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第四节 复　数
1.通过方程的解,认识复数.理解复数的代数表示及其几何意义.
2.掌握复数的实部、虚部及共轭复数、复数的模等概念.
3.结合复数的运算法则,会做复数的加、减、乘、除运算.
教材再回首
1.复数的定义及分类
(1)复数的定义
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,实部是　　,虚部是　　.
(2)复数的分类
复数z=a+bi
(a,b∈R)
2.复数的有关概念
复数相等 a+bi=c+di 　　　　(a,b,c,d∈R)
共轭复数 a+bi与c+di共轭 　　　　　　　(a,b,c,d∈R)
复数的模 向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=　　　　(a,b∈R)
3.复数的几何意义
复平面 的概念 建立　　　　　　来表示复数的平面叫做复平面
实轴、 虚轴 在复平面内,x轴叫做　　　,y轴叫做　　　,实轴上的点都表示　　　;除原点以外,虚轴上的点都表示　　　
复数的 几何表示 复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b) 平面向量　　
4.复数的运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
(1)z1+z2=(a+bi)+(c+di)= 　.
(2)z1-z2=(a+bi)-(c+di)= 　.
(3)z1z2=(a+bi)(c+di)= 　.
(4)===　　　　　　(c+di≠0).
典题细发掘
1.(人A必修②P94T1(2))复数的共轭复数是 (　　)
A.i+2 B.i-2
C.-2-i D.2-i
2.(人B必修④P31T2改编)若z=3+4i,则|z|= (　　)
A. B.5
C.7 D.25
3.(苏教必修②P147T7)在复平面内,复数z=-1+2i对应的点所在的象限是 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.(人A必修②P80T2改编)在复平面内,向量对应的复数是2+i,向量对应的复数是-1-3i,则向量对应的复数是 (　　)
A.1-2i B.-1+2i
C.3+4i D.-3-4i
题点一　复数的概念
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)(2024·乐山三模)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-2i和1+bi互为共轭复数,则复数z=a+(b-1)i的模为 (　　)
A.2 B.
C.10 D.
(2)已知复数z满足z(2+2i)=3+3,则z的虚部为 (　　)
A.-6 B.-3
C.6 D.15
|思维建模|
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
(2)解题时一定要先看复数是否为 a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
(3)两个虚数不能比较大小.
(4)利用复数a+bi=c+di列方程时,注意a,b,c,d∈R的前提条件.
[即时训练]
1.已知复数z1=a-3i,z2=2+i(i为虚数单位),若z1z2是纯虚数,则实数a= (　　)
A.- B.
C.-6 D.6
2.(2025·湖南师大附中模拟)已知z是虚数,z2+2z是实数,则z的 (　　)
A.实部为1 B.实部为-1
C.虚部为1 D.虚部为-1
题点二　复数的四则运算
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]
(1)(2024·新课标Ⅰ卷)若=1+i,则z= (　　)
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+i
(2)(2024·邢台二模)若z·(2+i)=3-i2 027,则z的虚部为 (　　)
A.-1 B.
C.-i D.-
|常用结论|
(1)运算的常用结论:(1±i)2=±2i,=i,=-i.
(2)in的周期性:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).
(3)模的性质:z =|z|2=||2,|z1z2|=|z1||z2|,=,|zn|=|z|n.
|思维建模|
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的乘法运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数,即分母实数化.
[即时训练]
3.(2024·全国甲卷)若z=5+i,则i(+z)= (　　)
A.10i B.2i
C.10 D.2
4.(2024·九江二模)已知复数z满足iz=2-i,其中i为虚数单位,则= (　　)
A.- B.
C.- D.
5.(2024·安庆三模)若复数z的实部大于0,且(z+1)=,则z= (　　)
A.1-2i B.2-i
C.2+i D.1+2i
题点三　复数的几何意义
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]
(1)(2024·荆州三模)[多选]已知复数z=m2-1+(m+1)i(m∈R),则下列命题正确的是 (　　)
A.若z为纯虚数,则m=±1
B.若z为实数,则z=0
C.若z在复平面内对应的点在直线y=2x上,则m=-1
D.z在复平面内对应的点不可能在第三象限
(2)(2024·长沙三模)已知复数z满足|z|=1,则|z-2i|的取值范围为 (　　)
A.[0,2] B.[1,3]
C.[2,4] D.[1,9]
|谨记结论|
(1)复数减法的几何意义:复数z1-z2是-=所对应的复数.
