资源简介

第一节　任意角和弧度制、　三角函数的概念
　　
1.了解任意角的概念和弧度制.能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性.
2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,并能利用三角函数的定义解决相关问题.
教材再回首
1.角的概念
定义 角可以看成一条射线绕着它的　　 　旋转所成的图形
分类 (1)按旋转方向分为　 　　、　　 　和零角; (2)按终边位置分为　　 　　和轴线角
终边 相同 的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是{β|β=α+k·360°,k∈Z}或　　　　　　
2.弧度制的定义和公式
定义 长度等于　　　　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1 rad
弧度数公式 |α|=　　　(弧长用l表示,半径用r表示)
角度与 弧度的换算 (1)1°= rad; (2)1 rad=　　　　≈57.30°
弧长公式 弧长l=　　　　　　　
扇形 面积公式 S=　 　　　=　 　　　
3.任意角的三角函数的定义
(1)借助单位圆:设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=　,cos α=　,tan α=　(x≠0).
(2)借助终边上点的坐标:设角α终边上任意一点P(原点除外)的坐标为(x,y),它与原点的距离为r=OP=,则sin α=　　　,cos α=　　　,tan α=　　　(x≠0).
(3)三角函数在各个象限的符号简记为“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.
解题结论拓展
1.象限角
2.轴线角
3.若角α∈,则sin α<α典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)锐角是第一象限角,第一象限的角也都是锐角. (　　)
(2)每个弧度制的角,都有唯一的角度制的角与之对应. (　　)
(3)终边相同的角的同一三角函数值相等. (　　)
(4)若α是三角形的内角,则必有sin α>0. (　　)
(5)三角函数值的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关. (　　)
2.(苏教必修①P181T6改编)已知α∈(0,2π),sin α<0,cos α>0,则角α的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
3.(人A必修①P175T6改编)半径为2的圆中,有一条弧长是,则此弧所对的圆心角是 (　　)
A.15° B.20°
C.30° D.40°
4.(人A必修①P180T3改编)已知角θ的终边过点P(-12,5),则sin θ+cos θ等于 (　　)
A. B.-
C. D.-
题点一　角的表示
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)集合A={α|α=-2 024°+k·180°,k∈Z}中的最大负角α为 (　　)
A.-2 024° B.-224°
C.-44° D.-24°
(2)(人A必修①P176T7(2)改编)已知θ是第一象限角,那么是第　　　　象限角.
|价值发掘|
　　若α,β,γ,θ分别为第一、二、三、四象限角,则,,,的终边所在的象限如图所示.
|思维建模|
1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角
先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
2.确定kα,(k∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出kα或的范围,然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置.
[即时训练]
1.[多选]下列命题正确的是 (　　)
A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α=2kπ,k∈Z}
B.终边落在y轴上的角的集合为{α|α=90°+kπ,k∈Z}
C.第三象限角的集合为
D.在-720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为-675°和-315°
2.如图,已知角θ的终边落在阴影区域内(不含边界),角α的终边和角θ相同,则角α的集合为 (　　)
A.
B.
C.
D.
题点二　弧度制及其应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.
(1)若α=60°,R=6,求扇形的周长;
(2)若扇形的周长为20,求扇形面积的最大值,此时扇形的圆心角α为多少弧度.
|思维建模|　
应用弧度制解决问题的注意点
(1)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个.
(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
(3)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.
[即时训练]
3.已知扇形的圆心角为3 rad,面积为24,则该扇形的弧长为 (　　)
A.4 B.4π
C.12 D.12π
4.中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画,某扇面为如图所示的扇环,记的长为l,的长为m,若l∶m∶AD=9∶3∶2,则扇环的圆心角的弧度数为 (　　)
A.3 B.2
C. D.
题点三　三角函数的定义及其应用
考法(一)　三角函数的定义
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]
(1)设角α终边上的点的坐标为(3,-4),则 (　　)
A.sin α= B.tan α=-
C.cos α=- D.tan α=-
(2)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,若A(1,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-,则y= (　　)
A.-3 B.3
C.-1 D.1
|思维建模|
利用三角函数定义求三角函数值的方法
(1)已知角α的终边上一点P的坐标,求角α的三角函数值的方法:先求出点P到原点的距离,再利用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的终边所在的直线方程,可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义求解.
