资源简介

第四节　简单的三角恒等变换
1.会根据相关公式进行化简和求值.
2.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题.
题点一　三角函数式的化简
[例1]　
(1)化简:;
(2)证明:=.
|思维建模|　三角函数式的化简要遵循“三看”原则
[即时训练]
1.(2025·济南一模)若<θ<π,化简:.
2.证明:=cos 2x.
题点二　三角函数的求值问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　给角求值
[例2]　(2025·西安一模)等于 (　　)
A. B.
C. D.1
|思维建模|　
给角求值问题的基本思路
　　观察所给角与特殊角之间的关系,利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值、正负相消的项和特殊角的三角函数值、可约分的项和特殊角的三角函数值等.
考法(二)　给值(式)求值
[例3]
(1)已知sin(α+β)=,sin αcos β=,则cos(4α-4β)= (　　)
A. B.
C.- D.-
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　　　.
|思维建模|　
给值(式)求值问题的解题策略
　　将所给的一个或几个三角函数式根据问题的需要进行三角恒等变换,使其转化为所求函数式能够使用的条件,然后用代入法求出三角函数式的值,也可以将所求的函数式经过适当的变形,再利用条件求值.
考法(三)　给值求角
[例4]　(2024·九江二模)已知α,β∈,cos(α-β)=,tan αtan β=,则α+β= (　　)
A. B.
C. D.
|思维建模|　
给值求角的技法
　　“给值求角”实质上可转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围),在选取函数时,遵循以下原则:
(1)已知正切函数值,选正切函数;
(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.
①若角的范围是,选余弦函数;
②若角的范围是,选正弦函数.
[即时训练]
3.化简:= (　　)
A. B.2
C. D.-1
4.已知sin(α-2β)=,sin α=,则sin(α-β)·cos β= (　　)
A. B.
C. D.
5.已知α为钝角,sin α+sin2β=sin2+sin2,则α= (　　)
A. B.
C. D.
题点三　三角恒等变换的综合应用
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例5]　已知f(x)=sin+2sin·cos.
(1)求f的值;
(2)若锐角α满足f(α)=,求sin 2α的值.
|思维建模|
(1)进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形应用.
(2)形如y=asin x+bcos x化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.
[即时训练]
6.已知0<α<,0<β<,cos α=,cos(β+α)=.
(1)求sin β的值;
(2)求的值.
　
第四节　简单的三角恒等变换
题点一
[例1]　解:(1)原式=
==
===1.
(2)证明:左边
==
===右边,所以原等式成立.
[即时训练]
1.解:因为<θ<π,所以cos θ<0,sin θ>0,
所以
=
==
=cos2θ-sin2θ=cos 2θ.
2.证明:左边=
====cos 2x=右边,所以原等式成立.
题点二
[例2]　选C　
=
=
==cos 30°=.
[例3]　(1)B　(2)-
(1)由sin(α+β)=,可得sin αcos β+cos αsin β=.因为sin αcos β=,所以cos αsin β=,所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-=,所以cos[2(α-β)]=1-2sin2(α-β)=1-=,所以cos[4(α-β)]=2cos2[2(α-β)]-1=.
(2)法一　由题意得tan(α+β)===-2,因为α∈,β∈,k,m∈Z,所以α+β∈((2m+2k)π+π,(2m+2k)π+2π),k,m∈Z.
又因为tan(α+β)=-2<0,
所以α+β∈,k,m∈Z,则sin(α+β)<0,则=-2,联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,解得sin(α+β)=-.
法二　因为α为第一象限角,β为第三象限角,
所以cos α>0,cos β<0,cos α==,
cos β==,
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β·(tan α+tan β)=4cos αcos β=
===-.
[例4]　选A　因为cos(α-β)=,tan αtan β=,
所以解得
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=.
又α,β∈,所以α+β∈(0,π),所以α+β=.
[即时训练]
3.选A　=
===.
4.快审准解:利用凑角法得到方程,两式相加得到sin(α-β)cos β=.
