第五章 四边形-2025中考数学精练专题课件(4份打包)

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第五章 四边形-2025中考数学精练专题课件(4份打包)

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(共24张PPT)
第3课时 正方形
A.12 B.10
C.8 D.6
1.(2024·山东枣庄)如图,已知AB,BC,CD是正n边形的三条边,在同一平面内,以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN=120°,则n的值为( )
A
第2题图 
2.(2023·宣城广德期末)如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边所作的正方形EFGH的周长为( )
A. B.2
C.+1 D.2+1
B
3. 如图,在正方形ABCD内作等边△ABE,连接AC,CE,则∠AEC的度数是( )
A.135° B.130°
C.125° D.105°
A
[RJ版教材八下P67复习题18第1(3)题改编]
4.(2024·亳州二模)正方形ABCD的边长为,点E在边CD上,且CE=1,∠ABE的平分线交AD于点F,点M,N分别是BE,BF的中点,则MN的长为( )
A. B. C.2- D.
D
【解析】连接EF.∵正方形ABCD的边长为,∴AB=BC=CD=AD=.∵CE=1,∴DE=-1,tan ∠EBC=,∴∠EBC=30°,
∴∠ABE=90°-∠EBC=60°.∵BF平分∠ABE,∴∠ABF=∠ABE=30°.在Rt△ABF中,AF==1,∴DF=AD-AF=-1,∴DE=DF,△DEF是等腰直角三角形,∴EF=DE=×(-1)=.∵M,N分别是BE,BF的中点,∴MN是△BEF的中位线,∴MN=EF=.
5.(2024·北京)如图,在正方形ABCD中,点E在AB上,AF⊥DE于点F,CG⊥DE于点G.若AD=5,CG=4,则△AEF的面积为  .
【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADC=∠DAE=90°.∵AF⊥DE,CG⊥DE,∴∠AFD=∠CGD=90°.∵∠ADF+∠CDG=∠ADF+∠DAF,∴∠CDG=∠DAF,∴△CDG≌△DAF(AAS),∴AF=DG==3,DF=CG=4,同理可得∠EAF=∠ADF,又∵∠AFE=∠AFD,∴△AFE∽△DFA,∴,即,∴EF=,∴S△AEF=AF·EF=.
【解析】∵在正方形ABCD中,∠BAE=56°,∴∠DAF=34°,∠DFE=56°.∵AD=CD,
∠ADE=∠CDE,DE=DE,
∴△ADE≌△CDE(SAS),∴∠DCE=∠DAF=34°,∴∠CEF=∠DFE-∠DCE=56°-34°=22°.
 第6题图
6.(2023·四川宜宾改编)如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,AE的延长线交CD于点F,连接CE.若∠BAE=56°,则∠CEF=   °.
 22 
7.[RJ版教材八下P67复习题18第2题改编]如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,连接DE,DF,BE,BF.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若AB=4,AE=2,
求四边形BEDF的周长.
解:(1)由题意得∠DAE=∠BCF=45°,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)∵AB=AD=4,∴BD=AB=8.
由正方形对角线相等且互相垂直平分可得AC=BD=8,OD=OB=OA=OC=4. 又∵CF=AE=2,∴OE=OF=2,
∴四边形BEDF为菱形.
∵∠DOE=90°,
∴DE==2,
∴四边形BEDF的周长为8.
A.2 B.
C. D.
8.(2024·重庆B卷)如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是BC上一点,F是CD延长线上一点,连接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1,则DM的长度为( )
D
【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠ABE=∠ADF=90°,∵BE=DF,∴Rt△ABE≌Rt△ADF(SAS),∴AE=AF.∵AM平分∠EAF,∴∠EAM=∠FAM,∴△AEM≌△AFM(SAS),∴EM=FM.∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD=4,∠BCD=90°,设DM=x,则MC=CD-DM=4-x,CE=BC-BE=4-1=3,EM=FM=1+x.在Rt△MCE中,根据勾股定理,得EM2=MC2+CE2,即(1+x)2=(4-x)2+32,解得x=.
【解析】易证得△AOF≌△BOE(ASA),
∴OE=OF,∴EF=OE.
∵当OE⊥AB时,OE最小,最小值为AB=2,
∴EF的最小值为OE=2.