考法(二)　三角函数值的符号
[例4]　若sin α·tan α<0,且<0,则角α是 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
|思维建模|
判定三角函数值符号的关键点
　　要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限,那么就要进行分类讨论求解.
[即时训练]
5.已知sin θcos θ<0,且|cos θ|=cos θ,则角θ是 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
6.已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(2a,a-2),且cos α=,则实数a的值是 (　　)
A.-4或 B.
C.-4 D.1
7.已知角α的终边经过点,则tan α= (　　)
A.- B.
C.- D.
　第一节　任意角和弧度制、三角函数的概念
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.端点　正角　负角　象限角　{β|β=α+2kπ,k∈Z}
2.半径长　　°　|α|r　lr　|α|r2
3.(1)y　x　　(2)　　
[典题细发掘]
1.(1) ×　(2)√　(3) √　(4)√　(5)√
2.选D　因为sin α<0,cos α>0,所以α为第四象限角,结合α∈(0,2π),得α∈,故选D.
3.C
4.选D　∵OP==13,∴sin θ=,cos θ=-,∴sin θ+cos θ=-.
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)C　(2)一、三
(1)因为-2 024°=-44°-11×180°,所以集合A={α|α=-2 024°+k·180°,k∈Z}中的最大负角α为-44°.
(2)因为θ是第一象限角,所以k·360°<θ<90°+k·360°,k∈Z,所以k·180°<<45°+k·180°,k∈Z,(易错提醒:易忽视对k的讨论)
当k为偶数时,是第一象限角,当k为奇数时,是第三象限角,综上所述,是第一、三象限角.
[即时训练]
1.选AD　A显然正确;B项,终边落在y轴上的角的集合为,角度与弧度不能混用,故错误;C项,第三象限角的集合为,故错误;D项,所有与45°角终边相同的角可表示为β=45°+k·360°(k∈Z),令-720°≤45°+k·360°≤0°(k∈Z),解得-≤k≤-(k∈Z),从而当k=-2时,β=-675°;当k=-1时,β=-315°,故正确.
2.选C　终边落在y=x上的角为+kπ(k∈Z),终边落在y=x上的角为+kπ(k∈Z),故角α的集合为.
题点二
[例2]　解:(1)因为α=60°=,所以扇形的周长为l+2R=×6+2×6=2π+12.
(2)由扇形的周长为20,得αR+2R=20,
所以R=,则扇形的面积S=αR2=α·=≤=25,当且仅当α=,即α=2时取等号.所以扇形面积的最大值为25,此时扇形的圆心角α为2弧度.
[即时训练]
3.选C　设该扇形的弧长为l,圆心角为α,半径为r,由S=αr2,得×3r2=24,即r=4,故l=αr=12.
4.选A　如图,设扇环所在圆的圆心为O,圆心角为α,则==,
所以OA=3OD=3(OA-AD),得=,
又=,所以α=×=3.
题点三
[例3]　(1)D　(2)A
(1)设角α终边所在圆的半径为r,
由题意得,r==5,
所以sin α==-,cos α==,tan α==-,
所以D正确.
(2)因为sin θ=-<0,A(1,y)是角θ终边上一点,所以y<0.由三角函数的定义,得=-,解得y=-3(正值舍去).
[例4]　选C　由sin α·tan α<0可知sin α,tan α异号,则α为第二象限角或第三象限角.由<0可知cos α,tan α异号,则α为第三象限角或第四象限角.综上可知,α为第三象限角,故选C.
[即时训练]
5.选D　由|cos θ|=cos θ,可知cos θ≥0,结合sin θcos θ<0,得sin θ<0,cos θ>0,故选D.
6.选B　由三角函数的定义可得cos α===,则a>0,整理可得5a2+16a-16=0,解得a=.
7.选A　因为sin=sin=,cos=-cos=-,
所以tan α==-.(共60张PPT)
第四章
三角函数、解三角形
第一节
任意角和弧度制、三角函数的概念
明确目标
1.了解任意角的概念和弧度制.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，并能利用三角函数的定义解决相关问题.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.角的概念
定义 角可以看成一条射线绕着它的_______旋转所成的图形
分类 (1)按旋转方向分为______、_____和零角；
(2)按终边位置分为________和轴线角
终边 相同 的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β=α+k·360°，k∈Z}或_____________________
端点
正角
负角
象限角
{β|β=α+2kπ，k∈Z}
2.弧度制的定义和公式
定义 长度等于_________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad
弧度数公式 |α|=___(弧长用l表示，半径用r表示)
角度与弧度的换算 (1)1°= rad；(2)1 rad=________≈57.30°
弧长公式 弧长l=____
扇形面积公式 S=_____=______
半径长
°
|α|r
lr
|α|r2
3.任意角的三角函数的定义
(1)借助单位圆:设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α=___，cos α=___，tan α=____(x≠0).
