资源简介

第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.理解同角三角函数的基本关系:sin2α+cos2α=1,=tan α.
2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式.
3.能利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值.
教材再回首
1.同角三角函数的基本关系
平方关系 sin2α+cos2α=
商数关系 tan α=　　　
2.诱导公式
角 2kπ+α (k∈) π+α -α π-α -α +α
正弦 sin α 　　 -sin α sin α cos α 　　
余弦 cos α -cos α cos α 　　 　　 -sin α
正切 tan α tan α 　　 　　 — —
记忆 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变, 符号看象限
解题结论拓展
　　同角三角函数基本关系式的几种变形
(1)sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α);
cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α);
(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.
(2)sin α=tan αcos α.
(3)sin2α==;
cos2α==.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角. (　　)
(2)存在角α,β有sin2α+cos2β=1. (　　)
(3)若sin x=a,则cos x的值一定有两个. (　　)
(4)若α为第二象限角,则sin=cos α. (　　)
(5)对任意角α,sin=sin α都不成立. (　　)
2.(人A必修①P184T1改编)已知cos α=-,且α为第三象限角,则sin α= (　　)
A. B.-
C.- D.
3.(人A必修①P195T5)已知sin=,那么cos α= (　　)
A.- B.-
C. D.
4.(北师大必修②P149例5改编)已知tan α=3,则=　　　　.
5.(苏教必修①P225T13改编)设α是第三象限角,且tan α=2,则=　　　　.
题点一　同角三角函数基本关系
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　知一求二
[例1]　(2023·全国乙卷)若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.
考法(二)　sin α,cos α的齐次式问题
[例2]　已知=,则sin2α-2sin αcos α+3cos2α=　　　　.
考法(三)　“sin α±cos α,sin αcos α”之间关系的应用
[例3]　(多选)设α∈(0,π),sin α+cos α=,则下列等式正确的是 (　　)
A.sin αcos α=- B.sin α-cos α=
C.tan α= D.cos2α-sin2α=-
|谨记结论|
(1)注意公式的逆用及变形用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.
|思维建模|　
(1)利用sin2α+cos2α=1可实现α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)当角所在的象限不明确时,要进行分类讨论.
(3)若齐次式为分式,可将分子与分母同除以cos α的n次幂,将分式的分子与分母化为关于tan α的式子,代入tan α的值即可求解.
[即时训练]
1.已知tan α=-,且α为第二象限角,则cos α= (　　)
A.- B.
C.- D.
2.已知tan α=-,α∈,则sin α-2cos α= (　　)
A. B.
C.1 D.-
题点二　诱导公式
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例4]
(1)若sin=,则cos= (　　)
A. B.-
C.- D.
(2)化简等于 (　　)
A.-sin θ B.sin θ
C.cos θ D.-cos θ
|思维建模|
1.诱导公式应用的步骤
任意负角的三角函数任意正角的三角函数0~2π内的角的三角函数锐角三角函数.
2.诱导公式的两个应用
(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.
(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.
3.应用技巧
常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等.
[即时训练]
3.已知cos=,则sin= (　　)
A. B.
C.- D.-
4.化简:=　　　　.
题点三　基本关系与诱导公式的综合应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例5]　已知=.
(1)求tan x的值;
(2)若sin x,cos x是方程x2-mx+n=0的两个根,求m2+3n的值.
快审准解:(1)利用诱导公式化简,再由同角三角函数的基本关系将弦化切,即可得解;
(2)利用根与系数的关系得到从而得到m2+3n=1+5sin xcos x,再由同角三角函数的基本关系求出sin xcos x,即可得解.
|思维建模|
利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的基本思路
(1)分析结构特点,寻求条件及所求之间的关系,尤其是角之间的关系;
(2)选择恰当的公式,利用公式灵活变形;
(3)化简求值.
[即时训练]
5.已知α为第二象限角,f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若sin α=,求f(α)的值.
第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.1　　2.-sin α　cos α　-cos α　sin α　-tan α　-tan α
[典题细发掘]
1.(1)×　(2)√　(3) ×　(4)√　(5)×　2.C
3.选B　因为sin=-cos α=,所以cos α=-.
4.解析:∵tan α=3,∴===2.
答案:2
5.解析:因为==cos α,
又tan α=2,α是第三象限角,所以cos α=-.
答案:-
课堂·题点精研
题点一
[例1]　解析:由且θ∈,
解得故sin θ-cos θ=-.
