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第二节　平面向量基本定理及坐标表示
1.理解平面向量基本定理及其意义.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
教材再回首
1.平面向量基本定理
条件 e1,e2是同一平面内的两个　　　　　
结论 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=　　　　
基底 若e1,e2不共线,把　　　　叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个　　　　的向量,叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=　　　　,a-b=　　　　　,λa=　　　　,|a|=　　　　.
(2)向量坐标的求法:设A(x1,y1),B(x2,y2),则=　　　　　,||=　　　　　　　　.
4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b 　　　　　　.
解题结论拓展
(1)若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.
(2)已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则点P的坐标为.
(3)已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为.
(4)已知=λ,设A(x1,y1),B(x2,y2),则定比分点坐标公式与向量公式分别为P,=.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)设{a,b}是平面内的一个基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2. (　　)
(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成=. (　　)
(3)四边形ABCD是平行四边形,则向量与的坐标相同. (　　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换,其坐标不变. (　　)
2.(人A必修②P29例4改编)已知a=(3,6),b=(x,y),若a+3b=0,则b= (　　)
A.(1,2) B.(-1,-2)
C.(-1,2) D.(1,-2)
3.(人B必修②P154例6改编)如图,=2,=a,=b,=c,则下列等式成立的是 (　　)
A.c=b-a B.c=a-b
C.c=2a-b D.c=2b-a
4.(苏教必修②P40T1改编)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=　　　　.
题点一　平面向量基本定理的应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)(2025·益阳一模)在 ABCD中,=,=,若=m+n,则m+n= (　　)
A. B.
C. D.1
(2)(2025·咸阳模拟)在△ABC中,点D在边AB上,点E在边AC上,BD=2DA,CE=EA,CD,BE交于点P,记=m,=n,则= (　　)
A.5m-2n B.-2m+5n
C.5m+2n D.2m+5n
|思维建模|
平面向量基本定理的应用技巧
(1)合理选择基底,注意基底必须是两个不共线的向量.
(2)选定基底后,通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用基底表示出来.
(3)注意几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等.
[即时训练]
1.如图,在△ABC中,=3,=2,=a,=b,则= (　　)
A.a-b B.a-b
C.a-b D.a-b
2.如图,在 ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF,交于点G.若=λ+μ(λ,μ∈R),则=　　　　.
题点二　平面向量的坐标运算
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]
(1)已知向量a=(1,-3),b=(-2,4),若4a+(3b-2a)+c=0,则向量c的坐标为 (　　)
A.(1,-1) B.(-1,1)
C.(-4,6) D.(4,-6)
(2)在A=90°的等腰Rt△ABC中,E为AB的中点,F为BC的中点,=λ+μ,则λ= (　　)
A.- B.-
C.- D.-1
|思维建模|
向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化:通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算.
(2)巧借方程思想求坐标:若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用.
[即时训练]
3.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为 (　　)
A.(3,1) B.(1,-1)
C.(3,1)或(1,-1) D.(3,1)或(1,1)
4.在边长为2的正方形ABCD中,E为CD的中点,AE交BD于点F.若=x+3y,则x+y= (　　)
A.1 B.
C.- D.-
|习得方略|
　　一般地,在求解向量问题时遇到矩形(或正方形或菱形甚至是具有对称结构的图形)、直角三角形(即拥有天然垂直)、…,那就具备了建立平面直角坐标系的基础.
题点三　平面向量共线的坐标运算
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]
(1)(2024·渭南三模)已知向量m=(2,λ),n=(2-λ,-4),若m与n共线且反向,则实数λ的值为 (　　)
A.4 B.2
C.-2 D.-2或4
(2)已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k=　　　　.
|思维建模|
1.向量共线的2种表示形式
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
(1)a∥b a=λb(b≠0);
(2)a∥b x1y2-x2y1=0.
至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般涉及坐标的情况应用(2).
2.两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.
