资源简介

(共59张PPT)
15.1 轴对称图形
第15章 轴对称图形与等腰三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
轴对称图形
轴对称
线段的垂直平分线
轴对称的性质
利用轴对称性质画轴对称图形
平面直角坐标系中的轴对称
知识点
轴对称图形
知1－讲
1
1. 定义 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴 . 我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称 .
知1－讲
特别解读
轴对称图形的三个条件：
1. 一个整体图形；
2. 一条直线：对称轴；
3. 直线两旁的部分完全重合 .
知1－讲
2. 几种常见的轴对称图形及对称轴
名称 图形 对称轴 对称轴条数
线段 线段本身所在直线和过线段中点的垂线 2
角 角平分线所在的直线 1
等腰 三角形 底边上的高所在直线 1
知1－讲
续表
名称 图形 对称轴 对称轴条数
等边 三角形 各条边上的高所在直线 3
长方形 经过对边中点的直线 2
正方形 (1)经过对边中点的直线 (2)对角线所在的直线 4
知1－讲
续表
名称 图形 对称轴 对称轴条数
圆 经过圆心的任意一条 直线 无数
正n 边形 n为奇数：过顶点与对边中点的直线；n为偶数：过两条对边中点的直线或过相对顶点的直线 n
知1－讲
温馨提示
1. 轴对称图形是对于一个图形来说的，它被对称轴分成的两部分能够完全重合，其对称点在同一图形上 .
2. 对称轴是一条直线，而不是射线或线段 .
3. 一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条.
知1－练
例 1
下面四种化学仪器的示意图(图15.1-1)是轴对称图形的是( )
解题秘方：根据轴对称图形的定义识别.
解：观察图形，只有C选项是轴对称图形.
C
知1－练
方法点拨：判断轴对称图形的方法:
根据图形的特征，如果能找到一条直线，沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，即可确定这个图形是轴对称图形，否则就不是轴对称图形.
知1－练
1-1. [中考·天津] 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A
知1－练
1-2. [中考·深圳] 下列图形中，为轴对称图形的是( )
D
知2－讲
知识点
轴对称
2
1. 定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线( 成轴) 对称，这条直线就是对称轴. 折叠后重合的两点叫作对应点(也叫对称点).
知2－讲
特别解读
◆轴对称的三个条件：
1. 有两个图形；2. 存在一条直线；
3. 一个图形沿着这条直线折叠后与另一个图形重合.
◆轴对称的两个特性：
1. 成轴对称的两个图形全等. 但全等的两个图形不一定成轴对称.
2. 轴对称是图形的一种全等变换.
知2－讲
2. 轴对称与轴对称图形的区别与联系
名称 轴对称 轴对称图形
区 别 对象不同 两个图形 一个图形
意义不同 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形
对称点位 置不同 对称点分别在两个图形上 对称点在同一个图形上
知2－讲
续表
名称 轴对称 轴对称图形
区 别 对称轴位置不同 两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点) 轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部
对称轴数量不同 只有一条对称轴 有一条或多条
知2－讲
续表
名称 轴对称 轴对称图形
联 系 (1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠 (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称
知2－练
如图15.1-2 的四组图形中，成轴对称的有( )
A. 4 组 B. 3 组 C. 2 组 D. 1 组
例 2
知2－练
答案：D
解题秘方：根据轴对称的定义，沿着某条直线折叠，直线两旁的两个图形能完全重合，即成轴对称.
解：根据轴对称的定义，可以判断只有④中的两个图形沿着某一条直线折叠后，两个图形能够重合，所以成轴对称的只有1 组.
知2－练
方法点拨：判断两个图形是否成轴对称的方法：
尝试找一条直线，将图形沿着这条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够重合.
知2－练
2-1. 下列图形中，不成轴对称的是( )
C
知2－练
2-2. 如图，小手盖住的是两个三角形中的一个，若这两个三角形成轴对称，则小手盖住的三角形是(　　)
A
知3－讲
知识点
线段的垂直平分线
3
1. 定义 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，又叫作线段的中垂线.
知3－讲
2. 几何语言 如图15 .1-3，∵DC⊥AB，AC＝BC，
∴ DC是AB的垂直平分线.
反过来也成立：
∵DC是AB的垂直平分线，
∴ DC⊥AB，AC＝BC.