答案:-
[例2]　解析:由=可得tan α=-3,
sin2α-2sin αcos α+3cos2α====.
答案:
[例3]　选BD　因为sin α+cos α=,所以(sin α+cos α)2=,即sin2α+2sin αcos α+cos2α=,即1+2sin αcos α=,所以sin αcos α=-,故A错误;
又α∈(0,π),sin α>0,所以cos α<0,
则α∈,则tan α<0 ,所以sin α-cos α===,故B正确,C错误;cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=×=-,故D正确.
[即时训练]
1.选A　因为tan α=-,所以sin α=-cos α,又sin2α+cos2α=1,所以+cos2α=1,所以cos2α=.
又α为第二象限角,所以cos α=-.
2.快审准解:根据同角三角函数的基本关系及角的取值范围,求出sin α和cos α的值,代入计算可得结果.
选A　因为α∈,所以sin α>0,cos α<0,
又
所以sin α-2cos α=+=.故选A.
题点二
[例4]　(1)C　(2)A
(1)由sin=,得cos
=cos =cos
=-sin=-.
(2)原式=
==-sin θ.
[即时训练]
3.选A　sin=sin=cos=.
4.解析:
==
==-sin α.
答案:-sin α
题点三
[例5]　解:(1)因为=,
所以=,所以=,解得tan x=2.
(2)因为sin x,cos x是方程x2-mx+n=0的两个根,所以所以m2+3n=(sin x+cos x)2+3sin xcos x=1+5sin xcos x.
又sin xcos x====,
所以m2+3n=1+5×=3.
[即时训练]
5.解:(1)f(α)=
==-cos α.
(2)若sin α=,α为第二象限角,
所以f(α)=-cos α==.(共58张PPT)
第二节
同角三角函数的基本关系及诱导公式
明确目标
1.理解同角三角函数的基本关系:sin2α+cos2α=1,=
tan α.
2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式.
3.能利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.同角三角函数的基本关系
平方关系 sin2α+cos2α=___
商数关系 tan α=_______
1
2.诱导公式
角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α
正弦 sin α _____ -sin α sin α cos α _____
余弦 cos α -cos α cos α _____ _____ -sin α
正切 tan α tan α ______ _____ — —
记忆 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变, 符号看象限
-sin α
-tan α
-cos α
-tan α
sin α
cos α
解题结论拓展
　　同角三角函数基本关系式的几种变形
(1)sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α);
cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α);
(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.
(2)sin α=tan αcos α.
(3)sin2α==;cos2α==.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角.(　　)
(2)存在角α,β有sin2α+cos2β=1.(　　)
(3)若sin x=a,则cos x的值一定有两个.(　　)
(4)若α为第二象限角,则sin=cos α.(　　)
(5)对任意角α,sin=sin α都不成立.(　　)
×
√
×
√
×
2.(人A必修①P184T1改编)已知cos α=-,且α为第三象限角,则sin α=(　　)
A. B.-
C.- D.
√
3.(人A必修①P195T5)已知sin=,那么cos α=(　　)
A.- B.-
C. D.
解析:因为sin=-cos α=,所以cos α=-.
√
4.(北师大必修②P149例5改编)已知tan α=3,则=　　.
解析:∵tan α=3,∴===2.
2
5.(苏教必修①P225T13改编)设α是第三象限角,且tan α=2,则=　　　　.
解析:因为==cos α,又tan α=2,α是第三象限角,所以cos α=-.
-
课堂·题点精研
02
考法(一)　知一求二
[例1]　(2023·全国乙卷)若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.
解析:由且θ∈,解得故sin θ-cos θ=-.
题点一　同角三角函数基本关系
-
考法(二)　sin α,cos α的齐次式问题
[例2]　已知=,则sin2α-2sin αcos α+3cos2α=　　　　.
解析:由=可得tan α=-3,sin2α-2sin αcos α+3cos2α
====.
考法(三)　“sin α±cos α,sin αcos α”之间关系的应用
[例3]　(多选)设α∈(0,π),sin α+cos α=,则下列等式正确的是(　　)
A.sin αcos α=- B.sin α-cos α=
C.tan α= D.cos2α-sin2α=-
√
√
解析:因为sin α+cos α=,所以(sin α+cos α)2=,即sin2α+2sin αcos α
+cos2α=,即1+2sin αcos α=,所以sin αcos α=-,
故A错误;又α∈(0,π),sin α>0,所以cos α<0,
则α∈,则tan α<0 ,所以sin α-cos α=
==,故B正确,C错误;cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=×=-,故D正确.