[即时训练]
5.(2024·开封三模)已知向量a=(2,1),a+b=(1,m),若a∥b,则m= (　　)
A.-3 B.3
C.- D.
6.已知=(1,-2),=(-3,8),=(1,-3),则 (　　)
A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线
C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线
　
第二节　平面向量基本定理及坐标表示
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.不共线向量　λ1e1+λ2e2　{e1,e2}
2.互相垂直
3.(1)(x1+x2,y1+y2)　(x1-x2,y1-y2)　(λx1,λy1)　　(2)(x2-x1,y2-y1)　
4.x1y2-x2y1=0
[典题细发掘]
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　2.B　3.B
4.解析:因为a∥b,所以2×4-5λ=0,所以λ=.
答案:
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)B　(2)A
(1)如图所示,因为==(+)===+=m+n,所以m=,n=,
所以m+n=,故选B.
(2)如图,过点D作DQ∥AC,交BE于Q,由BD=2DA,CE=EA,得====,则3=2,即3(-)=2(-),整理得3-3=2-2,
所以=5-2=5m-2n.
[即时训练]
1.选B　=-=-=-=+(-)-=-=a-b,故选B.
2.解析:由题图可设=x(0答案:
题点二
[例2]　(1)D　(2)A
(1)向量a=(1,-3),b=(-2,4),若4a+(3b-2a)+c=0,则c=-4a-(3b-2a)=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).
(2)以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,设B(2,0),C(0,2),则F(1,1),E(1,0),则=(-2,2),=(1,-2),λ+μ=λ(1,1)+μ(1,-2)=(λ+μ,λ-2μ),所以解得λ=-.
[即时训练]
3.选C　∵A(2,0),B(4,2),∴=(2,2).∵点P在直线AB上,且||=2||,∴=2或=-2,∴=(1,1)或=(-1,-1),故点P的坐标为(3,1)或(1,-1),故选C.
(易错提醒:求点的坐标时,忽视分类讨论)
4.选B　如图,建立以A为原点,AB,AD为x,y轴的平面直角坐标系,则=(2,0),=(0,2),x+3y=(2x,6y).根据题意,得==,=(1,2),则==.所以2x=,6y=,解得x=,y=,x+y=+=.
题点三
[例3]　(1)A　(2)-
(1)由向量m=(2,λ),n=(2-λ,-4)共线,得λ(2-λ)=-8,解得λ=-2或λ=4.当λ=-2时,m=(2,-2),n=(4,-4),m与n同向,不符合题意;当λ=4时,m=(2,4),n=(-2,-4),m与n反向,符合题意,所以实数λ的值为4.
(2)=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2).因为A,B,C三点共线,所以,共线,所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-.
[即时训练]
5.选D　由a=(2,1),a+b=(1,m)可得b=(a+b)-a=(-1,m-1).由a∥b可得-1=2(m-1),解得m=,故选D.
6.选D　对于A,因为=(1,-2),=(-3,8),且≠,所以与不共线,所以A,B,C三点不共线,所以A错误;对于B,因为=(-3,8),=(1,-3),所以=+=(-2,5),因为≠,所以与不共线,所以A,B,D三点不共线,所以B错误;对于C,因为=(-3,8),=(1,-3),且≠,所以与不共线,所以B,C,D三点不共线,所以C错误;对于D,因为=(1,-2),=(-3,8),所以=+=(-2,6),因为=(1,-3),所以=-2,所以与共线,因为与有公共端点C,所以A,C,D三点共线,所以D正确.故选D.(共62张PPT)
第二节
平面向量基本定理及坐标表示
明确目标
1.理解平面向量基本定理及其意义.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个____________
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=____________
基底 若e1，e2不共线，把________叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
不共线向量
λ1e1+λ2e2
{e1，e2}
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个___________的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模:设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b=_______________，a-b=______________，λa=____________，
|a|=_________.
