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第三节　平面向量的数量积
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义,了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
2.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
3.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题.
教材再回首
1.平面向量数量积的有关概念
向量的 夹角 已知两个非零向量a和b,O是平面上的任意一点,作向量=a,=b,则　　　=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角
数量积 的定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量　　　　　　叫做向量a与b的数量积(或内积),记作　　　,即a·b=　　　　　　
规定 零向量与任一向量的数量积为　　　　,即0·a=　　
2.向量的投影
(1)如图,设a,b是两个非零向量,=a,=b,作如下的变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,则称上述变换为　　　　　　　,叫做向量a在向量b上的　　　　.
(2)设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量是　　 　.
3.平面向量数量积的性质
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,e是与b方向相同的单位向量.则
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|=　　 |a|=　　　
夹角 cos θ=　　 cos θ=　　　　
a⊥b的 充要条件 　　　　　 　　　　　　　
|a·b|与 |a||b| 的关系 |a·b|≤　　 (当且仅当a∥ b时等号成立) |x1x2+y1y2|≤ 　　　　　　　
a·e与 e·a的关系 a·e=e·a= 　　　 —
4.平面向量数量积的运算律
交换律 a·b=　　
结合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
分配律 (a+b)·c=a·c+b·c
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两个向量的数量积仍然是向量. (　　)
(2)若a·b=0,则a=0或b=0. (　　)
(3)a,b共线 a·b=|a||b|. (　　)
(4)若a·b=b·c,则一定有a=c. (　　)
(5)两个向量的数量积是一个实数,向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量. (　　)
2.(苏教必修②P24T3改编)已知|a|=5,|b|=,a·b=5,则a与b的夹角θ等于 (　　)
A.45° B.135°
C.-45° D.30°
3.(人A必修②P34例10改编)已知△ABC三个顶点为A(-1,-4),B(5,2),C(3,4),则△ABC是 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.(人A必修②P21例12改编)已知|a|=2,|b|=3,且a⊥b,则(a+b)·(2a-b)=　　　　.
5.(人B必修③P79T5改编)已知|a|=3,|b|=5,且=45°,则a在b上的投影向量的模为　　　　.
题点一　数量积的计算
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)已知向量a=(1,5λ+4),b=(2+λ,8),其中λ≥0,若a∥b,则a·(a+b)= (　　)
A.40 B.48
C.51 D.62
(2)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·= (　　)
A. B.3
C.2 D.5
|思维建模|　
平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法:当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题;
(2)坐标法:当平面图形易建系求出各点坐标时,可利用坐标法求解.
[即时训练]
1.(2025·安徽一模)已知|b|=2|a|,若a与b的夹角为60°,则2a-b在b上的投影向量为 (　　)
A.b B.-b
C.-b D.b
2.已知等边△ABC的边长为1,则·+·+·=　　　　.
题点二　数量积的简单应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　平面向量的模
[例2]
(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= (　　)
A. B.
C. D.1
(2)在梯形ABCD中,B=60°,AB=3,AD∥BC,BC=6,且·=-,则AD的长度为　　　　.
|思维建模|
求平面向量模的2种方法
(1)公式法
①a2=a·a=|a|2或|a|=;
②|a±b|==
;
③若a=(x,y),则|a|=.
(2)几何法
第一步:利用向量加、减运算的平行四边形法则或三角形法则作出向量;
第二步:转化为求三角形的边长.
考法(二)　平面向量的夹角
[例3]　(2023·全国甲卷)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos= (　　)
A.- B.-
C. D.
|思维建模|
1.求平面向量夹角的2种方法
(1)定义法:利用cos=求解,∈[0,π];
(2)坐标法:利用cos=求解.
2.向量夹角的有关结论
(1)若a,b的夹角为锐角,则a·b>0;若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a,b的夹角为钝角,则a·b<0;若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π.
考法(三)　平面向量的垂直
[例4]　(2024·新课标 Ⅰ 卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= (　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
|思维建模|
平面向量垂直的解题规律
(1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题:
①计算出这两个向量的坐标;②根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可.
(2)已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值(根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数).
[即时训练]
3.(2024·聊城二模)[多选]已知向量a=(-1,2),b=(1,λ),若b在a上的投影向量为a,则 (　　)
A.λ=3 B.a∥b
C.a⊥(b-a) D.a与b的夹角为45°
4.已知||=3,||=2,=m+n,若与的夹角为60°,且⊥,则实数= (　　)
A. B.
C.6 D.4
题点三　平面向量数量积中的最值、范围问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例5]　(2025·惠州一调)已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,点P在BC边上(包括端点),则·的取值范围是　　　　.
|思维建模|
与向量有关的最值、范围问题的解题策略
(1)“形化”,即利用平面向量的几何意义,先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;
(2)“数化”,即利用平面向量的坐标运算,先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.
