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13.1 三角形中的边角关系
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.1.2 三角形中角的关系
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
三角形的内角和定理
三角形按角分类
知1－讲
知识点
三角形的内角和定理
1
1. 定理 三角形的内角和等于180°.
几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
知1－讲
2. 说明三角形的内角和定理的思路
我们用折叠(图13.1.2-1)、剪拼(图13.1.2-2)的方法，将三角形的三个角拼在一起，得到三角形的内角和，这体现了数学中的转化思想.
知1－讲
特别解读
“三角形的内角和等于180°”揭示了三角形的三个内角之间的数量关系. 若已知三角形中任意两个角的度数，则可以求得第三个角的度数；若已知三个角的关系或三个角的度数之比，可以求各个角的度数.
知1－练
[母题 教材 P68 练习 T1 ]∠A，∠B，∠C是△ABC的
三个内角.
(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度数；
(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B 的度数；
(3)已知∠A＝∠B＝∠C，求∠A，∠B，∠C的度数.
例1
解题秘方：紧扣三角形的内角和定理建立方程(组)求解.
(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度数；
知1－练
解：设∠B＝∠C＝x°，
因为∠A＋∠B＋∠C＝18 0°，∠A＝40°，
所以40＋x＋x＝180，
解得x＝70，所以∠B＝∠C＝70°.
(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B 的度数；
知1－练
解：设∠A＝a°，∠B＝b°，
因为∠A－∠B＝16°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∠C＝54°，
所以解得
所以∠A＝71°，∠B＝55°.
(3)已知∠A＝∠B＝∠C，求∠A，∠B，∠C的度数.
知1－练
解：因为∠A＝∠B＝∠C，
所以∠B＝2∠A，∠C＝3∠ A.
设∠A＝c°，则∠B＝2c°，∠C＝3c°，
因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以c＋2c＋3c＝180，
解得c＝30 . 所以∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°.
知1－练
1-1. [期末·亳州]如图，点 E， D 分 别 在 AB，AC 上， 若 ∠ B=35 °，∠ C=45°，则∠ 1+ ∠ 2的度数为 ________.
80°
知1－练
感悟新知
1-2. [ 期中·六安叶集区 ] 求出下列图形中 x的值．
解：(1)因为三角形内角和是180°，
所以x＋39＋108＝180，解得x＝33.
(2)因为三角形内角和是180°，
所以x＋x＋x＝180，解得x＝60.
知1－练
1-3. [期末· 合肥] 在△ABC中，∠B＝3∠A，∠C＝∠B＋40°，求△ABC的各内角度数.
解：因为∠B＝3∠A，∠C＝∠B＋40°，
所以∠C＝3∠A＋40°.
因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以∠A＋3∠A＋3∠A＋40°＝180°，
解得∠A＝20°，所以∠B＝60°，∠C＝100°.
知识点
三角形按角分类
知2－讲
2
1. 各类三角形的概念
(1) 锐角三角形：三角形中，三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形.
(2) 直角三角形：三角形中，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形.
(3) 钝角三角形：三角形中，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形.
知2－讲
2. 直角三角形的表示 直角三角形中夹直角的两边叫做直角边，直角相对的边叫做斜边，直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”，如图13.1.2-3所示.
知2－讲
3. 三角形按角的大小分类
三角形
知2－讲
拓展
1. 三角形的内角中，最多有一个直角或一个钝角，最少有两个锐角.
2. 三角形按边分类和按角分类是两种不同的分类方式，各自独立，无论按哪种标准分类,原则都是不重不漏.
3. 等腰直角三角形，按边分类属于等腰三角形，按角分类属于直角三角形.
知2－练
例2
根据下列所给条件，判断△ABC的形状.
(1)∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝80°；
(2)∠C＝120°；
(3)∠C＝90°.
解题秘方：紧扣三角形分类的标准进行辨析. 按角分类的关键是先观察一个三角形中是否有直角或钝角.
知2－练
解：(1)因为三个角都是锐角，所以△ABC是锐角三角形.
(2)因为∠C＝120°＞90°，所以△ABC是钝角三角形.
(3)因为∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形.
方法点拨：由角的大小判断三角形形状的方法：
(1)若最大角为锐角，则该三角形为锐角三角形；
(2)若最大角为直角，则该三角形为直角三角形；
(3)若最大角为钝角，则该三角形为钝角三角形.
知2－练
2-1. 如图，一个三角形被木板遮掩了一部分，则这个三角形为(　　)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不能确定
D
三角形中角的关系
三角
形中
角的
关系
按角的大
小分类
锐角三角形
钝角三角形
三个内角的
数量关系
内角和
等于180°
直角三角形

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