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第三节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
1.会推导两角差的余弦公式.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,并会简单应用.
教材再回首
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)sin(α±β)=　　　　　　　　.
(2)cos(α±β)=　　　　　　　　.
(3)tan(α±β)=　　　　　　　　.
2.二倍角的正弦、余弦和正切公式
(1)sin 2α=　　　　.
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=　　　　=　　　　.
(3)tan 2α=　　　　.
3.辅助角公式
一般地,函数f(α)=asin α+bcos α(a,b为常数)可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=cos(α-φ).
　　[微点提醒]
　　在求角的三角函数值时,往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0,π)内,正弦值对应的角不唯一.
解题结论拓展
1.两角和与差的正切公式的变形
tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β);
tan αtan β=1-=-1.
2.降幂公式
cos2α=,sin2α=,tan2α=.
3.升幂公式
1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α;
1+sin 2α=(sin α+cos α)2;
1-sin 2α=(sin α-cos α)2.
4.其他常用变式
sin 2α==;
cos 2α==.
5.半角正切公式的有理化
(人A必修①P226T1结论)tan==.
典题细发掘
1.(人A必修①P220T1改编)sin 75°的值为 (　　)
A. B.
C. D.-
2.(人A必修①P218例3改编)若2cos α-sin α=0,则tan= (　　)
A.- B.
C.-3 D.3
3.(人A必修①P220T3改编)计算cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°的结果为 (　　)
A. B.
C.- D.
4.(北师大必修②P168T1改编)若tan α=,则cos 2α-sin 2α=　　　　.
题点一　公式的基本应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= (　　)
A.-3m B.-
C. D.3m
(2)(2024·全国甲卷)已知=,则tan= (　　)
A.2+1 B.2-1
C. D.1-
|思维建模|　
利用三角函数公式时应注意的问题
(1)应注意公式的结构特点和符号变化规律,例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号反”.
(2)应注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用.
(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
[即时训练]
1.(2024·吕梁二模)已知角α的顶点在原点,始边在x轴的正半轴上,终边经过点(-,1),则tan= (　　)
A.- B.-
C. D.
2.已知α为锐角,且sin-sin α=,则sin= (　　)
A.- B.
C.- D.
|考教衔接|
[例1]第(1)题源自人教A版必修①P255T15(1):已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,求tan αtan β的值.
启示:高考题与教材题只是调换了结论与条件而已,这就意味着在复习中,应注重对教材题目的挖掘、关注及应用.解决此类问题的关键是掌握公式及其常见变形.
题点二　公式的逆用及变形应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]
(1)(2022·新课标 Ⅱ 卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β,则 (　　)
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
(2)(2025·济宁一模)若α+β=,则tan αtan β-tan α-tan β=　　　　.
|思维建模|　
三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式,注意公式成立的条件和角之间的关系.
(2)tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一.Tα±β公式的变形:tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
[即时训练]
3.下列各式中,值为的是 (　　)
A.(cos 15°-sin 15°) B.cos2-sin2
C. D.sin 15°cos 15°
4.sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=　　　　.
题点三　角的变换问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　已知角α,β满足cos β=,cos αcos(α+β)=,则cos(2α+β)= (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
快审准解:关键利用拆角求解,即β=(α+β)-α,2α+β=α+(α+β),然后利用和差角的余弦公式求值即可.
|思维建模|　
角的变换问题的解题策略
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(3)常见角的变换:2α=(α+β)+(α-β),α=+,+α=-,α=(α+β)-β=(α-β)+β,+=等.
[即时训练]
5.(2025·舟山模拟)若cos=,则sin= (　　)
A.- B.
C. D.-
6.(2025·株洲一模)若tan(α+2β)=2,tan β=-3,则tan(α+β)=　　　　,tan α=　　　　.
第三节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.(1)sin αcos β±cos αsin β　(2)cos αcos β sin αsin β　(3)
2.(1)2sin αcos α　(2)2cos2α-1　1-2sin2α　(3)
[典题细发掘]
1.选B　sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=.
2.选B　因为2cos α-sin α=0,则sin α=2cos α,所以tan α=2.
因此tan===.故选B.
3.选B　cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°=cos(72°-12°)=cos 60°=.
4.解析:cos 2α-sin 2α=cos2α-sin2α-2sin αcos α
===-.
答案:-
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)A　(2)B
(1)法一　由cos(α+β)=m,得cos αcos β-sin αsin β=m　①,
由tan αtan β=2,得=2　②,
由①②得
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.故选A.