(2)向量坐标的求法:若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=______________，
||=__________________.
互相垂直
(x1+x2，y1+y2)
(x1-x2，y1-y2)
(λx1，λy1)
(x2-x1，y2-y1)
4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b ___________________.
解题结论拓展
(1)若a与b不共线，且λa+μb=0，则λ=μ=0.
(2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为.
x1y2-x2y1=0
(3)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
(4)已知=λ，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则定比分点坐标公式与向量公式分别为P=.
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b，则λ1=λ2，μ1=μ2.(　　)
(2)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成=.(　　)
(3)四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同.(　　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变.(　　)
√　
×
√
√
2.(人A必修②P29例4改编)已知a=(3，6)，b=(x，y)，若a+3b=0，则b= (　　)
A.(1，2) B.(-1，-2)
C.(-1，2) D.(1，-2)
√
3.(人B必修②P154例6改编)如图，=2=a，=b，=c，则下列等式成立的是(　　)
A.c=b-a
B.c=a-b
C.c=2a-b
D.c=2b-a
√
4.(苏教必修②P40T1改编)已知向量a=(2，5)，b=(λ，4)，若a∥b，则λ=　　　　.
解析:因为a∥b，所以2×4-5λ=0，所以λ=.
课堂·题点精研
02
[例1]
(1)(2025·益阳一模)在 ABCD中，==，若=m+n，则m+n=(　　)
A. B.
C. D.1
√
题点一　平面向量基本定理的应用
解析:如图所示，因为==(+)==
=+=m+n，所以m=，n=，所以m+n=，故选B.
(2)(2025·咸阳模拟)在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，BD=2DA，CE=EA，CD，BE交于点P，记=m，=n，则=(　　)
A.5m-2n B.-2m+5n
C.5m+2n D.2m+5n
解析:如图，过点D作DQ∥AC，交BE于Q，由BD=2DA，CE=EA，得====，则3=2，即3(-)
=2(-)，整理得3-3=2-2，所以
=5-2=5m-2n.
√
平面向量基本定理的应用技巧
(1)合理选择基底，注意基底必须是两个不共线的向量.
(2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用基底表示出来.
(3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等.
思维建模
1.如图，在△ABC中，=3=2=a，=b，则=(　　)
A.a-b B.a-b
C.a-b D.a-b
解析:=-=-= + -=+(-)-=-=a-b，故选B.
即时训练
√
2.如图，在 ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则=　　　　.
解析:由题图可设=x(0因为=λ+μ与不共线，
所以λ=，μ=x，所以=.
[例2]
(1)已知向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，若4a+(3b-2a)+c=0，则向量c的坐标为(　　)
A.(1，-1) B.(-1，1)
C.(-4，6) D.(4，-6)
解析:向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，若4a+(3b-2a)+c=0，则c=-4a-(3b-2a)=-2a-3b=-2(1，-3)-3(-2，4)=(4，-6).
√
题点二　平面向量的坐标运算
(2)在A=90°的等腰Rt△ABC中，E为AB的中点，F为BC的中点，=λ+μ，则λ=(　　)
A.- B.-
C.- D.-1
√
解析:以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设B(2，0)，C(0，2)，则F(1，1)，E(1，0)，则=(-2，2)，=(1，-2)，λ+
μ=λ(1，1)+μ(1，-2)=(λ+μ，λ-2μ)，
所以解得λ=-.
　向量坐标运算问题的一般思路
思维建模
向量问题 坐标化 通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算
巧借方程 思想求 坐标 若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用
3.设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且||=2||，则点P的坐标为(　　)
A.(3，1)
B.(1，-1)
C.(3，1)或(1，-1)
D.(3，1)或(1，1)
即时训练
√
解析:∵A(2，0)，B(4，2)，∴=(2，2).∵点P在直线AB上，且||=2||，∴=2或=-2，∴=(1，1)或=(-1，-1)，故点P的坐标为(3，1)或(1，-1)，故选C.