A.2 B.3 C.2 D.4
9. 如图,E,F分别是正方形ABCD的边AB,AD上的动点,O为对角线的交点,连接OE,OF,EF.若OE⊥OF,AB=4,
则EF的最小值为( )
C
[RJ版教材八下P63实验与探究改编]
10. (2023·黄山祁门期中)如图,在正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=4,H是AF的中点,那么CH的长是  .
图1   图2
【解析】解法1:如图1,连接AC,FC.∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,BC=1,CE=4,∴∠ACD=∠FCG=45°,∠B=∠E=90°,AB=BC=1,CE=EF=4,∴∠ACF=90°,由勾股定理,得AC=,CF==4,∴AF=.∵∠ACF=90°,H为AF的中点,∴CH=AF=.
解法2:如图2,过点H作HM⊥BE于点M,则∠HMC=90°.∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,∴AB=BC=1,EF=CE=4,∠B=∠E=90°,∴HM∥AB∥FE.∵H为AF的中点,∴M为BE的中点,∴HM=(AB+EF)=×(1+4)=,BM=BE=,∴CM=.在Rt△HMC中,由勾股定理,得CH=.
11. (2024·甘肃白银)【模型建立】
(1)如图1,已知△ABE和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD.用等式写出线段AE,DE,CD的数量关系,并说明理由.
【模型应用】
图1
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在对角线BD和边CD上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明理由.
【模型迁移】
图2
(3)如图3,在正方形ABCD中,点E在对角线BD上,点F在边CD的延长线上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明理由.
图3
解:(1)DE+CD=AE,理由如下:
∵AB⊥BC,CD⊥BD,AE⊥BD,
∴∠ABC=∠D=∠AEB=90°,
∴∠ABE+∠CBD=∠C+∠CBD=90°,
∴∠ABE=∠C,∵AB=BC,∴△ABE≌△BCD(AAS),
∴BE=CD,AE=BD,
∴DE=BD-BE=AE-CD,
∴DE+CD=AE.
(3)AD=BE-DF.理由如下:
过点A作AH⊥BD于点H,过点F作FG⊥BD,交BD的延长线于点G.∵AH⊥BD,FG⊥BD,AE⊥EF,
∴∠AHE=∠G=∠AEF=90°,
∴∠AEH+∠HAE=∠AEH+∠FEG=90°,
∴∠HAE=∠FEG.
∵AE=AF,∴△HAE≌△GEF(AAS),
∴HE=FG.
在正方形ABCD中,∠BDC=45°,
∴∠FDG=∠BDC=45°,∴△DFG是等腰直角三角形,
∴FG=DF,∴HE=FG=DF.∵∠ABD=45°,AH⊥BD,∴△ABH是等腰直角三角形,
∴AB=BH=(BE-HE)=BE-DF.
又∵AD=AB,∴AD=BE-DF.(共20张PPT)
第2课时 菱 形
1.(2023·滁州定远期末)已知四边形ABCD是菱形,AC和BD是菱形的对角线,那么下列说法一定正确的是( )
A.AC=BD B.AC⊥BD
C.AC=AB D.∠BAC=∠ABD
B
A. B.6
C. D.12
2.(2024·黑龙江绥化)如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是( )
A
3.如图,四边形ABCD是菱形,点E,F分别在BC,DC边上,添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是( )

A.BE=DF B.∠BAE=∠DAF
C.AE=AD D.∠AEB=∠AFD
C
4.如图,菱形ABCD的边长为13,对角线AC=24,E,F分别是边CD,BC的中点,连接EF并延长与AB的延长线相交于点G,则EG=( )

A.5 B.10
C.12 D.13
B
5.(2024·上海)在菱形ABCD中,∠ABC=66°,
则∠BAC=   °.
 57 
6.(2023·安庆桐城期中)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点.若AC=16,OE=5,则菱形ABCD的面积为  .
【解析】∵四边形ABCD为菱形,AC=16,∴AC⊥BD,OA=OC=AC=8,∵E是AB的中点,∴AB=2OE=10,∴OB==6,∴BD=2OB=12,∴S菱形ABCD=AC·BD=×16×12=96.
96
7.(2024·四川广安)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是AB,BC边上的点,BE=BF,求证:∠DEF=∠DFE.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C.