(1)注意公式的逆用及变形用:
1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,
sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.
谨记结论
(1)利用sin2α+cos2α=1可实现α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)当角所在的象限不明确时,要进行分类讨论.
(3)若齐次式为分式,可将分子与分母同除以cos α的n次幂,将分式的分子与分母化为关于tan α的式子,代入tan α的值即可求解.
思维建模
1.已知tan α=-,且α为第二象限角,则cos α=(　　)
A.- B.
C.- D.
解析:因为tan α=-,所以sin α=-cos α,又sin2α+cos2α=1,所以+cos2α=1,所以cos2α=.又α为第二象限角,所以cos α=-.
即时训练
√
2.已知tan α=-,α∈,则sin α-2cos α=(　　)
A. B.
C.1 D.-
快审准解:根据同角三角函数的基本关系及角的取值范围,求出sin α和cos α的值,代入计算可得结果.
√
解析:因为α∈,所以sin α>0,cos α<0,
又
所以sin α-2cos α=+=.故选A.
[例4] (1)若sin=,则cos=(　　)
A. B.- C.- D.
解析:由sin=,得cos
=cos =cos
=-sin=-.
√
题点二　诱导公式
(2)化简等于(　　)
A.-sin θ B.sin θ
C.cos θ D.-cos θ
解析:原式===-sin θ.
√
1.诱导公式应用的步骤
任意负角的三角函数 任意正角的三角函数
0~2π内的角的三角函数 锐角三角函数.
2.诱导公式的两个应用
(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.
(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.
思维建模
3.应用技巧
常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等.
3.已知cos=,则sin=(　　)
A. B.
C.- D.-
解析:sin=sin=cos=.
即时训练
√
4.化简:=　　　　.
解析:=
===-sin α.
-sin α
[例5]　已知=.
(1)求tan x的值;
快审准解:利用诱导公式化简,再由同角三角函数的基本关系将弦化切,即可得解;
解:因为=,
所以=,所以=,解得tan x=2.
题点三　基本关系与诱导公式的综合应用
(2)若sin x,cos x是方程x2-mx+n=0的两个根,求m2+3n的值.
快审准解:利用根与系数的关系得到从而得到m2+3n=1+5sin xcos x,再由同角三角函数的基本关系求出sin xcos x,即可得解.
解:因为sin x,cos x是方程x2-mx+n=0的两个根,
所以所以m2+3n=(sin x+cos x)2+3sin xcos x
=1+5sin xcos x.又sin xcos x====,
所以m2+3n=1+5×=3.
利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的基本思路
(1)分析结构特点,寻求条件及所求之间的关系,尤其是角之间的关系;
(2)选择恰当的公式,利用公式灵活变形;
(3)化简求值.
思维建模
5.已知α为第二象限角,
f(α)=.
(1)化简f(α);
解: f(α)===-cos α.
即时训练
(2)若sin α=,求f(α)的值.
解:若sin α=,α为第二象限角,
所以f(α)=-cos α==.
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课时跟踪检测
03
一、单选题
1.sin 1 050°的值为(　　)
A.- B.
C.- D.
解析:sin 1 050°=sin(3×360°-30°)=sin(-30°)=-.
√
1
5
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2
3
4
2.(2025·西安模拟)已知sin2(π-θ)=cos,0<|θ|<,则θ等于(　　)
A.- B.-
C. D.
解析:由题意知sin2θ=sin θ,所以sin θ=或sin θ=0.又因为0<|θ|<,所以θ=.
√
1
5
6
7
8
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2
3
4
13
3.(2024·成都二模)若角α的终边位于第二象限,且sin α=,则sin=(　　)
A. B.-
C. D.-
解析:因为角α的终边位于第二象限且sin α=,则cos α=
-=-,所以sin=cos α=-.
√
1
5
6
7
8
9
10
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12
14
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2
3
4
13
4.已知cos=-,则sin=(　　)
A. B.
C.- D.-
解析:sin=sin=-sin=-cos=.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
5.在△ABC中,sin Acos A=-,则cos A-sin A=(　　)
A.- B.-
C. D.±
√
1
5
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8
9
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2
3
4
13
解析:∵在△ABC中,sin Acos A=-,∴A为钝角,∴cos A-sin A<0,
∴cos A-sin A=-
=-
=-=-.
