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(共24张PPT)
第3课时　正方形
A.12 B.10
C.8 D.6
1.(2024·山东枣庄)如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN=120°，则n的值为( )
A
第2题图　
2.(2023·宣城广德期末)如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边所作的正方形EFGH的周长为( )
A. B.2
C.+1 D.2+1
B
3. 如图，在正方形ABCD内作等边△ABE，连接AC，CE，则∠AEC的度数是( )
A.135° B.130°
C.125° D.105°
A
［RJ版教材八下P67复习题18第1(3)题改编］
4.(2024·亳州二模)正方形ABCD的边长为，点E在边CD上，且CE=1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为( )
A. B. C.2- D.
D
【解析】连接EF.∵正方形ABCD的边长为，∴AB=BC=CD=AD=.∵CE=1，∴DE=-1，tan ∠EBC=，∴∠EBC=30°，
∴∠ABE=90°-∠EBC=60°.∵BF平分∠ABE，∴∠ABF=∠ABE=30°.在Rt△ABF中，AF==1，∴DF=AD-AF=-1，∴DE=DF，△DEF是等腰直角三角形，∴EF=DE=×(-1)=.∵M，N分别是BE，BF的中点，∴MN是△BEF的中位线，∴MN=EF=.
5.(2024·北京)如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G.若AD=5，CG=4，则△AEF的面积为 　.
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=∠DAE=90°.∵AF⊥DE，CG⊥DE，∴∠AFD=∠CGD=90°.∵∠ADF+∠CDG=∠ADF+∠DAF，∴∠CDG=∠DAF，∴△CDG≌△DAF(AAS)，∴AF=DG==3，DF=CG=4，同理可得∠EAF=∠ADF，又∵∠AFE=∠AFD，∴△AFE∽△DFA，∴，即，∴EF=，∴S△AEF=AF·EF=.
【解析】∵在正方形ABCD中，∠BAE=56°，∴∠DAF=34°，∠DFE=56°.∵AD=CD，
∠ADE=∠CDE，DE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，∴∠DCE=∠DAF=34°，∴∠CEF=∠DFE-∠DCE=56°-34°=22°.
　第6题图
6.(2023·四川宜宾改编)如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE.若∠BAE=56°，则∠CEF=　 　°.
　22　
7.［RJ版教材八下P67复习题18第2题改编］如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，连接DE，DF，BE，BF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若AB=4，AE=2，
求四边形BEDF的周长.
解：(1)由题意得∠DAE=∠BCF=45°，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)∵AB=AD=4，∴BD=AB=8.
由正方形对角线相等且互相垂直平分可得AC=BD=8，OD=OB=OA=OC=4. 又∵CF=AE=2，∴OE=OF=2，
∴四边形BEDF为菱形.
∵∠DOE=90°，
∴DE==2，
∴四边形BEDF的周长为8.
A.2 B.
C. D.
8.(2024·重庆B卷)如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1，则DM的长度为( )
D
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，∵BE=DF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(SAS)，∴AE=AF.∵AM平分∠EAF，∴∠EAM=∠FAM，∴△AEM≌△AFM(SAS)，∴EM=FM.∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=4，∠BCD=90°，设DM=x，则MC=CD-DM=4-x，CE=BC-BE=4-1=3，EM=FM=1+x.在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2=MC2+CE2，即(1+x)2=(4-x)2+32，解得x=.
【解析】易证得△AOF≌△BOE(ASA)，
∴OE=OF，∴EF=OE.
∵当OE⊥AB时，OE最小，最小值为AB=2，
∴EF的最小值为OE=2.
A.2 B.3 C.2 D.4
9. 如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD上的动点，O为对角线的交点，连接OE，OF，EF.若OE⊥OF，AB=4，
则EF的最小值为( )
C
［RJ版教材八下P63实验与探究改编］
10. (2023·黄山祁门期中)如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=4，H是AF的中点，那么CH的长是 　.
图1　　 图2
【解析】解法1：如图1，连接AC，FC.∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，BC=1，CE=4，∴∠ACD=∠FCG=45°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，CE=EF=4，∴∠ACF=90°，由勾股定理，得AC=，CF==4，∴AF=.∵∠ACF=90°，H为AF的中点，∴CH=AF=.
解法2：如图2，过点H作HM⊥BE于点M，则∠HMC=90°.∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AB=BC=1，EF=CE=4，∠B=∠E=90°，∴HM∥AB∥FE.∵H为AF的中点，∴M为BE的中点，∴HM=(AB+EF)=×(1+4)=，BM=BE=，∴CM=.在Rt△HMC中，由勾股定理，得CH=.