∵BE=BF,∴AB-BE=BC-BF,
∴AE=CF,
∴△DAE≌△DCF(SAS),∴DE=DF,
∴∠DEF=∠DFE.
8. (2023·合肥庐江期末)已知四边形ABCD为菱形,其周长为16,面积为8,则∠ABC为( )
A.30°
B.150°
C.30°或120°
D.30°或150°
D
图1      图2
【解析】分两种情况:①如图1,当∠BAD为钝角时,过点A作AE⊥BC于点E.∵菱形ABCD的周长为16,∴AB=BC=CD=AD=4.∵菱形ABCD的面积为8,∴BC·AE=8,∴AE=2,∴AE=AB,∴∠ABC=30°;
②如图2,当∠BAD为锐角时,过点D作DE⊥AB于点E,易知∠ABC+∠A=180°,DE=AB,∴∠A=30°,∴∠ABC=180°-∠A=150°.综上所述,∠ABC的度数为30°或150°.
A.5 B.+3
C.3 D.3+2
9.(2024·合肥包河区二模)如图,菱形ABCD的面积为48,AB=8,∠B为锐角,点E,F,G分别在AB,BC,AD上,∠FEG=90°,EF=EG.若FG⊥BC,则BF的长为( )
B
【解析】过点E作EM⊥BC于点M,EO⊥FG于点O.
∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,BC=AB=8,
∵FG⊥BC,∴菱形ABCD的面积=BC·FG=48,∴FG=6.∵∠FEG=90°,EG=FE,∴O是FG的中点,∴OE=FG=×6=3,∴OE=OF.易知四边形OEMF是正方形,∴FM=EM=OF=OE=3,∵BC⊥FG,EO⊥FG,∴AD∥OE∥BF.∵OG=OF,∴AE=BE=AB=4,∴BM=,∴BF=BM+MF=+3.
A.2 B.3
C. D.2
图1    图2
10.(2024·甘肃白银)如图1,动点P从菱形ABCD的点A出发,沿边AB→BC匀速运动,运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,PO的长为y,y与x的函数图象如图2所示,当点P运动到BC中点时,PO的长为( )
C
【解析】结合图象,可知当x=0时,PO=AO=4,
∴当点P运动到点B时,PO=BO=2,根据菱形的性质,得∠AOB=90°,∴AB==2,当点P运动到BC中点时,PO是△ABC的中位线,∴PO=AB=.
11.如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=80°,延长BC到点E,在∠DCE内作射线CM,使得∠ECM=30°,过点D作DF⊥CM,垂足为点F.若DF=,则BD的长为   .(结果保留根号)
2
【解析】连接AC,交BD于点H.由菱形可知∠BCD=180°-∠ABC=100°,∠DHC=∠DFC=90°,∠DCF=50°.∵AC平分∠BCD,∴∠HCD=50°.易证△CDH≌△CDF,∴DH=DF=,∴BD=2DH=2.
12.(2024·山东威海)如图,在菱形ABCD中,AB=10 cm,∠ABC=60°,E为对角线AC上一动点,以DE为一边作∠DEF=60°,EF交射线BC于点F,连接BE,DF.点E从点C出发,沿CA方向以每秒2 cm的速度运动至点A处停止.设△BEF的面积为y cm2,点E的运动时间为x秒.
(1)求证:BE=EF;
(2)求y与x的函数表达式,
并写出自变量x的取值范围;
(3)求x为何值时,线段DF的长度最短.
备用图
解:(1)设CD与EF相交于点M.
∵四边形ABCD为菱形,∴BC=DC,∠BCE=∠DCE,
∴△BCE≌△DCE(SAS),
∴∠CBE=∠CDE,BE=DE.
∵∠DEF=∠DCF=60°,∠DMF=∠DEF+∠CDE=∠DCF+∠CFE,
∴∠CDE=∠CFE,
∴∠CBE=∠CFE,∴BE=EF.
(2)过点E作EN⊥BC于点N,则∠ENC=90°.
∵BE=EF,∴BF=2BN.
∵四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,
∴BC=AB=10 cm,∠ECN=60°.