[即时训练]
5.已知非零向量a,b的夹角为,|a|=2,λ∈R,则|a+λb|的最小值为 (　　)
A.2 B.
C.1 D.
6.在梯形ABCD中,AB∥CD,A=90°,AB=2CD=3,AD=2,若线段EF在线段AB上运动,且EF=1,则·的最小值为　　　　.
第三节　平面向量的数量积
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.∠AOB　|a||b|cos θ　a·b　|a||b|cos θ　0　0
2.(1)向量a向向量b投影　投影向量　(2)|a|cos θ e
3.　　　　a·b=0　x1x2+y1y2=0　|a||b|　　|a|cos θ
4.b·a
[典题细发掘]
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　2.A
3.选B　由已知,得=(6,6),=(-2,2),∴·=6×(-2)+6×2=0,即AB⊥BC,∴△ABC是直角三角形.
4.-1
5.解析:所求投影向量的模为|a|cos 45°=.
答案:
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)C　(2)B
(1)因为a=(1,5λ+4),b=(2+λ,8),且a∥b,所以(5λ+4)(2+λ)=1×8,解得λ=0或λ=-.又λ≥0,所以λ=0,此时a=(1,4),b=(2,8),所以a+b=(3,12),所以a·(a+b)=(1,4)·(3,12)=1×3+4×12=51.
(2)法一　以{,}为基底,可知||=||=2,·=0,
则=+=+,=+=-+,所以·=·=-+=-1+4=3.
法二　如图,以A为坐标原点建立平面直角坐标系,则E(1,0),C(2,2),D(0,2),可得=(1,2),=(-1,2),所以·=-1+4=3.
法三　由题意可得,ED=EC=,CD=2.
在△CDE中,由余弦定理可得cos∠DEC===,所以·=||||cos∠DEC=××=3.
法四:极化恒等式　设CD的中点为O,由极化恒等式可得·=-=3.
[即时训练]
1.选B　因为|b|=2|a|,a与b的夹角为60°,所以a·b=|a||b|·cos 60°=|a|×2|a|×=|a|2,则(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a|2-4|a|2=-2|a|2,所以2a-b在b上的投影向量为×=×=-b.
谨记结论:求投影向量的2个公式
(1)a在b上的投影向量为|a|cos θ·.
(2)a在b上的投影向量为=b.
2.解析:与的夹角应是∠ACB的补角,即180°-∠ACB=120°.又||=||=||=1,所以·=||||·cos 120°=-.同理得·=·=-.故·+·+·=-.
答案:-
易错提醒:确定向量夹角时忽略向量的方向.在使用a·b=|a||b|cos a,b 求解时,特别注意 a,b ,要共起点才能找夹角,否则使用的可能是其补角造成错误.
题点二
[例2]　(1)B　(2)1
(1)因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2=2a·b.
又因为|a|=1,|a+2b|=2,
所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4,从而|b|=.
(2)在梯形ABCD中,因为B=60°,AD∥BC,所以∠BAD=120°,即向量与向量的夹角为120°.又AB=3,所以·=||×||×cos 120°=||×3×=-,
所以||=1.
[例3]　选D　∵a+b+c=0,∴c=-a-b,等式两边同时平方得2=a2+b2+2a·b=1+1+2a·b,∴a·b=0.
法一　又a-c=a-(-a-b)=2a+b,b-c=b-(-a-b)=a+2b,∴(a-c)·(b-c)=(2a+b)·(a+2b)=2a2+5a·b+2b2=4,且|a-c|=|2a+b|===,|b-c|=|a+2b|===,∴cos==,故选D.
法二　如图,令=a,=b,则=c,∴=a-c,=b-c.而||=,||=||=,在△ABC中,由余弦定理得cos=cos<,>=cos∠ACB==,故选D.
法三　如图(图同法二),令向量a,b的起点均为O,终点分别为A,B,以,分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则a=(1,0),b=(0,1),c=-a-b=(-1,-1),∴a-c=(2,1),b-c=(1,2),则cos===,故选D.
[例4]　选D　法一:向量法+坐标法　因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.因为a=(0,1),b=(2,x),所以b2=4+x2,a·b=x,得4+x2=4x,所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D.
法二:坐标法　因为a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,即2×2+x(x-4)=0,所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D.
[即时训练]
3.选ACD　对于A,因为b在a上的投影向量为a,即·=a,所以=1,即=1,解得λ=3,故A正确;对于B,a=(-1,2),b=(1,3),所以(-1)×3-2×1≠0,故B错误;对于C,a·(b-a)=(-1,2)·(2,1)=-2+2=0,所以a⊥(b-a),故C正确;对于D,cos===,因为0°≤cos≤180°,所以a与b的夹角为45°,故D正确.