11. (2024·甘肃白银)【模型建立】
(1)如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB=BC，CD⊥BD，AE⊥BD.用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由.
【模型应用】
图1
(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE=EF.用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由.
【模型迁移】
图2
(3)如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE=EF.用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由.
图3
解：(1)DE+CD=AE，理由如下：
∵AB⊥BC，CD⊥BD，AE⊥BD，
∴∠ABC=∠D=∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠CBD=∠C+∠CBD=90°，
∴∠ABE=∠C，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCD(AAS)，
∴BE=CD，AE=BD，
∴DE=BD-BE=AE-CD，
∴DE+CD=AE.
(3)AD=BE-DF.理由如下：
过点A作AH⊥BD于点H，过点F作FG⊥BD，交BD的延长线于点G.∵AH⊥BD，FG⊥BD，AE⊥EF，
∴∠AHE=∠G=∠AEF=90°，
∴∠AEH+∠HAE=∠AEH+∠FEG=90°，
∴∠HAE=∠FEG.
∵AE=AF，∴△HAE≌△GEF(AAS)，
∴HE=FG.
在正方形ABCD中，∠BDC=45°，
∴∠FDG=∠BDC=45°，∴△DFG是等腰直角三角形，
∴FG=DF，∴HE=FG=DF.∵∠ABD=45°，AH⊥BD，∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AB=BH=(BE-HE)=BE-DF.
又∵AD=AB，∴AD=BE-DF.(共20张PPT)
第2课时　菱　形
1.(2023·滁州定远期末)已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是菱形的对角线，那么下列说法一定正确的是( )
A.AC=BD B.AC⊥BD
C.AC=AB D.∠BAC=∠ABD
B
A. B.6
C. D.12
2.(2024·黑龙江绥化)如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )
A
3.如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是( )

A.BE=DF B.∠BAE=∠DAF
C.AE=AD D.∠AEB=∠AFD
C
4.如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，E，F分别是边CD，BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG=( )

A.5 B.10
C.12 D.13
B
5.(2024·上海)在菱形ABCD中，∠ABC=66°，
则∠BAC=　 　°.
　57　
6.(2023·安庆桐城期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点.若AC=16，OE=5，则菱形ABCD的面积为　　.
【解析】∵四边形ABCD为菱形，AC=16，∴AC⊥BD，OA=OC=AC=8，∵E是AB的中点，∴AB=2OE=10，∴OB==6，∴BD=2OB=12，∴S菱形ABCD=AC·BD=×16×12=96.
96
7.(2024·四川广安)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的点，BE=BF，求证：∠DEF=∠DFE.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C.
∵BE=BF，∴AB-BE=BC-BF，
∴AE=CF，
∴△DAE≌△DCF(SAS)，∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE.
8. (2023·合肥庐江期末)已知四边形ABCD为菱形，其周长为16，面积为8，则∠ABC为( )
A.30°
B.150°
C.30°或120°
D.30°或150°
D
图1　　　　　 图2
【解析】分两种情况：①如图1，当∠BAD为钝角时，过点A作AE⊥BC于点E.∵菱形ABCD的周长为16，∴AB=BC=CD=AD=4.∵菱形ABCD的面积为8，∴BC·AE=8，∴AE=2，∴AE=AB，∴∠ABC=30°；
②如图2，当∠BAD为锐角时，过点D作DE⊥AB于点E，易知∠ABC+∠A=180°，DE=AB，∴∠A=30°，∴∠ABC=180°-∠A=150°.综上所述，∠ABC的度数为30°或150°.
A.5 B.+3
C.3 D.3+2
9.(2024·合肥包河区二模)如图，菱形ABCD的面积为48，AB=8，∠B为锐角，点E，F，G分别在AB，BC，AD上，∠FEG=90°，EF=EG.若FG⊥BC，则BF的长为( )
B
【解析】过点E作EM⊥BC于点M，EO⊥FG于点O.
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，BC=AB=8，
∵FG⊥BC，∴菱形ABCD的面积=BC·FG=48，∴FG=6.∵∠FEG=90°，EG=FE，∴O是FG的中点，∴OE=FG=×6=3，∴OE=OF.易知四边形OEMF是正方形，∴FM=EM=OF=OE=3，∵BC⊥FG，EO⊥FG，∴AD∥OE∥BF.∵OG=OF，∴AE=BE=AB=4，∴BM=，∴BF=BM+MF=+3.