∵CE=2x cm,∴CN=CE=x cm,EN=CN=x cm,
∴BN=BC-CN=(10-x) cm,∴BF=(20-2x) cm,
∴y=BF·EN=-x2+10x.
∵0≤2x≤10,∴0≤x≤5,
∴y=-x2+10x(0≤x≤5).
(3)∵BE=DE,BE=EF,∴DE=EF.
∵∠DEF=60°,∴△DEF为等边三角形,
∴DE=DF=EF,∴BE=DF,
∴线段DF的长度最短,即BE的长度最短,
∴当BE⊥AC时,BE最短.
由(2)可知△ABC为等边三角形,∵BE⊥AC,∴CE=AC=5 cm,∴x=,
∴当x=时,线段DF的长度最短.(共22张PPT)
5.1 多边形与平行四边形
1.(2024·四川遂宁)佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术,得到一个内角和为1080°的正多边形图案,这个正多边形的每个外角为( )
A.36° B.40° C.45° D.60°
C
2.(2024·宿州萧县二模)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=4,AC=6,BD=10,则BC的长为( )

A.8 B.6 C.3 D.2
D
第3题图
3.(2023·亳州一模)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,BC的中点,点F在DE的延长线上.若添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形,则这个条件可以是( )
A.∠B=∠F B.∠B=∠BCF
C.AC=CF D.AD=CF
B
第4题图
4.(2024·滁州天长二模)如图,在 ABCD中,点E,F分别在边AD和CD上,EF∥AC,连接BE交对角线AC于点G.若G是AC的四等分点(AG<CG),AC=4,则EF的长为( )
A. B.2
C. D.3
C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴△AEG∽△CBG,∴.∵G是AC的四等分点,∴,∴,∴,∴.∵EF∥AC,∴△DEF∽△DAC,∴,∴EF=AC=.
A.x+y B.x-y
C.xy D.x2+y2
5.(2024·浙江)如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,AC=2,BD=2.过点A作AE⊥BC,垂足为点E,记BE长为x,BC长为y.当x,y的值发生变化时,下列代数式的值不变的是( )
C
【解析】过点D作DH⊥BC,交BC的延长线于点H.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD∥BC,∴AE=DH,∴Rt△DCH≌Rt△ABE(HL),∴CH=BE=x.∵BC=y,∴EC=BC-BE=y-x,BH=BC+CH=y+x.∵AE2=AC2-EC2,DH2=BD2-BH2,∴22-(y-x)2=(2)2-(y+x)2,整理得xy=2.
6.(2024·四川广安)如图,在 ABCD中,AB=4,AD=5,∠ABC=30°,M为直线BC上一动点,则MA+MD的最小值为  .
【解析】作点A关于直线BC的对称点A',连接AA',A'D,则MA+MD最小时为A'D的长.∵AB=4,∠ABC=30°,易得AA'=4,AA'⊥BC,∵AD∥BC,∴AA'⊥AD,∴A'D=,即MA+MD的最小值为.
 
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
选择①或② 
7.(2024·湖南)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上,  .
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
解:(1)证明如下:
选择①:∵∠B=∠AED,∴BC∥DE,∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形.
选择②:∵AE=BE,AE=CD,∴BE=CD,∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形.
(2)由(1)可知四边形BCDE为平行四边形,
∴DE=BC=10.∵AD⊥AB,∴AE==6,即线段AE的长为6.
第8题图 
8.(2024·山东枣庄)如图,E为 ABCD的对角线AC上一点,AC=5,CE=1,连接DE并延长至点F,使得EF=DE,连接BF,则BF为( )
A. B.3
C. D.4
B
9.如图,在正六边形ABCDEF中,AB=6,点M在边AF上,且AM=2.若经过点M的直线l将正六边形面积平分,则直线l被正六边形所截的线段长是   .
第9题图
4
【解析】设正六边形ABCDEF的中心为O,连接MO并延长交CD于点N,则MN将正六边形的面积平分,过点O作OH⊥AF于点H,连接AC.由题知AF=AB=6,易得AH=AF=3,AC=6,∴OH=AC=3,MH=AH-AM=1,∴OM==2,∴MN=2OM=4.
10.(2023·合肥蜀山区一模)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,BC=5,P为BC边上任意一点,连接PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ长的最小值为  .