(易错提醒:求点的坐标时，忽视分类讨论)
4.在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于点F.若=x+3y，则x+y=(　　)
A.1 B.
C.- D.-
√
解析:如图，建立以A为原点，AB，AD为x，y轴的平面直角坐标系，则=(2，0)，=(0，2)，x+3y=(2x，6y).根据题意，得===(1，2)，则==.所以2x=，6y=，解得x=，y=，x+y=+=.
一般地，在求解向量问题时遇到矩形(或正方形或菱形甚至是具有对称结构的图形)、直角三角形(即拥有天然垂直)、…，那就具备了建立平面直角坐标系的基础.
习得方略
[例3]
(1)(2024·渭南三模)已知向量m=(2，λ)，n=(2-λ，-4)，若m与n共线且反向，则实数λ的值为(　　)
A.4 B.2
C.-2 D.-2或4
√
题点三　平面向量共线的坐标运算
解析:由向量m=(2，λ)，n=(2-λ，-4)共线，得λ(2-λ)=-8，解得λ=-2或λ=4.当λ=-2时，m=(2，-2)，n=(4，-4)，m与n同向，不符合题意;当λ=4时，m=(2，4)，n=(-2，-4)，m与n反向，符合题意，所以实数λ的值为4.
(2)已知向量=(k，12)，=(4，5)，=(-k，10)，且A，B，C三点共线，则k=　　　　.
解析:=-=(4-k，-7)，=-=(-2k，-2).因为A，B，C三点共线，所以共线，所以-2×(4-k)=-7×(-2k)，解得k=-.
-
1.向量共线的2种表示形式
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，(1)a∥b a=λb(b≠0);(2)a∥b x1y2-x2y1=0.
至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般涉及坐标的情况应用(2).
2.两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题;另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值.
思维建模
5.(2024·开封三模)已知向量a=(2，1)，a+b=(1，m)，若a∥b，则m= (　　)
A.-3 B.3
C.- D.
解析:由a=(2，1)，a+b=(1，m)可得b=(a+b)-a=(-1，m-1).由a∥b可得-1=2(m-1)，解得m=，故选D.
即时训练
√
6.已知=(1，-2)，=(-3，8)，=(1，-3)，则(　　)
A.A，B，C三点共线
B.A，B，D三点共线
C.B，C，D三点共线
D.A，C，D三点共线
√
解析:对于A，因为=(1，-2)，=(-3，8)，且≠，所以与不共线，所以A，B，C三点不共线，所以A错误;对于B，因为=(-3，8)，=(1，-3)，所以=+=(-2，5)，因为≠，所以与不共线，所以A，B，D三点不共线，所以B错误;对于C，因为=(-3，8)，=(1，-3)，且≠，所以与不共线，所以B，C，D三点不共线，所以C错误;
对于D，因为=(1，-2)，=(-3，8)，所以=+=(-2，6)，因为=(1，-3)，所以=-2，所以与共线，因为与有公共端点C，所以A，C，D三点共线，所以D正确.故选D.
