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第五章　平面向量、复数
第一节　平面向量的概念及线性运算　　
1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义;
2.掌握向量加法、减法的运算,理解其几何意义;
3.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.
教材再回首
1.向量的有关概念
向量 既有　　　又有　　　的量叫做向量
有向线段 具有方向的线段叫做有向线段,向量可以用有向线段表示,也可以用字母a,b,c,…表示
向量的模 向量的　　　称为向量的长度(或称模),记作||
零向量 长度为　　的向量叫做零向量,记作0
单位向量 长度等于　　　　　　的向量,叫做单位向量,若a是非零向量,则±是单位向量
平行向 量(共线 向量) 方向　　　　　　的　　　向量叫做平行向量,平行向量也叫做共线向量. 规定:零向量与任意向量平行
相等向量 长度相等且方向　　　的向量叫做相等向量
相反向量 与向量a　　　相等,方向　　　的向量,叫做a的相反向量,记作-a
2.向量的线性运算
向量 运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 (1)交换律:a+b=　　　　; (2)结合律:(a+b)+c=　　　
减法 a-b=　　　
数乘 (1)|λa|=　　　; (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向　　　;当λ<0时,λa的方向与a的方向　　　;当λ=0时,λa=　　 λ(μa)=　　　; (λ+μ)a=　　　; λ(a+b)=　　
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使　　　.
[注意]　两向量共线包括同向或反向共线.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)向量的长度与向量的长度相等. (　　)
(2)若向量a与向量b平行,则a与b的方向一定是相同或相反. (　　)
(3)两个有共同起点并且相等的向量,其终点必相同. (　　)
(4)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b. (　　)
2.(苏教必修②P15T5改编)[多选]若非零向量a和b互为相反向量,则下列说法正确的是 (　　)
A.a∥b B.a≠b
C.|a|≠|b| D.b=-a
3.(人B必修②P173T3改编)若D为△ABC的边AB的中点,则= (　　)
A.2- B.2-
C.2+ D.2+
4.(人A必修②P16T3改编)已知e1和e2是两个不共线的向量,a=e1-2e2,b=2e1+ke2,且a与b是共线向量,则实数k的值是　　　　.
5.(人A必修②P14例6改编)在平行四边形ABCD中,两条对角线相交于点M,且=a,=b,则用a,b表示=　　　　,=　　　　.
题点一　平面向量的基本概念
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)[多选]如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论一定成立的是 (　　)
A.||=|| B.与共线
C.与共线 D.=
(2)设a,b都是非零向量,则下列四个条件中,使=成立的充分条件是 (　　)
A.a=-b B.a∥b
C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|
|思维建模|　
平行向量有关概念的4个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.
(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.
(4)是与a同方向的单位向量.
[即时训练]
1.[多选]下列说法错误的是 (　　)
A.若向量与是共线向量,则A,B,C,D四点必在同一条直线上
B.若四边形ABCD满足=,则四边形ABCD是平行四边形
C.若a∥b,b∥c,则a∥c
D.|a|+|b|=|a-b| a与b方向相反
2.如图,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是 (　　)
A.= B.=
C.= D.=
题点二　平面向量的线性运算
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　向量加、减法的几何意义
[例2]　已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,则|a+b|=　　　　.
考法(二)　平面向量的线性运算
[例3]　(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则= (　　)
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
考法(三)　根据平面向量的线性运算求参数
[例4]　如图,已知在 ABCD中,点E为CD的中点,=m,=n(mn≠0),若∥,则= (　　)
A.1 B.2
C. D.-2
|思维建模|
(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形(或三角形),再结合其他知识求解相关问题.
(2)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾顺次相连的向量的和用三角形法则.
(3)解决与向量线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形或平行四边形,利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则,应用其几何意义进行加法或减法运算,然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值.
[即时训练]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.(2025·重庆模拟)如图,已知点G是△ABC的重心,点M是线段AC的中点,若=λ+μ,则λ+μ= (　　)
A. B.
C.- D.-
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.(2025·福州模拟)如图,梯形ABCD的腰CD的中点为E,且BC=3AD,记=m,=n,则= (　　)
A.-m+2n B.m+2n
C.-2m+n D.-m+n
|谨记结论|
(1)设P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则=(+).