【解析】设AC,PQ交于点O.∵∠BAC=90°,AB=3,BC=5,∴AC==4.∵四边形PAQC是平行四边形,∴PO=QO=,CO=AO=2,∴PQ最短也就是PO最短,且当PO⊥BC时,PO最短.易证△CPO∽△CAB,∴,即,解得PO=,∴PQ长度的最小值为2PO=.
11. 如图,在 ABCD中,E为CD边的中点,连接AE,已知AE的延长线和BC的延长线相交于点F.
(1) 求证:BC=CF.
(2)连接DF,AC,BE,AC和BE相交于点G,作CM∥BE交DF于点M.求证:△ABG≌△DCM.
证明:(1)解法1:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴∠ADC=∠FCE.
∵E为CD边的中点,∴ED=EC.
∵∠AED=∠CEF,∴△ADE≌△FCE,
∴AD=CF,∴BC=CF.
解法2:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∵E为CD边的中点,∴CE=CD=AB,
∴CE为△ABF的中位线,∴BC=CF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=DC,∠ABC=∠DCF,∠BAC=∠ACD.
∵CM∥BE,∴∠CBE=∠FCM,
∴∠ABG=∠DCM.
由(1)可知AD=BC=CF,
∴四边形ADFC是平行四边形,
∴AC∥DF,∴∠ACD=∠CDM,
∴∠BAC=∠CDM,
∴△ABG≌△DCM(ASA).
12.(2023·江苏扬州)如图,E,F,G,H分别是 ABCD各边的中点,连接AF,CE相交于点M,连接AG,CH相交于点N.
(1)求证:四边形AMCN是平行四边形;
(2)若 AMCN的面积为4,
求 ABCD的面积.
解:(1)∵F,H是 ABCD对边的中点,
∴AH∥CF,AH=CF,
∴四边形AFCH是平行四边形,
∴AM∥CN.
同理可证四边形AECG是平行四边形,
∴AN∥CM,
∴四边形AMCN是平行四边形.
(2)连接AC,HG.
∵AC为 AMCN的对角线,S AMCN=4,
∴S△CAN=2.
∵H,G分别是AD,CD的中点,
∴HG∥AC,HG=AC,
∴△HGN∽△CAN,∴AN=2GN,
∴S△GAC=S△CAN=3,
∴S ABCD=4S△GAC=12.(共21张PPT)
第1课时 矩 形
1.矩形不具有的性质是( )
A.矩形是轴对称图形也是中心对称图形
B.矩形的对边平行且相等
C.矩形的对角线互相平分且相等
D.矩形的对角线互相平分且垂直
D
2.(2024·淮北二模)在四边形ABCD中,AD∥BC,下列选项中,不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A.AD=BC且AC=BD
B.AD=BC且∠A=∠B
C.AB=CD且∠A=∠C
D.AB∥CD且AC2=AB2+BC2
C
A.点A B.点B
C.点C D.点D
3. (2024·河北)在平面直角坐标系中,我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图,矩形ABCD位于第一象限,其四条边分别与坐标轴平行,则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是( )
B
4.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点.若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为   .
20 
【解析】∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,∴OM=CD=AB=2.5.∵AB=5,AD=12,∴AC==13.∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点,∴BO=AC=6.5,∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20.
5.(2024·四川德阳)如图,四边形ABCD是矩形,△ADG是正三角形,F是GD的中点,P是矩形ABCD内一点,且△PBC是以BC为底的等腰三角形,则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是   .
 2 
【解析】如图,连接PD,FC,设BC,AD的中点分别为M,N,连接MN,GN,∵GA=GD,PB=PC,
∴易得点G,N,P,M共线,过点F作FR⊥CD交CD的延长线于点R,延长RF,与GN交于点Q.设BC=a,
CD=b,MC=ND=a,∴S△PCD=×b×a=ab.
易证△GQF≌△DRF,∴QF=RF=ND=a,∴S△FCD=×b×a=ab,∴=2.
6.(2024·陕西)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF,求证:AF=DE.
证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=CD,∠B=∠C=90°.
∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,
∴△ABF≌△DCE(SAS),∴AF=DE.