1
5
6
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8
9
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2
3
4
13
6.(2025·长沙模拟)若α为锐角,且=+cos α,则cos α=(　　)
A. B.
C. D.-
√
1
5
6
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2
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4
13
解析:因为=+cos α,
所以==
sin α+cos α+1=+cos α,
所以sin α=.因为α为锐角,所以cos α=.
1
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6
7
8
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3
4
13
7.已知角α的始边与x轴非负半轴重合,P(-2,3)是角α终边上一点,则+的值为(　　)
A.- B.
C. D.-
√
1
5
6
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8
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3
4
13
解析:　+=+=-=--.根据三角函数定义sin α=,cos α=-,所以原式=
--=-+=-.
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3
4
13
8.已知x∈,sin4x+cos4x=,则sin x-cos x=(　　)
A. B.-
C. D.-
快审准解:先根据sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x,以及同角三角函数的关系和角的范围求出sin xcos x,再根据sin x-cos x=
-即可求解.
√
1
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2
3
4
13
解析:∵sin4x+cos4x=-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x=,
∴sin2xcos2x=.又x∈,
∴sin x<0,cos x>0,即sin xcos x=-,
∴sin x-cos x=-
=-=-=-.
1
5
6
7
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2
3
4
13
9.已知α是第四象限角,α终边与单位圆O交于点P(x0,y0),若2cos-1=0,则x0=(　　)
A.- B.-
C. D.
快审准解:利用任意角三角函数定义结合余弦函数的性质求解即可.
√
1
5
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2
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13
解析:根据任意角三角函数定义知x0=cos α,由2cos-1=0,得cos=,所以2α+=2kπ±(k∈Z),
所以α=kπ+(k∈Z)或α=kπ-(k∈Z).
又α是第四象限角,所以α=2nπ-(n∈Z),
所以cos α=cos=(n∈Z),即x0=.故选C.
1
5
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13
10.若α,β∈,sin α,sin β为方程4x2+2x-1=0的两个根,则tan αtan β=(　　)
A.- B.-
C.- D.-
1
5
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2
3
4
√
13
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
解析:因为sin α,sin β是方程4x2+2x-1=0的两根,
所以sin α+sin β=-<0,sin αsin β=-<0,且α,β∈,则cos α
>0,cos β>0,可得cos αcos β==
=
==,所以tan αtan β===-.
13
二、多选题
11.下列化简正确的是(　　)
A.tan(π+1)=tan 1
B.=cos α
C.=tan α
D.=1
1
5
6
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12
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2
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4
√
13
√
解析:tan(π+1)=tan 1,故A正确;==cos α,故B正确;==-tan α,故C不正确;
==-1,故D不正确.
1
5
6
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2
3
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13
12.在△ABC中,下列结论正确的是 (　　)
A.sin(A+B)=sin C
B.sin=cos
C.tan(A+B)=-tan C
D.cos(A+B)=cos C
1
5
6
7
8
9
10
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12
14
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2
3
4
√
13
√
√
解析:在△ABC中,有A+B+C=π,则sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,A正确;sin=sin=cos,B正确;tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,C正确;cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,D错误.
1
5
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2
3
4
13
三、填空题
13.若角α的终边落在第三象限,则+=　　　　.
解析:由角α的终边落在第三象限,得sin α<0,cos α<0,故原式=+=+=-1-2=-3.
1
5
6
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2
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4
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-3
1
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2
3
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14.已知tan θ=-3,则=　　.
解析:∵tan θ=-3,∴=
==tan θ+=-+=-1.
13
-1
1
5
6
7
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2
3
4
15.已知cos(75°+α)=,则cos(105°-α)+sin(15°-α)=　　　　.
解析:因为(105°-α)+(75°+α)=180°,(15°-α)+(α+75°)=90°,所以cos(105°-α)=cos[180°-(75°+α)]=-cos(75°+α)=-,sin(15°-α)
=sin[90°-(α+75°)]=cos(75°+α)=.
所以cos(105°-α)+sin(15°-α)=-+=0.
13
0课时跟踪检测(二十七)　同角三角函数的基本关系及诱导公式
一、单选题
1.sin 1 050°的值为 (　　)
A.- B.
C.- D.