A.2 B.3
C. D.2
图1　　　 图2
10.(2024·甘肃白银)如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为( )
C
【解析】结合图象，可知当x=0时，PO=AO=4，
∴当点P运动到点B时，PO=BO=2，根据菱形的性质，得∠AOB=90°，∴AB==2，当点P运动到BC中点时，PO是△ABC的中位线，∴PO=AB=.
11.如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC到点E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为点F.若DF=，则BD的长为　 　.(结果保留根号)
2
【解析】连接AC，交BD于点H.由菱形可知∠BCD=180°-∠ABC=100°，∠DHC=∠DFC=90°，∠DCF=50°.∵AC平分∠BCD，∴∠HCD=50°.易证△CDH≌△CDF，∴DH=DF=，∴BD=2DH=2.
12.(2024·山东威海)如图，在菱形ABCD中，AB=10 cm，∠ABC=60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF=60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF.点E从点C出发，沿CA方向以每秒2 cm的速度运动至点A处停止.设△BEF的面积为y cm2，点E的运动时间为x秒.
(1)求证：BE=EF；
(2)求y与x的函数表达式，
并写出自变量x的取值范围；
(3)求x为何值时，线段DF的长度最短.
备用图
解：(1)设CD与EF相交于点M.
∵四边形ABCD为菱形，∴BC=DC，∠BCE=∠DCE，
∴△BCE≌△DCE(SAS)，
∴∠CBE=∠CDE，BE=DE.
∵∠DEF=∠DCF=60°，∠DMF=∠DEF+∠CDE=∠DCF+∠CFE，
∴∠CDE=∠CFE，
∴∠CBE=∠CFE，∴BE=EF.
(2)过点E作EN⊥BC于点N，则∠ENC=90°.
∵BE=EF，∴BF=2BN.
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴BC=AB=10 cm，∠ECN=60°.
∵CE=2x cm，∴CN=CE=x cm，EN=CN=x cm，
∴BN=BC-CN=(10-x) cm，∴BF=(20-2x) cm，
∴y=BF·EN=-x2+10x.
∵0≤2x≤10，∴0≤x≤5，
∴y=-x2+10x(0≤x≤5).
(3)∵BE=DE，BE=EF，∴DE=EF.
∵∠DEF=60°，∴△DEF为等边三角形，
∴DE=DF=EF，∴BE=DF，
∴线段DF的长度最短，即BE的长度最短，
∴当BE⊥AC时，BE最短.
由(2)可知△ABC为等边三角形，∵BE⊥AC，∴CE=AC=5 cm，∴x=，
∴当x=时，线段DF的长度最短.(共22张PPT)
5.1　多边形与平行四边形
1.(2024·四川遂宁)佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )
A.36° B.40° C.45° D.60°
C
2.(2024·宿州萧县二模)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=4，AC=6，BD=10，则BC的长为( )

A.8 B.6 C.3 D.2
D
第3题图
3.(2023·亳州一模)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC的中点，点F在DE的延长线上.若添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是( )
A.∠B=∠F B.∠B=∠BCF
C.AC=CF D.AD=CF
B
第4题图
4.(2024·滁州天长二模)如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AD和CD上，EF∥AC，连接BE交对角线AC于点G.若G是AC的四等分点(AG＜CG)，AC=4，则EF的长为( )
A. B.2
C. D.3
C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△AEG∽△CBG，∴.∵G是AC的四等分点，∴，∴，∴，∴.∵EF∥AC，∴△DEF∽△DAC，∴，∴EF=AC=.
A.x+y B.x-y
C.xy D.x2+y2
5.(2024·浙江)如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2，BD=2.过点A作AE⊥BC，垂足为点E，记BE长为x，BC长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是( )
C
【解析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AD∥BC，∴AE=DH，∴Rt△DCH≌Rt△ABE(HL)，∴CH=BE=x.∵BC=y，∴EC=BC-BE=y-x，BH=BC+CH=y+x.∵AE2=AC2-EC2，DH2=BD2-BH2，∴22-(y-x)2=(2)2-(y+x)2，整理得xy=2.
6.(2024·四川广安)如图，在 ABCD中，AB=4，AD=5，∠ABC=30°，M为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为 　.
【解析】作点A关于直线BC的对称点A'，连接AA'，A'D，则MA+MD最小时为A'D的长.∵AB=4，∠ABC=30°，易得AA'=4，AA'⊥BC，∵AD∥BC，∴AA'⊥AD，∴A'D=，即MA+MD的最小值为.
　
(1)求证：四边形BCDE为平行四边形；
(2)若AD⊥AB，AD=8，BC=10，求线段AE的长.