法二　取β=,α为第一象限角,
则tan α=2,所以sin α=,cos α=,所以(cos α-sin α)=-.又cos(α+β)=m,所以m=-,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=(cos α+sin α)==-3m.故选A.
(2)根据题意有=,即1-tan α=,
所以tan α=1-,所以tan===2-1,故选B.
[即时训练]
1.选A　法一　由角α终边经过点(-,1),可得tan α=-,所以tan==-.
法二　角α终边经过点(-,1),故α为第二象限角,tan α=-,则α=+2kπ,k∈Z,则tan=tan=-.
2.快审准解:利用和、差角正余弦公式,将条件化为cos=,进而有sin=,最后由二倍角正弦公式求结果.
选B　sin-sin α=sin α+cos α-sin α=cos α-sin α=cos=,
因为α为锐角,所以sin=,所以sin=2sincos=2××=.故选B.
题点二
[例2]　(1)C　(2)
(1)法一　由题意,得sin αcos β+sin βcos α+cos αcos β-sin αsin β=2×(cos α-sin α)sin β,整理,得sin αcos β-sin βcos α+cos αcos β+sin αsin β=0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1,故选C.
法二　设β=0,则sin α+cos α=0,即tan α=-1,取α=,排除A、B;
设α=0,则sin β+cos β=2sin β,tan β=1,取β=,排除D.
(2)∵α+β=,∴tan(α+β)==tan=-,∴tan α+tan β=-(1-tan αtan β),
∴tan αtan β-tan α-tan β=.
[即时训练]
3.选C　对于A,(cos 15°-sin 15°)=cos(45°+15°)=cos 60°=,A不符合;对于B,cos2-sin2=cos=,B不符合;对于C,=×=tan 45°=,C符合;对于D,sin 15°cos 15°=sin 30°=,D不符合.
4.解析:法一　sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=cos 80°cos 60°cos 40°·cos 20°=cos 20°cos 40°cos 80°=======.
法二:构建对偶式　令x=sin 10°sin 50°sin 70°,y=cos 10°·cos 50°cos 70°,则xy=sin 10°sin 50°sin 70°cos 10°cos 50°cos 70°=sin 20°×sin 100°×sin 140°=sin 20°sin 80°sin 40°=cos 10°cos 50°cos 70°=y,因为y≠0,所以x=,从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=×=.
答案:
题点三
[例3]　选C　由cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=,结合cos αcos(α+β)=,可得sin(α+β)sin α=-=,所以cos(2α+β)=cos(α+α+β)=cos αcos(α+β)-sin αsin(α+β)=-=.故选C.
[即时训练]
5.选A　法一　sin=-cos=-cos=-cos=-=-=-,故选A.
法二　cos2==,
解得cos=,所以sin=-cos=-cos=-,故选A.
6.解析:∵tan(α+2β)=2,tan β=-3,∴tan(α+β)=tan(α+2β-β)===-1,tan α=tan(α+β-β)==.
答案:-1　(共65张PPT)
第三节
和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
明确目标
1.会推导两角差的余弦公式.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系,并会简单应用.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)sin(α±β)=____________________.
(2)cos(α±β)=____________________.
(3)tan(α±β)=_______________.
sin αcos β±cos αsin β
cos αcos β sin αsin β
2.二倍角的正弦、余弦和正切公式
(1)sin 2α=___________.
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=___________=_________.
(3)tan 2α=__________.
2sin αcos α
2cos2α-1
1-2sin2α
3.辅助角公式
一般地,函数f(α)=asin α+bcos α(a,b为常数)可以化为f(α)
=sin(α+φ)或f(α)=cos(α-φ)
.
[微点提醒]
在求角的三角函数值时,往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0,π)内,正弦值对应的角不唯一.
解题结论拓展
1.两角和与差的正切公式的变形
tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β);
tan αtan β=1-=-1.
2.降幂公式
cos2α=,sin2α=,tan2α=.
3.升幂公式
1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α;
1+sin 2α=(sin α+cos α)2;
1-sin 2α=(sin α-cos α)2.
4.其他常用变式
sin 2α==;
cos 2α==.
5.半角正切公式的有理化
(人A必修①P226T1结论)tan==.
典题细发掘
1.(人A必修①P220T1改编)sin 75°的值为 (　　)
A. B.
C. D.-
解析:sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°
=.
√
2.(人A必修①P218例3改编)若2cos α-sin α=0,则tan=(　　)
A.- B.