(2)复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量,不共线,则复数z1+z2是以,为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.
(3)|z-z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离.
[即时训练]
6.若复数z=(a+2)-(a+3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限,则实数a的取值范围为 (　　)
A.(-∞,-2) B.(-3,-2)
C.(-2,+∞) D.(-∞,-3)
7.设复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,|z1|=2,z2=3i,则Z1,Z2两点之间距离的最大值为 (　　)
A.1 B.3
C.5 D.7
第四节　复　数
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.(1)a　b　(2)实数　纯虚数
2.a=c且b=d　a=c且b=-d　
3.直角坐标系　实轴　虚轴　实数　纯虚数　
4.(1)(a+c)+(b+d)i　(2)(a-c)+(b-d)i　(3)(ac-bd)+(ad+bc)i　(4)+i
[典题细发掘]
1.B　2.B　3.B　4.D
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)B　(2)C
(1)由a-2i和1+bi互为共轭复数,可得a=1,b=2,
所以z=a+(b-1)i=1+i,因此,|z|==.
(2)快审准解:设出复数z的代数形式,利用复数乘法及复数相等求解即得.
设复数z=a+bi(a,b∈R),由z(2+2i)=3+3,得(a+bi)(2+2i)=3a+3-3bi,化简得2a-2b+(2a+2b)i=3a+3-3bi,则解得a=-15,b=6,于是z=-15+6i,所以z的虚部为6.故选C.
[即时训练]
1.选A　因为z1z2=(a-3i)(2+i)=(2a+3)+(a-6)i是纯虚数,所以2a+3=0且a-6≠0,解得a=-.
2.选B　设虚数z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z2+2z=(a+bi)2+2(a+bi)=a2-b2+2a+2b(a+1)i,由z2+2z是实数,得2b(a+1)=0,得a=-1,故选B.
题点二
[例2]　(1)C　(2)D
(1)因为==1+=1+i,所以z=1+=1-i.故选C.
(2)因为i2 027=(i4)506×i3=-i,所以z·(2+i)=3-i2 027=3+i,所以z===-i,所以z的虚部为-.故选D.
[即时训练]
3.选A　因为z=5+i,所以=5-i,所以i(+z)=10i,故选A.
4.选A　由iz=2-i,得z==-1-2i,故===-.
5.选D　令z=a+bi,且a>0,b∈R,则(z+1)=(a-bi)(a+1+bi)=a2+a+b2-bi.因为==6-2i,所以根据复数相等有解得a=1,b=2.所以z=1+2i.
题点三
[例3]　(1)BD　(2)B
(1)复数z=m2-1+(m+1)i(m∈R)的实部为m2-1,虚部为m+1,复数z在复平面内对应点的坐标为(m2-1,m+1),若z为纯虚数,则解得m=1,故A错误;若z为实数,则m+1=0,解得m=-1,则z=0,故B正确;若z在复平面内对应的点在直线y=2x上,则m+1=2(m2-1),解得m=-1或m=,故C错误;令则不等式组无解,所以z在复平面内对应的点不可能在第三象限,故D正确.
(2)因为|z|=1表示z对应的点是单位圆上的点,|z-2i|的几何意义表示单位圆上的点和(0,2)之间的距离,|z-2i|的取值范围转化为点(0,2)到圆心的距离加上半径可得最大值,减去半径可得最小值,所以最大距离为2+1=3,最小距离为2-1=1,所以|z-2i|的取值范围为[1,3].
[即时训练]
6.选D　由复数z=(a+2)-(a+3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限,可得解得a<-3,故实数a的取值范围为(-∞,-3).
7.选C　法一　设z1=a+bi(a,b∈R),因为|z1|=2,所以a2+b2=4.因为复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,z2=3i,所以Z1(a,b),Z2(0,3),连接Z1Z2(图略),则|Z1Z2|==,易知b∈[-2,2],故当b=-2时,|Z1Z2|取得最大值,为=5,故选C.
法二　因为|z1|=2,所以复数z1在复平面内对应的点Z1的轨迹是以原点O为圆心,半径r=2的圆.因为z2=3i,所以复数z2在复平面内对应点Z2(0,3),因为|OZ2|=3,所以|Z1Z2|max=|OZ2|+r=3+2=5,故选C.(共58张PPT)
第四节
复　数
明确目标
1.通过方程的解，认识复数.理解复数的代数表示及其几何意义.