(2)O为△ABC重心的充要条件为++=0.
(3)在四边形ABCD中,若E为AD的中点,F为BC的中点,则+=2.
题点三　共线向量定理及其应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例5]
(1)已知点A,B,C是直线l上相异的三点,O为直线l外一点,且 2=3+λ,则λ的值是 (　　)
A.-1 B.1
C.- D.
(2)已知平面向量e1,e2不共线,a=(2k-1)e1+2e2,b=e1-e2,且a∥b,则k= (　　)
A.- B.0
C.1 D.
|思维建模|
共线向量定理的3个应用
(1)证明向量共线:对于向量a,b,若存在实数λ,使a=λb(b≠0),则a与b共线;
(2)证明三点共线:若存在实数λ,使=λ,则A,B,C三点共线;
(3)求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.
[即时训练]
5.(2025·福州模拟)已知e1,e2是两个不共线的向量,若2e1+λe2与μe1+e2是共线向量,则 (　　)
A.=-2 B.λμ=-2
C.=2 D.λμ=2
6.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是 (　　)
A.梯形 B.菱形
C.平行四边形 D.矩形
第一节　平面向量的概念及线性运算
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.大小　方向　大小　0　1个单位长度　相同或相反　非零　相同　长度　相反
2.b+a　a+(b+c)　a+(-b)　|λ||a|　相同　相反　0　
(λμ)a　λ a+μa　λ a+λb
3.b=λa
[典题细发掘]
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　2.ABD
3.选A　=+=+2=+2(+)=2-.
4.解析:由题意,设b=λa,λ∈R,则2e1+ke2=λ(e1-2e2),
所以所以k=-4.
答案:-4
5.解析:=-=-(+)=-a-b,==(-)=a-b.
答案:-a-b　a-b
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)ABD　(2)C
(1)由四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,知||=||,故A正确;由题图可知与的方向相反,与的方向相同且长度相等,即与共线,=,故B、D正确;而∠BDE与∠DEH不一定相等,与不一定共线,故C错误.
(2)因为向量的方向与向量a方向相同,向量的方向与向量b方向相同,且=,所以向量a与向量b方向相同,故可排除A、B、D.当a=2b时,==,故a=2b是=成立的充分条件.
[即时训练]
1.选ACD　例如在平行四边形ABCD中,向量与向量共线,但A,B,C,D四点不在一条直线上,故A错误;因为=,所以AB∥DC且AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形,故B正确;若b=0,则由a∥b,b∥c,无法得到a∥c,故C错误;当a,b之一为零向量时,命题不成立,故D错误.
2.选D　根据相等向量的定义,分析可得与不平行,与不平行,所以A,B均错误,与平行,但方向相反也不相等,只有与方向相同,且大小都等于线段EF长度的一半,所以C错误,D正确.
题点二
[例2]　解析:如图所示,设=a,=b,则||=|a-b|,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则||=|a+b|,由于(+1)2+(-1)2=42,故||2+||2=||2,所以△OAB是直角三角形,∠AOB=90°,从而OA⊥OB,所以平行四边形OACB是矩形.根据矩形的对角线相等得||=||=4,即|a+b|=4.
答案:4
[例3]　选B　法一　因为BD=2DA,所以=3,所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n.故选B.
法二　因为BD=2DA,即=,所以=+.又=m,=n,所以n=m+,所以=-2m+3n.故选B.
法三:作图法　如图,利用平行四边形法则,合成出向量,由图易知(即向量m)的系数为负数,排除A,C,D,故选B.
价值发掘:在△ABC中,若BC边上的点D满足=(m≠0),则=+.
[例4]　选B　依题意,设=λ,则=+=-m+n=λ(+)=λ,即-m+n=-λ+λ,所以故=2.故选B.
[即时训练]
3.选C　因为==(-)==-+,所以λ=-,μ=,λ+μ=-.