C.-3 D.3
解析:因为2cos α-sin α=0,则sin α=2cos α,所以tan α=2.因此tan===.故选B.
√
3.(人A必修①P220T3改编)计算cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°的结果为 (　　)
A. B.
C.- D.
解析:cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°=cos(72°-12°)=
cos 60°=.
√
4.(北师大必修②P168T1改编)若tan α=,则cos 2α-sin 2α=　　.
解析:cos 2α-sin 2α=cos2α-sin2α-2sin αcos α
=
==-.
-
课堂·题点精研
02
[例1]
(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　)
A.-3m B.-
C. D.3m
√
题点一　公式的基本应用
解析:法一　由cos(α+β)=m,得cos αcos β-sin αsin β=m　①,
由tan αtan β=2,得=2　②,
由①②得
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.故选A.
法二　取β=,α为第一象限角,
(题干中有2个未知角,由题干条件可将其中一个角特殊化处理,即取β=,从而很容易就可以求出cos α,sin α)
则tan α=2,所以sin α=,cos α=,所以(cos α-sin α)=-.
又cos(α+β)=m,所以m=-,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=(cos α+sin α)==-3m.故选A.
|考|教|衔|接|
[例1]第(1)题源自人教A版必修①P255T15(1):已知cos(α+β)=,
cos(α-β)=,求tan αtan β的值.
启示:高考题与教材题只是调换了结论与条件而已,这就意味着在复习中,应注重对教材题目的挖掘、关注及应用.解决此类问题的关键是掌握公式及其常见变形.
(2)(2024·全国甲卷)已知=,则tan=(　　)
A.2+1 B.2-1
C. D.1-
解析:根据题意有=,即1-tan α=,所以tan α=1-,所以tan===2-1,故选B.
√
利用三角函数公式时应注意的问题
(1)应注意公式的结构特点和符号变化规律,例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号反”.
(2)应注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用.
(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
思维建模
1.(2024·吕梁二模)已知角α的顶点在原点,始边在x轴的正半轴上,终边经过点(-,1),则tan=(　　)
A.- B.-
C. D.
即时训练
√
解析:法一　由角α终边经过点(-,1),可得tan α=-,所以tan==-.
法二　角α终边经过点(-,1),故α为第二象限角,tan α=-,则α=+2kπ,k∈Z,则tan=tan=-.
2.已知α为锐角,且sin-sin α=,则sin=(　　)
A.- B.
C.- D.
快审准解:利用和、差角正余弦公式,将条件化为cos=,进而有sin=,最后由二倍角正弦公式求结果.
√
解析:sin-sin α=sin α+cos α-sin α=cos α-sin α=cos=,
因为α为锐角,所以sin=,
所以sin=2sincos=2××=.故选B.
[例2]
(1)(2022·新课标Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β,则(　　)
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
√
题点二　公式的逆用及变形应用
解析:法一　由题意,得sin αcos β+sin βcos α+cos αcos β-sin αsin β=2×(cos α-sin α)sin β,整理,得sin αcos β-sin βcos α+cos αcos β+sin αsin β=0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1,故选C.
法二　设β=0,则sin α+cos α=0,即tan α=-1,取α=,排除A、B;设α=0,则sin β+cos β=2sin β,tan β=1,取β=,排除D.
(2)(2025·济宁一模)若α+β=,则tan αtan β-tan α-tan β=　　.
解析:∵α+β=,
∴tan(α+β)==tan=-,
∴tan α+tan β=-(1-tan αtan β),
∴tan αtan β-tan α-tan β=.
三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式,注意公式成立的条件和角之间的关系.
(2)tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一.Tα±β公式的变形:tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan α
tan β),tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
思维建模
3.下列各式中,值为的是(　　)
A.(cos 15°-sin 15°) B.cos2-sin2
C. D.sin 15°cos 15°
即时训练
√
解析:对于A,(cos 15°-sin 15°)=cos(45°+15°)=cos 60°
=,A不符合;对于B,cos2-sin2=cos=,B不符合;对于C,
=×=tan 45°=,C符合;对于D,sin 15°cos 15°=sin 30°
=,D不符合.
4.sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=　　　　.
解析：法一　sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=cos 80°cos 60°cos 40°·cos 20°=cos 20°cos 40°cos 80°=======.
法二：构建对偶式　令x=sin 10°sin 50°sin 70°，
y=cos 10°·cos 50°cos 70°，则xy=sin 10°sin 50°sin 70°
cos 10°cos 50°cos 70°=sin 20°×sin 100°×sin 140°=
sin 20°sin 80°sin 40°=cos 10°cos 50°cos 70°=y，因
为y≠0，所以x=，从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°
=×=.