2.掌握复数的实部、虚部及共轭复数、复数的模等概念.
3.结合复数的运算法则，会做复数的加、减、乘、除运算.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.复数的定义及分类
(1)复数的定义
形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是__，虚部是___.
(2)复数的分类
复数z=a+bi(a，b∈R)
b
a
实数
纯虚数
2.复数的有关概念
复数相等 a+bi=c+di ______________ (a，b，c，d∈R)
共轭复数 a+bi与c+di共轭 ___________________ (a，b，c，d∈R)
复数的模 向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=____________(a，b∈R)
a=c且b=d
a=c且b=-d
3.复数的几何意义
复平面 的概念 建立____________来表示复数的平面叫做复平面
实轴、 虚轴 在复平面内，x轴叫做_____，y轴叫做_____，实轴上的点都表示_____;除原点以外，虚轴上的点都表示_______
复数的 几何表示 复数z=a+bi 复平面内的点Z(a，b) 平面向量____
直角坐标系
实轴
虚轴
实数
纯虚数
4.复数的运算法则
设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则
(1)z1+z2=(a+bi)+(c+di)=____________.
(2)z1-z2=(a+bi)-(c+di)=______________.
(3)z1z2=(a+bi)(c+di)=_______________.
(4)===______________ (c+di≠0).
(a+c)+(b+d)i
(a-c)+(b-d)i
(ac-bd)+(ad+bc)i
+i
典题细发掘
1.(人A必修②P94T1(2))复数的共轭复数是(　　)
A.i+2 B.i-2
C.-2-i D.2-i
√
2.(人B必修④P31T2改编)若z=3+4i，则|z|= (　　)
A. B.5
C.7 D.25
√
3.(苏教必修②P147T7)在复平面内，复数z=-1+2i对应的点所在的象限是 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
4.(人A必修②P80T2改编)在复平面内，向量对应的复数是2+i，向量对应的复数是-1-3i，则向量对应的复数是(　　)
A.1-2i B.-1+2i
C.3+4i D.-3-4i
√
课堂·题点精研
02
[例1]
(1)(2024·乐山三模)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a-2i和1+bi互为共轭复数，则复数z=a+(b-1)i的模为(　　)
A.2 B.
C.10 D.
解析:由a-2i和1+bi互为共轭复数，可得a=1，b=2，所以z=a+(b-1)i=1+i，因此，|z|==.
√
题点一　复数的概念
(2)已知复数z满足z(2+2i)=3+3，则z的虚部为(　　)
A.-6 B.-3
C.6 D.15
快审准解:设出复数z的代数形式，利用复数乘法及复数相等求解即得.
√
解析:设复数z=a+bi(a，b∈R)，由z(2+2i)=3+3，得(a+bi)(2+2i)=3a+3-3bi，化简得2a-2b+(2a+2b)i=3a+3-3bi，
则解得a=-15，b=6，
于是z=-15+6i，所以z的虚部为6.故选C.
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
(2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
(3)两个虚数不能比较大小.
(4)利用复数a+bi=c+di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
思维建模
1.已知复数z1=a-3i，z2=2+i(i为虚数单位)，若z1z2是纯虚数，则实数a= (　　)
A.- B.
C.-6 D.6
解析:因为z1z2=(a-3i)(2+i)=(2a+3)+(a-6)i是纯虚数，所以2a+3=0且a-6≠0，解得a=-.
即时训练
√
2.(2025·湖南师大附中模拟)已知z是虚数，z2+2z是实数，则z的 (　　)
A.实部为1 B.实部为-1
C.虚部为1 D.虚部为-1
解析:设虚数z=a+bi(a，b∈R，b≠0)，则z2+2z=(a+bi)2
+2(a+bi)=a2-b2+2a+2b(a+1)i，由z2+2z是实数，得2b(a+1)=0，得a=-1，故选B.
√
[例2]
(1)(2024·新课标Ⅰ卷)若=1+i，则z=(　　)
A.-1-i　　 B.-1+i　　
C.1-i　　 D.1+i
解析:因为==1+=1+i，所以z=1+=1-i.故选C.
√
题点二　复数的四则运算
(2)(2024·邢台二模)若z·(2+i)=3-i2 027，则z的虚部为 (　　)
A.-1 B.
