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15.4 等腰三角形
第15章 轴对称图形与等腰三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
等腰三角形的性质定理 1
等腰三角形的性质定理 2
等腰三角形的判定
等边三角形的判定
含30°角的直角三角形的性质
知识点
等腰三角形的性质定理 1
知1－讲
1
1. 对称性 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴 .
知1－讲
2. 定理1 等腰三角形的两底角相等.简称“等边对等角”.
几何语言：
如图15.4-1，在△ABC中，
∵ AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
3. 推论 等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于 60° .
知1－讲
特别提醒
1. 适用条件：必须在同一个三角形中.
2.等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质.等边三角形任意两边都可以作为腰；任意一个角都可以作为顶角.
知1－练
例 1
如图 15.4-2，等 腰 三角 形 ABC 中， AB=AC，
∠ A=40°．线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接BE，
则∠ CBE 等于（ ）
A. 20° B. 30°
C. 40° D. 50°
知1－练
解： ∵ DE 垂直平分 AB，∴ EA=EB.
∴∠ ABE= ∠ A=40° .
∵ AB=AC，∴∠ C= ∠ ABC= (180° －∠ A) =70° .
∴∠ CBE= ∠ ABC- ∠ ABE=70° －40° =30° .
解题秘方：紧扣“等边对等角”和线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理解题．
答案： B
知1－练
1-1. [中考·内江] 如图，在 △ ABC 中，∠ DCE=40°， AE=AC， BC=BD，则 ∠ ACB 的 度 数为_______ .
100°
知1－练
[ 中 考·泰 安 ] 如图 15.4-3，直 线 l ∥ m，等 边 三角形ABC 的两个顶点 B， C 分别落在直线 l， m 上，若∠ ABE=21°，则∠ ACD 的度数是（ ）
A. 45° B. 39°
C. 29° D. 21°
例 2
知1－练
解题秘方：根据平行线的性质和等腰三角形的性质定理 1的推论，得出所求角与已知角之间的关系进行求解．
知1－练
解： ∵ l ∥ m，∴∠ EBC+ ∠ DCB=180° .
∴∠ EBA+ ∠ ABC+ ∠ ACB+ ∠ ACD=180° .
∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ ABC= ∠ ACB=60° .
又∵∠ ABE=21° ，
∴ 21° +60° +60° + ∠ ACD=180° .
∴∠ ACD=39° ．
答案： B
知1－练
2-1.如图，将等边三角形 APQ 的 边 PQ 向 两边 延 长，使 PB=QC=PQ，则∠ BAC 的度数为（ ）
A.120° B.110°
C.100° D.90°
A
知2－讲
知识点
等腰三角形的性质定理 2
2
定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合 . 简称“三线合一”.
几何语言：如图15.4 -4，在△ABC中，
(1)∵ AB＝AC，AD⊥BC，
∴ AD平分∠BAC(或BD＝DC)；
(2)∵ AB＝AC，BD＝DC，∴ AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；
(3)∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，∴ BD＝DC(或AD⊥BC).
知1－讲
特别解读
1. 适用条件：
(1)必须是等腰三角形；
(2)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合.
2. 作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要依据.
知2－练
[ 期末·亳州] 如图 15.4-5， AD， CE 分别是△ ABC 的中线和高．若 AB=AC，∠ ACE=32°，则∠ BAD 的度数为( )
A. 32° B. 29° C. 28° D. 25°
解题秘方：紧扣“三线合一”和三角形内角和定理解题．
例 3
知2－练
答案：B
解：∵ CE 是△ ABC 的高， ∴ CE ⊥ AB.
∴∠ BAC+ ∠ ACE=90° .
又∵∠ ACE=32° ， ∴∠ BAC=58° .
∵ AD 是△ ABC 的中线， AB=AC，
∴∠ BAD= ∠ CAD= ∠ BAC=29° ．
知2－练
3-1.如图，在△ ABC 中，AB=AC， AD ⊥ BC，∠ BAD=40°， AD=AE，则 ∠ CDE 的 度 数为(　　)
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
B
知2－练
[ 期末·北京] 如图 15.4-6，在△ ABC 中， AB=AC， D 是BC 的中点，过 A 作 EF ∥ BC，且 AE=AF. 连接 DE 交 AB 于点 G，连接 DF 交 AC 于点 H.
求证： (1) DE=DF；(2)BG=CH.
例 4
解题秘方：连接 AD，根据等腰三角形三线合一的性质和等边对等角的性质进行解答 .
知2－练
知2－练
求证：(1)DE＝DF；
证明：如图15.4 -6，连接AD.