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课时跟踪检测
03
一、单选题
1.设{e1，e2}为平面内的一个基底，则下面四组向量不能作为基底的是(　　)
A.e1+e2和e1-e2 B.4e1+2e2和2e2-4e1
C.2e1+e2和e1+e2 D.e1-2e2和4e2+2e1
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析:平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，C中，因为2e1+e2=2，即2e1+e2和e1+e2为共线向量，所以它们不能作为基底.其他选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底，故选C.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
2.已知平面向量a=(1，-3)，b=(-2，0)，则|a+2b|= (　　)
A.3 B.3
C.2 D.5
解析:因为a=(1，-3)，b=(-2，0)，所以a+2b=(-3，-3)，因此|a+2b|==3.故选A.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
3.(2024·西安二模)已知向量=(-3，6)，=(m，5)，=(-1，4).若A，B，D三点共线，则m=(　　)
A.- B.-2
C.3 D.4
解析:由题意易得=+=(m-1，9)，若A，B，D三点共线，则有∥，所以-3×9=6(m-1) m=-.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
4.在△ABC中，M为AC的中点，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A.λ+μ=1 B.λ-μ=3
C.λ+2μ=0 D.2λ-μ=0
解析:因为M为AC的中点，所以=+，所以=
-2+.又=λ+μ(λ，μ∈R)，所以λ=-2，μ=1，所以λ+2μ=0，故选C.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
5.(2024·广安二模)已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，若=(3，4)，B(-2，-3)，则点C的坐标为(　　)
A.(4，5) B.(1，1)
C.(-5，-7) D.(-8，-11)
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
解析:因为D，E分别为AB，AC的中点，所以=2=(6，8).
(中位线性质的应用)
设C(x，y)，又B(-2，-3)，所以(x+2，y+3)=(6，8)，即
解得
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
6.(2024·秦皇岛二模)已知向量a=(m，2m+3)，b=(1，4m+1)，则“m=-”是“a与b共线”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
解析:若a与b共线，则m(4m+1)-(2m+3)=0，解得m=-或m=1，所以“m=-”是“a与b共线”的充分不必要条件，故选A.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
7.已知向量a=(cos θ，sin θ)，b=(2，-1)，若a∥b，则tan=(　　)
A.-3 B.-
C. D.3
解析:因为a∥b，所以-cos θ=2sin θ.易知cos θ≠0，所以tan θ=-，所以tan==.
√
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8.如图，在△ABC中，点D满足=2，E为△BCD的重心，设=m，=n，则可表示为(　　)
A.m+n B.-m+n
C.-m+n D.m+n
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解析:=+=+××(+)
=++
=n+(-m)+(-n)+(-m)=-m+n.
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9.在△ABC中，D为BC边上的点，S△ABD=2S△ADC，=x+y，则(　　)
A.x=3，y=-2 B.x=，y=-
C.x=-2，y=3 D.x=-，y=
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解析:设点A到BC的距离为h，则×BD×h=2××DC×h，所以BD=2DC，故=+=+3=+3(-)=3-2.又=x+y，故x=3，y=-2.故选A.
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10.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中||=||，||=||，·=0.连接AD，若=x+y，则x-y=(　　)
A.1 B.2
C. D.
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解析:如图，以A为原点，分别为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系，设AB=1，则A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，故=(1，0)，=(0，1)，作DF⊥AB，交AB的延长线于点F，由题意可知∠ABC=
∠DBF=45°，又||=1，则||=||=1，所以D(2，1)，所以=(2，1)，因为=x+y，所以x=2，y=1，则x-y=1.故选A.
13
二、多选题
11.下列各组向量中，可以用来表示向量a=(-1，2)的是(　　)
A.e1=(1，1)，e2=(1，2)
B.e1=(-1，1)，e2=(-2，2)
C.e1=(-1，2)，e2=(3，-6)
D.e1=(1，2)，e2=(-3，-4)
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√
√
解析:因为1×2≠1×1，所以e1，e2不共线，可以表示向量a，A正确;因为-1×2=1×(-2)，所以e1，e2共线，又向量a与e1不共线，B错误;a=e1+0×e2，可以表示向量a，C正确;因为1×(-4)≠2×(-3)，所以e1，e2不共线，可以表示向量a，D正确.
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12.已知点A(2，5)，B(-1，7)，C(4，-2)，若A，B，C，D四个点能构成平行四边形，则点D的坐标可以是 (　　)
A.(-3，14) B.(-1，0)
C.(7，-4) D.(1，0)
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√
√
解析:设点D坐标为(x，y)，当平行四边形为ABCD时，=，则(-3，2)=(4-x，-2-y)，解得D(7，-4).当平行四边形为ABDC时，=
，则(-3，2)=(x-4，y+2)，解得D(1，0).当平行四边形为ADBC时，=，则(x-2，y-5)=(-5，9)，解得D(-3，14).综上，点D的坐标可以是(7，-4)，(1，0)，(-3，14)，故选ACD.