C.-i D.-
解析:因为i2 027=(i4)506×i3=-i，所以z·(2+i)=3-i2 027=3+i，所以z===-i，所以z的虚部为-.故选D.
√
(1)运算的常用结论:(1±i)2=±2i，=i，=-i.
(2)in的周期性:i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，
i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).
(3)模的性质:z =|z|2=||2，|z1z2|=|z1||z2|，=，|zn|=|z|n.
常用结论
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.
(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化.
思维建模
3.(2024·全国甲卷)若z=5+i，则i(+z)=(　　)
A.10i B.2i
C.10 D.2
解析:因为z=5+i，所以=5-i，所以i(+z)=10i，故选A.
即时训练
√
4.(2024·九江二模)已知复数z满足iz=2-i，其中i为虚数单位，则=(　　)
A.- B.
C.- D.
解析:由iz=2-i，得z==-1-2i，故===-.
√
5.(2024·安庆三模)若复数z的实部大于0，且(z+1)=，则z=(　　)
A.1-2i B.2-i
C.2+i D.1+2i
√
解析:令z=a+bi，且a>0，b∈R，则(z+1)=(a-bi)(a+1+bi)=a2+a+b2-bi.因为==6-2i，所以根据复数相等有解得a=1，b=2.所以z=1+2i.
[例3]
(1)(2024·荆州三模)[多选]已知复数z=m2-1+(m+1)i(m∈R)，则下列命题正确的是(　　)
A.若z为纯虚数，则m=±1
B.若z为实数，则z=0
C.若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，则m=-1
D.z在复平面内对应的点不可能在第三象限
√
题点三　复数的几何意义
√
解析:复数z=m2-1+(m+1)i(m∈R)的实部为m2-1，虚部为m+1，复数z在复平面内对应点的坐标为(m2-1，m+1)，若z为纯虚数，则解得m=1，故A错误;若z为实数，则m+1=0，解得m=-1，则z=0，故B正确;若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，则m+1=2(m2-1)，解得m=-1或m=，故C错误;令则不等式组无解，所以z在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确.
(2)(2024·长沙三模)已知复数z满足|z|=1，则|z-2i|的取值范围为 (　　)
A.[0，2] B.[1，3]
C.[2，4] D.[1，9]
√
解析:因为|z|=1表示z对应的点是单位圆上的点，|z-2i|的几何意义表示单位圆上的点和(0，2)之间的距离，|z-2i|的取值范围转化为点(0，2)到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，所以最大距离为2+1=3，最小距离为2-1=1，所以|z-2i|的取值范围为[1，3].
(1)复数减法的几何意义:复数z1-z2是-=所对应的复数.
(2)复数加法的几何意义:若复数z1，z2对应的向量不共线，则复数z1+z2是以为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.
(3)|z-z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离.
谨记结论
6.若复数z=(a+2)-(a+3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，则实数a的取值范围为 (　　)
A.(-∞，-2) B.(-3，-2)
C.(-2，+∞) D.(-∞，-3)
即时训练
√
解析:由复数z=(a+2)-(a+3)i在复平面内对应的点Z位于第二象限，可得解得a<-3，故实数a的取值范围为(-∞，-3).
7.设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，|z1|=2，z2=3i，则Z1，Z2两点之间距离的最大值为 (　　)
A.1 B.3
C.5 D.7
√
解析:法一　设z1=a+bi(a，b∈R)，因为|z1|=2，所以a2+b2=4.因为复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，z2=3i，所以Z1(a，b)，Z2(0，3)，连接Z1Z2(图略)，则|Z1Z2|==，易知b∈[-2，2]，故当b=-2时，|Z1Z2|取得最大值，为=5，故选C.
法二　因为|z1|=2，所以复数z1在复平面内对应的点Z1的轨迹是以原点O为圆心，半径r=2的圆.因为z2=3i，所以复数z2在复平面内对应点Z2(0，3)，因为|OZ2|=3，所以|Z1Z2|max=|OZ2|+r=3+2=5，故选C.
