分)已知函数y=f(x)=2sin xcos x+2cos2x.
(1)求y=f(x)在上的最大值;(5分)
解: f(x)=2sin xcos x+2cos2x
=sin 2x+cos 2x+1=2sin+1.
因为x∈,所以2x+∈,
故当2x+=,即x=时,f(x)max=3.
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(2)若函数y=f(x+θ)-1为奇函数,求θ的值.(8分)
解:设g(x)=f(x+θ)-1=2sin,若函数y=f(x+θ)-1为奇函数,
则g(x)=2sin为奇函数,由g(0)=0可得sin=0,则2θ+=kπ(k∈Z),解得θ=-(k∈Z).又θ∈,故得θ=-或θ=,经验证,满足题设.故θ的值为-或.
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13课时跟踪检测(三十一)　三角函数的周期性、奇偶性及对称性
一、单选题
1.(2025·盐城一模)函数f(x)=sin+cos的最小正周期是 (　　)
A.6π B.3π
C. D.
2.(2024·北京朝阳二模)下列函数中,既是奇函数又在其定义域上是增函数的是 (　　)
A.f(x)=sin x B.f(x)=cos x
C.f(x)= D.f(x)=x3
3.(2024·泸州二模)已知函数f(x)=sin 2x+bcos 2x的图象关于直线x=对称,则b的值为 (　　)
A.- B.-1
C. D.1
4.(2024·乐山三模)已知f(x)=(x-3)2cos ωx,若存在常数a∈R,使得f(x+a)为奇函数,则ω的可能值为 (　　)
A. B.
C. D.π
5.已知f(x)=2tan(ωx+φ),f(0)=,最小正周期T∈,f(x)图象的一个对称中心为点,则f的值为 (　　)
A.- B.
C. D.-
6.已知函数f(x)=sin(x+φ)的图象关于点对称,若当x∈时,f(x)的最小值是-1,则m的最大值是 (　　)
A.- B.-
C. D.
二、多选题
7.关于函数f(x)=sin 2x-cos 2x,下列说法正确的是 (　　)
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)的最大值为2
C.直线x=是函数f(x)的图象的一条对称轴
D.点是函数f(x)的图象的一个对称中心
8.(2024·南通三模)已知f(x)=sin,则 (　　)
A.f(π+x)=f(x) B.f=f(x)
C.x∈,f(x)>1 D.x∈,f'(x)<0
9.已知函数g(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<π,0<φ<π),对于任意x∈R,有g=g=-g,则以下结论正确的为 (　　)
A.函数g(x)的最小正周期为
B.函数g(x)的图象关于点对称
C.函数g(x)在上单调递减
D.函数g(x)在(-π,π)上共有6个极值点
三、填空题
10.(2025·深圳一模)若函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,其图象关于点中心对称,则φ=　　　　.
11.若函数f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件:①f(x)为偶函数;②对于任意的x∈R,都有f=f,则其解析式可以是f(x)=　　　　.
四、解答题
12.(10分)已知函数f(x)=2sin xcos x+cos2x-sin2x.
(1)把f(x)化为y=Asin(ωx+φ)的形式,并求f(x)的最小正周期;(5分)
(2)求f(x)的单调递增区间以及对称中心.(5分)
13.(13分)已知函数y=f(x)=2sin xcos x+2cos2x.
(1)求y=f(x)在上的最大值;(5分)
(2)若函数y=f(x+θ)-1为奇函数,求θ的值.(8分)
课时跟踪检测(三十一)
1.选A　由题意,得f(x)=sin,所以f(x)的最小正周期为=6π.
2.选D　f(x)=sin x是奇函数,它在区间,k∈Z上单调递增,在定义域内不是增函数,所以A是错误的;f(x)=cos x是偶函数,所以B是错误的;f(x)=既不是奇函数又不是偶函数,所以C是错误的;f(x)=x3满足既是奇函数又在其定义域上是增函数,所以D是正确的.故选D.
3.选D　因为f(x)=sin 2x+bcos 2x=sin(2x+φ)(其中tan φ=b),
又函数f(x)的图象关于直线x=对称,所以=,所以1+b2=(1+b)2,解得b=1.
