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(共68张PPT)
13.2 命题与证明
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
定义
命题
命题的结构
互逆命题及反例
定理与证明
三角形内角和定理及其推论1，2
三角形内角和定理的推论3，4(三角形外角的性质)
知1－讲
感悟新知
知识点
定义
1
定义 能明确界定某个对象含义的语句叫作定义 .
示例 等腰三角形的定义 三角形中，有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 .
明确界定等腰三角形的特征，与不等边
三角形有本质区别.
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 定义必须是严密的，定义中避免使用“大概”
“大约”“可能”等含糊性的词语.
2. 定义应给出此事物与其他事物的本质区别
知1－练
感悟新知
下列语句中，属于定义的是( )
A. 两点之间，线段最短
B. 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线
C. 两直线平行，同位角相等
D. 三人行，必有我师焉
例1
知1－练
感悟新知
解： 判断是不是定义，关键看是否对名称或术语的含义加以描述，并且作出了规定，很明显，选项 A， C， D 没有对名称或术语加以描述，只有选项 B 是对三角形的中线的描述 .
解题秘方：紧扣定义的定义判断 .
答案：B
知1－练
感悟新知
1-1.下列语句中，属于定义的是( )
A． 对顶角相等
B． 作一条直线和已知直线互相垂直
C． 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
D． 图形的平移不改变图形的形状和大小
C
知识点
命题
知2－讲
2
1. 命题的定义 可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题 .
特别解读：
(1)命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语；
(2)命题必须具有“判断”作用，要对事件作出肯定或否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句 .
知2－讲
2. 命题的种类
(1)真命题：经判断是正确的命题我们称之为真命题.
(2)假命题：经判断是错误的命题我们称之为假命题.
知2－讲
特别提醒
只要是作出判断性的陈述语句都是命题，与它判断的对错无关，判断的结果可能是正确的，也可能是错误的.
知2－练
例2
下面语句中，哪些是命题，哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假.
(1)同位角相等；(2)如果a是实数，那么a2＋1>0；
(3)如果a∥c，b∥c，那么a∥b；
(4)一个实数的平方一定是正数；
(5)不相交的两条直线是平行线.
(6)画一个半径是1 cm的圆.
(7)任何数的绝对值都是正数.
知2－练
解：(1)(2)(3)(4)(5)(7)是命题，其中(2)(3)是真命题，(1)(4)(5)(7)是假命题.(6)不是命题.
知2－练
2-1. [期末·宿州桥区]下列命题是真命题的是( )
A． 如果AB＝BC，那么点C是AB的中点
B． 三条线段的长分别为a，b，c，如果a＋b > c，那么这三条线段一定能组成三角形
C． 三角形的内角和等于180°
D． 如果| a |＝| b |，那么a＝b
C
知3－讲
知识点
命题的结构
3
1. 命题的构成 命题通常由条件和结论两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式. 其中 “如果”引出的部分是命题的条件(或题设)， “那么”引出的部分是命题的结论(或题断). 有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”和“那么”.
知3－讲
2. 命题的一般形式 “如果p，那么q”，或者说成“若p，则q”，其中p是这个命题的条件(或题设)，q是这个命题的结论(或题断).
知3－讲
特别解读
命题的条件和结论有时不止一个，此时要注意把条件和结论都表达清楚. 例如命题“同角或等角的余角相等”，其条件是“两个角是同一个角的余角”或“相等的两个角的余角”，结论是“这两个角相等”.
知3－练
[母题 教材 P75 练习 T2]把下列命题改写成“ 如果p， 那么q”的形式，并判断命题的真假.
(1)互为补角的两个角相等；
(2)同角的补角相等；
(3)垂直于同一条直线的两条直线平行.
例3
解题秘方：紧扣命题的结构形式进行改写.
知3－练
解：(1)如果两个角互为补角，那么这两个角相等. 假命题.
(2)如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
真命题.
(3)如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 假命题.
知3－练
方法点拨：改写命题的方法：
理清命题的条件与结论，改写命题时将条件放在“如果”后面，将结论放在“那么”后面.
知3－练
3-1. [期末·宿州] 把命题“ 等边三角形的三条边相等”改写成“ 如果p，那么q”的形式：_____________
______________________________________.
如果一个三角形
是等边三角形，那么这个三角形的三条边相等
知4－讲
知识点
互逆命题及反例
4
1. 互逆命题 将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题.
知4－讲
特别提醒：
(1)“条件、结论正好相反”是指：第一个命题的条件是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的条件.
(2)“互逆命题”是说明两个命题之间的关系，两个命题的地位可以互换，可以规定其中任何一个为原命题，另一个为逆命题.
(3)写一个命题的逆命题的关键是分清它的条件和结论，把条件和结论互换，并用通顺的语句将它们连接起来即可得到它的逆命题.
知4－讲
2. 反例 符合命题的条件，但不满足命题结论的例子，我们称之为反例.