4.选A　∵||=3,||=2,=m+n,与的夹角为60°,∴·=3×2×cos 60°=3,∴·=(-)·(m+n)=(m-n)·-m+n=3(m-n)-9m+4n=-6m+n=0,∴=,故选A.
题点三
[例5]　解析:法一　设=λ,λ∈[0,1],则·=·(+)=·+λ=2×2×cos 120°+4λ=4λ-2,因为λ∈[0,1],所以-2≤·≤2.
法二　如图所示,以C为原点,为x轴正方向建立平面直角坐标系.
(关键点:规则图形可以通过建系降低思考
的成本)
因为菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,所以C(0,0),B(-2,0),D(1,),A(-1,).因为点P在BC边上(包括端点),所以设P(t,0),其中t∈[-2,0],所以=(2,0),=(t+1,-),所以·=2t+2,因为t∈[-2,0],所以·=2t+2∈[-2,2].
法三　因为两个非零向量a,b的数量积a·b等于向量a在向量b上的投影向量与b的数量积,所以如图1,当点P与点B重合时,·取得最小值,为2×2×cos 120°=-2;如图2,当点P与点C重合时,·取得最大值,为2×2×cos 60°=2.
答案:[-2,2]
习得方略:在一个几何图形中求两个向量数量积的取值范围,要根据图形特点选择方法,如果两个向量数量积的几何意义明显,就根据数量积的几何意义求解;如果两个向量数量积的几何意义不明显,可以先建立平面直角坐标系,将问题转化为坐标运算,再求解.
[即时训练]
5.选C　因为a,b的夹角为,|a|=2,所以a·b=|b|,|a+λb|2=|b|2λ2+2|b|λ+4=(|b|λ+)2+1≥1,故|a+λb|的最小值为1.
6.解析:如图所示,以A为原点,为x轴正方向,为y轴正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),C,D(0,2).不妨设E(t,0),F(t+1,0)(0≤t≤2),则=,=,所以·=·=×+4=(t-1)2+,所以当t=1时,·取得最小值.
答案:(共78张PPT)
第三节
平面向量的数量积
明确目标
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.平面向量数量积的有关概念
向量的 夹角 已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作向量=a，=b，则________=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角
数量积 的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量__________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作_____，即a·b=_________
规定 零向量与任一向量的数量积为___，即0·a=____
∠AOB
|a||b|cos θ
a·b
|a||b|cos θ
0
0
2.向量的投影
(1)如图，设a，b是两个非零向量，=a，=b，作如下的变换:过的起点A和终点B，分别作所在直线
的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称
上述变换为_________________，叫做向量
a在向量b上的_____________.
(2)设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是____________.
向量a向向量b投影
投影向量
|a|cos θ e
3.平面向量数量积的性质
已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|=_______ |a|=___________
夹角 cos θ=_________ cos θ=_____________
a⊥b的充要条件 _________ _____________
续表
|a·b|与|a||b| 的关系 |a·b|≤______ (当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2+y1y2|≤
__________________
a·e与e·a的关系 a·e=e·a=_______ —
|a||b|
|a|cos θ
4.平面向量数量积的运算律
交换律 a·b=_____
结合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
分配律 (a+b)·c=a·c+b·c
b·a
典题细发掘
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量的数量积仍然是向量.(　　)
(2)若a·b=0，则a=0或b=0.(　　)
(3)a，b共线 a·b=|a||b|.(　　)
(4)若a·b=b·c，则一定有a=c.(　　)
(5)两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量.(　　)
×
×
×
×
√
2.(苏教必修②P24T3改编)已知|a|=5，|b|=，a·b=5，则a与b的夹角θ等于(　　)
A.45° B.135°
C.-45° D.30°
√
3.(人A必修②P34例10改编)已知△ABC三个顶点为A(-1，-4)，B(5，2)，C(3，4)，则△ABC是 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
解析:由已知，得=(6，6)，=(-2，2)，∴·=6×(-2)
+6×2=0，即AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形.
√
4.(人A必修②P21例12改编)已知|a|=2，|b|=3，且a⊥b，则(a+b)·(2a-b)=　　.
5.(人B必修③P79T5改编)已知|a|=3，|b|=5，且=45°，则a在b上的投影向量的模为　 　.
解析:所求投影向量的模为|a|cos 45°=.
-1
课堂·题点精研
02
[例1] (1)已知向量a=(1，5λ+4)，b=(2+λ，8)，其中λ≥0，若a∥b，则a·(a+b)=(　　)
A.40 B.48
C.51 D.62
解析:因为a=(1，5λ+4)，b=(2+λ，8)，且a∥b，所以(5λ+4)(2+λ)
=1×8，解得λ=0或λ=-.又λ≥0，所以λ=0，此时a=(1，4)，b=(2，8)，所以a+b=(3，12)，所以a·(a+b)=(1，4)·(3，12)=1×3+4×12=51.