4.选A　因为BC=3AD,又+++=0,所以=---=-m-3n+n=-m-2n.又E为腰CD的中点,所以=+=+=3n-m-n=-m+2n.
习得方略:解决此类问题能熟练地找出图形中的相等向量,并能运用相反向量将加、减法相互转化.
题点三
[例5]　(1)A　(2)A
(1)2=3+λ,即=+.因为点A,B,C是直线l上相异的三点,则A,B,C三点共线,所以+=1,解得λ=-1.
(2)因为a=(2k-1)e1+2e2,b=e1-e2且a∥b,所以a=tb,
即(2k-1)e1+2e2=t(e1-e2).又e1,e2不共线,
所以解得
[即时训练]
5.选D　依题意,设2e1+λe2=t(μe1+e2),又e1,e2是两个不共线的向量,所以tμ=2,λ=t,所以λμ=2.
6.选A　因为=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,所以=++=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b.所以=2.所以AD∥BC且||≠||,所以四边形ABCD为梯形.(共70张PPT)
第五章
平面向量、复数
第一节
平面向量的概念及线性运算
明确目标
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义;
2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义;
3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.向量的有关概念
向量 既有______又有_____的量叫做向量
有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可以用字母a，b，c，…表示
向量的模 向量的______称为向量的长度(或称模)，记作||
零向量 长度为___的向量叫做零向量，记作0
大小
方向
大小
0
续表
单位向量 长度等于______________的向量，叫做单位向量，若a是非零向量，则±是单位向量
平行向量(共线向量) 方向____________的______向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量.
规定:零向量与任意向量平行
相等向量 长度相等且方向______的向量叫做相等向量
相反向量 与向量a______相等，方向______的向量，叫做a的相反向量，记作-a
1个单位长度
相同或相反
非零
相同
长度
相反
2.向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 (1)交换律:a+b=_____;
(2)结合律:(a+b)+c=_______
减法 a-b=_______
b+a
a+(b+c)
a+(-b)
续表
数乘 (1)|λa|=______; (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向______;当λ<0时，λa的方向与a的方向_____;当λ=0时，λa=__ λ(μa)=_______;
(λ+μ)a=________;
λ(a+b)=________
|λ||a|
相同
相反
0
(λμ)a
λ a+μa
λ a+λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ，使_______.
[注意]　两向量共线包括同向或反向共线.
b=λa
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)向量的长度与向量的长度相等.(　　)
(2)若向量a与向量b平行，则a与b的方向一定是相同或相反.(　　)
(3)两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同.(　　)
(4)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(　　)
√
×
√
×
2.(苏教必修②P15T5改编)[多选]若非零向量a和b互为相反向量，则下列说法正确的是 (　　)
A.a∥b B.a≠b
C.|a|≠|b| D.b=-a
√
√
√
3.(人B必修②P173T3改编)若D为△ABC的边AB的中点，则= (　　)
A.2- B.2-
C.2+ D.2+
解析:=+=+2=+2(+)=2-.
√
4.(人A必修②P16T3改编)已知e1和e2是两个不共线的向量，a=e1-2e2，b=2e1+ke2，且a与b是共线向量，则实数k的值是　　　　.
解析:由题意，设b=λa，λ∈R，则2e1+ke2=λ(e1-2e2)，
所以所以k=-4.
-4
5.(人A必修②P14例6改编)在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点M，且=a，=b，则用a，b表示=____________，=_____________.
解析:=-=-(+)=-a-b，
==(-)=a-b.
-a-b
a-b
课堂·题点精研
02
[例1]
(1)[多选]如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论一定成立的是(　　)
A.||=||
B.与共线
C.与共线
D.=
√
题点一　平面向量的基本概念
√
√
解析:由四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，知||=||，故A正确;由题图可知与的方向相反，与的方向相同且长度相等，即与共线，=，故B、D正确;而∠BDE与∠DEH不一定相等，与不一定共线，故C错误.
(2)设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，使=成立的充分条件是(　　)
A.a=-b B.a∥b
C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|
√
解析:因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且=，所以向量a与向量b方向相同，故可排除A、B、D.当a=2b时，==，故a=2b是=成立的充分条件.
