资源简介

(共22张PPT)
定理（1）
学习目标
了解定理，推理的意义，初步理解定理在公理体系中的应用
通过证明三角形的内角和定理及其推论，进一步掌握证明的基本形式与规则
旧知回顾
我们已经知道，数学里
直观判断不完全可靠，
数学结论不能仅仅通过直观做出确切的判断
情景导入
三角形的内角和是多少？
你是怎么知道的？
你认为这个结论正确吗？
小学里，我们利用“撕角”的方法来说明的
正确的
怎么证明呢？
180°
新知学习
已知:∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
从这个拼图中，通过观察可以看到我们学习过的同位角，内错角，而内错角，同位角往往是和平行线是有联系的，由此启发我们，本题可以通过画出平行线来帮助我们完成本题的证明
证明:画边BC的延长线CD，过点C作CE∥AB
∵ CE // AB
∴∠l=∠A
∠2=∠B
∠1+∠2+∠ACB=180°
∠A+∠B+∠ACB = 180°
(两直线平行,内错角相等)，
(两直线平行,同位角相等).
(平角的定义)，
(等量代换).
经过证明之后，就可以把这个命题叫作三角形内角和定理:
经过上面证明方法，你还能想到用其他方法证明三角形的内角和定理吗
新知学习
定理：一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理
可以作为证明后续命题的依据.
1.三角形的内角和定理：三角形的内角和等180°
例题教学
例1 : 求证：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
已知:如图，∠ACD是△ABC的一个外角，∠A，∠B是与它不相邻的两内角.
求证:∠ACD=∠A+∠B.
证明：∵∠ACD+∠ACB=180°
∴∠ACD=180°-∠ACB，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°
∴∠A+∠B=180°-∠ACB
∴∠ACD=∠A+∠B
(平角的定义)，
(三角形内角和定理)，
(等式的性质).
(等量代换).
(等式的性质).
新知学习
2.三角形内角和定理推论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论：我们根据三角形内角和定理推出了一个新结论
像这样，由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论， 它和定理一样，也可以作为后续证明的依据.
巩固练习
1.已知:如图，AC，BD相交于点O.
求证:∠A+∠B=∠C+∠D.
证明：∵∠A+∠B+∠AOB=180°
∠C+∠D +∠COD=180°.
∴∠A+∠B=180°-∠AOB，
∠C+∠D=180°-∠COD
又∵∠AOB=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
三角形的内角和定理
对顶角相 等
等式的性质
例题学习
例题：写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题， 判断真假并给出证明。
解：逆命题：有两个角的和是90°的三角形是直角三角形。是真命题
A
B
C
已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠Ｂ＝９０°
求证：△ABC是直角三角形
证明：∵　∠A＋∠Ｂ＝９０°
　　　　　∠A＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°
　　　∴　∠Ｃ＝１８０°－（∠A＋∠Ｂ）
　　　　　　＝９０°
　　　∴　△ABC是直角三角形
（三角形内角和定理）
（已知）
（等式的性质）
（直角三角形的定义）
巩固练习
1.在△ABC中，
(1)若∠A+∠B=∠C,则∠C=__°: (2)若∠A=∠B=∠C,则∠C=___°
（3）如图，已知∠A=75°，∠B=40°，则∠ACD= °
（1）∵∠A+∠B=∠C， ∠A+∠B+∠C=180°
∴∠C+∠C=180°
∴∠C=90°
90
60
115°
(2)∵∠A+∠B+∠C=180°
∠A=∠B=∠C
∴3∠C=180°
∴∠C=60°
(3)∵∠ACD是△ABC的外角，∠A=75°，∠B=40°
∴∠ACD=∠A+∠B=115°
巩固练习
2.如图,若∠A=60°,∠B=48°,∠C=32°,则∠BDC的大小为（）
A. 102° B.160° C.150° D.140°
D
解;∵∠1是 ABD的外角，∠2是 △ACD的外角
∴∠1=∠3+∠B，∠2=∠4+∠C
∴ ∠BDC=∠1+∠2=∠3+∠B+∠4+∠C=∠BAC+∠B+∠C
=60°+48°+32°
=140°
巩固练习
3.如图,将铅笔放置在△ABC的边AB上,笔尖方向为点A到点B的方向,把铅笔依次绕点A,C,B按逆时针方向旋转∠A,∠C,∠B的度数,观察笔尖方向的变化,该操作说明了___
4.如图,在 ABC中,∠A=20°,∠B=60°,将点A与点B分别沿MN和EF折叠,使点A,B与点C重合,则∠NCF的大小为( )
A.22 B.21° C.20° D.19°
三角形的内角和是180°
△
4. ∵∠A=20°,∠B=60°
∴∠BCA =100°
根据翻折:∠A=∠MCN=20° ,∠B =∠FCE=60°
∴ ∠NAF=20°
∠A∠A
C
素养提升
1、如图,已知:AD平分∠BAC，点F在AD的反向延长线上,EF⊥BC,垂
足为E,∠1=40,∠C=60°,求∠B和∠F的度数
解：∵ AD平分∠BAC，∠1=40°
∴ ∠BAC=2∠1=80°
∵ ∠C=60
∵ ∠BAC+∠C+∠B=180°
∴ 80°+60°+∠B=180°
∴ ∠B=180°-80°-60°=40°
∵ ∠B=40°，∠1=40°
又∵ ∠B+∠1+∠ADB=180°
∴ 40°+40°+∠ADB=180°
∴ ∠ADB=100°
∴ ∠FDE=80°
∵ EF⊥BC
∴ ∠FED=90° ∴∠F=10°
.在三角形纸片中，点D,E分别在边AC,BC上,将∠C沿DE折叠,点C落在点C'的位置.