(2)借助终边上点的坐标:设角α终边上任意一点P(原点除外)的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r=OP=，则sin α=____，cos α=___，tan α
=___(x≠0).
(3)三角函数在各个象限的符号简记为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
y
x
解题结论拓展
1.象限角
2.轴线角
3.若角α∈，则sin α<α典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)锐角是第一象限角，第一象限的角也都是锐角.(　　)
(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应.(　　)
(3)终边相同的角的同一三角函数值相等.(　　)
(4)若α是三角形的内角，则必有sin α>0.(　　)
(5)三角函数值的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关.(　　)
×
√
√
√
√
2.(苏教必修①P181T6改编)已知α∈(0，2π)，sin α<0，cos α>0，则角α的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
解析:因为sin α<0，cos α>0，所以α为第四象限角，结合α∈(0，2π)，得α∈，故选D.
√
3.(人A必修①P175T6改编)半径为2的圆中，有一条弧长是，则此弧所对的圆心角是(　　)
A.15° B.20°
C.30° D.40°
√
4.(人A必修①P180T3改编)已知角θ的终边过点P(-12，5)，则sin θ
+cos θ等于 (　　)
A. B.-
C. D.-
解析:∵OP==13，∴sin θ=，cos θ=-，∴sin θ
+cos θ=-.
√
课堂·题点精研
02
[例1]
(1)集合A={α|α=-2 024°+k·180°，k∈Z}中的最大负角α为(　　)
A.-2 024° B.-224°
C.-44° D.-24°
解析:因为-2 024°=-44°-11×180°，所以集合A={α|α=-2 024°
+k·180°，k∈Z}中的最大负角α为-44°.
√
题点一　角的表示
(2)(人A必修①P176T7(2)改编)已知θ是第一象限角，那么是第_______象限角.
解析:因为θ是第一象限角，所以k·360°<θ<90°+k·360°，k∈Z，所以k·180°<<45°+k·180°，k∈Z，
(易错提醒:易忽视对k的讨论)
当k为偶数时，是第一象限角，当k为奇数时，是第三象限角，综上所述，是第一、三象限角.
一、三
若α，β，γ，θ分别为第一、二、三、四象限角，则的终边所在的象限如图所示.
价值发掘
1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角
先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
2.确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置.
思维建模
1.[多选]下列命题正确的是 (　　)
A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α=2kπ，k∈Z}
B.终边落在y轴上的角的集合为{α|α=90°+kπ，k∈Z}
C.第三象限角的集合为
D.在-720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为-675°和-315°
即时训练
√
√
解析:A显然正确；B项，终边落在y轴上的角的集合为，角度与弧度不能混用，故错误；C项，第三象限角的集合为，故错误；D项，所有与45°角终边相同的角可表示为β=45°+k·360°(k∈Z)，令-720°≤45°+k·360°≤0°(k∈Z)，解得-≤k≤-(k∈Z)，从而当k=-2时，β=-675°；当k=-1时，β=-315°，故正确.
2.如图，已知角θ的终边落在阴影区域内(不含边界)，角α的终边和角θ相同，则角α的集合为 (　　)
A.
B.
C.
D.
√
解析:终边落在y=x上的角为+kπ(k∈Z)，终边落在y=x上的角为+kπ(k∈Z)，故角α的集合为.
[例2]　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α=60°，R=6，求扇形的周长；
解:因为α=60°=，
所以扇形的周长为l+2R=×6+2×6=2π+12.
题点二　弧度制及其应用
(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，此时扇形的圆心角α为多少弧度.
解:由扇形的周长为20，得αR+2R=20，
所以R=，则扇形的面积S=αR2=α·=≤=25，
当且仅当α=，即α=2时取等号.
所以扇形面积的最大值为25，此时扇形的圆心角α为2弧度.
应用弧度制解决问题的注意点
(1)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个.
(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
(3)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.
思维建模
3.已知扇形的圆心角为3 rad，面积为24，则该扇形的弧长为 (　　)
A.4 B.4π
C.12 D.12π
解析:设该扇形的弧长为l，圆心角为α，半径为r，由S=αr2，得×3r2=24，即r=4，故l=αr=12.