知4－讲
特别警示
1.原命题的真假和其逆命题的真假没有必然联系，原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题；原命题是假命题,其逆命题也不一定是假命题.
2.判断一个命题是真命题，需要经过推理说明其正确性，而判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可.
知4－练
[母题 教材 P75 例 2]写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例 .
(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(2)如果a>b，那么a2>b2；
(3)如果ab<0，那么a>0，b<0.
例4
解题秘方：紧扣互逆命题“条件、结论正好相反”这一特征改写命题.
知4－练
解：(1)逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交. 逆命题是真命题.
(2)逆命题：如果a2 >b2，那么a>b. 逆命题是假命题.
反例：当 a=－2， b=－1 时， a2>b2，而 a(3) 逆命题：如果a> 0，b<0，那么ab<0 . 逆命题是真命题.
知4－练
4-1. 下列命题中，逆命题是真命题的是( )
A. 若a＋b＝4，a－b＝2，则a2－b2＝8
B．无理数是无限小数
C．对顶角相等
D．若x2＝1，则x＝1
D
知4－练
4-2. [期中·淮北]下列a，b 的 值 不 能 说 明 命 题 “若 a ＜ b，则 ＜ ” 是假命题的是(　　)
A．a＝－2，b＝3
B．a＝2，b＝3
C．a＝－3，b＝－2
D．a＝1，b＝2
A
知5－讲
知识点
定理与证明
5
1. 基本事实 人们在长期实践中总结出来，不需要推理证明的真命题. 基本事实可以作为判断其他命题真假的依据，所有推理的原始共同出发点是一些定义和基本事实.
知5－讲
2. 定理 有些命题，是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据. 这样的真命题叫作定理.
知5－讲
3.演绎推理 从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).
4.证明 演绎推理的过程，就是演绎证明.
知5－讲
5. 证明的一般步骤
(1)审题，分清命题的条件和结论；
(2)画图，结合图形写出已知和求证；
(3)分析因果关系，找出证明途径；
(4)有条理地写出证明过程.
知5－讲
特别解读
定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的联系与区别：
联系：这四者都是命题.
区别：定义、基本事实(公理)、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实(公理) 是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因而不能直接用来作为判断其他命题真假的依据.
知5－练
填写下列证明过程中推理的依据.
如图13.2-1，已知AC，BD相交于点O，DF平分∠CDO与AC相交于点F，BE平分
∠ABO与AC相交于点E，∠A＝∠C.
求证：∠1＝∠2.
例5
知5－练
证明：∵∠A＝∠C，(_______)
∴ AB∥CD.(_______________________)
∴∠ABO＝∠CDO.(________________________)
∵ DF平分∠CDO，BE平分∠ABO，(_______)
∴∠1＝∠CDO，∠2＝∠ABO.(_______________)
∴∠1＝∠2 .(___________)
已知
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
已知
角平分线的定义
等量代换
知5－练
5-1. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠ ACB 与 AB 相 交 于点 E，∠ABC＝∠ACB，CE∥DF， DF 与 BC 的延长线交于点 F．求证：∠DBF＝∠F．
知5－练
知6－讲
知识点
三角形内角和定理及其推论1, 2
6
1. 定理 三角形的内角和等于180°.
几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
知6－讲
2. 三角形内角和定理的证明
证明方法 图示 证明过程
方法一 如图，过点A作l∥BC，则∠2＝∠B，∠3＝∠C. 因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠1＋∠B＋∠C＝180°.
知6－讲
续表
证明方法 图示 证明过程
方法二 如图， 过点C作CD∥AB，则∠1＝∠A，∠2＝∠B. 因为∠1＋∠2＋∠ACB＝180°，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
知6－讲
续表
证明方法 图示 证明过程
方法三 如图，过点D作DE∥AB，DF∥AC，则∠1＝∠C，∠2＝∠4，∠3＝∠B，∠A＝∠4. 所以∠2＝∠A. 因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠A＋∠B＋∠C＝180°.
知6－讲
续表
证明方法 图示 证明过程
方法四 如图，过点C作CD∥AB，则∠1＝∠A，∠B＋∠BCD＝180°，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
知6－讲
续表
证明方法 图示 证明过程
方法五 如图， 过点A作直线AD，过点B作BE∥AD，过点C作l∥ AD，则l∥BE，所以∠ 1＝∠2，∠3＝∠4，∠DAB＋∠ABE＝180°，所以∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°.
总结 借助平行线，转移内角，形成平角(180°)或同旁内角(和为180°).
知6－讲
3. 辅助线 在证明的过程中，为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线.
知6－讲
4. 推论1 直角三角形的两锐角互余.
几何语言：在△ABC中，∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
5. 推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形.
几何语言：在△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠C＝9 0°，即△ABC为直角三角形.
由基本事实、定理直接
得出的真命题叫作推论.