√
题点一　数量积的计算
(2)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·=(　　)
A.　　　　　　 B.3
C.2 D.5
解析:法一　以{}为基底，可知||=||=2，·=0，则=+=+=+=-+，所以·=·=-+=-1+4=3.
√
法二　如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，
可得=(1，2)，=(-1，2)，
所以·=-1+4=3.
法三　由题意可得，ED=EC=，CD=2.
在△CDE中，由余弦定理可得cos∠DEC===，所以·=||||cos∠DEC=××=3.
法四:极化恒等式　设CD的中点为O，由极化恒等式可得·=-=3.
平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法:当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题;
(2)坐标法:当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
思维建模
1.(2025·安徽一模)已知|b|=2|a|，若a与b的夹角为60°，则2a-b在b上的投影向量为 (　　)
A.b B.-b
C.-b D.b
即时训练
√
解析:因为|b|=2|a|，a与b的夹角为60°，所以a·b=|a||b|cos 60°
=|a|×2|a|×=|a|2，则(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a|2-4|a|2=-2|a|2，所以2a-b在b上的投影向量为×=×=-b.
求投影向量的2个公式
(1)a在b上的投影向量为|a|cos θ·.
(2)a在b上的投影向量为=b.
谨记结论
2.已知等边△ABC的边长为1，则·+·+·=　　.
解析:与的夹角应是∠ACB的补角，即180°-∠ACB=120°.又||=||=||=1，
所以·=||||cos 120°=-.同理得·=·=-.故·+·+·=-.
-
确定向量夹角时忽略向量的方向.在使用a·b=|a||b|cos求解时，特别注意，要共起点才能找夹角，否则使用的可能是其补角造成错误.
易错提醒
考法(一)　平面向量的模
[例2]
(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|=(　　)
A. B. C. D.1
解析:因为(b-2a)⊥b，所以(b-2a)·b=0，即b2=2a·b.又因为|a|=1，|a+2b|=2，所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4，从而|b|=.
√
题点二　数量积的简单应用
(2)在梯形ABCD中，B=60°，AB=3，AD∥BC，BC=6，且·=-，则AD的长度为　　　　.
解析:在梯形ABCD中，因为B=60°，AD∥BC，所以∠BAD=120°，即向量与向量的夹角为120°.又AB=3，所以·=||×||×cos 120°=||×3×=-，所以||=1.
1
求平面向量模的2种方法
思维建模
考法(二)　平面向量的夹角
[例3]　(2023·全国甲卷)已知向量a，b，c满足|a|=|b|=1，|c|=，且a+b+c=0，则cos=(　　)
A.- B.-
C. D.
√
解析:∵a+b+c=0，∴c=-a-b，等式两边同时平方得2=a2+b2+
2a·b=1+1+2a·b，∴a·b=0.
法一　又a-c=a-(-a-b)=2a+b，b-c=b-(-a-b)=a+2b，∴(a-c)·(b-c)=(2a+b)·(a+2b)=2a2+5a·b+2b2=4，
且|a-c|=|2a+b|==
=，|b-c|=|a+2b|===，
∴cos==，故选D.
法二　如图，令=a，=b，则=c，∴=a-c，=b-c.而||=，||=||=，在△ABC中，由余弦定理得cos=cos<>=cos∠ACB==，故选D.
法三　如图(图同法二)，令向量a，b的起点均为O，终点分别为A，B，以分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则a=(1，0)，b=(0，1)，c=-a-b=(-1，-1)，∴a-c=(2，1)，b-c=(1，2)，则cos===，故选D.
1.求平面向量夹角的2种方法
(1)定义法:利用cos=求解，∈[0，π];
(2)坐标法:利用cos=求解.
思维建模
2.向量夹角的有关结论
(1)若a，b的夹角为锐角，则a·b>0;若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a，b的夹角为钝角，则a·b<0;若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
考法(三)　平面向量的垂直
[例4]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x=(　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
√
解析:法一:向量法+坐标法　因为b⊥(b-4a)，所以b·(b-4a)=0，即b2=4a·b.因为a=(0，1)，b=(2，x)，所以b2=4+x2，a·b=x，得4+x2=4x，所以(x-2)2=0，解得x=2，故选D.
法二:坐标法　因为a=(0，1)，b=(2，x)，所以b-4a=(2，x)-4(0，1)=(2，x)-(0，4)=(2，x-4).因为b⊥(b-4a)，所以b·(b-4a)=0，即2×2+x(x-4)=0，所以(x-2)2=0，解得x=2，故选D.
平面向量垂直的解题规律
(1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题:
①计算出这两个向量的坐标;②根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可.
(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值(根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数).