即时训练
√
4.中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为l，的长为m，若l∶m∶AD=9∶3∶2，则扇环的圆心角的弧度数为(　　)
A.3 B.2
C. D.
√
解析:如图，设扇环所在圆的圆心为O，圆心角为α，则==，
所以OA=3OD=3(OA-AD)，得=，又=，所以α=×=3.
考法(一)　三角函数的定义
[例3]
(1)设角α终边上的点的坐标为(3，-4)，则(　　)
A.sin α= B.tan α=-
C.cos α=- D.tan α=-
解析:设角α终边所在圆的半径为r，由题意得，r==5，
所以sin α==-，cos α==，tan α==-，所以D正确.
√
题点三　三角函数的定义及其应用
(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(1，y)是角θ终边上一点，且sin θ=-，则y=(　　)
A.-3 B.3
C.-1 D.1
解析:因为sin θ=-<0，A(1，y)是角θ终边上一点，所以y<0.由三角函数的定义，得=-，解得y=-3(正值舍去).
√
利用三角函数定义求三角函数值的方法
(1)已知角α的终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值的方法:先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解.
思维建模
考法(二)　三角函数值的符号
[例4]　若sin α·tan α<0，且<0，则角α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角.由<0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角.综上可知，α为第三象限角，故选C.
√
判定三角函数值符号的关键点
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那么就要进行分类讨论求解.
思维建模
5.已知sin θcos θ<0，且|cos θ|=cos θ，则角θ是 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:由|cos θ|=cos θ，可知cos θ≥0，结合sin θcos θ<0，得sin θ<0，cos θ>0，故选D.
即时训练
√
6.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2a，a-2)，且cos α=，则实数a的值是(　　)
A.-4或 B.
C.-4 D.1
解析:由三角函数的定义可得cos α===，则a>0，整理可得5a2+16a-16=0，解得a=.
√
7.已知角α的终边经过点，则tan α=(　　)
A.- B.
C.- D.
解析:因为sin=sin=，cos=-cos=-，所以tan α==-.
数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用
√
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.已知角α的终边经过点P，则cos α=(　　)
A. B. C. D.-
解析:由P，得P，则cos α==，故选B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.与-终边相同的角是(　　)
A.- B.
C. D.
解析:因为-=-4π，所以与-终边相同的角可表示为+
2kπ(k∈Z)，易知C正确.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
3.(2025·北京模拟)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴正半轴上，sin α<0且tan α>0，则α的终边在 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为sin α<0，所以α的终边在第三、四象限或y轴负半轴上.
(不要忽视终边在坐标轴上的情况)
因为tan α>0，所以α的终边在第一、三象限，所以α的终边在第三象限.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
4.我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用面度制度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种度量角的制度，叫做面度制.在面度制下，若角α的面度数为，则角α的正弦值是(　　)
A.- B.
C.- D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
解析:设角α所在的扇形的半径为r，面积为S，则由题意可得==，解得α=，所以sin α=sin=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
5.已知角x的终边上一点的坐标为，则角x的最小正值为(　　)
A. B. C. D.
解析:因为sin>0，cos<0，所以角x的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知sin x=cos=-，故角x的最小正值为2π-=.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
6.(2025·天津河东一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为 (　　)
A.4 B.2
C.2 D.1
解析:设扇形的半径为R(R>0)，圆心角为α，则αR2=4，所以α=，则扇形的周长为2R+αR=2R+≥2=8，当且仅当2R=，即R=2时，取等号，所以周长最小时半径的值为2.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
7.已知角α的终边经过A(x，2)，B(-8，y)，且y-x=8，则sin α= (　　)
A.- B.
C.- D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
解析:由题意得tan α==-，
所以xy=-16.又y-x=8，所以
故sin α==.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
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8.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.如果大轮的转速为180 r/min，小轮的半径为10 cm，那么小轮圆周上一点每1 s转过的弧长是 (　　)
A.5 400π cm B.90π cm
C.180π cm D.40π cm
快审准解:通过大轮的转速，得到小轮的转速，从而求出小轮上每一点的转速，再根据弧长公式计算可得.