数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用
课时跟踪检测
03
一、单选题
1.(2024·北京高考)若复数z满足=-1-i，则z=(　　)
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+i
解析:由题意得，z=i(-1-i)=1-i.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.(2024·大兴三模)已知(m-i)2为纯虚数，则实数m= (　　)
A.0 B.1
C.-1 D.±1
解析:因为(m-i)2=m2-2mi+i2=m2-1-2mi，又(m-i)2为纯虚数，所以解得m=±1.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
3.(2024·邵阳三模)已知复数z满足z(1+i)=i2 024-i，其中i是虚数单位，则|z|的值为 (　　)
A. B.1
C.2 D.4
解析:∵z(1+i)=i2 024-i=1-i，∴z===-i，∴|z|=1.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
4.设复数z满足|z-1|=2，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 (　　)
A.(x-1)2+y2=2 B.x2+(y-1)2=2
C.(x-1)2+y2=4 D.x2+(y-1)2=4
快审准解:z=x+yi，根据模长公式得到=2，两边平方得到答案.
解析:由z=x+yi，得|z-1|=2 |(x-1)+yi|=2，即=2，故(x-1)2+y2=4，故选C.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
5.(2024·天津和平二模)已知i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=(　　)
A.-i B.+i
C.i D.-i
解析:因为复数z====-i，所以z的共轭复数=i.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
2
3
4
13
6.已知复数z=(a∈R)，|z|=，且z在复平面上对应的点位于第二象限，则a=(　　)
A.4 B.-4
C.±4 D.±2
解析:因为z===+i，所以+=10，解得a=±4.又z在复平面上对应的点位于第二象限，所以a=-4.
√
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7.已知虚数z是关于x的方程x2-4x+a=0(a∈R)的一个根，且|z|=，则a=(　　)
A.1 B.2
C.4 D.5
√
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解析:法一　设z=m+ni(m，n∈R且n≠0)，代入原方程可得m2-n2-4m+a+(2mn-4n)i=0，所以得因为|z|==，所以n2=1，则a=5.故选D.
法二　因为实系数一元二次方程x2-4x+a=0的虚数根共轭成对出现，所以a=z·=|z|2=5，故选D.
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8.若复数z=cos θ+isin θ，则|z-2+2i|的最大值是 (　　)
A.2-1 B.2+1
C.+1 D.2+3
√
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解析:由题意可知z=cos θ+isin θ在复平面内对应的点为(cos θ，sin θ)，设为P，是以原点为圆心的单位圆上的一点，而z1=2-2i在复平面内对应的点不妨设为A(2，-2)，则|z-2+2i|=|PA|，易知|PA|≤|AO|
+1=2+1.
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9.(2025·南京模拟)若复数z满足|z-1|≤2，则复数z在复平面内对应点组成图形的面积为 (　　)
A.π B.2π
C.3π D.4π
解析:法一　令z=a+bi(a，b∈R)，则|z-1|=|(a-1)+bi|=
≤2，即(a-1)2+b2≤4，所以复数z在复平面内对应的点在以(1，0)为圆心，2为半径的圆内(含边界)，所以复数z在复平面内对应点组成图形的面积为π×22=4π，故选D.
√
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法二　|z-1|≤2表示z在复平面内对应的点和点(1，0)间的距离恒小于等于2，所以z在复平面内对应的点在以(1，0)为圆心，2为半径的圆内(含边界)，所以复数z在复平面内对应点组成图形的面积为π×22=4π，故选D.
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10.(2025·杭州模拟)已知复数z满足|z-1|=|z+i|(i为虚数单位)，在复平面内，记z0=2+i对应的点为点Z0，z对应的点为点Z，则点Z0与点Z之间距离的最小值为 (　　)
A. B.
C. D.2
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解析:法一　设z=x+yi(x，y∈R)，由|z-1|=|z+i|，得(x-1)2+y2=x2+(y+1)2，即y=-x，所以点Z0(2，1)与点Z(x，y)之间的距离d===≥，当且仅当x=时取等号.故选C.
法二　设z=x+yi(x，y∈R)，由|z-1|=|z+i|可知，点Z(x，y)到点(1，0)和点(0，-1)的距离相等，所以点Z的轨迹是点(1，0)和点(0，-1)连线的垂直平分线，其方程为x+y=0，所以点Z0(2，1)与点Z(x，y)之间距离的最小值等于点Z0到直线x+y=0的距离，即=.故选C.