[例3]　已知角α,β满足cos β=,cos αcos(α+β)=,则cos(2α+β)=(　　)
A. B.
C. D.
快审准解:关键利用拆角求解,即β=(α+β)-α,2α+β=α+(α+β),然后利用和差角的余弦公式求值即可.
√
题点三　角的变换问题
解析:由cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=,结合cos αcos(α+β)=,可得sin(α+β)sin α=-=,所以cos(2α+β)=cos(α+α+β)
=cos αcos(α+β)-sin αsin(α+β)=-=.故选C.
角的变换问题的解题策略
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(3)常见角的变换:2α=(α+β)+(α-β),α=+,+α=-,
α=(α+β)-β=(α-β)+β,+=等.
思维建模
5.(2025·舟山模拟)若cos=,则sin=(　　)
A.-　 B.
C.　 D.-
即时训练
√
解析:法一　sin=-cos=-cos=
-cos=-=-=-,故选A.
法二　cos2==,解得cos=,所以sin=-cos=-cos=-,故选A.
6.(2025·株洲一模)若tan(α+2β)=2,tan β=-3,则tan(α+β)=　　,
tan α=　　.
解析:∵tan(α+2β)=2,tan β=-3,∴tan(α+β)=tan(α+2β-β)=
==-1,tan α=tan(α+β-β)==.
数智赋能:电子版随堂训练(真题集训),根据课堂情况灵活选用
-1
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.sin 45°cos 15°+cos 45°cos 75°=(　　)
A.- B.-
C. D.
解析:sin 45°cos 15°+cos 45°cos 75°=sin 45°cos 15°+
cos 45°sin 15°=sin(45°+15°)=sin 60°=.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.(2025·枣庄模拟)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P,则cos=(　　)
A.0 B. C. D.
解析:因为P,即P,角α的终边经过点P,所以sin α=,cos α=,所以cos=cos αcos+sin αsin=×+
×=.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
3.(2024·上海高考)下列函数中,最小正周期是2π的是 (　　)
A.y=sin x+cos x B.y=sin xcos x
C.y=sin2x+cos2x D.y=sin2x-cos2x
解析:y=sin x+cos x=sin ,其最小正周期为2π,A正确;y=sin xcos x=sin 2x,其最小正周期为π,B错误;y=sin2x+cos2x=1,不存在最小正周期,C错误;y=sin2x-cos2x=-cos 2x,其最小正周期为π,D错误.故选A.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
规律结论:常见辅助角结论
(1)sin x±cos x=sin;
(2)sin x±cos x=2sin;
(3)cos x±sin x=cos;
(4)cos x±sin x=2cos.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
4.(2024·自贡三模)已知角α满足=3,则sin 2α=(　　)
A.- B.
C.- D.
解析:由=3,得=3,即tan α=3,∴sin 2α
===.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
5.已知sin=,则cos=(　　)
A.- B.
C.- D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
解析:由sin=,
得cos=1-2sin2=,
cos=cos
=-cos=-.故选A.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
6.(2024·北京朝阳二模)在平面直角坐标系xOy中,锐角α以O为顶点,Ox为始边.将α的终边绕O逆时针旋转后与单位圆交于点P(x,y),若cos α=,则y=(　　)
A.- B.-
C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
解析:如图,由cos α=,0<α<,
得sin α==,
所以y=sin=(sin α+cos α)
=×=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
7.已知θ为第一象限角,且tan+tan θ=0,则=(　　)
A.9 B.3
C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
解析:由题意知θ为第一象限角,
且tan+tan θ=0,故+tan θ=0,
解得tan θ=或tan θ=-(舍去),
则==tan2θ=3.
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8.在平面直角坐标系中,将角α的终边顺时针旋转后经过点(1,-2),则sin α=(　　)
A. B.-
C. D.-
√
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解析:由题意得sin==-,cos==,
故sin α=sin=sincos+cossin=
-×+×=-.
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9.已知α为第一象限角,β为第四象限角,tan α-tan β=3,tan αtan β
=-2,则sin(α-β)= (　　)
A. B.-
C. D.-
快审准解:根据正切的差角公式可得sin(α-β)=-3cos(α-β),即可结合角的范围,根据同角关系求解.
√
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解析:因为tan α-tan β=3,tan αtan β=-2,
所以tan(α-β)===-3,故sin(α-β)=-3cos(α-β).