知3－讲
特别解读
1. 线段的垂直平分线必须满足两个条件：
(1)经过线段的中点；(2)垂直于这条线段.
两者缺一不可.
2.线段的垂直平分线是这条线段的一条对称轴.
知3－练
如图15.1-4，直线AE是线段BC的垂直平分线，垂足
为点E，D是直线AE上任意一点，求证：∠ABD＝∠ACD.
例 3
解题秘方：紧扣线段的垂直平分线的定义进行解答.
知3－练
证明：∵直线AE是线段BC的垂直平分线，
∴ BE＝CE，AE⊥BC. ∴∠AEB＝∠AEC＝90°.
在△ABE和△ACE中，∵
∴△ABE≌△ACE.(SAS)
∴∠ABE＝∠ACE. 同理可证∠DBE＝∠DCE.
∴∠ABE－∠DBE＝∠ACE－∠DCE，即∠ABD＝∠ACD.
知3－练
3-1. 如图，AC＝AB，DC＝DB，AD与BC相交于O.求证：
(1)△ACD≌△ABD；
证明：∵AC＝AB，DC＝DB，AD＝AD，
∴△ACD≌△ABD.(SSS)
知3－练
(2)AD垂直平分BC.
证明：∵△ACD≌△ABD，∴∠CAO＝∠BAO.
又∵AC＝AB，AO＝AO，∴△CAO≌△BAO，(SAS)
∴∠COA＝∠BOA＝90°，CO＝BO，
∴AD垂直平分BC.
知4－讲
知识点
轴对称的性质
4
轴对称的性质 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，如图15.1-5 ；成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称
轴垂直平分 .
特别地：成轴对称的两个图形的
对应线段所在直线平行或者重合或者
相交于某一点，且该点一定在对称轴上.
知4－讲
特别解读
1. 轴对称图形或成轴对称的两个图形的对应线段、对应角相等；
2. 轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，并且这两部分关于对称轴成轴对称.
知4－练
[母题 教材 P123 思考]如图15.1- 6，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P 为MN上任意一点，下列说法不正确的是( )
A.点 P 到点 A， A′的距离相等
B. MN垂直平分AA′，CC ′
C. 这两个三角形的面积相等
D. 直线AB，A′B′的交点不一定在MN上
例 4
知4－练
解题秘方：根据轴对称的性质对各选项分析判断.
解：A. 易知点P到点A，A′的距离相等，正确，不符合题意；B. ∵△ABC与△A′ B′ C′关于直线MN对称，∴MN垂直平分AA′，CC′，正确，不符合题意；C. ∵△ABC与△A′ B′ C′关于直线MN对称，∴这两个三角形的面积相等，正确，不符合题意；D. 直线AB，A′ B′的交点一定在MN上，此选项错误，符合题意.
答案：D
知4－练
4-1. 如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，连接AA′交对称轴l于点M，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则下列说法不正确的是(　　)
A. △ABC与△A′B′C′的周长相等
B. AM＝A′M且AA′⊥l
C. ∠B＝100°
D. 连接BB′，CC′，则AA′，BB′，CC′三条线段不仅平行而且相等
D
知4－练
如图15.1-7，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称. 若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为(　　)
A.9
B.10
C.11
D.12
例 5
知4－练
解题秘方：根据轴对称的性质得到AD＝DE，AC＝CE，结合已知条件和三角形周长公式解答.
解：∵点A与点E关于直线CD对称，
∴ AD＝DE，AC＝CE.
∵ AB＝7，AC＝9，BC＝12，
∴ △DBE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋AD＋BC－CE＝AB＋BC－AC＝7＋12－9 ＝10 .
答案：B
对称轴上的点到每组对应
点的距离都相等.
知4－练
5-1. 如图， ∠BAC＝110 °，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则∠PAQ的大小是(　　)
A. 70°
B. 55°
C. 40°
D. 30°
C
知5－讲
知识点
利用轴对称性质画轴对称图形
5
1. 方法 几何图形都可以看作由点组成. 对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)关于对称轴的对称点，再依次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
知5－讲
特别提醒
1. 找特殊点一定要找全，否则画出的图形不准确或不完整.
