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贵州省六盘水市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·六盘水期末）下列各实数中，无理数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、是分数，则它是有理数，故A不符合题意；
B、是无理数，故B符合题意；
C、，是整数，则它是有理数，故C不符合题意；
D、是循环小数，可化成分数，则它是有理数，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数，据此逐项进行判断即可.
2．（2024八下·六盘水期末）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：BCD选项不能在平面上找到一个点，使图形绕这一点旋转180°后，旋转后的图形与原图形重合，故BCD都不是中心对称图形；A选项能在平面上找到一个点，使图形绕这一点旋转180°后，旋转后的图形与原图形重合，故A是中心对称图形，
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此逐项进行判断即可.
3．（2024八下·六盘水期末）六盘水市位于贵州西部乌蒙山区，是国家“三线”建设时期发展起来的一座能源原材料工业城市，六盘水市共辖个县级行政区六枝特区、盘州市、水城区、钟山区，全市总人口数约人，将这个数用科学记数法表示是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：= .
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
4．（2024八下·六盘水期末）已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长是(　　)
A． B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若8是腰，则另一腰是8，底是5，而8+5＞8，则三角形成立，
∴ 它的周长为8+8+5=21；
②若8是底，则另一腰是5，5，而5+5＞8，则三角形成立，
∴ 它的周长为8+5+5=18；
综上可知：它的周长为或 .
故答案为：C.
【分析】分两种情况：①8是腰，②8是底，根据等腰三角形的性质及三角形三边关系解答即可.
5．（2024八下·六盘水期末）若，则下列不等式正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵
∴ ，正确，故符合题意；
B、∵，
∴，故不符合题意；
C、∵，
∴， 故不符合题意；
D、∵，
∴， 故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
6．（2024八下·六盘水期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、属于整式的乘法，故不符合题意；
B、属于因式分解， 故符合题意；
C、不属于因式分解， 故不符合题意；
D、属于整式的乘法，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
7．（2024八下·六盘水期末） 在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】 解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
故点所在的象限是第四象限．
故选：D．
【分析】四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．据此判定即可。
8．（2024八下·六盘水期末）在一次体检中，测得某校八班第一组同学的体重单位：分别为：，，，，，，，则该组同学体重的中位数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列为：48，50，52，55，55，56，50，60，
∴中位数为=55.
故答案为：C.
【分析】将这组8个数据从小到大排列，第4位和第5位数据的平均数即为中位数.
9．（2024八下·六盘水期末）若分式无意义，则实数的值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x+4=0，
解得x=-4.
故答案为：D.
【分析】分式无意义的条件：分母等于0，据此解答即可.
10．（2024八下·六盘水期末）如图所示，在中，对角线，相交于点O，点E是的中点．若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴点O是的中点，
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得出点O是的中点，从而可知是的中位线，进而根据三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半得到答案.
11．（2024八下·六盘水期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若点D是的中点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图，得垂直平分，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据垂直平分线尺规作图可知垂直平分，然后根据垂直平分线的性质得出，于是根据等腰三角形“等边对等角”性质得，由已知条件可得出，进行等量代换可得出，由等腰三角形“等边对等角”性质得出，接下来根据三角形内角和定理可求出.
12．（2024八下·六盘水期末）如图，点，，…在直线上，点，，…在直线上，以它们为顶点依次构造第一个正方形，第二个正方形…，若点的横坐标是1，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：∵点的横坐标是1，点，，…在直线上，
∴，
∵四边形是正方形，点，，…在直线上，
∴，
∴点的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，点的横坐标是1，点，，…在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵的横坐标为2，
∴，
∴，
∴，
∴，，，，
∴点的坐标是，即，
故答案为：C.
【分析】先确定点的坐标，得的坐标，从而得的坐标、正方形的边长，进而确定的坐标，同理求出的坐标，然后得到变化规律，即可求出点的坐标.
13．（2024八下·六盘水期末）化简　 　．
【答案】
【知识点】约分
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】直接利用分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，据此进行化简求解.