又α是第一象限角,β为第四象限角,故2mπ<α<+2mπ,
-+2nπ<β<2nπ,m,n∈Z,因此(2m-2n)π<α-β<π+(2m-2n)π,m,n∈Z,
因此sin(α-β)>0,由于sin2(α-β)=1-cos2(α-β),
则sin2(α-β)=1-sin2(α-β),故sin(α-β)=.故选C.
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10.设α∈,β∈,且tan α=tan β+,则(　　)
A.3α-β= B.2α-β=
C.3α+β= D.2α+β=
快审准解:根据题意,将正切化为正弦和余弦,进而逆运用两角差的正弦公式即可得到其关系.
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解析:因为tan α=tan β+,所以=+所以sin αcos β
=sin βcos α+cos α,所以sin(α-β)=cos α=sin.
因为α∈,β∈,所以-<α-β<,0<-α<,所以α-β=-α,所以2α-β=.故选B.
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二、多选题
11.已知≤α≤π,sin 2α=,则下列结论正确的是(　　)
A.sin α=- B.sin α-cos α=
C.cos α= D.sin α+cos α=
快审准解:根据sin 2α>0得到≤α≤,计算cos 2α=-,再利用二倍角公式得到sin α=和cos α=,对比选项得答案.
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解析:由≤α≤π,得≤2α≤2π,又sin 2α=>0,故≤2α≤π,≤α
≤,cos 2α=-=-.由cos 2α=-=1-2sin2α,得sin α=,A错误;cos 2α=-=2cos2α-1,得cos α=,C正确;sin α-cos α=-
=,B正确;sin α+cos α=+=,D错误.
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12.已知α,β∈,cos(α+β)=,sin(α-β)=,则下列结论正确的是(　　)
A.sin(α+β)= B.cos(α-β)=-
C.sin 2α= D.=
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解析:由α,β∈,得α+β∈(0,π),sin(α+β)==,故A正确;由α,β∈,得α-β∈,cos(α-β)==,故B错误;因为2α=(α+β)-(α-β),所以sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)
cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=×+×=,故C正确;由=
==,得=,故D正确.
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三、填空题
13.已知tan=4,则sin 2α=　　　　.
解析:由tan=4,
可得tan α=tan
==-,所以sin 2α===-.
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14.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,则lo=　　　　.
解析:因为sin(α+β)=,sin(α-β)=,
所以sin αcos β+cos αsin β=,sin αcos β-cos αsin β=,
所以sin αcos β=,cos αsin β=,
所以==5,所以lo=lo52=4.
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15.已知sin α+sin β=,cos α+cos β=-,则cos(α-β)=　　　　.
解析:已知sin α+sin β=　①,cos α+cos β=-　②,
则①2+②2得1+2sin αsin β+1+2cos αcos β=+=,
整理得cos αcos β+sin αsin β=-,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-.
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习得方略:已知
求cos(α-β),或已知
求sin(α+β)时,可以将等式两边同时平方,再进行求解.
13课时跟踪检测(二十八)　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
一、单选题
1.sin 45°cos 15°+cos 45°cos 75°= (　　)
A.- B.-
C. D.
2.(2025·枣庄模拟)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P,则cos= (　　)
A.0 B.
C. D.
3.(2024·上海高考)下列函数中,最小正周期是2π的是 (　　)
A.y=sin x+cos x B.y=sin xcos x
C.y=sin2x+cos2x D.y=sin2x-cos2x
4.(2024·自贡三模)已知角α满足=3,则sin 2α= (　　)
A.- B.
C.- D.
5.已知sin=,则cos= (　　)
A.- B.
C.- D.
6.(2024·北京朝阳二模)在平面直角坐标系xOy中,锐角α以O为顶点,Ox为始边.将α的终边绕O逆时针旋转后与单位圆交于点P(x,y),若cos α=,则y= (　　)
A.- B.-
C. D.
7.已知θ为第一象限角,且tan+tan θ=0,则= (　　)
A.9 B.3
C. D.
8.在平面直角坐标系中,将角α的终边顺时针旋转后经过点(1,-2),则sin α= (　　)
A. B.-
C. D.-
9.已知α为第一象限角,β为第四象限角,tan α-tan β=3,tan αtan β=-2,则sin(α-β)= (　　)
A. B.-
C. D.-
10.设α∈,β∈,且tan α=tan β+,则 (　　)
A.3α-β= B.2α-β=
C.3α+β= D.2α+β=
二、多选题
11.已知≤α≤π,sin 2α=,则下列结论正确的是 (　　)
A.sin α=- B.sin α-cos α=
C.cos α= D.sin α+cos α=
12.已知α,β∈,cos(α+β)=,sin(α-β)=,则下列结论正确的是 (　　)
A.sin(α+β)= B.cos(α-β)=-
C.sin 2α= D.=
三、填空题
13.已知tan=4,则sin 2α=　　　　.