2. 常见的特殊点除线段的端点外，还有线与线的交点、中点等.
3. 若某点在对称轴上，则它的对应点是它本身.
知5－讲
2. 步骤 画轴对称图形的方法可简单归纳为“一找二画 三连”.
找：在原图形上找特殊点；
画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点；
连：依次连接各对称点.
知5－练
[母题 教材 P124 练习 T3]如图15.1-8，画出下列各图形关于直线l对称的图形.
例 6
知5－练
解题秘方：找全确定已知图形形状的特殊点，画出这些特殊点关于直线l的对称点，然后按原图顺序连接所画的对称点.
解：如图15.1-9.
知5－练
6-1. [ 模拟·安徽 ] 如图均为 2×2 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且 A， B， C 都在格点上．请分别在三个图中各画出一个与△ ABC 成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．
解：画法如下（答案不唯一）.
知6－讲
知识点
平面直角坐标系中的轴对称
6
1. 关于坐标轴对称的点的坐标规律
(1)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，－y)，其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)点(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(－x，y)，其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数.
知6－讲
特别解读
1. 关于坐标轴对称的点的坐标规律可简记为：横对称，横不变，纵相反；纵对称，纵不变，横相反.
2. 关于坐标轴对称的点的坐标只有符号不同，其绝对值相同.
知6－讲
2. 关于非坐标轴对称的点的坐标规律(拓展)
(1)点(a，b)关于直线x＝m对称的点为(2m－a，b)；
(2)点(a，b)关于直线y＝n对称的点为(a，2n－b)；
(3)点(a，b)关于原点对称的点为(－a，－b)；
(4)点(a，b)关于直线 y=x 对称的点为(b，a).
知6－练
已知点A(2a＋b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b).
(1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
(2)若点A，B关于y轴对称，求(4a＋4b)2 027的值.
例 7
知6－练
解题秘方：根据关于坐标轴对称的点的坐标规律列出方程
组求解即可.
若点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)关于x轴对称，则a1＝a2，b1＋b2＝0；
若点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)关于y轴对称，则a1＋ a2＝0，b1＝b2.
知6－练
(1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
解：∵点A，B关于x轴对称，
∴解得
知6－练
(2)若点A，B关于y轴对称，求(4a＋4b)2 027的值.
解：∵点A，B关于y轴对称，
∴解得
∴(4a＋4b)2 027＝(－7＋6)2 027＝(－1)2 027＝－1.
知6－练
7-1. 已知点M(a＋1，2a－1)关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围.
知6－练
[母题 教材 P126 练习 T2]△ABC在平面直角坐标系中的位置如图15.1-10，已知 A，B，C三点在格点上，请分别画出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形，
并写出对称图形顶点的
坐标.
例 8
知6－练
解题秘方：利用关于x轴、y轴对 称的点的坐标特征，作出△ABC三个顶点关于x轴、y轴的对称点，然后连接各对称点即可 .
知6－练
解：△ABC关 于x轴和y轴对称的图形分别为△A′B′C′和
△A″B″C″，如图 15.1-10 .
∵△ABC的三个顶点的坐标分别
为A(－3，1)，B(－1，0)，
C(－2，－1)，
∴根据关于坐标轴对称的点的坐
标特征可得A′(－3，－1)，B′(－1，0)，C′(－2，1)，A″(3，1)，B″(1，0)，C″(2，－1).
知6－练
教你一招：在坐标系中作成轴对称的图形的思路：
思路一：先求出特殊点的对称点的坐标，描出各对称点，再连接各对称点，所得到的图形即为符合条件的图形；思路二：先作出特殊点的对称点，再连接对称点，所得图形即为所求图形 .
知6－练
8-1.如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点坐标为A(1， －4)， B(5， －4)，C(4，－1).
知6－练
(1)请以x轴为对称轴，画出与△ABC对称的△A1B1C1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标；
解：如图，△A1B1C1即为所求.
A1(1，4)，B1(5，4)，C1(4，1).
知6－练
(2)△ABC的面积是_______；
(3)点P(a＋1，b－1)与点C关于y轴对称，则a＝______，b＝______.
6
－5
0
轴对称图形
轴对称图形
任何一对对应
点所连线段的
垂直平分线
轴对称
对称轴

展开更多......

收起↑