∵ AB＝AC，D是BC的中点，
∴ AD⊥BC.
∵ EF∥BC，∴ AD⊥EF，
∵ AE＝AF，∴ AD垂直平分EF，∴ DE＝DF.
知2－练
(2)BG＝CH.
证明：∵ DE＝DF，DA⊥EF，∴∠EDA＝∠FDA.
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠EDB＝∠FDC.
∵ AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵ D是BC的中点，∴ BD＝CD.
∴△BDG ≌△CDH，(ASA)∴ BG＝CH.
知2－练
4-1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，DE⊥ AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F. 求证：DE＝DF.
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
知3－讲
知识点
等腰三角形的判定
3
1. 判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形.简称“等角对等边”.
几何语言：如图15.4- 7，在△ABC中，
∵∠B＝∠C，
∴ AB＝AC.
知3－讲
2. 等腰三角形的性质与判定的异同
相同点 使用的前提都是“在同一个三角形中”
不同点 等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等；等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等
知3－讲
特别解读
1.等腰三角形的定义也是一种判定方法.
2.“等角对等边”是我们以后证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角的关系得到角相等，从而得到所对的边相等.
知3－练
如图15.4 -8，在△ABC中，BD，AE分别是AC，BC边上的高，它们相交于点F，且AF＝BC.
求证：△ABD是等腰三角形.
例 5
解题秘方：利用三角形全等即可得出BD＝AD，从而利用定义判定△ABD是等腰三角形.
知3－练
证明：∵ BD，AE分别是AC，BC边上的高，
∴ BD⊥AC，AE⊥BC. ∴∠BDC＝∠ADF＝90°，
∴ ∠DBC＋∠BFE＝∠DAF＋∠AFD＝ 90°.
又∵∠BFE＝∠AFD，∴∠CBD＝∠DAF.
在△BCD和△AFD中，
∴△BCD≌△AFD.(AAS)
∴ BD＝AD. ∴△ABD是等腰三角形.
知3－练
5-1. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE＝CF，BF＝BE. 求证：△ABC是等腰三角形.
知3－练
证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝180°－∠ABC＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，AE＝CF，BE＝BF，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF.(HL)
∴AB＝CB，∴△ABC是等腰三角形.
知3－练
如图15.4 - 8，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，
BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF.
求证：△ACF为等腰三角形.
例 6
知3－练
解题秘方：根据等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质可以计算相关的角度. 然后利用“等角对等边”证明.
知3－练
证明：∵ AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°.
又∵ BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝36°，∴∠BAD＝∠ABD，∴ AD＝BD.
又∵ E是AB的中点，∴ DE⊥AB.
∴ DE垂直平分AB，∴ AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF＝72°，
知3－练
∴∠FAC＝∠BAF－∠BAC＝36°.
又∵∠ACB＝∠FAC＋∠AFC＝72°，∴∠AFC＝36°，
∴∠FAC＝∠AFC，∴ AC＝CF，
∴△ACF为等腰三角形.
顶角是36°的等腰三角形是“黄金”三角形，底角平分线分原三角形成两个等腰三角形.
知3－练
6-1. 如图，在△ABC中，P是BC边上的一点，过点P作BC 的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R. 若AQ＝AR，求证：△ABC是等腰三角形.
知3－练
证明：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR.
又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.
∵RP⊥BC，∴∠RPC＝∠QPB＝90°.
在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B＋∠BQP＝90°，
∠C＋∠R＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形.
知4－讲
知识点
等边三角形的判定
4
1. 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形.
几何语言：如图15.4 -10，在△ABC中，
∵∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形.
知4－讲
2. 推论2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
几何语言：如图15.4 -10，在△ ABC 中，
∵ AB＝AC，∠A＝60°
(或∠B＝60°或∠C＝60°)，
∴△ABC是等边三角形.
知4－讲
证明等边三角形的思维导图：
三角形
思路1：三边相等
思路2：三角相等
等边三角形
等腰三角形的判定
等腰三角形
有一个角等于60°
知4－讲
特别解读
1. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，推论2 都成立.
2. 等边三角形的判定方法：
(1)若已知三边关系，一般选用定义判定；
(2)若已知三角关系，一般选用推论1判定；
(3)若已知该三角形是等腰三角形，一般选用推论2判定.
知4－练
如图15.4 -11，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，AF为BC边上的中线，D为AF上的一点且BD的垂直平分线过点C并交BD于点E.
求证：△BCD是等边三角形.
例 7
知4－练
解题秘方：根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可推出BD＝DC＝BC，再利用等边三角形的定义得出结论.