知6－讲
特别解读
在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小，不需要再利用三角形内角和定理求解.
知6－练
[期末·滁州] 如图13.2-2，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶
∠ACB＝3∶4∶5，BE平分∠ABC，CF⊥AB于点F，BE和CF相交于点O. 求∠BOC的度数.
例6
解题秘方：紧扣直角三角形两锐角互余和角平分线的定义求解.
知6－练
解：设∠A＝3x，则∠ABC＝4x，∠ACB＝5x，
根据题意得3x＋4x＋5x＝180°，解得x＝15°，
∴∠ABC＝60°.
∵ BE平分∠ABC，∴∠CBO＝∠ABC＝30°.
∵ CF⊥AB，∴∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝9 0°－6 0°＝30°.
∴∠BOC＝180°－∠CBO－∠BCF＝120°.
知6－练
6-1. [期末·亳州] CD是△ABC的角平分线，点E在AC上，BE交CD于点F，∠ACB＝56°.
(1)如图①，若BE⊥AC，求∠DFB的度数；
知6－练
知6－练
(2)如图②，若BE⊥CD，∠A＝50°，求∠ABE的度数．
知6－练
如图13.2-3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EFP是直角三角形.
解题秘方：三角形中有两个角的和等于90 °(互余)就可说明该三角形为直角三角形.
例7
知6－练
证明：∵ AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
∵ EP平分∠BEF，FP平分∠DFE，
∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE.
∴∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°.
∴△EFP是直角三角形.
知6－练
方法点拨：直角三角形的判定方法：
1. 证明三角形中有一个内角为90°(或证明三角形的两条边互相垂直)；
2. 证明一个三角形中有两个内角互余.
知6－练
7-1. 如图，点E是△ABC的边AC上的一点，ED⊥AB于点D，∠AED＝∠B. 求证：△ABC是直角三角形.
知6－练
证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°.
∴∠A＋∠AED＝90°.
∵∠AED＝∠B，
∴∠A＋∠B＝90°.
∴△ABC是直角三角形.
知7－讲
知识点
三角形内角和定理的推论3，4(三角形外角的性质)
7
1. 外角的定义 由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
判断一个角是不是三角形的外角的三个条件：
(1)顶点在三角形的一个内角的顶点上；
(2)一边是三角形这个内角的一条边；
(3)另一边是三角形这个内角的另一条边的延长线.
知7－讲
2. 推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
常见应用：
(1)已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个内角；
(2)证明一个角等于另两个角的和或差；
(3)作为中间关系式证明两个角相等.
知7－讲
3.推论4 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
∠ACD＝∠A＋∠B
∠ACD>∠A，∠ACD>∠B
外角
与∠ACD不相邻的两个内角
三角形外角的性质 图形 几何语言
4. 三角形的外角和为360°.
知7－讲
特别解读
1.三角形的外角在三角形的外部，与相邻内角互为邻补角.
2. 三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角.
知7－讲
如图13.2-4，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝80°，
CD是∠ACB的平分线，则∠BDC的度数是(　　)
A. 60°
B. 65°
C. 70°
D. 80°
例8
知7－讲
解题秘方：紧扣三角形内角和与三角形内角和外角的关系解题.
解：∵∠A＝30°，∠B＝80°，
∴∠ACB＝180°－30°－80°＝70°.
又∵ CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB＝×70°＝35°.
∴∠BDC＝∠ACD＋∠A＝35°＋30°＝65°.
答案：B
知7－讲
8-1. 如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FG∥CE，交AB于点G，若∠1＝70°，∠2＝36°，则∠3＝(　　)
A．36°
B．40°
C．34°
D．70°
C
知7－讲
[母题 教材 P82 练习 T2 ]如图13.2-5，请确定∠1与∠2的大小关系，并说明理由.
例9
知7－讲
解题秘方：要判断∠1与∠2的大小关系，需找出一个角作为桥梁将这两个角联系起来，观察图13.2-5 知∠3能担当这种角色；用三角形外角的性质，
先判断∠1 与∠3 的大小关系，再
判断∠3 与∠2的大小关系，然后
判断∠1与∠2的大小关系.
知7－讲
解：∠1> ∠2 .
理由如下：
∵∠1是△ABC的一个外角，∴∠1> ∠3 .
∵∠3是△FGC的一个外角，
∴∠3> ∠2. ∴∠1> ∠2 .
知7－讲
9-1. 如图，在△ABC中，延长CA到E，延长BC到F，D是AB上的一点，连接DE.求证：∠ACF >∠ADE.
证明：∵∠ACF是△ABC的一个外角，
∴∠ACF＞∠CAB.
∵∠CAB是△ADE的一个外角，
∴∠CAB＞∠ADE.∴∠ACF＞∠ADE.
命题与证明
命
题
真命题
定理
证明
三角形内角和
定理的推论

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