第7题图 
7.如图,在矩形ABCD中, AB=4,BC=6,E是AD的中点,点F在DC上,且CF=1.若在矩形ABCD上存在一点P,使得△PEF是等腰三角形,则点P的个数是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
D
【解析】连接BF.在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是AD的中点,CF=1,∴ED=FD=3,∴EF=3,BF=.若△PEF是等腰三角形,则存在三种情况:①当EF为腰,E为顶角顶点时,可知在BC上存在2个点P,在AB上存在1个点P,共3个,使△PEF是等腰三角形;②当EF为腰,F为顶角顶点时,∵1<3,∴在BC上存在1个点P,使△PEF是等腰三角形;③当EF为底边,P为顶角顶点时,点P一定在EF的垂直平分线上,作图可知EF的垂直平分线与矩形有2个交点,即存在2个点P.综上所述,满足题意的点P的个数是6.
8.如图,OM⊥ON,矩形ABCD的顶点A,B分别在边OM,ON上,当点B在边ON上运动时,点A随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=6,BC=2.在运动过程中:
(1)Rt△AOB斜边中线的长度是否发生
变化?   .(填“是”或“否”)
(2)点D到点O的最大距离是  .
+3
第8题图
 否 
【解析】设斜边AB的中点为Q,连接OQ.(1)在运动过程中,斜边中线OQ=AB.∵AB长度不变,∴OQ长度不变;(2)连接DQ,OD.在矩形的运动过程中,有DQ+OQ≥OD,当D,Q,O三点共线时,则有DQ+OQ=OD,此时OD取得最大值.∵Q为AB的中点,∴AQ=AB=3.又∵AD=BC=2,∴DQ=,∴OD=DQ+OQ=+3.
9.[HK版教材八下P89例3改编]如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,连接AD,作AE∥BC,且AE=BD,连接BE.
(1)求证:四边形AEBD是矩形.
(2)连接CE交AB于点F,交AD于点G.
若∠ABE=30°,AE=2,求FG的长.
解:(1)∵AE∥BC,AE=BD,
∴四边形AEBD是平行四边形.
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
∴四边形AEBD是矩形.
(2)由(1)知四边形AEBD是矩形,D为BC的中点,
∴∠AEB=90°,BD=CD=AE=2.
∵∠ABE=30°,∴BE=AE=2.
易证△AEG≌△DCG,
∴AG=DG=BE=,
∴EG=.
∵BE∥AG,∴△BEF∽△AGF,
∴=2,∴FG=EG=.
10.如图,在矩形ABCD中,Rt△BEC的直角顶点E在边AD上,∠CBE的平分线BF交CE于点G,交边CD于点F.
(1)如图1,若E为AD的中点,求证:△AEB≌△DEC;
(2)如图2,若sin ∠BCE=,求证:BG=4FG;
(3) 如图2,若CF=2DF=2,求CE·EG的值.
图1   图2
解:(1)∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠D=90°,AB=CD.
∵E为AD的中点,∴AE=DE,
∴△AEB≌△DEC(SAS).
(2)过点F作FH⊥BE,交BE的延长线于点H.
∵BF平分∠CBE,∠BCD=∠BHF=90°,
∴FH=FC.
∵BF=BF,∴Rt△BFH≌Rt△BFC(HL),∴BH=BC.
∵sin ∠BCE=,∴=4.
∵GE∥HF,∴=4,∴BG=4FG.
(过点G作GM⊥BC于点M亦可,过程同理)
(3)解法1:过点F作FH⊥BE,交BE的延长线于点H,连接GH.
∵CE∥HF,∴∠HFG=∠CGF.
由(2)知∠HFG=∠CFG,
∴∠CGF=∠CFG,∴CG=CF=HF,
∴四边形CFHG为菱形,
∴GH∥CF,GH=CF,∴∠EGH=∠DCE.
∵∠GEH=∠CDE=90°,
∴△GEH∽△CDE,∴,
∴CE·EG=CD·GH.
∵CF=2DF=2,∴GH=CF=2,CD=3,
∴CE·EG=6.
解法2:∵∠EBG=∠CBF,∠BEG=∠BCF=90°,
∴△BEG∽△BCF,∴.
易证△BEC∽△CDE,∴,即,∴.
∵CF=2DF=2,∴CD=3,
∴CE·EG=CF·CD=6.

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