选A　sin(α-2β)=sin[(α-β)-β]=sin(α-β)cos β-cos(α-β)sin β=　①,
sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=　②,
由①②相加,得2sin(α-β)cos β=,所以sin(α-β)cos β=.故选A.
5.快审准解:利用和、差角的正弦公式将右边化简,结合平方关系求出sin α,即可得解.
选D　因为sin α+sin2β=sin2+sin2=+
=+
=sin2β+cos2β=sin2β+,
所以sin α=.又α为钝角,所以α=.故选D.
题点三
[例5]　解:(1)由题意得f(x)
=sin+2sincos
=sin-2sincos
=sin-2sincos
=sin-sin
=sin 2xcos-cos 2xsin+cos 2x
=sin 2x+cos 2x=sin,
故f=sin=0.
(2)∵α∈,∴2α+∈.
又∵f(α)=,∴f(α)=sin=<,
∴2α+∈,∴cos=-=-,
∴sin 2α=sin=sincos-cossin=×+×=.
[即时训练]
6.解:(1)由0<α<,0<β<,cos α=,cos(β+α)=,得sin α=,sin(β+α)=.
所以sin β=sin[(β+α)-α]=sin(β+α)cos α-cos(β+α)sin α=×-×=.
(2)因为cos α=,sin α=,
所以===12.(共56张PPT)
第四节
简单的三角恒等变换
明确目标
1.会根据相关公式进行化简和求值.
2.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题.
目录
01.题点一　三角函数式的化简
02.题点二　三角函数的求值问题
04.课时跟踪检测
03.题点三　三角恒等变换的综合应用
[例1]　(1)化简:;
解:原式=
==
===1.
题点一　三角函数式的化简
(2)证明:=.
解:证明:左边
=
====右边,
所以原等式成立.
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
思维建模
1.(2025·济南一模)若<θ<π,化简:.
解:因为<θ<π,所以cos θ<0,sin θ>0,
所以=
===cos2θ-sin2θ=cos 2θ.
即时训练
2.证明:=cos 2x.
证明:左边===
==cos 2x=右边,所以原等式成立.
考法(一)　给角求值
[例2]　(2025·西安一模)等于(　　)
A. B.
C. D.1
√
题点二　三角函数的求值问题
解析:
=
=
==cos 30°=.
给角求值问题的基本思路
观察所给角与特殊角之间的关系,利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值、正负相消的项和特殊角的三角函数值、可约分的项和特殊角的三角函数值等.
思维建模
考法(二)　给值(式)求值
[例3]
(1)已知sin(α+β)=,sin αcos β=,则cos(4α-4β)=(　　)
A. B. C.- D.-
解析:由sin(α+β)=,可得sin αcos β+cos αsin β=.因为sin αcos β
=,所以cos αsin β=,所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-=,所以cos[2(α-β)]=1-2sin2(α-β)=1-=,所以cos[4(α-β)]=2cos2[2(α-β)]-1=.
√
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，
tan α+tan β=4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　.
解析：法一　由题意得tan(α+β)===-2，因为α∈，β∈，k，m∈Z，所以α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z.
-
又因为tan(α+β)=-2<0，
所以α+β∈，k，m∈Z，
则sin(α+β)<0，则=-2，
联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，解得sin(α+β)=-.
法二　因为α为第一象限角，β为第三象限角，
所以cos α>0，cos β<0，cos α==，
cos β==，
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β·(tan α+tan β)
=4cos αcos β=
===-.
给值(式)求值问题的解题策略
将所给的一个或几个三角函数式根据问题的需要进行三角恒等变换,使其转化为所求函数式能够使用的条件,然后用代入法求出三角函数式的值,也可以将所求的函数式经过适当的变形,再利用条件求值.
思维建模
考法(三)　给值求角
[例4]　(2024·九江二模)已知α,β∈,cos(α-β)=,tan αtan β=,则α+β=(　　)
A. B.
C. D.
√
解析:因为cos(α-β)=,tan αtan β=,所以解得
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=.又α,β∈,
所以α+β∈(0,π),所以α+β=.
给值求角的技法
“给值求角”实质上可转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围),在选取函数时,遵循以下原则:
(1)已知正切函数值,选正切函数;
(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.