思维建模
3.(2024·聊城二模)[多选]已知向量a=(-1，2)，b=(1，λ)，若b在a上的投影向量为a，则 (　　)
A.λ=3 B.a∥b
C.a⊥(b-a) D.a与b的夹角为45°
即时训练
√
√
√
解析:对于A，因为b在a上的投影向量为a，即·=a，所以=1，即=1，解得λ=3，故A正确;对于B，a=(-1，2)，b=(1，3)，所以(-1)×3-2×1≠0，故B错误;对于C，a·(b-a)=(-1，2)·(2，1)=-2+2
=0，所以a⊥(b-a)，故C正确;对于D，cos===，因为0°≤cos≤180°，所以a与b的夹角为45°，故D正确.
4.已知||=3，||=2，=m+n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数=(　　)
A. B.
C.6 D.4
√
解析:∵||=3，||=2，=m+n与的夹角为60°，∴·=3×2×cos 60°=3，∴·=(-)·(m+
n)=(m-n)·-m+n=3(m-n)-9m+4n=-6m+n=0，∴=，故选A.
[例5]　(2025·惠州一调)已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点P在BC边上(包括端点)，则·的取值范围是　　　　.
解析:法一　设=λ，λ∈[0，1]，
则·=·(+)=·+λ
=2×2×cos 120°+4λ=4λ-2，
因为λ∈[0，1]，所以-2≤·≤2.
题点三　平面向量数量积中的最值、范围问题
[-2，2]
法二　如图所示，以C为原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系.
(关键点:规则图形可以通过建系降低思考的成本)
因为菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，
所以C(0，0)，B(-2，0)，D(1，)，A(-1，).
因为点P在BC边上(包括端点)，所以设P(t，0)，
其中t∈[-2，0]，所以=(2，0)，=(t+1，-)，
所以·=2t+2，因为t∈[-2，0]，所以·=2t+2∈[-2，2].
法三　因为两个非零向量a，b的数量积a·b等于向量a在向量b上的投影向量与b的数量积，所以如图1，当点P与点B重合时，·取得最小值，为2×2×cos 120°=-2;如图2，当点P与点C重合时，·取得最大值，为2×2×cos 60°=2.
在一个几何图形中求两个向量数量积的取值范围，要根据图形特点选择方法，如果两个向量数量积的几何意义明显，就根据数量积的几何意义求解;如果两个向量数量积的几何意义不明显，可以先建立平面直角坐标系，将问题转化为坐标运算，再求解.
习得方略
与向量有关的最值、范围问题的解题策略
(1)“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断;
(2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.
思维建模
5.已知非零向量a，b的夹角为，|a|=2，λ∈R，则|a+λb|的最小值为(　　)
A.2 B.
C.1 D.
解析:因为a，b的夹角为，|a|=2，所以 a·b=|b|，|a+λb|2=|b|2λ2+2|b|λ+4=(|b|λ+)2+1≥1，故|a+λb|的最小值为1.
即时训练
√
6.在梯形ABCD中，AB∥CD，A=90°，AB=2CD=3，AD=2，若线段EF在线段AB上运动，且EF=1，则·的最小值为　　　　.
解析:如图所示，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(3，0)，C，D(0，2).不妨设E(t，0)，F(t+1，0)(0≤t≤2)，则==，所以·=·=×+4=(t-1)2+，所以当t=1时，·取得最小值.
数智赋能:电子版随堂训练(平面向量数量积的创新问题)，根据课堂情况灵活选用
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.(2025·长沙一模)已知向量a=(1，1)，b=(0，t)，若a⊥(a+2b)，则|b|=(　　)
A. B.1
C. D.2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析:因为a=(1，1)，b=(0，t)，所以a+2b=(1，1)+2(0，t)=(1，1+2t).又因为a⊥(a+2b)，所以a·(a+2b)=0，即1×1+1×(1+2t)=0，解得t=-1，所以|b|=1.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
2.(2025·黄冈一模)若向量a=(2，0)，b=(3，1)，则向量a在向量b上的投影向量为 (　　)
A. B.
C. D.(5，1)
解析:因为向量a=(2，0)，b=(3，1)，所以向量a在向量b上的投影向量为·=·b=(3，1)=.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
3.(2025·苏州模拟)若向量 a=(1，1)，b=(-2，x)，a与 a+b的夹角为钝角，则 x的取值范围为 (　　)
A.(-∞，-1) 　　B.(0，+∞)
C.(-∞，-2)∪(-2，0) 　　D.(-∞，0)
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
解析:因为a+b=(-1，1+x)，又a与a+b的夹角为钝角，
所以a·(a+b)<0且a与a+b不共线.当a与a+b共线时，-1×1-1×(1+x)=0，则x=-2，此时两向量反向共线;由a·(a+b)<0，可得-1×1+1×(1+x)<0，解得x<0，所以x<0且x≠-2.
易错提醒:忽视两向量夹角的取值范围，向量夹角的取值范围是[0，π]，解题时易忽略夹角为0和夹角为π的情况.