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三、填空题
13.已知点A(8，-1)，B(1，-3)，若点C(2m-1，m+2)在直线AB上，则实数m=　　　　.
解析:因为点C在直线AB上，所以与共线.又=(-7，-2)，=(2m-9，m+3)，故=，所以m=-13.
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14.若{α，β}是平面内一个基底，向量γ=xα+yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标.现已知向量a在基底{p，q}，p=(1，-1)，q=(2，1)下的坐标为(-2，2)，则a在基底{m，n}，m=(-1，1)，n=(1，2)下的坐标为　　　　.
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(0，2)
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解析:因为a在基底{p，q}下的坐标为(-2，2)，所以a=-2p+2q=(2，4)，令a=xm+yn=(-x+y，x+2y)，所以即所以a在基底{m，n}下的坐标为(0，2).
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15.如图，在△ABC中，O是BC边上靠近点B
的五等分点，过点O的直线与射线AB，AC分别交
于不同两点M，N，设=m=n，则
4m+n=　　　　.
快审准解:根据向量的加减运算表示出=+，利用三点共线可得+=1即可求得答案.
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解析:由题意知=+=+(-)=
+=+，
由于M，O，N三点共线，
可知+=1，所以4m+n=5.
13课时跟踪检测(三十八)　平面向量基本定理及坐标表示
一、单选题
1.设{e1,e2}为平面内的一个基底,则下面四组向量不能作为基底的是 (　　)
A.e1+e2和e1-e2 B.4e1+2e2和2e2-4e1
C.2e1+e2和e1+e2 D.e1-2e2和4e2+2e1
2.已知平面向量a=(1,-3),b=(-2,0),则|a+2b|= (　　)
A.3 B.3
C.2 D.5
3.(2024·西安二模)已知向量=(-3,6),=(m,5),=(-1,4).若A,B,D三点共线,则 m= (　　)
A.- B.-2
C.3 D.4
4.在△ABC中,M为AC的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则下列结论正确的是 (　　)
A.λ+μ=1 B.λ-μ=3
C.λ+2μ=0 D.2λ-μ=0
5.(2024·广安二模)已知D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,若=(3,4),B(-2,-3),则点C的坐标为 (　　)
A.(4,5) B.(1,1)
C.(-5,-7) D.(-8,-11)
6.(2024·秦皇岛二模)已知向量a=(m,2m+3),b=(1,4m+1),则“m=-”是“a与b共线”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(2,-1),若a∥b,则tan= (　　)
A.-3 B.-
C. D.3
8.如图,在△ABC中,点D满足=2,E为△BCD的重心,设=m,=n,则可表示为 (　　)
A.m+n　　　　　　　　　　 　　B.-m+n
C.-m+n D.m+n
9.在△ABC中,D为BC边上的点,S△ABD=2S△ADC,=x+y,则 (　　)
A.x=3,y=-2 B.x=,y=-
C.x=-2,y=3 D.x=-,y=
10.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量,在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图,这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形,其中||=||,||=||,·=0.连接AD,若=x+y,则x-y= (　　)
A.1　　　　　　　　　　　　　　　　B.2
C. D.
二、多选题
11.下列各组向量中,可以用来表示向量a=(-1,2)的是 (　　)
A.e1=(1,1),e2=(1,2) B.e1=(-1,1),e2=(-2,2)
C.e1=(-1,2),e2=(3,-6) D.e1=(1,2),e2=(-3,-4)
12.已知点A(2,5),B(-1,7),C(4,-2),若A,B,C,D四个点能构成平行四边形,则点D的坐标可以是 (　　)
A.(-3,14) B.(-1,0)
C.(7,-4) D.(1,0)
三、填空题
13.已知点A(8,-1),B(1,-3),若点C(2m-1,m+2)在直线AB上,则实数m=　　　　.