①若角的范围是,选余弦函数;
②若角的范围是,选正弦函数.
思维建模
3.化简:=(　　)
A. B.2
C. D.-1
解析:====.
即时训练
√
4.已知sin(α-2β)=,sin α=,则sin(α-β)cos β=(　　)
A. B.
C. D.
快审准解:利用凑角法得到方程,两式相加得到sin(α-β)cos β=.
√
解析:sin(α-2β)=sin[(α-β)-β]=sin(α-β)cos β-cos(α-β)sin β=　①,
sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=　②,
由①②相加,得2sin(α-β)cos β=,所以sin(α-β)cos β=.故选A.
5.已知α为钝角,sin α+sin2β=sin2+sin2,则α=(　　)
A. B.
C. D.
快审准解:利用和、差角的正弦公式将右边化简,结合平方关系求出sin α,即可得解.
√
解析:因为sin α+sin2β=sin2+sin2=
2+
=+=sin2β+cos2β=sin2β+,
所以sin α=.又α为钝角,所以α=.故选D.
[例5]　已知f(x)=sin+2sin·cos.
(1)求f的值;
解:由题意得f(x)=sin+2sincos
=sin-2sincos
=sin-2sincos
题点三　三角恒等变换的综合应用
=sin-sin
=sin 2xcos-cos 2xsin+cos 2x
=sin 2x+cos 2x=sin,
故f=sin=0.
(2)若锐角α满足f(α)=,求sin 2α的值.
解:∵α∈,∴2α+∈.又∵f(α)=,
∴f(α)=sin=<,∴2α+∈,
∴cos=-=-,∴sin 2α=sin
=sincos-cossin=×+×=.
(1)进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形应用.
(2)形如y=asin x+bcos x化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.
思维建模
6.已知0<α<,0<β<,cos α=,cos(β+α)=.
(1)求sin β的值;
解:由0<α<,0<β<,cos α=,cos(β+α)=,得sin α=,sin(β+α)=.
所以sin β=sin[(β+α)-α]=sin(β+α)cos α-cos(β+α)sin α
=×-×=.
即时训练
(2)求的值.
解:因为cos α=,sin α=,所以=
==12.
数智赋能:电子版随堂训练(三角恒等变换与其他知识综合),根据课堂情况灵活选用
课时跟踪检测
04
一、单选题
1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　)
A. B.
C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析:由题意,cos α==1-2sin2,
得sin2===.
又α为锐角,所以sin>0,
所以sin=,故选D.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
2.化简 +的结果是(　　)
A.cos 10° B.sin 10°
C.2sin 10°+cos 10° D.2cos 10°-sin 10°
解析:原式化简为 +=
+=cos 10°+cos 10°-sin 10°=2cos 10°-sin 10°.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
3.(2024·保定二模)若4tan α=,则cos 2α=(　　)
A. B.-
C. D.-
解析:由4tan α=,得4sin2α=15cos α>0,即4cos2α+15cos α-4=0,解得cos α=或cos α=-4(舍去),所以cos 2α=2cos2α-1=-.
√
1
5
6
7
8
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10
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12
14
2
3
4
13
4.(2025·天门模拟)已知cos(π+θ)=,若θ是第二象限角,则tan=(　　)
A.2 B.
C.- D.
√
1
5
6
7
8
9
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12
14
2
3
4
13
解析:因为cos(π+θ)=,所以cos θ=-.
又θ是第二象限角,所以sin θ=.
法一　由tan======.故选B.
法二　由半角公式得tan==.故选B.
1
5
6
7
8
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12
14
2
3
4
13
5.已知sin α=,cos(α+β)=-,则β的值可能为(　　)
A.π B.
C.- D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
解析:由sin α=,cos(α+β)=-,得cos α=±,sin(α+β)=±,而sin β
=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α,从而sin β=1或sin β=-.当sin β=1时,只有B符合;当sin β=-时,四个选项均不符合.
1
5
6
7
8
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11
12
14
2
3
4
13
6.(2024·淄博二模)设β∈,若sin α=3sin(α+2β),tan β=,则tan(α+2β)=(　　)
A.- B.