证明：∵ AB＝AC，AF为BC边上的中线，
∴ AF⊥BC，∴ AF是BC的垂直平分线.
又∵ D为AF上的一点，∴ BD＝DC.
∵ CE是BD的垂直平分线，∴ BC＝CD.
∴ BD＝DC＝BC.
∴△BCD是等边三角形.
知4－练
知4－练
7-1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF. 求证：△ABC是等边三角形.
知4－练
证明：∵D为AB的中点，∴AD＝BD.
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠AED＝∠BFD＝90°.
在Rt△ADE和Rt△BDF中，∵AD＝BD，DE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF. (HL)
∴∠A＝∠B，∴AC＝CB.
又∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形.
知4－练
如图15.4-12，在△ABC中，D为BC延长线上的一点，∠A＝60°，∠ACD＝120°. 求证：△ABC是等边三角形.
例 8
知4－练
解题秘方：根据所给的角度求出△ABC的内角度数，然后根据等边三角形的判定方法进行判定.
证明：∵∠ACD＝120°，
∴∠ACB＝180°－∠ACD＝180°－120°＝ 60°.
又∵∠A＝60°，
∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－60°－60°＝60°.
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝6 0°.
∴△ABC是等边三角形.
知4－练
知4－练
8-1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E在BC上， 且AE＝BE，AD＝CD.
(1)求∠EAD的度数；
知4－练
解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.
∵AE＝BE，AD＝CD，
∴∠B＝∠EAB＝30°，∠C＝∠DAC＝30°.
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAE＝∠BAC－∠EAB－∠DAC＝120°－30°－30°＝60°.
知4－练
(2)求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵∠B＝∠EAB＝30°，∠C＝∠DAC＝30°，
∴∠AED＝∠B＋∠BAE＝60°，
∠ADE＝∠C＋∠DAC＝60°，
∴∠EAD＝∠AED＝∠ADE，
∴△ADE是等边三角形.
知4－练
如图15.4-13，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，
D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形.
例 9
知4－练
解题秘方：先证△BDE≌△CDF，然后由等边三角形的判定定理证明△DEF是等边三角形.
证明：∵∠A＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∴∠BDE＝∠CDF＝ 60°，∴∠EDF＝60°.
∵ D是BC的中点，∴ BD＝CD.
在△BDE与△CDF中，
∴△BDE≌△CDF，∴ DE＝DF.∴△DEF是等边三角形.
知4－练
知4－练
9-1. 如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上的一点. 在△ABC的外角的平分线CE上取点E，使CE＝BD，连接AD，AE，DE. 请判断△ADE的形状，并说明理由.
知4－练
知4－练
又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE.(SAS)
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE.
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝∠DAC＋∠BAD＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形.
知5－讲
知识点
含30°角的直角三角形的性质
5
性质定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
几何语言：如图15.4-14，在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴ BC＝AB.
知5－讲
特别解读
应用此性质，必须满足两个条件：
1. 在直角三角形中；
2. 有一个锐角为30 ° .
二者缺一不可.
知5－练
如图15.4-15，在Rt△ABC中 ，∠C＝90°，AB边的垂直平分线MN交AB于点M，交BC于点N，且∠B＝15°，AC＝4 cm，求BN的长.
例10
解题秘方：先构造含30°角的直角三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质求线段长.
解：如图15 .4 -15，连接AN.
∵MN为AB边的垂直平分线，
∴ AN＝BN，
∴∠NAB＝∠B＝15°，
∴∠ANC＝∠B＋∠NAB＝30°.
在Rt△ACN中，∠ANC＝30°，
∴ AN＝2AC＝2×4＝8(cm). ∴ BN＝ 8 cm.
知5－练
知5－练
10-1. [月考·合肥] 如图，已知∠AOB＝60 °，点C在边OA上，OC＝14，点D，E在边OB上，CD＝CE，若DE＝6，求OD的长.
知5－练
知5－练
如图15.4-16，在等边三角形ABC中，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q. 求证：BP＝2PQ.
解题秘方：利用含30 °角的直角三角形的性质证明线段的倍分关系.
例11
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴ AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°.
又∵ AE＝CD，∴△ABE≌△CAD.(SAS)
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BPQ＝∠ABE＋∠BAP＝∠CAD＋∠BAP＝∠BAE＝60°.
∵ BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°，∴ BP＝2PQ.
知5－练
知5－练
11-1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BD⊥AC于D，E为BC的中点，DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：E，C两点是线段BF的三等分点.
知5－练
知5－练
等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
特殊
判定
定义
等角对等边
性质
等边对等角
三线合一
对称性

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