14．（2024八下·六盘水期末）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是　 　边形．
【答案】十
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形有n条边．
由题意得：（n﹣2）×180°=360°×4，
解得n=10．
则这个多边形是十边形．
故答案为：十．
【分析】一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是360°，则内角和是4×360°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
15．（2024八下·六盘水期末）因式分解： =　 　.
【答案】x（x﹣y）（x+y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x﹣y）（x+y）。
故答案为： 、x（x﹣y）（x+y） 。
【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止。
16．（2024八下·六盘水期末）如图，边长为15的等边三角形中，M是高上的一个动点，连接，同时将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则点M在运动的过程中，线段长度的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，取的中点G，连接，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∵是等边三角形，且边长为15，
∴，，
∴，
∵是等边三角形的高，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵M是高上的一个动点，
∴当时，最短，即最短，
又∵，
∴，
∴线段长度的最小值是，
故答案为：．
【分析】取的中点G，连接，得，根据旋转的性质得，，根据等边三角形的性质得，，，，然后进行等量代换可求出，，于是得证，得，接下来根据垂线段最短可知当时，最短，即最短，最后利用含30°的直角三角形的性质即可求解.
17．（2024八下·六盘水期末）（1）计算：．
（2）解不等式组：．
【答案】解：（1）原式
；
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，可，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先开立方，进行乘方运算，利用零指数幂进行化简，最后进行加减运算；
（2）先分别解每一个不等式，然后根据口诀”同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得到不等式组的解集.
18．（2024八下·六盘水期末）在如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，按要求解答下列问题：
（1）分别写出B，C两点的坐标；
（2）将沿y轴方向向上平移5个单位长度后得到，请画出平移后的；
（3）将绕点O顺时针旋转后得到，请画出旋转后的．
【答案】（1）解：根据题意，得；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，即为所求.
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）直接利用网格得到答案；
（2）根据平移的性质在网格中找到点平移后的对应点的位置，再顺次连接对应点即可；
（3）根据旋转的性质在网格中找到点旋转后的对应点的位置，再顺次连接对应点即可．
（1）解：由网格得，；
（2）解：如图，
（3）解：见上图．
19．（2024八下·六盘水期末）“书籍是人类文明进步的阶梯”，阅读时间已成为衡量学生学习状态的重要指标之一，为了解某校学生一周内课外阅读时间的情况，随机对部分学生一周内课外阅读时间进行了调查，将收集到的数据进行整理并制成如下两幅统计图（图1和图2）．
（1）图1中m的值是______，此次抽查数据的众数是______小时；
（2）求该校此次抽查的学生一周内平均课外阅读时间；
（3）若该校共有1000名学生，请你估计该校学生一周内课外阅读时间不少于6小时的人数．
【答案】（1）25，6；
（2）解：（小时），
∴该校此次抽查的学生一周内平均课外阅读时间为6小时；
（3）解：（人），
∴该校学生一周内课外阅读时间不小于6小时的人数约为700人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得抽查的学生人数为：（人），
∴，
∴，
∵课外阅读时间为6小时的人数最多，
∴此次抽查数据的众数为6小时，
故答案为：25，6；
【分析】（1）先用阅读时间为2小时的人数除以其所占百分比得到抽查的学生人数，从而用阅读时间为8小时的人数除以抽查人数再乘以100%得到m的值，然后根据众数的定义得到抽查数据的众数；
（2）利用平均数的定义，计算出调查的总课外阅读时间除以调查人数即可；
（3）用样本估计总体，计算出调查人数中不小于6小时的人数占比再乘该校总人数1000即可得出答案．
（1）解：人，．
∴．
6小时出现的次数最多，则众数为6小时．
故答案为：25，6；
（2）解：小时．
答：该校此次抽查的学生一周内平均课外阅读时间为6小时；
（3）解：人．