13
二、多选题
11.(2024·九江三模)已知虚数z满足z2=，则下列结论正确的是(　　)
A.|z|=1 B.z3=1
C.z的虚部为 D.|z+|=1
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√
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√
√
解析:由z2=，得|z|2=||=|z|，∵|z|≠0，∴|z|=1，A正确;由z2=，得z3=z·=|z|2=1，B正确;设z=a+bi(a，b∈R，b≠0)，则=a-bi，z2=a2-b2+2abi，∴解得a=-，b=±，∴z的虚部为或-，C错误;由C知，|z+|=2|a|=1，D正确.
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12.(2024·佛山二模)已知复数z1，z2满足z2-2z+2=0，则 (　　)
A.=z2 B.z1z2=
C.z1+z2=-2 D.=1
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√
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√
√
解析:方程z2-2z+2=0，化为(z-1)2=i2，解得z=1+i或z=1-i，由复数z1，z2满足z2-2z+2=0，不妨令z1=1+i，z2=1-i，显然复数z1，z2互为共轭复数，即=z2，A正确;z1z2=(1+i)(1-i)=2，而|z1|=|z2|=，则z1z2=|z1|2，B正确;z1+z2=2，C错误;由|z1|=|z2|=，得==1，D正确.
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三、填空题
13.(2024·青岛二模)已知复数z满足(z+2)i=2z-1，则复数=　　.
解析:易知z====i，所以=-i.
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-i
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14.(2024·长沙二模)如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别为A，B，则z1z2=　　　　.
解析:由题图可知，z1=-2-i，z2=1+i，
则z1z2=(-2-i)(1+i)=-2-i-2i-i2=-2+1-3i=-1-3i.
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-1-3i
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15.已知i为虚数单位，则集合A={x|x=i+i2+i3+…+in，n∈N*}中元素的个数为　　.
解析:当n=4k，k∈N*时，x=i+i2+i3+…+in=0;当n=4k+1，k∈N时，x=i+i2+i3+…+in=i;当n=4k+2，k∈N时，x=i+i2+i3+…+in=i+i2=i-1;当n=4k+3，k∈N时，x=i+i2+i3+…+in=i+i2+i3=-1，所以集合A中元素的个数为4.
13
4课时跟踪检测(四十)　复　数
一、单选题
1.(2024·北京高考)若复数z满足=-1-i,则z= (　　)
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+i
2.(2024·大兴三模)已知(m-i)2为纯虚数,则实数m= (　　)
A.0 B.1
C.-1 D.±1
3.(2024·邵阳三模)已知复数z满足z(1+i)=i2 024-i,其中i是虚数单位,则|z|的值为 (　　)
A. B.1
C.2 D.4
4.设复数z满足|z-1|=2,z在复平面内对应的点为(x,y),则 (　　)
A.(x-1)2+y2=2 B.x2+(y-1)2=2
C.(x-1)2+y2=4 D.x2+(y-1)2=4
5.(2024·天津和平二模)已知i为虚数单位,复数z=,则z的共轭复数= (　　)
A.-i B.+i
C.i D.-i
6.已知复数z=(a∈R),|z|=,且z在复平面上对应的点位于第二象限,则a= (　　)
A.4 B.-4
C.±4 D.±2
7.已知虚数z是关于x的方程x2-4x+a=0(a∈R)的一个根,且|z|=,则a= (　　)
A.1 B.2
C.4 D.5
8.若复数z=cos θ+isin θ,则|z-2+2i|的最大值是 (　　)
A.2-1 B.2+1
C.+1 D.2+3
9.(2025·南京模拟)若复数z满足|z-1|≤2,则复数z在复平面内对应点组成图形的面积为 (　　)
A.π B.2π
C.3π D.4π
10.(2025·杭州模拟)已知复数z满足|z-1|=|z+i|(i为虚数单位),在复平面内,记z0=2+i对应的点为点Z0,z对应的点为点Z,则点Z0与点Z之间距离的最小值为 (　　)
A. B.
C. D.2
二、多选题
11.(2024·九江三模)已知虚数z满足z2=,则下列结论正确的是 (　　)
A.|z|=1 B.z3=1
C.z的虚部为 D.|z+|=1
12.(2024·佛山二模)已知复数z1,z2满足z2-2z+2=0,则 (　　)
A.=z2 B.z1z2=
C.z1+z2=-2 D.=1
三、填空题
13.(2024·青岛二模)已知复数z满足(z+2)i=2z-1,则复数=　　　　.