平行向量有关概念的4个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.
(4)是与a同方向的单位向量.
思维建模
1.[多选]下列说法错误的是 (　　)
A.若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上
B.若四边形ABCD满足=，则四边形ABCD是平行四边形
C.若a∥b，b∥c，则a∥c
D.|a|+|b|=|a-b| a与b方向相反
即时训练
√
√
√
解析:例如在平行四边形ABCD中，向量与向量共线，但A，B，C，D四点不在一条直线上，故A错误;因为=，所以AB∥DC且AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形，故B正确;若b=0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c，故C错误;当a，b之一为零向量时，命题不成立，故D错误.
2.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是 (　　)
A.= B.=
C.= D.=
√
解析:根据相等向量的定义，分析可得与不平行，与不平行，所以A，B均错误，与平行，但方向相反也不相等，只有与方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以C错误，D正确.
考法(一)　向量加、减法的几何意义
[例2]　已知非零向量a，b满足|a|=+1，|b|=-1，且|a-b|=4，则|a+b|=　　　　.
题点二　平面向量的线性运算
4
解析:如图所示，设=a，=b，则||=|a-b|，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则||=|a+b|，由于(+1)2+(-1)2=42，故||2+||2=||2，所以△OAB是直角三角形，∠AOB=90°，从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形.根据矩形的对角线相等得||=||=4，即|a+b|=4.
考法(二)　平面向量的线性运算
[例3]　(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记=m，=n，则=(　　)
A.3m-2n 　　　B.-2m+3n
C.3m+2n 　　　D.2m+3n
√
解析:法一　因为BD=2DA，所以=3，所以=+=
+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n.故选B.
法二　因为BD=2DA，即=，所以=+.又=m，=n，所以n=m+，所以=-2m+3n.故选B.
法三:作图法　如图，利用平行四边形法则，
合成出向量，由图易知(即向量m)的系数为
负数，排除A，C，D，故选B.
在△ABC中，若BC边上的点D满足=(m≠0)，则=+.
价值发掘
考法(三)　根据平面向量的线性运算求参数
[例4]　如图，已知在 ABCD中，点E为CD的中点，=m=n(mn≠0)，若∥，则=(　　)
A.1 B.2
C. D.-2
√
解析:依题意，设=λ，则=+=-m+n=
λ(+)=λ，即-m+n=-λ+λ，
所以故=2.故选B.
(1)根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形(或三角形)，再结合其他知识求解相关问题;
(2)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾顺次相连的向量的和用三角形法则.
思维建模
(3)解决与向量线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形或平行四边形，利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则，应用其几何意义进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值.
3.(2025·重庆模拟)如图，已知点G是△ABC的重心，点M是线段AC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=(　　)
A. B.
C.- D.-
即时训练
√
解析:因为==(-)
==-+，
所以λ=-，μ=，λ+μ=-.
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则
(2)O为△ABC重心的充要条件为
(3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，
则
谨记结论
4.(2025·福州模拟)如图，梯形ABCD的腰CD的中点为E，且BC=3AD，记=m，=n，则=(　　)
A.-m+2n B.m+2n
C.-2m+n D.-m+n
√
解析:因为BC=3AD，又+++=0，
所以=---=-m-3n+n=-m-2n.
又E为腰CD的中点，
所以=+=+=3n-m-n=-m+2n.
解决此类问题能熟练地找出图形中的相等向量，并能运用相反向量将加、减法相互转化.
习得方略
[例5] (1)已知点A，B，C是直线l上相异的三点，O为直线l外一点，且2=3+λ，则λ的值是(　　)
A.-1　　　 B.1　　　
C.-　　　 D.
解析:2=3+λ，即=+.因为点A，B，C是直线l上相异的三点，则A，B，C三点共线，所以+=1，解得λ=-1.
√
题点三　共线向量定理及其应用
(2)已知平面向量e1，e2不共线，a=(2k-1)e1+2e2，b=e1-e2，且a∥b，则k= (　　)
A.- B.0
C.1 D.