答：该校学生一周内课外阅读时间不小于6小时的人数约为700人．
20．（2024八下·六盘水期末）如图，在中，点E，F分别在和上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，且，，求的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，从而得，进而根据平行四边形的判定得证结论；
（2）根据角平分线的定义以及平行线的性质可推出，然后根据等腰三角形的判定得，据此即可求解.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为．
21．（2024八下·六盘水期末）每年的3月14日是“国际数学日”，旨在体现数学的重要性．六盘水市某中学在今年“国际数学日”举行了初中学生数学素养比赛，需购买一批乒乓球拍和羽毛球拍作为奖品．询价时了解到：文具店乒乓球拍单价是羽毛球拍单价的1.5倍，且花200元购买羽毛球拍的数量比花240元购买乒乓球拍的数量多2副．
（1）求询价时乒乓球拍和羽毛球拍的单价分别为多少元？
（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：羽毛球拍比之前询价时的单价上涨了2元，乒乓球拍则按之前询价时单价的8折出售．若学校最终购买了乒乓球拍和羽毛球拍共60副，且购买奖品的总费用不超过1361元，则学校至少需购买多少副羽毛球拍？
【答案】（1）解：设羽毛球拍单价为x元，则乒乓球拍单价是元，
根据题意，得，
解得：，
经检验是分式方程的解，
∴（元），
∴羽毛球拍单价为20元，则乒乓球拍单价是30元；
（2）解：∵羽毛球拍比之前询价时的单价上涨了2元，乒乓球拍则按之前询价时单价的8折出售，
∴现在羽毛球拍单价为：元，乒乓球拍单价为元，
设购买a副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，
根据题意，得，
解得：，
∵a为正整数，
∴a的最小值为40，
∴学校至少需购买40副羽毛球拍．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设羽毛球拍单价为x元，则乒乓球拍单价是元，根据“ 花200元购买羽毛球拍的数量比花240元购买乒乓球拍的数量多2副“列出关于x的分式方程，解分式方程即可求解；
（2）先分别求出现在羽毛球拍单价，乒乓球拍单价，然后设购买a副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，根据”购买奖品的总费用不超过1361元“列出关于a的一元一次不等式，解不等式得到a的取值范围，最后结合a是正整数，即可求解.
（1）解：设羽毛球拍单价为x元，则乒乓球拍单价是元，
根据题意有：，
解得：，
进检验，是分式方程的解，
∴元．
∴羽毛球拍单价为20元，则乒乓球拍单价是30元．
（2）解：现在羽毛球拍单价为：元，乒乓球拍单价为元，
设购买a副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，
根据题意：，
解得：，
∵a为整数，
∴最小为40，
故学校至少需购买40副羽毛球拍．
22．（2024八下·六盘水期末）已知一次函数的图象经过点，，与x轴，y轴相交于点C，D．
（1）结合函数图象，直接写出的解集为______；
（2）求一次函数的表达式；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：∵ 一次函数的图象经过点，
∴根据函数图象可知，当时，，
故答案为：；
（2）解：将，代入，得，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（3）解：∵一次函数的解析式为， 与x轴相交于点C，
∴，
∴，
∴.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）结合函数图象与点B的坐标即可求解；
（2）直接利用待定系数法进行求解；
（3）先求出点C的坐标，从而可得出的值，再根据，利用三角形面积公式即可求解．
（1）解：根据函数图象以及点可知，
∴当时，，
故答案为：．
（2）解，∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：
（3）另，则，
解得：，
∴，
∴
∴
23．（2024八下·六盘水期末）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．
理由如下：
∵
∴，，（第一步）
∴（第二步）
（1）解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质；
（2）应用此解题过程中的思路和方法解决问题：
①如果，则______；
②已知，求的值．
【答案】（1）分式，分式
（2）解：①∵，
∴，
∴，
故答案为：2；
②设，
∴，
∴.
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：（1）解题过程中第一步应用了分式的基本性质，在第二步解题过程中，应用了分式的基本性质，
故答案为：分式，分式；
【分析】（1）根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，即可求解；
（2）①根据分式的基本性质得到，然后代入进行计算即可；
②设，根据分式的基本性质得到，然后代入进行化简即可.