选择①或②　
7.(2024·湖南)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，　 .
请从“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题：
解：(1)证明如下：
选择①：∵∠B=∠AED，∴BC∥DE，∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形.
选择②：∵AE=BE，AE=CD，∴BE=CD，∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形.
(2)由(1)可知四边形BCDE为平行四边形，
∴DE=BC=10.∵AD⊥AB，∴AE==6，即线段AE的长为6.
第8题图　
8.(2024·山东枣庄)如图，E为 ABCD的对角线AC上一点，AC=5，CE=1，连接DE并延长至点F，使得EF=DE，连接BF，则BF为( )
A. B.3
C. D.4
B
9.如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2.若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是　 　.
第9题图
4
【解析】设正六边形ABCDEF的中心为O，连接MO并延长交CD于点N，则MN将正六边形的面积平分，过点O作OH⊥AF于点H，连接AC.由题知AF=AB=6，易得AH=AF=3，AC=6，∴OH=AC=3，MH=AH-AM=1，∴OM==2，∴MN=2OM=4.
10.(2023·合肥蜀山区一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长的最小值为 　.
【解析】设AC，PQ交于点O.∵∠BAC=90°，AB=3，BC=5，∴AC==4.∵四边形PAQC是平行四边形，∴PO=QO=，CO=AO=2，∴PQ最短也就是PO最短，且当PO⊥BC时，PO最短.易证△CPO∽△CAB，∴，即，解得PO=，∴PQ长度的最小值为2PO=.
11. 如图，在 ABCD中，E为CD边的中点，连接AE，已知AE的延长线和BC的延长线相交于点F.
(1) 求证：BC=CF.
(2)连接DF，AC，BE，AC和BE相交于点G，作CM∥BE交DF于点M.求证：△ABG≌△DCM.
证明：(1)解法1：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADC=∠FCE.
∵E为CD边的中点，∴ED=EC.
∵∠AED=∠CEF，∴△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，∴BC=CF.
解法2：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
∵E为CD边的中点，∴CE=CD=AB，
∴CE为△ABF的中位线，∴BC=CF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，∠ABC=∠DCF，∠BAC=∠ACD.
∵CM∥BE，∴∠CBE=∠FCM，
∴∠ABG=∠DCM.
由(1)可知AD=BC=CF，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴AC∥DF，∴∠ACD=∠CDM，
∴∠BAC=∠CDM，
∴△ABG≌△DCM(ASA).
12.(2023·江苏扬州)如图，E，F，G，H分别是 ABCD各边的中点，连接AF，CE相交于点M，连接AG，CH相交于点N.
(1)求证：四边形AMCN是平行四边形；
(2)若 AMCN的面积为4，
求 ABCD的面积.
解：(1)∵F，H是 ABCD对边的中点，
∴AH∥CF，AH=CF，
∴四边形AFCH是平行四边形，
∴AM∥CN.
同理可证四边形AECG是平行四边形，
∴AN∥CM，
∴四边形AMCN是平行四边形.
(2)连接AC，HG.
∵AC为 AMCN的对角线，S AMCN=4，
∴S△CAN=2.
∵H，G分别是AD，CD的中点，
∴HG∥AC，HG=AC，
∴△HGN∽△CAN，∴AN=2GN，
∴S△GAC=S△CAN=3，
∴S ABCD=4S△GAC=12.(共21张PPT)
第1课时　矩　形
1.矩形不具有的性质是( )
A.矩形是轴对称图形也是中心对称图形
B.矩形的对边平行且相等
C.矩形的对角线互相平分且相等
D.矩形的对角线互相平分且垂直
D
2.(2024·淮北二模)在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A.AD=BC且AC=BD
B.AD=BC且∠A=∠B
C.AB=CD且∠A=∠C
D.AB∥CD且AC2=AB2+BC2
C
A.点A B.点B
C.点C D.点D
3. (2024·河北)在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是( )
B
4.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点.若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为　 　.
20　
【解析】∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴OM=CD=AB=2.5.∵AB=5，AD=12，∴AC==13.∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO=AC=6.5，∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20.
5.(2024·四川德阳)如图，四边形ABCD是矩形，△ADG是正三角形，F是GD的中点，P是矩形ABCD内一点，且△PBC是以BC为底的等腰三角形，则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是　 　.
　2　
【解析】如图，连接PD，FC，设BC，AD的中点分别为M，N，连接MN，GN，∵GA=GD，PB=PC，
∴易得点G，N，P，M共线，过点F作FR⊥CD交CD的延长线于点R，延长RF，与GN交于点Q.设BC=a，
CD=b，MC=ND=a，∴S△PCD=×b×a=ab.