解析:因为a=(2k-1)e1+2e2，b=e1-e2且a∥b，所以a=tb，即(2k-1)e1+2e2=t(e1-e2).又e1，e2不共线，所以解得
√
共线向量定理的3个应用
(1)证明向量共线:对于向量a，b，若存在实数λ，使a=λb(b≠0)，则a与b共线;
(2)证明三点共线:若存在实数λ，使=λ，则A，B，C三点共线;
(3)求参数的值:利用共线向量定理
及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.
思维建模
5.(2025·福州模拟)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1+λe2与μe1+e2是共线向量，则 (　　)
A.=-2 B.λμ=-2
C.=2 D.λμ=2
解析:依题意，设2e1+λe2=t(μe1+e2)，又e1，e2是两个不共线的向量，所以tμ=2，λ=t，所以λμ=2.
即时训练
√
6.在四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，则四边形ABCD的形状是(　　)
A.梯形　 B.菱形
C.平行四边形　 D.矩形
√
解析:因为=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，所以=+
+=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b.所以=2.所以AD∥BC且||≠||，所以四边形ABCD为梯形.
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课时跟踪检测
03
一、单选题
1.下列说法正确的是(　　)
A.若|a|=|b|，则a=b或a=-b
B.单位向量的模是1，所有的单位向量是相等向量
C.相反向量的长度相等
D.共线向量是在同一条直线上的向量
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析:由|a|=|b|只知两向量长度相等，方向不确定，故A错误;单位向量的方向不确定，故B错误;根据定义，一对相反向量只有方向相反，模长一定相等，故C正确;因为平面向量是自由向量，所以两条共线向量既可以在一条直线上，也可以在两条平行线上，还可以有一个为零向量，故D错误.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
规律方法:(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
(4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
2.设D为线段BC的中点，且+=-6，则下列结论正确的是(　　)
A.=2 B.=3
C.=2 D.=3
解析:由D为线段BC的中点，且+=-6，得2=-6，则=-3，所以=3.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
3.(2024·杭州三模)已知不共线的平面向量a，b满足(a+λb)∥(λa+2b)，则正数λ= (　　)
A.1 B.
C. D.2
解析:法一　由已知有1×2=λ×λ，λ>0，解得λ=.
法二　设a+λb=μ(λa+2b)，μ∈R，由题意得
解得λ=.
√
1
5
6
7
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9
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4.已知P为△ABC所在平面内一点，=2，则(　　)
A.=-+
B.=+
C.=-
D.=+
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解析:由题意作出图形，如图，则=+=
+=+(-)=-+，故选A.
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5.在△ABC中，若3=2-2，则点D(　　)
A.在直线AB上 B.在直线AC上
C.在直线BC上 D.为△ABC的外心
解析:因为3=2-2=2(-)=2，所以和共线，因为BD和AB有公共点B，所以A，B，D三点共线，所以点D在直线AB上.
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6.在边长为1的正方形ABCD中，设=a，=b，=c，则|a-b+c|等于(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:因为四边形ABCD是边长为1的正方形，=a，=b，=c，所以a-b+c=-+=-+(+)=2.又||=
1，所以|a-b+c|=|2|=2.
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7.已知向量a，b不共线，=λa+b，=a+μb，其中λ>0，μ>0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为(　　)
A.5 B.4
C.3 D.2
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解析:因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使=k，
即λa+b=k(a+μb).
又向量a，b不共线，所以 λμ=1.
因为λ>0，μ>0，所以λ+4μ≥2=4，
当且仅当λ=4μ时，取“=”.
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8.(2025·衡水模拟)在△ABC中，D是BC的中点，直线l分别与AB，AD，AC交于点M，E，N，且==2=λ，则λ=(　　)
A. B.
C. D.
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解析:由=2，得==(+)==
+.因为M，E，N三点共线，所以+=1，解得λ=.