（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，应用了比例的基本性质
（2）①∵，
∴，
∴
故答案为2；
②设，则，
∴
24．（2024八下·六盘水期末）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．
（1）【知识生成】
观察图1，用两种不同的方法表示阴影部分的面积可得到一个等式：______；若，，则______；
（2）【灵活运用】
已知，求的值；
（3）【拓展迁移】
如图2，某校园艺社团在靠墙的空地上，用长12米的篱笆，再借助墙围成一个长方形花圃，面积为18平方米，其中墙足够长．随着学校社团成员的增加，学校在花圃旁分别以为边长向外扩建四个正方形花圃，以为边长向外扩建一个正方形花圃（扩建部分为如图2所示的虚线区域），求花圃扩建后增加的面积．
【答案】（1），100；
（2）解：设，
，，
；
（3）解：设米，则米，
，
，
，
新扩建花圃的总面积为：
∴新扩建花圃的总面积72平方米．
【知识点】完全平方公式的几何背景；数形结合
25．（2024八下·六盘水期末）在中，，，点D在边上．
（1）如图1，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．求证：；
（2）如图2，在线段上取一点F，使得，过点D作，交于点H，连接，过点B作垂直于的延长线于点G，，连接，．
①求证：；
②若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵线段绕着点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①证明：∵，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
②如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，
∴，，
∴，，
由①得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴在同一直线上，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质；等腰直角三角形；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，，从而得到，进而可推出，得，然后求出得证结论；
（2）①根据等腰直角三角形的性质得，然后根据垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定得，，于是得和，接下来即可证出；
②将绕点A逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质得，，则有，，由①知为等腰直角三角形，然后证明，得和，判定在同一直线上，则是等腰直角三角形，有为的中点，则是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求得的值．
（1）证明：∵，
∴；
∵线段绕着点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，即
在和中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①证明：∵，
∴；
∵，，
∴，，
∵
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
②如图，将逆时针旋转得到，连接，
则，，
∴，，
由①知为等腰直角三角形，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴在同一直线上，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
即．
1 / 1贵州省六盘水市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·六盘水期末）下列各实数中，无理数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·六盘水期末）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·六盘水期末）六盘水市位于贵州西部乌蒙山区，是国家“三线”建设时期发展起来的一座能源原材料工业城市，六盘水市共辖个县级行政区六枝特区、盘州市、水城区、钟山区，全市总人口数约人，将这个数用科学记数法表示是(　　)
A． B．
C． D．
4．（2024八下·六盘水期末）已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长是(　　)
A． B． C．或 D．
5．（2024八下·六盘水期末）若，则下列不等式正确的是(　　)
A． B． C． D．
6．（2024八下·六盘水期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是(　　)
A． B．
C． D．
7．（2024八下·六盘水期末） 在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2024八下·六盘水期末）在一次体检中，测得某校八班第一组同学的体重单位：分别为：，，，，，，，则该组同学体重的中位数是(　　)
A． B． C． D．
9．（2024八下·六盘水期末）若分式无意义，则实数的值是(　　)
A． B． C． D．
10．（2024八下·六盘水期末）如图所示，在中，对角线，相交于点O，点E是的中点．若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·六盘水期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若点D是的中点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
12．（2024八下·六盘水期末）如图，点，，…在直线上，点，，…在直线上，以它们为顶点依次构造第一个正方形，第二个正方形…，若点的横坐标是1，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
13．（2024八下·六盘水期末）化简　 　．
14．（2024八下·六盘水期末）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是　 　边形．
15．（2024八下·六盘水期末）因式分解： =　 　.