14.(2024·长沙二模)如图,在复平面内,复数z1和z2对应的点分别为A,B,则z1z2=　　　　.
15.已知i为虚数单位,则集合A={x|x=i+i2+i3+…+in,n∈N*}中元素的个数为　　　　.
课时跟踪检测(四十)
1.选C　由题意得,z=i(-1-i)=1-i.
2.选D　因为(m-i)2=m2-2mi+i2=m2-1-2mi,又(m-i)2为纯虚数,所以解得m=±1.
3.选B　∵z(1+i)=i2 024-i=1-i,∴z===-i,∴|z|=1.
4.快审准解:z=x+yi,根据模长公式得到=2,两边平方得到答案.
选C　由z=x+yi,得|z-1|=2 |(x-1)+yi|=2,即=2,故(x-1)2+y2=4,故选C.
5.选C　因为复数z====-i,所以z的共轭复数=i.
6.选B　因为z===+i,所以+=10,解得a=±4.又z在复平面上对应的点位于第二象限,所以a=-4.
7.选D　法一　设z=m+ni(m,n∈R且n≠0),代入原方程可得m2-n2-4m+a+(2mn-4n)i=0,所以得因为|z|==,所以n2=1,则a=5.故选D.
法二　因为实系数一元二次方程x2-4x+a=0的虚数根共轭成对出现,所以a=z·=|z|2=5,故选D.
8.选B　
由题意可知z=cos θ+isin θ在复平面内对应的点为(cos θ,sin θ),设为P,是以原点为圆心的单位圆上的一点,而z1=2-2i在复平面内对应的点不妨设为A(2,-2),则|z-2+2i|=|PA|,易知|PA|≤|AO|+1=2+1.
9.选D　法一　令z=a+bi(a,b∈R),则|z-1|=|(a-1)+bi|=≤2,即(a-1)2+b2≤4,所以复数z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心,2为半径的圆内(含边界),所以复数z在复平面内对应点组成图形的面积为π×22=4π,故选D.
法二　|z-1|≤2表示z在复平面内对应的点和点(1,0)间的距离恒小于等于2,所以z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心,2为半径的圆内(含边界),所以复数z在复平面内对应点组成图形的面积为π×22=4π,故选D.
10.选C　法一　设z=x+yi(x,y∈R),由|z-1|=|z+i|,得(x-1)2+y2=x2+(y+1)2,即y=-x,所以点Z0(2,1)与点Z(x,y)之间的距离d===≥,当且仅当x=时取等号.故选C.
法二　设z=x+yi(x,y∈R),由|z-1|=|z+i|可知,点Z(x,y)到点(1,0)和点(0,-1)的距离相等,所以点Z的轨迹是点(1,0)和点(0,-1)连线的垂直平分线,其方程为x+y=0,所以点Z0(2,1)与点Z(x,y)之间距离的最小值等于点Z0到直线x+y=0的距离,即=.故选C.
11.选ABD　由z2=,得|z|2=||=|z|,∵|z|≠0,∴|z|=1,A正确;由z2=,得z3=z·=|z|2=1,B正确;设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则=a-bi,z2=a2-b2+2abi,
∴解得a=-,b=±,∴z的虚部为或-,C错误;由C知,|z+|=2|a|=1,D正确.
12.选ABD　方程z2-2z+2=0,化为(z-1)2=i2,解得z=1+i或z=1-i,由复数z1,z2满足z2-2z+2=0,不妨令z1=1+i,z2=1-i,显然复数z1,z2互为共轭复数,即=z2,A正确;z1z2=(1+i)(1-i)=2,而|z1|=|z2|=,则z1z2=|z1|2,B正确;z1+z2=2,C错误;由|z1|=|z2|=,得==1,D正确.
13.解析:易知z====i,所以=-i.
答案:-i
14.解析:由题图可知,z1=-2-i,z2=1+i,
则z1z2=(-2-i)(1+i)=-2-i-2i-i2=-2+1-3i=-1-3i.
答案:-1-3i
15.解析:当n=4k,k∈N*时,x=i+i2+i3+…+in=0;当n=4k+1,k∈N时,x=i+i2+i3+…+in=i;当n=4k+2,k∈N时,x=i+i2+i3+…+in=i+i2=i-1;当n=4k+3,k∈N时,x=i+i2+i3+…+in=i+i2+i3=-1,所以集合A中元素的个数为4.
答案:4

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