14.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,则lo=　　　　.
15.已知sin α+sin β=,cos α+cos β=-,则cos(α-β)=　　　　.
课时跟踪检测(二十八)
1.选D　sin 45°cos 15°+cos 45°cos 75°=sin 45°cos 15°+cos 45°sin 15°=sin(45°+15°)=sin 60°=.
2.选D　因为P,即P,角α的终边经过点P,所以sin α=,cos α=,所以cos=cos αcos+sin αsin=×+×=.
3.选A　y=sin x+cos x=sin,其最小正周期为2π,A正确;y=sin xcos x=sin 2x,其最小正周期为π,B错误;y=sin2x+cos2x=1,不存在最小正周期,C错误;y=sin2x-cos2x=-cos 2x,其最小正周期为π,D错误.故选A.
规律结论:常见辅助角结论
(1)sin x±cos x=sin;
(2)sin x±cos x=2sin;
(3)cos x±sin x=cos;
(4)cos x±sin x=2cos.
4.选D　由=3,得=3,即tan α=3,
∴sin 2α===.
5.选A　由sin=,
得cos=1-2sin2=,
cos=cos
=-cos=-.故选A.
6.选D　如图,
由cos α=,0<α<,得sin α==,所以y=sin=(sin α+cos α)=×=.
7.选B　由题意知θ为第一象限角,且tan+tan θ=0,
故+tan θ=0,解得tan θ=或tan θ=-(舍去),
则==tan2θ=3.
8.选B　由题意得sin==-,cos==,
故sin α=sin=sincos+cossin=-×+×=-.
9.快审准解:根据正切的差角公式可得sin(α-β)=-3cos(α-β),即可结合角的范围,根据同角关系求解.
选C　因为tan α-tan β=3,tan αtan β=-2,
所以tan(α-β)===-3,
故sin(α-β)=-3cos(α-β).
又α是第一象限角,β为第四象限角,
故2mπ<α<+2mπ,-+2nπ<β<2nπ,m,n∈Z,
因此(2m-2n)π<α-β<π+(2m-2n)π,m,n∈Z,
因此sin(α-β)>0,由于sin2(α-β)=1-cos2(α-β),
则sin2(α-β)=1-sin2(α-β),故sin(α-β)=.故选C.
10.快审准解:根据题意,将正切化为正弦和余弦,进而逆运用两角差的正弦公式即可得到其关系.
选B　因为tan α=tan β+,所以=+
所以sin αcos β=sin βcos α+cos α,
所以sin(α-β)=cos α=sin.
因为α∈,β∈,所以-<α-β<,0<-α<,所以α-β=-α,所以2α-β=.故选B.
11.快审准解:根据sin 2α>0得到≤α≤,计算cos 2α=-,再利用二倍角公式得到sin α=和cos α=,对比选项得答案.
选BC　由≤α≤π,得≤2α≤2π,又sin 2α=>0,故≤2α≤π,≤α≤,cos 2α=-=-.由cos 2α=-=1-2sin2α,得sin α=,A错误;cos 2α=-=2cos2α-1,得cos α=,C正确;sin α-cos α=-=,B正确;sin α+cos α=+=,D错误.
12.选ACD　由α,β∈,得α+β∈(0,π),sin(α+β)==,故A正确;由α,β∈,得α-β∈,cos(α-β)==,故B错误;因为2α=(α+β)-(α-β),所以sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=×+×=,故C正确;由===,得=,故D正确.
13.解析:由tan=4,可得tan α=tan==-,所以sin 2α===-.
答案:-
14.解析:因为sin(α+β)=,sin(α-β)=,所以sin αcos β+cos αsin β=,sin αcos β-cos αsin β=,所以sin αcos β=,cos αsin β=,所以==5,
所以lo=lo52=4.
答案:4
15.解析:已知sin α+sin β=　①,cos α+cos β=-　②,
则①2+②2得1+2sin αsin β+1+2cos αcos β=+=,整理得cos αcos β+sin αsin β=-,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-.
答案:-
习得方略:已知求cos(α-β),或已知求sin(α+β)时,可以将等式两边同时平方,再进行求解.

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