16．（2024八下·六盘水期末）如图，边长为15的等边三角形中，M是高上的一个动点，连接，同时将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则点M在运动的过程中，线段长度的最小值是　 　．
17．（2024八下·六盘水期末）（1）计算：．
（2）解不等式组：．
18．（2024八下·六盘水期末）在如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，按要求解答下列问题：
（1）分别写出B，C两点的坐标；
（2）将沿y轴方向向上平移5个单位长度后得到，请画出平移后的；
（3）将绕点O顺时针旋转后得到，请画出旋转后的．
19．（2024八下·六盘水期末）“书籍是人类文明进步的阶梯”，阅读时间已成为衡量学生学习状态的重要指标之一，为了解某校学生一周内课外阅读时间的情况，随机对部分学生一周内课外阅读时间进行了调查，将收集到的数据进行整理并制成如下两幅统计图（图1和图2）．
（1）图1中m的值是______，此次抽查数据的众数是______小时；
（2）求该校此次抽查的学生一周内平均课外阅读时间；
（3）若该校共有1000名学生，请你估计该校学生一周内课外阅读时间不少于6小时的人数．
20．（2024八下·六盘水期末）如图，在中，点E，F分别在和上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，且，，求的周长．
21．（2024八下·六盘水期末）每年的3月14日是“国际数学日”，旨在体现数学的重要性．六盘水市某中学在今年“国际数学日”举行了初中学生数学素养比赛，需购买一批乒乓球拍和羽毛球拍作为奖品．询价时了解到：文具店乒乓球拍单价是羽毛球拍单价的1.5倍，且花200元购买羽毛球拍的数量比花240元购买乒乓球拍的数量多2副．
（1）求询价时乒乓球拍和羽毛球拍的单价分别为多少元？
（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：羽毛球拍比之前询价时的单价上涨了2元，乒乓球拍则按之前询价时单价的8折出售．若学校最终购买了乒乓球拍和羽毛球拍共60副，且购买奖品的总费用不超过1361元，则学校至少需购买多少副羽毛球拍？
22．（2024八下·六盘水期末）已知一次函数的图象经过点，，与x轴，y轴相交于点C，D．
（1）结合函数图象，直接写出的解集为______；
（2）求一次函数的表达式；
（3）求的面积．
23．（2024八下·六盘水期末）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．
理由如下：
∵
∴，，（第一步）
∴（第二步）
（1）解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质；
（2）应用此解题过程中的思路和方法解决问题：
①如果，则______；
②已知，求的值．
24．（2024八下·六盘水期末）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．
（1）【知识生成】
观察图1，用两种不同的方法表示阴影部分的面积可得到一个等式：______；若，，则______；
（2）【灵活运用】
已知，求的值；
（3）【拓展迁移】
如图2，某校园艺社团在靠墙的空地上，用长12米的篱笆，再借助墙围成一个长方形花圃，面积为18平方米，其中墙足够长．随着学校社团成员的增加，学校在花圃旁分别以为边长向外扩建四个正方形花圃，以为边长向外扩建一个正方形花圃（扩建部分为如图2所示的虚线区域），求花圃扩建后增加的面积．
25．（2024八下·六盘水期末）在中，，，点D在边上．
（1）如图1，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．求证：；
（2）如图2，在线段上取一点F，使得，过点D作，交于点H，连接，过点B作垂直于的延长线于点G，，连接，．
①求证：；
②若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、是分数，则它是有理数，故A不符合题意；
B、是无理数，故B符合题意；
C、，是整数，则它是有理数，故C不符合题意；
D、是循环小数，可化成分数，则它是有理数，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数，据此逐项进行判断即可.
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：BCD选项不能在平面上找到一个点，使图形绕这一点旋转180°后，旋转后的图形与原图形重合，故BCD都不是中心对称图形；A选项能在平面上找到一个点，使图形绕这一点旋转180°后，旋转后的图形与原图形重合，故A是中心对称图形，
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此逐项进行判断即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：= .
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若8是腰，则另一腰是8，底是5，而8+5＞8，则三角形成立，
∴ 它的周长为8+8+5=21；
②若8是底，则另一腰是5，5，而5+5＞8，则三角形成立，
∴ 它的周长为8+5+5=18；
综上可知：它的周长为或 .
故答案为：C.
【分析】分两种情况：①8是腰，②8是底，根据等腰三角形的性质及三角形三边关系解答即可.
5．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵
∴ ，正确，故符合题意；
B、∵，
∴，故不符合题意；
C、∵，
∴， 故不符合题意；
D、∵，
∴， 故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
6．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、属于整式的乘法，故不符合题意；
B、属于因式分解， 故符合题意；
C、不属于因式分解， 故不符合题意；
D、属于整式的乘法，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
7．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】 解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
故点所在的象限是第四象限．
故选：D．
【分析】四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．据此判定即可。
8．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列为：48，50，52，55，55，56，50，60，
∴中位数为=55.