1
5
6
7
8
9
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11
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14
15
2
3
4
13
4.(2025·信阳一模)已知m=(3，6)，n=(-3，λ)，若=120°，则λ= (　　)
A.- B.-2
C.-3 D.-
√
1
5
6
7
8
9
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11
12
14
15
2
3
4
13
解析:因为m=(3，6)，n=(-3，λ)，所以m+n=(0，6+λ)，则(m+n)·n=λ(6+λ)，|m+n|=，|n|=，所以cos==-，化简得λ2=3 λ=±.又λ(6+λ)<0 -6<λ<0，所以λ=-.
1
5
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8
9
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12
14
15
2
3
4
13
5.(2025·盐城模拟)在△ABC中，若AB=6，∠BAC=，∠ACB=，则·+·=(　　)
A.54 B.27
C.9 D.3
√
1
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6
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8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
解析:在△ABC中，AB=6，∠BAC=，∠ACB=，
由正弦定理得BC==3，
所以·+·=·+·==54.
1
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2
3
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13
6.已知e为单位向量，向量a满足a·e=2，|a-λe|=1，则|a|的最大值为 (　　)
A.4 B.2
C. D.5
快审准解:利用|a|2=a2进行转化，把|a|2转化成二次函数，再用二次函数的性质求值域.
√
1
5
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12
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2
3
4
13
解析:因为|a-λe|=1，
所以|a-λe|2=(a-λe)2=|a|2-2λa·e+(λe)2
=|a|2-4λ+λ2=1，
故|a|2=-λ2+4λ+1=-(λ-2)2+5≤5，
所以|a|≤.故选C.
1
5
6
7
8
9
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2
3
4
13
7.(2024·北京高考)设a，b是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
1
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11
12
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2
3
4
13
解析:由(a+b)·(a-b)=0，得a2-b2=0，即|a|2-|b|2=0，所以|a|=|b|.当a=(1，1)，b=(-1，1)时，|a|=|b|，但a≠b且a≠-b，故充分性不成立;当a=-b或a=b时，(a+b)·(a-b)=0，故必要性成立.所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
8.(2025·太原一模)在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA=，设D为AC的中点，E在BC上，且·=0，则·=(　　)
A.16 B.12
C.8 D.-4
√
1
5
6
7
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11
12
14
15
2
3
4
13
解析:以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3)，设E(0，b)，则=(-4，b)，=(2，3)，=(0，6)，由题意可知·=0，即-8+3b=0，所以b=.所以E，故=.所以·=16.
1
5
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2
3
4
13
9.(2024·渭南二模)已知菱形ABCD的边长为1，cos∠BAD=，O为菱形的中心，E是线段AB上的动点，则·的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
√
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2
3
4
13
解析:由题意，知点O为BD的中点，设=λ，0≤λ≤1，则=-=λ-==-，故·=(λ-)·
=λ+-·=λ+-=λ+，当λ=0时，·取得最小值.
1
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3
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10.(2024·赤峰二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知c2=2，a2+b2=10，BC，AC边上的中线AM，BN相交于点 P， 则直线AM，BN的夹角为 (　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
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2
3
4
解析:由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcos C，
(看到a，b，c的齐次式，想到用余弦定理)
即2=10-2abcos C，得abcos C=4，所以·=
||·||cos C=abcos C=4.如图所示，则·=(-)·(-)=· - =·--+·=×4-a2-b2+4=5-(a2+b2)=5-×10=0，得⊥，故直线AM，BN的夹角为90°.
13
11.下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的有 (　　)
A.(a+b)·c=a·c+b·c
B.(a·b)·c=a·(b·c)
C.a·b≤|a||b|
D.|a-b|<|a|+|b|
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2
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4
√
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√
解析:A项，由平面向量数量积的运算性质可以判断本选项一定成立;B项，(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，而a与c不一定共线，所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立，因此本选项不一定成立;C项，a·b=|a||b|cos≤|a||b|，所以本选项一定成立;D项，当 b=0时，|a-b|=|a|+|b|，所以本选项不一定成立，故选AC.
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2
3
4
13
易错提醒:混淆向量数量积运算和数乘运算的结果，向量的数乘运算结果依旧为向量，而数量积的运算结果为实数，两者要区分开.尤其使用数量积的运算时不可约公因式.
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2
3
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12.(2024·绍兴三模)已知平面向量a=(2，3)，b=(4，λ)，则 (　　)
A.若a∥b，则λ=6
B.若a⊥b，则λ=
C.若b在a上的投影向量为，则λ=
D.若a·(a+b)=24，则λ=1
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2
3
4
√
13
√
√
解析:若a∥b，则有2λ-3×4=0，解得λ=6，故A正确;若a⊥b，则有2×4+3×λ=0，解得λ=-，故B错误;若b在a上的投影向量为，则有·=··(2，3)=，化简得8+3λ=9，即λ=，故C正确;若a·(a+b)=24，则有2×(2+4)+3×(3+λ)=24，解得λ=1，故D正确.