√
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解析:大轮有45齿，小轮有30齿，当大轮转动一周时，小轮转动=周，当大轮的转速为180 r/min时，小轮的转速为×180=270 r/min，小轮圆周上一点每1 s转过的弧度数为270×2π×=9π.又小轮的半径为10 cm，所以小轮圆周上一点每1 s转过的弧长为9π×10=90π cm.
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9.已知△ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P(sin A-cos B，cos A-sin C)，则++的值为(　　)
A.1 B.-1
C.3 D.-3
√
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解析:因为△ABC为锐角三角形，所以A+B>，A+C>，即A>-B，C>-A，所以sin A>cos B，sin C>cos A，所以θ是第四象限角，所以++=-1+1-1=-1.
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二、多选题
10.下列说法正确的是(　　)
A.角与角-终边相同
B.终边在直线y=-x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k·360°-45°，k∈Z}
C.若角α的终边在直线y=-3x上，则cos α的取值为
D.67°30'化成弧度是
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解析:角与角-相差2π，终边相同，故A正确；终边在直线y= -x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k·180°-45°，k∈Z}，故B错误；若角α的终边在直线y=-3x上，则cos α的取值为±，故C错误；67°30'化成弧度是，故D正确.
13
11.已知角θ的终边经过点(-2，-)，且θ与α的终边关于x轴对称，则(　　)
A.sin θ=-
B.α为钝角
C.cos α=-
D.点(tan θ，tan α)在第四象限
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√
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√
√
解析:因为角θ的终边经过点(-2，-)，所以sin θ=-=-，故A正确；因为θ与α的终边关于x轴对称，所以α的终边经过点(-2，)，则α为第二象限角，不一定为钝角，且cos α==-，故B错误，C正确；因为tan θ=>0，tan α=-<0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，故D正确.
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12.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA=，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　　)
A.经过1 s后，∠BOA的弧度数为+3
B.经过 s后，扇形AOB的弧长为
C.经过 s后，扇形AOB的面积为
D.经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
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√
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√
√
解析:经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为+3，故A正确；经过 s后，∠AOB=++2×
=，故扇形AOB的弧长为×1=，故B正确；经过 s后，∠AOB=++2×=，故扇形AOB的面积为××12=，故C不正确；设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1+2)+=2π，解得t=，故D正确.
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三、填空题
13.若α=1 560°，角θ与角α终边相同，且-360°<θ<360°，则θ=　　 　　.
解析:因为α=1 560°=4×360°+120°，所以与α终边相同的角为k·360°+120°，k∈Z，令k=-1，得θ=-240°；令k=0，得θ=120°.
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120°或-240°
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14.在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且OP=2，则点P的坐标为　　 　　.
解析:设点P的坐标为(x，y)，由三角函数定义得所以所以点P的坐标为(-1，).
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(-1，)
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15.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为　　 　　　　　　 　　　.
解析:∵在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，∴所求角α的集合为 .
13课时跟踪检测(二十六)　任意角和弧度制、三角函数的概念
一、单选题
1.已知角α的终边经过点P,则cos α= (　　)
A. B.
C. D.-
2.与-终边相同的角是 (　　)
A.- B.
C. D.
3.(2025·北京模拟)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴正半轴上,sin α<0且tan α>0,则α的终边在 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.我们学过度量角有角度制与弧度制,最近,有学者提出用面度制度量角,因为在半径不同的同心圆中,同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数,从而称这个常数为该角的面度数,这种度量角的制度,叫做面度制.在面度制下,若角α的面度数为,则角α的正弦值是 (　　)
A.- B.
C.- D.
5.已知角x的终边上一点的坐标为,则角x的最小正值为 (　　)
A. B.
C. D.
6.(2025·天津河东一模)在面积为4的扇形中,其周长最小时半径的值为 (　　)
A.4 B.2
C.2 D.1
7.已知角α的终边经过A(x,2),B(-8,y),且y-x=8,则sin α= (　　)
A.- B.
C.- D.