故答案为：C.
【分析】将这组8个数据从小到大排列，第4位和第5位数据的平均数即为中位数.
9．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x+4=0，
解得x=-4.
故答案为：D.
【分析】分式无意义的条件：分母等于0，据此解答即可.
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴点O是的中点，
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得出点O是的中点，从而可知是的中位线，进而根据三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半得到答案.
11．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图，得垂直平分，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据垂直平分线尺规作图可知垂直平分，然后根据垂直平分线的性质得出，于是根据等腰三角形“等边对等角”性质得，由已知条件可得出，进行等量代换可得出，由等腰三角形“等边对等角”性质得出，接下来根据三角形内角和定理可求出.
12．【答案】C
【知识点】正方形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：∵点的横坐标是1，点，，…在直线上，
∴，
∵四边形是正方形，点，，…在直线上，
∴，
∴点的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，点的横坐标是1，点，，…在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵的横坐标为2，
∴，
∴，
∴，
∴，，，，
∴点的坐标是，即，
故答案为：C.
【分析】先确定点的坐标，得的坐标，从而得的坐标、正方形的边长，进而确定的坐标，同理求出的坐标，然后得到变化规律，即可求出点的坐标.
13．【答案】
【知识点】约分
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】直接利用分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，据此进行化简求解.
14．【答案】十
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形有n条边．
由题意得：（n﹣2）×180°=360°×4，
解得n=10．
则这个多边形是十边形．
故答案为：十．
【分析】一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是360°，则内角和是4×360°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
15．【答案】x（x﹣y）（x+y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x﹣y）（x+y）。
故答案为： 、x（x﹣y）（x+y） 。
【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止。
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，取的中点G，连接，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∵是等边三角形，且边长为15，
∴，，
∴，
∵是等边三角形的高，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵M是高上的一个动点，
∴当时，最短，即最短，
又∵，
∴，
∴线段长度的最小值是，
故答案为：．
【分析】取的中点G，连接，得，根据旋转的性质得，，根据等边三角形的性质得，，，，然后进行等量代换可求出，，于是得证，得，接下来根据垂线段最短可知当时，最短，即最短，最后利用含30°的直角三角形的性质即可求解.
17．【答案】解：（1）原式
；
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，可，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先开立方，进行乘方运算，利用零指数幂进行化简，最后进行加减运算；
（2）先分别解每一个不等式，然后根据口诀”同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得到不等式组的解集.
18．【答案】（1）解：根据题意，得；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，即为所求.
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）直接利用网格得到答案；
（2）根据平移的性质在网格中找到点平移后的对应点的位置，再顺次连接对应点即可；
（3）根据旋转的性质在网格中找到点旋转后的对应点的位置，再顺次连接对应点即可．
（1）解：由网格得，；
（2）解：如图，
（3）解：见上图．
19．【答案】（1）25，6；
（2）解：（小时），
∴该校此次抽查的学生一周内平均课外阅读时间为6小时；
（3）解：（人），
∴该校学生一周内课外阅读时间不小于6小时的人数约为700人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得抽查的学生人数为：（人），
∴，
∴，
∵课外阅读时间为6小时的人数最多，
∴此次抽查数据的众数为6小时，
故答案为：25，6；
【分析】（1）先用阅读时间为2小时的人数除以其所占百分比得到抽查的学生人数，从而用阅读时间为8小时的人数除以抽查人数再乘以100%得到m的值，然后根据众数的定义得到抽查数据的众数；
（2）利用平均数的定义，计算出调查的总课外阅读时间除以调查人数即可；
（3）用样本估计总体，计算出调查人数中不小于6小时的人数占比再乘该校总人数1000即可得出答案．
（1）解：人，．
∴．
6小时出现的次数最多，则众数为6小时．
故答案为：25，6；
（2）解：小时．
答：该校此次抽查的学生一周内平均课外阅读时间为6小时；
（3）解：人．
答：该校学生一周内课外阅读时间不小于6小时的人数约为700人．
20．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，从而得，进而根据平行四边形的判定得证结论；
