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15.2 线段的垂直平分线
第15章 轴对称图形与等腰三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线的作法
知1－讲
知识点
线段垂直平分线的性质
1
1. 线段的轴对称性 线段是轴对称图形，其垂直平分线就是它的一条对称轴 .
知1－讲
2.性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 .
条件： 点在线段的垂直平分线上 .
结论： 这个点到线段两端的距离相等 .
几何语言 如图15.2- 1，
∵AD⊥BC于D，BD＝CD，
∴ AB＝AC.
知1－讲
特别解读
1. 线段的垂直平分线的性质中的“距离”是“点与这条线段两个端点的距离”.
2. 用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法.
知1－练
如图15.2-2，在△ABC中，边AB的垂直平分线DM交BC于点D，交AB于点M，边AC的垂直平分线EN交BC于点E，交AC于点N.
(1)已知△ADE的周长为7cm，
求BC的长；
(2)若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，
求∠DAE的度数.
例1
知1－练
(1)已知△ADE的周长为7cm，求BC的长；
解题秘方：根据线段垂直平分线的性质可将△ADE的周长转化为BC的长；
解：∵DM是AB的垂直平分线，∴ DA＝DB.
∵ EN是AC的垂直平分线，∴ EA＝EC.
∵△ADE的周长为7cm，∴ AD＋DE＋AE＝7cm，
∴ BD＋DE＋EC＝7cm，即BC的长为7cm.
知1－练
(2)若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数.
解题秘方：根据全等三角形的性质可得∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，再利用三角形内角和定理进行计算解答.
知1－练
解：∵DM是AB的垂直平分线，
∴ DA＝DB，MB＝MA.
又∵MD＝MD，∴△BDM≌△ADM，
∴∠B＝∠DAB＝30°. 同理可得∠C＝∠EAC＝40°，
∴∠DAE＝180°－∠B－∠DAB－∠C－∠EAC＝180°－30°－30°－40°－40°＝40°.
知1－练
1-1. 如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，分别交边AC，BC于点D，E，BF⊥AC于F，且F为线段AD 的中点.
知1－练
(1)求证：AB＝CD；
证明：连接BD.
∵BF⊥AC，F为线段AD的中点，
∴BF垂直平分AD，∴AB＝BD.
∵DE是边BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∴AB＝CD.
知1－练
(2)若∠C＝30°，求∠ABC的度数.
解：∵DE是边BC的垂直平分线，∴BD＝CD，BE＝CE.
又∵DE＝DE，∴△BDE≌△CDE.
∴∠CBD＝∠C＝30°.
∴∠ADB＝∠CBD＋∠C＝30°＋30°＝60°.
易知△ABF≌△DBF，∴∠A＝∠ADB＝60°，
∴∠ABC＝180°－60°－30°＝90°.
知2－讲
知识点
线段垂直平分线的判定
2
1. 判定定理 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分 线上.
条件：点到线段两个端点距离相等.
结论：点在线段的垂直平分线上.
知2－讲
2. 几何语言 如图15.2- 3，
∵ AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上.
3. 三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.
知2－讲
特别解读
线段垂直平分线的判定方法：
1. 定义法，即证明直线过线段的中点，且垂直于这条线段；
2. 证明直线上两个不同的点到线段的两个端点的距离相等，根据两点确定一条直线，即可推出这两个点所在的直线就是这条线段的垂直平分线.
知2－练
如图15.2-4，AD为∠BAC的平分线，交BC于点D，AE＝AF，请判断线段AD所在的直线
是否为线段EF 的垂直平分线. 若是，
请给予证明；若不是，请说明理由.
例2
知2－练
解题秘方：紧扣线段的垂直平分线的判定证明直线AD上的点A和点D到线段EF的两个端点的距离相等即可.
知2－练
解：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.
证明如下：如图15.2-4，连接DE，DF.
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠FAD.
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD.(SAS)
∴ DE＝DF.
知2－练
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
∵ AE＝AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∴线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.
切忌只证明一个点在线段的垂直平分线上，就说过该点的直线是线段的垂直平分线.
知2－练
2-1. 如图，AD与BC相交于点O，连接AB，CD，BD，点E 是BD下方一点，连接OE，BE，DE，若OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE. 求证：OE垂直平分BD.
知2－练
知识点
线段垂直平分线的作法
知3－讲
3
1. 作线段的垂直平分线的常用方法
(1)过中点画垂线：先用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线，所得的垂线即为线段的垂直平分线.
(2)折纸：在半透明纸上画一条线段AA′，折纸，使A与A′重合，得到的折痕l是线段AA′的垂直平分线.
(3)尺规作图：保留作图痕迹，并指出结论：
知3－讲
尺规作图步骤与图示
已知：线段AB，如图15.2 -5.
求作：线段AB的垂直平分线.
作法：①如图15.2 -5，分别以点A，B为
圆心，大于AB长为半径画弧交于点C，D.
②过点C，D作直线. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
知3－讲
特别解读
作法中，“大于AB长为半径画弧”才能确保有两个交点，这个半径不能“等于或小于AB长”，要明确这一点.
知3－练
例3
画出如图15.2-6的图形的对称轴.
解题秘方：利用作任意一组对应点所连线段的垂直平分线作对称轴.
知3－练
解：作法：如图15.2-6. (1)连接BE；(2)作线段BE的垂直平分线l，则直线l即为所求作的对称轴.
知3－练
3-1. 如图，△ABC与△A′B′C′关于某条直线对称，请作出这条直线.
知1－练
线段的垂直平分线
线段的垂直
平分线
尺规
作图
性质
作线段的垂
直平分线
判定

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