(1)如图①,当点C落在边BC上时,若∠ADC'=58°，则∠C= °:
(2)如图②，当点C'落在△ABC内部时,且∠BEC'=42°,∠ADC'=20°,求∠C的度数;
(3)如图③，当点C落在△ABC外部时,若设∠BEC'=x,∠ADC'=y, 求∠C与r,y之间的数量关系.
素养提升
素养提升
（1）∵∠ADC'=58°,∠ADC =180°
∴ ∠C'DC=122°
根据翻折得：∠C =∠
∵ ∠C'DC+ ∠C'+ ∠C=180°
∴ 122°+2∠C=180°
∴ ∠C=29°
素养提升
解：(2) ∵∠BEC'=42°,∠ADC'=20°,
∴∠CEC'=180°-∠BEC' =138°.
∠CDC’=180°-∠ADC'=160°
由折叠得
∠CDE =∠CDC'= 80°
∠DEC=∠CEC' = 69° ,
. ∴ ∠DEC+∠CDE=149°
∵ ∠DEC+∠CDE+ ∠C=180° ∴ ∠C=31°.
素养提升
(3)解: ∠C=x-y. 理由如下:
如图. ∵∠BEC'=x, ∠ADC' = y,
∴∠CEC'=180°-x.
∠1=180°+∠ADC' = 180°+ y
由折叠,得
∠CDE=∠C'DE=90°+y
∠DEC=∠DEC'= ∠CEC' =90°- x
∴∠C =180°-∠CDE-∠DEC=180°-(90°+y)-(90°-x)=x-y
∴∠C 与 x,y 之间的数量关系为:∠C=x - y
1
拓展延伸
一个多边形可以分割为若干个三角形，那么我们就可以利用三角形内角和定理推出多边形的内角和，例如：
在四边形ABCD内任意取一点P，连接P与四边形的四个顶点A、B、C、D，就可以得到四个三角形，你能利用三角形的内角和定理和已有的知识，求出四边形的内角和吗？
拓展延伸
解;∵在△AＤＰ中，∠ＡＰD＋∠ＰDＡ＋∠ＤＡＰ＝１８０°
　　在△ＣＤＰ中，∠ＣＰD＋∠ＣＤＰ＋∠ＰＣD＝１８０°
　　在△CPＢ中，∠C ＰB＋∠ＰＣＢ＋∠ＰＢＣ＝１８０°
　　在△AＢＰ中，∠ＡＰＢ＋∠ＡＢＰ＋∠ＰＡＢ＝１８０°
　 ∴∠ＡＰD＋∠ＰDＡ　＋∠ＤＡＰ＋∠ＣＰD＋∠ＣＤＰ＋∠ＰＣD＋∠C ＰB＋∠ＰＣＢ＋∠ＰＢＣ＋∠ＡＰＢ＋∠ＡＢＰ＋∠ＰＡＢ＝７２０°
　　　∵∠ＡＰD＋∠ＣＰD＋∠C ＰB＋∠ＡＰＢ＝３６０°
∴∠ＰDＡ　＋∠ＤＡＰ＋∠ＣＤＰ＋∠ＰＣD＋∠ＰＣＢ＋∠ＰＢＣ＋∠ＡＢＰ＋∠ＰＡＢ＋３６０°＝７２０°
∴∠ＰDＡ　＋∠ＤＡＰ＋∠ＣＤＰ＋∠ＰＣD＋∠ＰＣＢ＋∠ＰＢＣ＋∠ＡＢＰ＋∠ＰＡＢ＝３６０°
即：∠ＤＡＢ＋∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°
∴四边形ABCD的内角和是360°
总结提升
定理：一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理可以作为证明后续命题的依据.
推论：我们根据三角形内角和定理推出了一个新结论
像这样，由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论， 它和定理一样，也可以作为后续证明的依据.
总结提升
1.三角形的内角和定理：三角形的内角和等180°
2.三角形内角和定理推论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

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