2.(2025·西安模拟)已知sin2(π-θ)=cos,0<|θ|<,则θ等于 (　　)
A.- B.-
C. D.
3.(2024·成都二模)若角α的终边位于第二象限,且sin α=,则sin= (　　)
A. B.-
C. D.-
4.已知cos=-,则sin= (　　)
A. B.
C.- D.-
5.在△ABC中,sin Acos A=-,则cos A-sin A= (　　)
A.- B.-
C. D.±
6.(2025·长沙模拟)若α为锐角,且=+cos α,则cos α= (　　)
A. B.
C. D.-
7.已知角α的始边与x轴非负半轴重合,P(-2,3)是角α终边上一点,则+的值为 (　　)
A.- B.
C. D.-
8.已知x∈,sin4x+cos4x=,则sin x-cos x= (　　)
A. B.-
C. D.-
9.已知α是第四象限角,α终边与单位圆O交于点P(x0,y0),若2cos-1=0,则x0= (　　)
A.- B.-
C. D.
10.若α,β∈,sin α,sin β为方程4x2+2x-1=0的两个根,则tan αtan β= (　　)
A.- B.-
C.- D.-
二、多选题
11.下列化简正确的是 (　　)
A.tan(π+1)=tan 1 B.=cos α
C.=tan α D.=1
12.在△ABC中,下列结论正确的是 (　　)
A.sin(A+B)=sin C B.sin=cos
C.tan(A+B)=-tan C D.cos(A+B)=cos C
三、填空题
13.若角α的终边落在第三象限,则+=　　　　.
14.已知tan θ=-3,则=　　 　.
15.已知cos(75°+α)=,则cos(105°-α)+sin(15°-α)=　　　　.
课时跟踪检测(二十七)
1.选A　sin 1 050°=sin(3×360°-30°)=sin(-30°)=-.
2.选D　由题意知sin2θ=sin θ,所以sin θ=或sin θ=0.
又因为0<|θ|<,所以θ=.
3.选D　因为角α的终边位于第二象限且sin α=,
则cos α=-=-,所以sin=cos α=-.
4.选B　sin=sin=-sin=-cos=.
5.选B　∵在△ABC中,sin Acos A=-,
∴A为钝角,∴cos A-sin A<0,
∴cos A-sin A=-
=-
=-=-.
6.选B　因为=+cos α,
所以==sin α+cos α+1=+cos α,所以sin α=.
因为α为锐角,所以cos α=.
7.选D　+=+=-=--.
根据三角函数定义sin α=,cos α=-,
所以原式=--=-+=-.
8.快审准解:先根据sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x,以及同角三角函数的关系和角的范围求出sin xcos x,再根据sin x-cos x=-即可求解.
选B　∵sin4x+cos4x=-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x=,
∴sin2xcos2x=.又x∈,
∴sin x<0,cos x>0,即sin xcos x=-,
∴sin x-cos x=-
=-=-=-.
9.快审准解:利用任意角三角函数定义结合余弦函数的性质求解即可.
选C　根据任意角三角函数定义知x0=cos α,
由2cos-1=0,
得cos=,所以2α+=2kπ±(k∈Z),
所以α=kπ+(k∈Z)或α=kπ-(k∈Z).
又α是第四象限角,所以α=2nπ-(n∈Z),
所以cos α=cos=(n∈Z),即x0=.故选C.
10.选D　因为sin α,sin β是方程4x2+2x-1=0的两根,
所以sin α+sin β=-<0,sin αsin β=-<0,且α,β∈,则cos α>0,cos β>0,
可得cos αcos β=
=
=
==,
所以tan αtan β===-.
11.选AB　tan(π+1)=tan 1,故A正确;==cos α,故B正确;==-tan α,故C不正确;==-1,故D不正确.
12.选ABC　在△ABC中,有A+B+C=π,则sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,A正确;sin=sin=cos,B正确;tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,C正确;cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,D错误.
13.解析:由角α的终边落在第三象限,得sin α<0,cos α<0,
故原式=+=+=-1-2=-3.
答案:-3
14.解析:∵tan θ=-3,
∴==
=tan θ+=-+=-1.
答案:-1
15.解析:因为(105°-α)+(75°+α)=180°,(15°-α)+(α+75°)=90°,所以cos(105°-α)=cos[180°-(75°+α)]=-cos(75°+α)=-,sin(15°-α)=sin[90°-(α+75°)]=cos(75°+α)=.所以cos(105°-α)+sin(15°-α)=-+=0.
答案:0

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