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二、多选题
9.已知A，B，C是三个不同的点，=a-b，=2a-3b，=3a-5b，则下列结论正确的是(　　)
A.=2 B.=
C.=3 D.A，B，C三点共线
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√
解析:由题意得=-=a-2b，=-=2a-4b，=-=a-2b，所以=2，故A正确;=，故B正确;=2，故C错误;由=2可得∥，A为公共点，故A，B，C三点共线，故D正确.故选ABD.
规律方法:三点共线问题可用向量共线来解决，但应注意三点共线与向量共线的区别，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.
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10.如图，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB=2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是 (　　)
A.=+
B.=+
C.=-
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解析:=+=+，A正确;=+=
+=(+)+=+，B错误;=+
+=-++=-，C正确;=+
+=-++=-，D错误.故选AC.
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11.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是 (　　)
A.若=+，则点M是边BC的中点
B.若=2-，则点M在边BC的延长线上
C.若=--，则点M是△ABC的重心
D.若=x+y，且x+y=，则△MBC的面积是△ABC面积的
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解析:若=+，则点M是边BC的中点，故A正确;若=2-，即有-=-，即=，则点M在边CB的延长线上，故B错误;若=--，即++=0，则点M是△ABC的重心，故C正确;如图，=x+y，
且x+y=，可得2=2x+2y，设=2，
则B，C，N三点共线，且M为AN的中点，则
△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确.
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三、填空题
12.若==(λ+1)，则λ=　　　　.
解析:由=可知，点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则=-，所以λ+1=-，解得λ=-.
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13.在正六边形ABCDEF中，若AB=1，则|++|=　　.
解析:法一　如图，连接AD，BE，CF，因为正六边形ABCDEF由6个全等的等边三角形构成，且AB=1，所以||=2，所以|++|=|++|=||=2.
法二　连接AD(图略)，易知AD=2，则|++|=|++|=|++|=
|+|=||=2.
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14.(2025·安庆模拟)已知O为等边△ABC的重心，若=3a，=2b，则=　　　　　.(用a，b表示)
解析:如图，∵O是△ABC的重心，=3a，O是△ABC各边中线的交点，∴= =a，∴=+=a =-a.
又D为BC的中点，=2b，
故=(+) =2-=-9a-2b.
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-9a-2b
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15.在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=30°，AB=2，BC=2，点E在线段CD上(点E不与点C，D重合)，若=+μ，则μ的取值范围是　　　　.
解析:由题意可求得AD=1，CD=，所以=2.因为点E在线段CD上(点E不与点C，D重合)，所以=λ(0<λ<1).因为=+，且=+μ=+2μ=+，所以=1，即μ=.因为0<λ<1，所以0<μ<.
13课时跟踪检测(三十七)　平面向量的概念及线性运算
一、单选题
1.下列说法正确的是 (　　)
A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b
B.单位向量的模是1,所有的单位向量是相等向量
C.相反向量的长度相等
D.共线向量是在同一条直线上的向量
2.设D为线段BC的中点,且+=-6,则下列结论正确的是 (　　)
A.=2 B.=3
C.=2 D.=3
3.(2024·杭州三模)已知不共线的平面向量a,b满足(a+λb)∥(λa+2b),则正数λ= (　　)
A.1 B.
C. D.2
4.已知P为△ABC所在平面内一点,=2,则 (　　)
A.=-+ B.=+
C.=- D.=+
5.在△ABC中,若3=2-2,则点D (　　)
A.在直线AB上 B.在直线AC上
C.在直线BC上 D.为△ABC的外心
6.在边长为1的正方形ABCD中,设=a,=b,=c,则|a-b+c|等于 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
7.已知向量a,b不共线,=λa+b,=a+μb,其中λ>0,μ>0,若A,B,C三点共线,则λ+4μ的最小值为 (　　)
A.5 B.4
C.3 D.2
8.(2025·衡水模拟)在△ABC中,D是BC的中点,直线l分别与AB,AD,AC交于点M,E,N,且=,=2,=λ,则λ= (　　)
A. B.
C. D.
二、多选题
9.已知A,B,C是三个不同的点,=a-b,=2a-3b,=3a-5b,则下列结论正确的是 (　　)
A.=2 B.=
C.=3 D.A,B,C三点共线
10.如图,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是 (　　)
A.=+ B.=+
C.=- D.=+
11.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 (　　)
A.若=+,则点M是边BC的中点
B.若=2-,则点M在边BC的延长线上
C.若=--,则点M是△ABC的重心
D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
三、填空题
12.若=,=(λ+1),则λ=　　　　.