14.若{α,β}是平面内一个基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底{α,β}下的坐标.现已知向量a在基底{p,q},p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在基底{m,n},m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为　　　　.
15.如图,在△ABC中,O是BC边上靠近点B的五等分点,过点O的直线与射线AB,AC分别交于不同两点M,N,设=m,=n,则4m+n=　　　　.
课时跟踪检测(三十八)
1.选C　平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成,C中,因为2e1+e2=2,即2e1+e2和e1+e2为共线向量,所以它们不能作为基底.其他选项中的两个向量都没有倍数关系,所以可以作为基底,故选C.
2.选A　因为a=(1,-3),b=(-2,0),所以a+2b=(-3,-3),因此|a+2b|==3.故选A.
3.选A　由题意易得=+=(m-1,9),若A,B,D三点共线,则有∥,所以-3×9=6(m-1) m=-.
4.选C　因为M为AC的中点,所以=+,所以=-2+.又=λ+μ(λ,μ∈R),所以λ=-2,μ=1,所以λ+2μ=0,故选C.
5.选A　因为D,E分别为AB,AC的中点,所以=2=(6,8).(中位线性质的应用)
设C(x,y),又B(-2,-3),所以(x+2,y+3)=(6,8),即解得
6.选A　若a与b共线,则m(4m+1)-(2m+3)=0,解得m=-或m=1,所以“m=-”是“a与b共线”的充分不必要条件,故选A.
7.选C　因为a∥b,所以-cos θ=2sin θ.易知cos θ≠0,所以tan θ=-,所以tan==.
8.选C　=+=+××(+)=++=n+(-m)+(-n)+(-m)=-m+n.
9.选A　设点A到BC的距离为h,则×BD×h=2××DC×h,所以BD=2DC,故=+=+3=+3(-)=3-2.又=x+y,故x=3,y=-2.故选A.
10.选A　如图,以A为原点,,分别为x,y轴的正方向,
建立平面直角坐标系,设AB=1,则A(0,0),B(1,0),C(0,1),故=(1,0),=(0,1),作DF⊥AB,交AB的延长线于点F,由题意可知∠ABC=∠DBF=45°,又||=1,则||=||=1,所以D(2,1),所以=(2,1),因为=x+y,所以x=2,y=1,则x-y=1.故选A.
11.选ACD　因为1×2≠1×1,所以e1,e2不共线,可以表示向量a,A正确;因为-1×2=1×(-2),所以e1,e2共线,又向量a与e1不共线,B错误;a=e1+0×e2,可以表示向量a,C正确;因为1×(-4)≠2×(-3),所以e1,e2不共线,可以表示向量a,D正确.
12.选ACD　设点D坐标为(x,y),当平行四边形为ABCD时,=,则(-3,2)=(4-x,-2-y),解得D(7,-4).当平行四边形为ABDC时,=,则(-3,2)=(x-4,y+2),解得D(1,0).当平行四边形为ADBC时,=,则(x-2,y-5)=(-5,9),解得D(-3,14).综上,点D的坐标可以是(7,-4),(1,0),(-3,14),故选ACD.
13.解析:因为点C在直线AB上,所以与共线.
又=(-7,-2),=(2m-9,m+3),故=,
所以m=-13.
答案:-13
14.解析:因为a在基底{p,q}下的坐标为(-2,2),所以a=-2p+2q=(2,4),令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以即所以a在基底{m,n}下的坐标为(0,2).
答案:(0,2)
15.快审准解:根据向量的加减运算表示出=+,利用三点共线可得+=1即可求得答案.
解析:由题意知=+=+(-)=+=+,由于M,O,N三点共线,可知+=1,所以4m+n=5.
答案:5

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