易证△GQF≌△DRF，∴QF=RF=ND=a，∴S△FCD=×b×a=ab，∴=2.
6.(2024·陕西)如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE=CF，求证：AF=DE.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°.
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∴△ABF≌△DCE(SAS)，∴AF=DE.
第7题图　
7.如图，在矩形ABCD中， AB=4，BC=6，E是AD的中点，点F在DC上，且CF=1.若在矩形ABCD上存在一点P，使得△PEF是等腰三角形，则点P的个数是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
D
【解析】连接BF.在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是AD的中点，CF=1，∴ED=FD=3，∴EF=3，BF=.若△PEF是等腰三角形，则存在三种情况：①当EF为腰，E为顶角顶点时，可知在BC上存在2个点P，在AB上存在1个点P，共3个，使△PEF是等腰三角形；②当EF为腰，F为顶角顶点时，∵1＜3，∴在BC上存在1个点P，使△PEF是等腰三角形；③当EF为底边，P为顶角顶点时，点P一定在EF的垂直平分线上，作图可知EF的垂直平分线与矩形有2个交点，即存在2个点P.综上所述，满足题意的点P的个数是6.
8.如图，OM⊥ON，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=6，BC=2.在运动过程中：
(1)Rt△AOB斜边中线的长度是否发生
变化？　 　.(填“是”或“否”)
(2)点D到点O的最大距离是 　.
+3
第8题图
　否　
【解析】设斜边AB的中点为Q，连接OQ.(1)在运动过程中，斜边中线OQ=AB.∵AB长度不变，∴OQ长度不变；(2)连接DQ，OD.在矩形的运动过程中，有DQ+OQ≥OD，当D，Q，O三点共线时，则有DQ+OQ=OD，此时OD取得最大值.∵Q为AB的中点，∴AQ=AB=3.又∵AD=BC=2，∴DQ=，∴OD=DQ+OQ=+3.
9.［HK版教材八下P89例3改编］如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，连接AD，作AE∥BC，且AE=BD，连接BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形.
(2)连接CE交AB于点F，交AD于点G.
若∠ABE=30°，AE=2，求FG的长.
解：(1)∵AE∥BC，AE=BD，
∴四边形AEBD是平行四边形.
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，
∴四边形AEBD是矩形.
(2)由(1)知四边形AEBD是矩形，D为BC的中点，
∴∠AEB=90°，BD=CD=AE=2.
∵∠ABE=30°，∴BE=AE=2.
易证△AEG≌△DCG，
∴AG=DG=BE=，
∴EG=.
∵BE∥AG，∴△BEF∽△AGF，
∴=2，∴FG=EG=.
10.如图，在矩形ABCD中，Rt△BEC的直角顶点E在边AD上，∠CBE的平分线BF交CE于点G，交边CD于点F.
(1)如图1，若E为AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；
(2)如图2，若sin ∠BCE=，求证：BG=4FG；
(3) 如图2，若CF=2DF=2，求CE·EG的值.
图1　　 图2
解：(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD.
∵E为AD的中点，∴AE=DE，
∴△AEB≌△DEC(SAS).
(2)过点F作FH⊥BE，交BE的延长线于点H.
∵BF平分∠CBE，∠BCD=∠BHF=90°，
∴FH=FC.
∵BF=BF，∴Rt△BFH≌Rt△BFC(HL)，∴BH=BC.
∵sin ∠BCE=，∴=4.
∵GE∥HF，∴=4，∴BG=4FG.
(过点G作GM⊥BC于点M亦可，过程同理)
(3)解法1：过点F作FH⊥BE，交BE的延长线于点H，连接GH.
∵CE∥HF，∴∠HFG=∠CGF.
由(2)知∠HFG=∠CFG，
∴∠CGF=∠CFG，∴CG=CF=HF，
∴四边形CFHG为菱形，
∴GH∥CF，GH=CF，∴∠EGH=∠DCE.
∵∠GEH=∠CDE=90°，
∴△GEH∽△CDE，∴，
∴CE·EG=CD·GH.
∵CF=2DF=2，∴GH=CF=2，CD=3，
∴CE·EG=6.
解法2：∵∠EBG=∠CBF，∠BEG=∠BCF=90°，
∴△BEG∽△BCF，∴.
易证△BEC∽△CDE，∴，即，∴.
∵CF=2DF=2，∴CD=3，
∴CE·EG=CF·CD=6.

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