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15.3 角的平分线
第15章 轴对称图形与等腰三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
作已知角的平分线
过一点作已知直线的垂线
角平分线的性质
角平分线的判定
三角形的角平分线的性质
知识点
作已知角的平分线
知1－讲
1
1. 角的轴对称性 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴 .
知1－讲
2. 角的平分线的作法
(1)度量法：用量角器度量已知角的度数，并除以2，再用量角器画出这个角的平分线.
(2)折叠法：将已知角折叠，使角的两边重合，折痕就是角的平分线所在的直线.
(3)尺规作图法(保留作图痕迹，并指出结论)：
知1－讲
尺规作图步骤与图示
已知∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
作法：①以点O为圆心，适当长为
半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
③画射线OC. 射线OC即为所求(如图15.3-1).
知1－讲
特别解读
1. “适当长为半径画弧”的目的是方便作图，不能太长也不要太短；
2. “以大于MN的长为半径画弧”是因为若以小于MN的长为半径，则画出的两弧不能相交；
3. “画射线OC”不能叙述为“连接OC”，因为角平分线是射线而不是线段；
4.连接 CM， CN，由作图可知△OMC≌△ONC(SSS)，所以OC平分∠AOB.
知1－练
例 1
如图15.3-2，已知∠AOB，求作：∠AOM，
使∠AOM＝∠AOB.
解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线，可得原角的四分之一角.
知1－练
解：作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E，交OB于点F；(2)分别以点E，F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部
交于点C；(3)画射线OC；(4)同理，作
∠AOC的平分线OM. 则∠AOM即为所
求作的角(如图15.3 -2).
知1－练
1-1. [期末·池州] 如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°.
(1)尺规作图：作△ABC的角平分线
CD，与AB交于点D；(不要求写
作法，保留作图痕迹)
解：如图，线段CD即为所求.
知1－练
(2)求∠ACB和∠ADC的度数.
解：∵∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°－60°－40°＝80°.
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝40°，
∴∠ADC＝180°－60°－40°＝80°.
知2－讲
知识点
过一点作已知直线的垂线
2
1. 过直线上一点作已知直线的垂线
已知：直线l与直线l上一点A，
如图15.3 -3 .
求作：直线AB，使AB⊥l于点A.
知2－讲
作法：①以点A为圆心，任意长
为半径画弧，交直线l于点M，N；
② 分别以点M，N为圆心，大于MN
的长为半径画弧，两弧交于点B；
③作直线AB. 直线AB就是所求作的垂线.
知2－讲
2. 过直线外一点作已知直线的垂线
已知：直线l与直线外一点A，
如图15.3 - 4 .
求作：直线AB，使AB⊥l于点B.
作法类似于线段垂直平分线的尺规作图法.
知2－讲
作法：① 任意取一点K，使K和A在直线l的两旁；
②以点A为圆心，AK长为半径画弧，交
直线l于点M，N；
③分别以点M，N为圆心，大于MN的长为
半径画弧，两弧交于点P；
④作直线AP交直线l于点B.
直线AB即为所求作的垂线.
知2－讲
特别解读
1. 经过直线上一点作这条直线的垂线，相当于作一个平角的平分线.
2. 大于MN的长为半径画弧是为了保证两弧有交点.
3. 作直线AB，不能作线段或射线.
4. 过直线外一点作已知直线的垂线时，使K和A在直线l的两旁是为了保证作弧时一定能与直线有两个交点.
知2－练
如图15.3-5，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于点D(点D与点C不重合)，连接BD，再分别以点C，D为圆心，大于
CD的长为半径作弧，两弧相交于点E，
作射线BE交AC于点F. 若∠A＝40 °，
则∠DBE的度数为( )
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
例 2
知2－练
解题秘方：根据作图可知BD＝BC，BF⊥CD，再结合等腰三角形的性质求角度即可.
知2－练
答案：A
解：∵ AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝∠ABC＝×(180°－40°)＝70°.
由作图可知BD＝BC，BF⊥CD，
∠BCD＝∠BDC＝70°，∴∠DBC＝40°，
易知∠DBE＝∠EBC，∴∠DBE＝∠EBC＝20°.
知2－练
2-1. 如图，已知直线l及直线外一点P，观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论不一定成立的是_____.(填序号)
① PQ为直线l的垂线；
② CA＝CB；
③ PO＝QO；
④∠APO＝∠BPO.