C.- D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
2
3
4
13
解析:由sin α=3sin(α+2β),得sin [(α+2β)-2β]=3sin(α+2β),
则sin(α+2β)cos 2β-cos(α+2β)sin 2β=3sin(α+2β),即sin(α+2β)(cos 2β
-3)=cos(α+2β)sin 2β,
因此tan(α+2β)====
-,而tan β=,所以tan(α+2β)=-=-.
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4
13
7.(2024·保定三模)已知锐角α,β(α≠β)满足sin α+2cos α=sin β+2cos β,则sin(α+β)的值为 (　　)
A. B.
C. D.
快审准解:利用辅助角公式化简已知函数,得到正弦型函数,再利用自变量的范围得到函数不具有单调性,所以自变量不相等但函数值相等的情形就是两角互补,从而就可以通过运算得到结果.
√
1
5
6
7
8
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11
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14
2
3
4
13
解析:设f(x)=sin x+2cos x=sin(x+φ),其中sin φ=,cos φ=,
φ∈.当x∈时,x+φ∈ (0,π),
此时f(x)=sin x+2cos x=sin(x+φ)在(0,π)上有增有减.又因为f(α)=f(β),且α≠β,所以α+φ+β+φ=π,所以α+β=π-2φ,所以sin(α+β)=sin(π-2φ)=sin 2φ=2sin φcos φ=.
1
5
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2
3
4
13
二、多选题
8.下列各式中,值为的是(　　)
A.sin 21°cos 261°-sin 111°cos 171°
B.cos275°-cos215°
C.
D.sin 50°(1+tan 10°)
√
1
5
6
7
8
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14
2
3
4
13
√
解析:sin 21°cos 261°-sin 111°cos 171°=-sin 21°sin 9°
+cos 21°cos 9°=cos(21°+9°)=cos 30°=,A是;cos275°-cos215°=cos275°-sin275°=cos 150°=-,B不是;=
==,C是;
sin 50°(1+tan 10°)===
=1,D不是.
1
5
6
7
8
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2
3
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13
9.已知sin α=-,180°<α<270°,则下列选项正确的是(　　)
A.sin 2α=- B.sin=
C.cos=- D.tan=-2
√
1
5
6
7
8
9
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2
3
4
13
√
√
解析:因为sin α=-,180°<α<270°,所以cos α=-,所以sin 2α=
2sin αcos α=2××=,故A错误.因为90°<<135°,所以sin===,cos=-=-=-,tan==-2,故B、C、D均正确.
1
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3
4
13
三、填空题
10.已知函数f(x)=sin x-cos x,且f(x0)=3f'(x0),则=　　.
快审准解:求导,由f(x0)=3f'(x0)整理可得tan x0=-2,然后利用二倍角公式将目标式化为齐次式,弦化切可得.
1
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-
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2
3
4
解析:求导得f'(x)=cos x+sin x,由f(x0)=3f'(x0),
得sin x0-cos x0=3(cos x0+sin x0),解得tan x0=-2,
所以===-.
13
11.(2024·晋城二模)已知tan α=2tan β,sin(α+β)=,则sin(β-α)=______.
解析:因为tan α=2tan β,即=,可得sin αcos β=2cos αsin β.
又因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=3cos αsin β=,
可得cos αsin β=,所以sin(β-α)=cos αsin β-sin αcos β
=-cos αsin β=-.
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-
12.已知cos(α+2β)=,tan(α+β)tan β=-4,写出符合条件的一个角α的值为___________________________.
解析:cos(α+2β)=cos[(α+β)+β]=cos(α+β) cos β-sin(α+β)sin β=,
tan(α+β)tan β=-4,即=-4,故sin(α+β)sin β=-4cos(α+β)cos β,故5cos(α+β)cos β=,即cos(α+β)cos β=,则sin(α+β)sin β=-4cos(α+β)
·cos β=-,则cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=-=-,可取α=.
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四、解答题
13.(10分)(1)化简:;(5分)
解:==cos2α·=cos2α·=
cos2α·tan α=cos2α·=sin αcos α=sin 2α.