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2
3
4
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三、填空题
13.(2024·保定三模)已知向量a=(3，2)，b=(4，x)，若a⊥b，则x=　　　　.
解析:因为a⊥b，所以a·b=0，即12+2x=0，解得x=-6.
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2
3
4
14.已知平面向量a，b的夹角为，若|a|=1，|2a-b|=，则|b|的值为　　　　.
快审准解:利用平面向量的数量积与模长公式建立方程计算即可.
解析:由|2a-b|=，两边平方得(2a-b)2=10，即4a2-4a·b+b2=4-4×1×|b|×cos +|b|2=10，即|b|2-2|b|-6=0 (|b|-3)·(|b|+)=0，解得|b|=3(舍负).
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3
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2
3
4
15.在△ABC中，已知AB=1，AC=3，点G为△ABC的外心，点O为△ABC的重心，则·=　　.
快审准解:设BC的中点为D，根据三角形外心性质，得GD⊥BC，由重心性质得=(+)，再根据数量积运算即可求解.
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3
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解析:如图，设BC的中点为D，连接AD，GD，由点O为△ABC的重心，可得==(+)，
故·=(+)·=·+0
=(+)·(-)=(-)=×(9-1)=.
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1
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知识拓展:
13
垂心 定义:三角形三边上的高线的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直;
结论:·=·=· O是△ABC的垂心
内心 定义:三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r;
结论:a+b+c=0 O是△ABC的内心(a，b，c为△ABC的三条边)
外心 定义:三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等;
结论:||=||=|| O是△ABC的外心课时跟踪检测(三十九)　平面向量的数量积
一、单选题
1.(2025·长沙一模)已知向量a=(1,1),b=(0,t),若a⊥(a+2b),则|b|= (　　)
A. B.1
C. D.2
2.(2025·黄冈一模)若向量a=(2,0),b=(3,1),则向量a在向量b上的投影向量为 (　　)
A. B.
C. D.(5,1)
3.(2025·苏州模拟)若向量 a=(1,1),b=(-2,x),a与 a+b的夹角为钝角,则 x的取值范围为 (　　)
A.(-∞,-1) B.(0,+∞)
C.(-∞,-2)∪(-2,0) D.(-∞,0)
4.(2025·信阳一模)已知m=(3,6),n=(-3,λ),若=120°,则λ= (　　)
A.- B.-2
C.-3 D.-
5.(2025·盐城模拟)在△ABC中,若AB=6,∠BAC=,∠ACB=,则·+·= (　　)
A.54 B.27
C.9 D.3
6.已知e为单位向量,向量a满足a·e=2,|a-λe|=1,则|a|的最大值为 (　　)
A.4 B.2
C. D.5
7.(2024·北京高考)设a,b是向量,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.(2025·太原一模)在△ABC中,BC=6,AB=4,∠CBA=,设D为AC的中点,E在BC上,且·=0,则·= (　　)
A.16 B.12
C.8 D.-4
9.(2024·渭南二模)已知菱形ABCD的边长为1,cos∠BAD=,O为菱形的中心,E是线段AB上的动点,则·的最小值为 (　　)
A.　　　　　　　　　　　 　　　　 B.
C. D.
10.(2024·赤峰二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知c2=2,a2+b2=10,BC,AC边上的中线AM,BN相交于点 P, 则直线AM,BN的夹角为 (　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
二、多选题
11.下列关于向量a,b,c的运算,一定成立的有 (　　)
A.(a+b)·c=a·c+b·c B.(a·b)·c=a·(b·c)
C.a·b≤|a||b| D.|a-b|<|a|+|b|
12.(2024·绍兴三模)已知平面向量a=(2,3),b=(4,λ),则 (　　)
A.若a∥b,则λ=6
B.若a⊥b,则λ=
C.若b在a上的投影向量为,则λ=
D.若a·(a+b)=24,则λ=1
三、填空题
13.(2024·保定三模)已知向量a=(3,2),b=(4,x),若a⊥b,则x=　　　　.
14.已知平面向量a,b的夹角为,若|a|=1,|2a-b|=,则|b|的值为　　　　.
15.在△ABC中,已知AB=1,AC=3,点G为△ABC的外心,点O为△ABC的重心,则·=　　　　.
课时跟踪检测(三十九)
1.选B　因为a=(1,1),b=(0,t),所以a+2b=(1,1)+2(0,t)=(1,1+2t).又因为a⊥(a+2b),所以a·(a+2b)=0,即1×1+1×(1+2t)=0,解得t=-1,所以|b|=1.
2.选B　因为向量a=(2,0),b=(3,1),所以向量a在向量b上的投影向量为·=·b=(3,1)=.