③
知2－练
2-2. 如图，已知直角三角形的一条直角边m和斜边n，求作此直角三角形. (要求: 写出已知、求作、结论，并用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明)
知2－练
解：已知：线段m和n，如图.
求作：Rt△ABC，使∠ACB＝90°，AB＝n，AC＝m.
结论：如图所示，Rt△ABC即为所求作的三角形.
知3－讲
知识点
角平分线的性质
3
1. 性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线的性质的两个必要条件：
(1)点在角平分线上；
(2)这个点到角两边的距离即点到角的两边垂线段的长度.
缺一不可.
知3－讲
2. 几何语言 如图15.3 - 6，
∵ OC平分∠AOB，P为OC上一点，
PD⊥OA于点D，
PE⊥OB于点E，
∴ PD＝PE.
简记：“两垂直+
一平分 线段相等”
知3－讲
特别提醒
利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”.
知3－练
如图15.3-7，OD 平分∠ EOF，在 OE， OF 上分别取点 A， B， 使 OA=OB， P 为 OD 上 一 点， PM ⊥ BD， PN ⊥AD，垂足分别为 M， N.
求证： PM=PN.
例 3
知3－练
解题秘方：在图中找出符合角平分线的性质定理的模型，利用角平分线的性质定理证明线段相等 .
知3－练
证明： ∵ OD 平分∠ EOF， ∴∠ BOD= ∠ AOD.
在△ BOD 和△ AOD 中，
∴△ BOD ≌△ AOD.（ SAS）
∴∠ BDO= ∠ ADO，即 DO 平分∠ BDA.
又∵ P 为 OD 上一点， PM ⊥ BD， PN⊥ AD，
∴ PM=PN.
知3－练
3-1. [期末·滁州] 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，AD平分∠BAC交BC于点D，若DB∶DC＝3∶2，S△ADC＝16，AB＝12，则CD的长为( )
A. 4
B. 3
C. 8
D. 6
A
知4－讲
知识点
角平分线的判定
4
1. 判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
知4－讲
2. 几何语言 如图15 .3 -8，
∵ 点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为D，E，
且PD＝PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
知4－讲
特别提醒
1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.
2. 角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线).
知4－练
如图15.3 -9，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
例 4
解题秘方：利用角平分线的判定定理证明角平分线时，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明.
证明：∵ BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF.(AAS)∴ DE＝DF.
∴ AD平分∠BAC.
知4－练
知4－练
4-1. [期末· 淮南] 如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACM的平分线相交于点D，连接AD. 求证：AD是△ABC的外角∠CAN的平分线.
知4－练
证明：过D作DE⊥BN于E，DF⊥AC于F，DG⊥BM于G.
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACM，
∴DE＝DG，DF＝DG，∴DE＝DF.
又∵DE⊥AN，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的外角∠CAN的平分线.
知5－讲
知识点
三角形的角平分线的性质
5
1. 性质定理 三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.
知5－讲
2. 几何语言 如图15.3 -10，在△ABC中，AD，BM，CN 分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线，
AD，BM，CN交于一点O，且点O
到三边BC，AB，AC的距离(OE，OG，
OF的长)相等，即OE＝OG＝OF.
知5－讲
要点解读
三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.
知5－练
如图15.3 -11，在△ABC中，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，AB＋BC＋AC＝30 . 过O作OD⊥ BC于点D，且OD＝3，求△ABC的面积.
解题秘方：紧扣三角形内角平分线的性质，关键是内心到三边的距离相等.
例 5
解：如图15.3 -11，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连接OA. ∵点O是∠ABC的平分线与
∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC，
∴ OE＝OD， OF＝OD，即OE＝OF＝
OD＝3 .
∴ S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝AB·OE＋BC·OD＋ AC·OF＝×3×(AB＋BC＋AC)＝×3×30＝45 .
知5－练
知5－练
5-1. 如图，有一块三角形的空地ABC. 其三边长AB，AC，BC分别为30 m，40 m，50 m.现要把它分成面积比为3∶4 ∶5 的三部分种植三种不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.
知5－练
解：方案如图.分别作∠ABC和∠ACB的平分线，两线交于点P，连接AP，则△ABP，△ACP，△BCP即为所求的三块地.
理由：∵P为△ABC的内角平分线的交点，
∴点P到AB，AC，BC的距离均相等.
∴△ABP，△ACP，△BCP的
面积比即为它们的底边AB，AC，BC的长度的比，即3∶4∶5.(答案不唯一)
角的平分线
角
的
平
分
线
作已知角
的平分线
性质
判定

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