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(2)求值:(1+tan 5°)(1+tan 40°).(5分)
解:因为tan 45°=tan(5°+40°)==1,
所以tan 5°+tan 40°=1-tan 5°tan 40°,
则tan 5°+tan 40°+tan 5°tan 40°=1,
所以(1+tan 5°)(1+tan 40°)
=1+tan 5°+tan 40°+tan 5°tan 40°=1+1=2.
谨记结论:若A+B=,则(1+tan A)(1+tan B)=2.
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14.(13分)已知f(x)=sin x-cos x.
(1)若过原点的直线l与函数f(x)相切,切点的横坐标为x0(x0≠1),求证:tan x0=;(5分)
解:证明:设切点为A(x0,sin x0-cos x0),f'(x)=cos x+sin x,f'(x0)=
cos x0+sin x0=kAO=.所以(x0+1)cos x0=(1-x0)sin x0,
所以tan x0=.
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1
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2
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4
(2)若f(α)=,0≤α≤π,求sin的值.(8分)
解:将sin α-cos α=平方得1-2sin αcos α=,
所以2sin αcos α=,所以α∈.
所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+=,
从而sin α+cos α=.
13
1
5
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联立得
所以sin 2α=2sin αcos α=,cos 2α=cos2α-sin2α=-=-.
故sin=(sin 2α-cos 2α)=×=.
13课时跟踪检测(二十九)　简单的三角恒等变换
一、单选题
1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin = (　　)
A. B.
C. D.
2.化简 +的结果是 (　　)
A.cos 10° B.sin 10°
C.2sin 10°+cos 10° D.2cos 10°-sin 10°
3.(2024·保定二模)若4tan α=,则cos 2α= (　　)
A. B.-
C. D.-
4.(2025·天门模拟)已知cos(π+θ)=,若θ是第二象限角,则tan= (　　)
A.2 B.
C.- D.
5.已知sin α=,cos(α+β)=-,则β的值可能为 (　　)
A.π B.
C.- D.
6.(2024·淄博二模)设β∈,若sin α=3sin(α+2β),tan β=,则tan(α+2β)= (　　)
A.- B.
C.- D.
7.(2024·保定三模)已知锐角α,β(α≠β)满足sin α+2cos α=sin β+2cos β,则sin(α+β)的值为 (　　)
A. B.
C. D.
二、多选题
8.下列各式中,值为的是 (　　)
A.sin 21°cos 261°-sin 111°cos 171° B.cos275°-cos215°
C. D.sin 50°(1+tan 10°)
9.已知sin α=-,180°<α<270°,则下列选项正确的是 (　　)
A.sin 2α=- B.sin=
C.cos=- D.tan=-2
三、填空题
10.已知函数f(x)=sin x-cos x,且f(x0)=3f'(x0),则=　　　　.
11.(2024·晋城二模)已知tan α=2tan β,sin(α+β)=,则sin(β-α)=　　　　.
12.已知cos(α+2β)=,tan(α+β)tan β=-4,写出符合条件的一个角α的值为　　　　.
四、解答题
13.(10分)(1)化简:;(5分)
(2)求值:(1+tan 5°)(1+tan 40°).(5分)
14.(13分)已知f(x)=sin x-cos x.
(1)若过原点的直线l与函数f(x)相切,切点的横坐标为x0(x0≠1),求证:tan x0=;(5分)
(2)若f(α)=,0≤α≤π,求sin的值.(8分)
课时跟踪检测(二十九)
1.选D　由题意,cos α==1-2sin2,得sin2===.又α为锐角,所以sin>0,所以sin=,故选D.
2.选D　原式化简为 +=+=cos 10°+cos 10°-sin 10°=2cos 10°-sin 10°.
3.选D　由4tan α=,得4sin2α=15cos α>0,即4cos2α+15cos α-4=0,解得cos α=或cos α=-4(舍去),
所以cos 2α=2cos2α-1=-.
4.选B　因为cos(π+θ)=,所以cos θ=-.
又θ是第二象限角,所以sin θ=.