4.选A　函数f(x)=(x-3)2cos ωx的定义域为R,由f(x+a)为奇函数,得f(x+a)=(x+a-3)2cos(ωx+ωa)是奇函数,
则必有函数y=(x+a-3)2是偶函数,函数y=cos(ωx+ωa)是奇函数,此时a=3,ωa=+kπ,k∈Z,
因此ω=+,k∈Z,当k=0时,ω=,
不存在整数k,使得ω的值为B、C、D,当a=3,ω=时,f(x+3)=x2cos=-x2sinx是奇函数.
5.选D　由f(0)=,可得2tan φ=,tan φ=.又|φ|<,所以φ=.因为f(x)图象的一个对称中心为点,所以ω+=,k∈Z,得ω=3k-1,k∈Z.
因为T∈,所以<<,解得<ω<4,
所以ω=2.故f(x)=2tan,
所以f=2tan=-,故选D.
6.选B　由题意可得+φ=kπ(k∈Z),则φ=-+kπ(k∈Z).又-<φ<0,故φ=-,即f(x)=sin.
当x∈时,x-∈,又f(x)的最小值是-1,则m-≤-,故m≤-+=-,即m的最大值是-.
7.选AD　由已知得函数f(x)=sin 2x-cos 2x=sin.函数f(x)的最小正周期T==π,所以A正确;当sin=1时,函数取得最大值f(x)max=,所以B不正确;当x=时,f=sin=1,即f不是函数f(x)的最值,所以x=不是函数f(x)的对称轴,所以C不正确;当x=时,f=sin=0,所以点是函数f(x)的图象的一个对称中心,所以D正确.故选AD.
8.选AC　f(x)的周期为=π,∴f(π+x)=f(x),故A正确;令2x+=+kπ,k∈Z,则x=+,k∈Z,若f=f(x)成立,则f(x)关于x=对称,令+=,解得k=,k Z,故B错误;∵x∈,∴2x+∈,∴sin∈,∴f(x)∈(1,],故C正确;f'(x)=2cos,当x=时,f'(x)=0,故D错误.故选AC.
9.选ACD　因为g=-g,所以g=-g(x),因此g=g(x),从而=×n(n∈N*),注意到0<ω<π,故n=1,ω=3,所以g(x)=sin(3x+φ).又g=g,即g(x)的图象关于直线x=对称,
从而sin=±1,即+φ=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z.又0<φ<π,所以φ=,所以g(x)=sin,所以g(x)的最小正周期为,A正确.因为g=-1,所以函数g(x)的图象不关于点对称,B错误.当x∈时,3x+∈,故函数g(x)在上单调递减,C正确.令3x+=kπ+,k∈Z,得x=-,k∈Z.令-π<-<π,得-10.解析:由T==π(ω>0),得ω=2,
所以f(x)=sin(2x+φ).
又f(x)=sin(2x+φ)的图象关于点中心对称,
所以+φ=kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z.又|φ|<,所以k=1,φ=-.
答案:-
11.解析:因为对于任意的x∈R,都有f=f,所以函数的图象关于直线x=对称.又由于函数为偶函数,所以函数的解析式可以为f(x)=cos 3x.因为f(-x)=cos(-3x)=cos 3x=f(x),所以函数f(x)是偶函数.令3x=kπ,k∈Z,所以x=,k∈Z,所以函数f(x)的图象关于直线x=对称.
答案:cos 3x(答案不唯一)
12.解:(1)f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,
所以f(x)的最小正周期为T==π.
(2)由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
由2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,
所以f(x)的对称中心为,k∈Z.
13.解:(1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=2sin+1.
因为x∈,所以2x+∈,
故当2x+=,即x=时,f(x)max=3.
(2)设g(x)=f(x+θ)-1=2sin,
若函数y=f(x+θ)-1为奇函数,
则g(x)=2sin为奇函数,
由g(0)=0可得sin=0,则2θ+=kπ(k∈Z),解得θ=-(k∈Z).又θ∈,故得θ=-或θ=,经验证,满足题设.故θ的值为-或.

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