13.在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|++|=　　　　.
14.(2025·安庆模拟)已知O为等边△ABC的重心,若=3a,=2b,则=　　　　.(用a,b表示)
15.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上(点E不与点C,D重合),若=+μ,则μ的取值范围是　　　　.
课时跟踪检测(三十七)
1.选C　由|a|=|b|只知两向量长度相等,方向不确定,故A错误;单位向量的方向不确定,故B错误;根据定义,一对相反向量只有方向相反,模长一定相等,故C正确;因为平面向量是自由向量,所以两条共线向量既可以在一条直线上,也可以在两条平行线上,还可以有一个为零向量,故D错误.
规律方法:(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.
(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的平移混淆.
(4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量.
2.选D　由D为线段BC的中点,且+=-6,得2=-6,则=-3,所以=3.
3.选B　法一　由已知有1×2=λ×λ,λ>0,解得λ=.
法二　设a+λb=μ(λa+2b),μ∈R,由题意得解得λ=.
4.选A　由题意作出图形,如图,则=+=+=+(-)=-+,故选A.
5.选A　因为3=2-2=2(-)=2,所以和共线,因为BD和AB有公共点B,所以A,B,D三点共线,所以点D在直线AB上.
6.选B　因为四边形ABCD是边长为1的正方形,=a,=b,=c,所以a-b+c=-+=-+(+)=2.又||=1,所以|a-b+c|=|2|=2.
7.选B　因为A,B,C三点共线,所以存在实数k,使=k,即λa+b=k(a+μb).又向量a,b不共线,所以 λμ=1.因为λ>0,μ>0,所以λ+4μ≥2=4,当且仅当λ=4μ时,取“=”.
8.选B　由=2,得==(+)==+.因为M,E,N三点共线,所以+=1,解得λ=.
9.选ABD　由题意得=-=a-2b,=-=2a-4b,=-=a-2b,所以=2,故A正确;=,故B正确;=2,故C错误;由=2可得∥,A为公共点,故A,B,C三点共线,故D正确.故选ABD.
规律方法:三点共线问题可用向量共线来解决,但应注意三点共线与向量共线的区别,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线.
10.选AC　=+=+,A正确;=+=+=(+)+=+,B错误;=++=-++=-,C正确;=++=-++=-,D错误.故选AC.
11.选ACD　若=+,则点M是边BC的中点,故A正确;若=2-,即有-=-,即=,则点M在边CB的延长线上,故B错误;若=--,即++=0,则点M是△ABC的重心,故C正确;
如图,=x+y,且x+y=,可得2=2x+2y,设=2,则B,C,N三点共线,且M为AN的中点,则△MBC的面积是△ABC面积的,故D正确.
12.解析:由=可知,点P是线段AB上靠近点A的三等分点,则=-,所以λ+1=-,解得λ=-.
答案:-
13.解析:
法一　如图,连接AD,BE,CF,因为正六边形ABCDEF由6个全等的等边三角形构成,且AB=1,所以||=2,所以|++|=|++|=||=2.
法二　连接AD(图略),易知AD=2,则|++|=|++|=|++|=|+|=||=2.
答案:2
14.解析:如图,∵O是△ABC的重心,=3a,O是△ABC各边中线的交
点,∴= =a,∴=+=a =-a.又D为BC的中点,=2b,故=(+) =2-=-9a-2b.
答案:-9a-2b
知识拓展:
15.解析:由题意可求得AD=1,CD=,所以=2.
因为点E在线段CD上(点E不与点C,D重合),
所以=λ(0<λ<1).因为=+,且=+μ=+2μ=+,所以=1,即μ=.
因为0<λ<1,所以0<μ<.
答案:

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