法一　由tan======.故选B.
法二　由半角公式得tan==.故选B.
5.选B　由sin α=,cos(α+β)=-,得cos α=±,sin(α+β)=±,而sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α,从而sin β=1或sin β=-.当sin β=1时,只有B符合;当sin β=-时,四个选项均不符合.
6.选A　由sin α=3sin(α+2β),得sin [(α+2β)-2β]=3sin(α+2β),
则sin(α+2β)cos 2β-cos(α+2β)sin 2β=3sin(α+2β),即sin(α+2β)(cos 2β-3)=cos(α+2β)sin 2β,
因此tan(α+2β)====-,而tan β=,所以tan(α+2β)=-=-.
7.快审准解:利用辅助角公式化简已知函数,得到正弦型函数,再利用自变量的范围得到函数不具有单调性,所以自变量不相等但函数值相等的情形就是两角互补,从而就可以通过运算得到结果.
选D　设f(x)=sin x+2cos x=sin(x+φ),其中sin φ=,cos φ=,φ∈.
当x∈时,x+φ∈ (0,π),
此时f(x)=sin x+2cos x=sin(x+φ)在(0,π)上有增有减.又因为f(α)=f(β),且α≠β,所以α+φ+β+φ=π,所以α+β=π-2φ,所以sin(α+β)=sin(π-2φ)=sin 2φ=2sin φcos φ=.
8.选AC　sin 21°cos 261°-sin 111°cos 171°=-sin 21°sin 9°+cos 21°cos 9°=cos(21°+9°)=cos 30°=,A是;cos275°-cos215°=cos275°-sin275°=cos 150°=-,B不是;
=
==,C是;
sin 50°(1+tan 10°)=
===1,D不是.
9.选BCD　因为sin α=-,180°<α<270°,所以cos α=-,所以sin 2α=2sin αcos α=2××=,故A错误.因为90°<<135°,所以sin===,cos=-=-=-,tan==-2,故B、C、D均正确.
10.快审准解:求导,由f(x0)=3f'(x0)整理可得tan x0=-2,然后利用二倍角公式将目标式化为齐次式,弦化切可得.
解析:求导得f'(x)=cos x+sin x,由f(x0)=3f'(x0),得sin x0-cos x0=3(cos x0+sin x0),解得tan x0=-2,所以===-.
答案:-
11.解析:因为tan α=2tan β,即=,可得sin αcos β=2cos αsin β.
又因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=3cos αsin β=,可得cos αsin β=,
所以sin(β-α)=cos αsin β-sin αcos β=-cos αsin β=-.
答案:-
12.解析:cos(α+2β)=cos[(α+β)+β]=cos(α+β)cos β-sin(α+β)sin β=,tan(α+β)tan β=-4,即=-4,故sin(α+β)sin β=-4cos(α+β)cos β,故5cos(α+β)cos β=,即cos(α+β)cos β=,则sin(α+β)sin β=-4cos(α+β)cos β=-,则cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)·sin β=-=-,可取α=.
答案:
13.解:(1)==cos2α·=cos2α·=cos2α·tan α=cos2α·=sin αcos α=sin 2α.
(2)因为tan 45°=tan(5°+40°)==1,
所以tan 5°+tan 40°=1-tan 5°tan 40°,则tan 5°+tan 40°+tan 5°tan 40°=1,所以(1+tan 5°)(1+tan 40°)=1+tan 5°+tan 40°+tan 5°tan 40°=1+1=2.
谨记结论:若A+B=,则(1+tan A)(1+tan B)=2.
14.解:(1)证明:设切点为A(x0,sin x0-cos x0),f'(x)=cos x+sin x,f'(x0)=cos x0+sin x0=kAO=.
所以(x0+1)cos x0=(1-x0)sin x0,所以tan x0=.
(2)将sin α-cos α=平方得1-2sin αcos α=,
所以2sin αcos α=,所以α∈.
所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+=,
从而sin α+cos α=.联立得
所以sin 2α=2sin αcos α=,cos 2α=cos2α-sin2α=-=-.故sin=(sin 2α-cos 2α)=×=.

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