8.已知相互啮合的两个齿轮,大轮有45齿,小轮有30齿.如果大轮的转速为180 r/min,小轮的半径为10 cm,那么小轮圆周上一点每1 s转过的弧长是 (　　)
A.5 400π cm B.90π cm
C.180π cm D.40π cm
9.已知△ABC为锐角三角形,若角θ的终边过点P(sin A-cos B,cos A-sin C),则++的值为 (　　)
A.1 B.-1
C.3 D.-3
二、多选题
10.下列说法正确的是 (　　)
A.角与角-终边相同
B.终边在直线y=-x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k·360°-45°,k∈Z}
C.若角α的终边在直线y=-3x上,则cos α的取值为
D.67°30'化成弧度是
11.已知角θ的终边经过点(-2,-),且θ与α的终边关于x轴对称,则 (　　)
A.sin θ=- B.α为钝角
C.cos α=- D.点(tan θ,tan α)在第四象限
12.如图,A,B是单位圆上的两个质点,点B的坐标为(1,0),∠BOA=,质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动,质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动,则 (　　)
A.经过1 s后,∠BOA的弧度数为+3
B.经过 s后,扇形AOB的弧长为
C.经过 s后,扇形AOB的面积为
D.经过 s后,A,B在单位圆上第一次相遇
三、填空题
13.若α=1 560°,角θ与角α终边相同,且-360°<θ<360°,则θ=　　　　.
14.在平面直角坐标系xOy中,点P在角的终边上,且OP=2,则点P的坐标为　　　　.
15.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界),则角α用集合可表示为　　　　　　　　　　　.
课时跟踪检测(二十六)
1.选B　由P,得P,则cos α==,故选B.
2.选C　因为-=-4π,所以与-终边相同的角可表示为+2kπ(k∈Z),易知C正确.
3.选C　因为sin α<0,所以α的终边在第三、四象限或y轴负半轴上.(不要忽视终边在坐标轴上的情况)因为tan α>0,所以α的终边在第一、三象限,所以α的终边在第三象限.
4.选D　设角α所在的扇形的半径为r,面积为S,则由题意可得==,解得α=,所以sin α=sin=.
5.选B　因为sin>0,cos<0,所以角x的终边在第四象限,根据三角函数的定义,可知sin x=cos=-,故角x的最小正值为2π-=.
6.选C　设扇形的半径为R(R>0),圆心角为α,则αR2=4,所以α=,则扇形的周长为2R+αR=2R+≥2=8,当且仅当2R=,即R=2时,取等号,所以周长最小时半径的值为2.
7.选B　由题意得tan α==-,所以xy=-16.又y-x=8,所以故sin α==.
8.快审准解:通过大轮的转速,得到小轮的转速,从而求出小轮上每一点的转速,再根据弧长公式计算可得.
选B　大轮有45齿,小轮有30齿,当大轮转动一周时,小轮转动=周,当大轮的转速为180 r/min时,小轮的转速为×180=270 r/min,
小轮圆周上一点每1 s转过的弧度数为270×2π×=9π.
又小轮的半径为10 cm,所以小轮圆周上一点每1 s转过的弧长为9π×10=90π cm.
9.选B　因为△ABC为锐角三角形,所以A+B>,A+C>,即A>-B,C>-A,所以sin A>cos B,sin C>cos A,所以θ是第四象限角,所以++=-1+1-1=-1.
10.选AD　角与角-相差2π,终边相同,故A正确;终边在直线y=-x上的角α的取值集合可表示为{α|α=k·180°-45°,k∈Z},故B错误;若角α的终边在直线y=-3x上,则cos α的取值为±,故C错误;67°30'化成弧度是,故D正确.
11.选ACD　因为角θ的终边经过点(-2,-),所以sin θ=-=-,故A正确;因为θ与α的终边关于x轴对称,所以α的终边经过点(-2,),则α为第二象限角,不一定为钝角,且cos α==-,故B错误,C正确;因为tan θ=>0,tan α=-<0,所以点(tan θ,tan α)在第四象限,故D正确.
12.选ABD　经过1 s后,质点A运动1 rad,质点B运动2 rad,此时∠BOA的弧度数为+3,故A正确;经过 s后,∠AOB=++2×=,故扇形AOB的弧长为×1=,故B正确;经过 s后,∠AOB=++2×=,故扇形AOB的面积为××12=,故C不正确;设经过t s后,A,B在单位圆上第一次相遇,则t(1+2)+=2π,解得t=,故D正确.
13.解析:因为α=1 560°=4×360°+120°,所以与α终边相同的角为k·360°+120°,k∈Z,令k=-1,得θ=-240°;令k=0,得θ=120°.
答案:120°或-240°
14.解析:设点P的坐标为(x,y),由三角函数定义得所以所以点P的坐标为(-1,).
答案:(-1,)
15.解析:∵在[0,2π)内,终边落在阴影部分角的集合为,
∴所求角α的集合为.
答案:

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