3.选C　因为a+b=(-1,1+x),又a与a+b的夹角为钝角,所以a·(a+b)<0且a与a+b不共线.当a与a+b共线时,-1×1-1×(1+x)=0,则x=-2,此时两向量反向共线;由a·(a+b)<0,可得-1×1+1×(1+x)<0,解得x<0,所以x<0且x≠-2.
易错提醒:忽视两向量夹角 a,b 的取值范围,向量夹角的取值范围是[0,π],解题时易忽略夹角为0和夹角为π的情况.
4.选A　因为m=(3,6),n=(-3,λ),所以m+n=(0,6+λ),则(m+n)·n=λ(6+λ),|m+n|=,|n|=,所以cos==-,化简得λ2=3 λ=±.又λ(6+λ)<0 -6<λ<0,所以λ=-.
5.选A　在△ABC中,AB=6,∠BAC=,∠ACB=,由正弦定理得BC==3,所以·+·=·+·==54.
6.快审准解:利用|a|2=a2进行转化,把|a|2转化成二次函数,再用二次函数的性质求值域.
选C　因为|a-λe|=1,所以|a-λe|2=(a-λe)2=|a|2-2λa·e+(λe)2=|a|2-4λ+λ2=1,故|a|2=-λ2+4λ+1=-(λ-2)2+5≤5,所以|a|≤.故选C.
7.选B　由(a+b)·(a-b)=0,得a2-b2=0,即|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|.当a=(1,1),b=(-1,1)时,|a|=|b|,但a≠b且a≠-b,故充分性不成立;当a=-b或a=b时,(a+b)·(a-b)=0,故必要性成立.所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件.
8.选A　以B为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(4,0),B(0,0),C(0,6),D(2,3),设E(0,b),则=(-4,b),=(2,3),=(0,6),由题意可知·=0,即-8+3b=0,所以b=.所以E,故=.所以·=16.
9.选A　由题意,知点O为BD的中点,设=λ,0≤λ≤1,则=-=λ-,==-,故·=(λ-)·=λ+-·=λ+-=λ+,当λ=0时,·取得最小值.
10.选D　由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C,(看到a,b,c的齐次式,想到用余弦定理)
即2=10-2abcos C,得abcos C=4,所以·=||·||cos C=abcos C=4.如图所示,则·=(-)·(-)=·=·--+·=×4-a2-b2+4=5-(a2+b2)=5-×10=0,得⊥,故直线AM,BN的夹角为90°.
11.选AC　A项,由平面向量数量积的运算性质可以判断本选项一定成立;B项,(a·b)·c与c共线,a·(b·c)与a共线,而a与c不一定共线,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立,因此本选项不一定成立;C项,a·b=|a||b|cos≤|a||b|,所以本选项一定成立;D项,当 b=0时,|a-b|=|a|+|b|,所以本选项不一定成立,故选AC.
易错提醒:混淆向量数量积运算和数乘运算的结果,向量的数乘运算结果依旧为向量,而数量积的运算结果为实数,两者要区分开.尤其使用数量积的运算时不可约公因式.
12.选ACD　若a∥b,则有2λ-3×4=0,解得λ=6,故A正确;若a⊥b,则有2×4+3×λ=0,解得λ=-,故B错误;若b在a上的投影向量为,则有·=··(2,3)=,化简得8+3λ=9,即λ=,故C正确;若a·(a+b)=24,则有2×(2+4)+3×(3+λ)=24,解得λ=1,故D正确.
13.解析:因为a⊥b,所以a·b=0,即12+2x=0,解得x=-6.
答案:-6
14.快审准解:利用平面向量的数量积与模长公式建立方程计算即可.
解析:由|2a-b|=,两边平方得(2a-b)2=10,即4a2-4a·b+b2=4-4×1×|b|×cos +|b|2=10,即|b|2-2|b|-6=0 (|b|-3)(|b|+)=0,解得|b|=3(舍负).
答案:3
15.快审准解:设BC的中点为D,根据三角形外心性质,得GD⊥BC,由重心性质得=(+),再根据数量积运算即可求解.
解析:如图,设BC的中点为D,连接AD,GD,由点O为△ABC的重心,
可得==(+),故·=(+)·=·+0=(+)·(-)=(-)=×(9-1)=.
答案:
知识拓展:
垂心 定义:三角形三边上的高线的交点叫做三角形的垂心,垂心和顶点的连线与对边垂直; 结论:·=·=· O是△ABC的垂心
内心 定义:三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心,也就是内切圆的圆心,三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r; 结论:a+b+c=0 O是△ABC的内心(a,b,c为△ABC的三条边)
外心 定义:三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心,也就是三角形外接圆的圆心,它到三角形三个顶点的距离相等; 结论:||=||=|| O是△ABC的外心

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