（2）根据角平分线的定义以及平行线的性质可推出，然后根据等腰三角形的判定得，据此即可求解.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为．
21．【答案】（1）解：设羽毛球拍单价为x元，则乒乓球拍单价是元，
根据题意，得，
解得：，
经检验是分式方程的解，
∴（元），
∴羽毛球拍单价为20元，则乒乓球拍单价是30元；
（2）解：∵羽毛球拍比之前询价时的单价上涨了2元，乒乓球拍则按之前询价时单价的8折出售，
∴现在羽毛球拍单价为：元，乒乓球拍单价为元，
设购买a副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，
根据题意，得，
解得：，
∵a为正整数，
∴a的最小值为40，
∴学校至少需购买40副羽毛球拍．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设羽毛球拍单价为x元，则乒乓球拍单价是元，根据“ 花200元购买羽毛球拍的数量比花240元购买乒乓球拍的数量多2副“列出关于x的分式方程，解分式方程即可求解；
（2）先分别求出现在羽毛球拍单价，乒乓球拍单价，然后设购买a副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，根据”购买奖品的总费用不超过1361元“列出关于a的一元一次不等式，解不等式得到a的取值范围，最后结合a是正整数，即可求解.
（1）解：设羽毛球拍单价为x元，则乒乓球拍单价是元，
根据题意有：，
解得：，
进检验，是分式方程的解，
∴元．
∴羽毛球拍单价为20元，则乒乓球拍单价是30元．
（2）解：现在羽毛球拍单价为：元，乒乓球拍单价为元，
设购买a副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，
根据题意：，
解得：，
∵a为整数，
∴最小为40，
故学校至少需购买40副羽毛球拍．
22．【答案】（1）解：∵ 一次函数的图象经过点，
∴根据函数图象可知，当时，，
故答案为：；
（2）解：将，代入，得，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（3）解：∵一次函数的解析式为， 与x轴相交于点C，
∴，
∴，
∴.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）结合函数图象与点B的坐标即可求解；
（2）直接利用待定系数法进行求解；
（3）先求出点C的坐标，从而可得出的值，再根据，利用三角形面积公式即可求解．
（1）解：根据函数图象以及点可知，
∴当时，，
故答案为：．
（2）解，∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：
（3）另，则，
解得：，
∴，
∴
∴
23．【答案】（1）分式，分式
（2）解：①∵，
∴，
∴，
故答案为：2；
②设，
∴，
∴.
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：（1）解题过程中第一步应用了分式的基本性质，在第二步解题过程中，应用了分式的基本性质，
故答案为：分式，分式；
【分析】（1）根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，即可求解；
（2）①根据分式的基本性质得到，然后代入进行计算即可；
②设，根据分式的基本性质得到，然后代入进行化简即可.
（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，应用了比例的基本性质
（2）①∵，
∴，
∴
故答案为2；
②设，则，
∴
24．【答案】（1），100；
（2）解：设，
，，
；
（3）解：设米，则米，
，
，
，
新扩建花圃的总面积为：
∴新扩建花圃的总面积72平方米．
【知识点】完全平方公式的几何背景；数形结合
25．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵线段绕着点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①证明：∵，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
②如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，
∴，，
∴，，
由①得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴在同一直线上，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质；等腰直角三角形；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，，从而得到，进而可推出，得，然后求出得证结论；
（2）①根据等腰直角三角形的性质得，然后根据垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定得，，于是得和，接下来即可证出；
②将绕点A逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质得，，则有，，由①知为等腰直角三角形，然后证明，得和，判定在同一直线上，则是等腰直角三角形，有为的中点，则是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求得的值．
（1）证明：∵，
∴；
∵线段绕着点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，即
在和中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①证明：∵，
∴；
∵，，
∴，，
∵
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
②如图，将逆时针旋转得到，连接，
则，，
∴，，
由①知为等腰直角三角形，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴在同一直线上，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
即．
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