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(共16张PPT)
2.2　分式方程及其应用
限时：15分钟
1.下列解分式方程＝0的步骤中，错误的是( )
A.找最简公分母：2－x
B.去分母：－x＋2＝0
C.计算方程的根：x＝2
D.验根：当x＝2时，方程＝0成立
D
2.分式方程的解是( )
A.x＝－5 B.x＝5
C.x＝－3 D.x＝3
A
3.(2024·芜湖三模改编)某中学的科技兴趣小组制作的甲、乙两种型号的机器人都被用来搬运快递，甲型机器人比乙型机器人每小时少搬运60千克快递，甲型机器人搬运600千克快递所用的时间与乙型机器人搬运800千克快递所用的时间相同.设甲型机器人每小时搬运x千克快递，依题意，可列方程为( )
A. B.
C. D.
C
4.若关于x的分式方程＝0的解为x＝4，则a的值是( )
A.1 B.2 C.4 D.10
D
5. (2023·山东聊城)若关于x的分式方程＋1＝的解为非负数，则m的取值范围是( )
A.m≤1且m≠－1
B.m≥－1且m≠1
C.m＜1且m≠－1
D.m＞－1且m≠1
A
6. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数.设第一次分钱的人数为x，则可列方程为 　.
7.代数式的值与2互为相反数，则x的值为　 　.
　-3　
8.解方程：
(1)(2024·福建)＋1＝；
(2)＝1.
解：x＝10.
解：原分式方程无解.
9.［BS版教材八下P133复习题第14题改编］某商店用3000元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件.
(1)求第一次每件的进价为多少元？
(2)若两次购进玩具的售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？
解：(1)设第一次每件的进价为x元.
根据题意，得＝10，解得x＝50，
经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意.
答：第一次每件的进价为50元.
(2)70×－3000×2＝1700(元).
答：两次的总利润为1700元.
10.(2024·阜阳二模)某市为了解决交通拥堵问题，对某条主干道进行升级，为了尽快投入使用，工程队在原计划的基础上提高升级改造速度，平均每天的工作量比原计划增加，6000米的道路改造可以比原来少用8天，问该工程队原计划平均每天升级改造的道路里程为多少米？
解：设该工程队原计划平均每天升级改造的道路里程为x米.
根据题意，得＝8，解得x＝125，
经检验，x＝125是原分式方程的解，且符合题意.
答：该工程队原计划平均每天升级改造的道路里程为125米.
限时：10分钟
11. 为推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车，组织部分师生分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展教育活动.已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为　 　千米/小时.
　90　
［RJ版教材八上P154习题15.3第3题改编］
12.若关于x的方程无解，则m的值为　 　.
-1或5或-
【解析】将分式方程去分母，并化简，得(m＋1)x＝5m－1.①当m＋1＝0，即m＝－1时，整式方程无解，所以原分式方程无解；②当m＋1≠0时，整式方程的解为x＝，因为分式方程无解，所以＝4或＝－4，解得m＝5或m＝－.综上所述，m的值为－1或5或－.
13. (2024·马鞍山三模)李师傅的厢式大卡车的自重为18 t，车厢的容积为60 m3，李师傅负责将A，B两种产品从甲地运往乙地.A，B两种产品的规格参数如下表：
每件产品的重量/t 每件产品的体积/m3
A产品 1.2 x
B产品 1.5 x＋1
(1)若满载，单独运输A产品的件数是B产品的1.5倍，求x的值.
(2)本月李师傅要将A，B两种产品共20件一次性运往乙地.在以往运输过程中，发现途中经过的某座跨江大桥上有如图所示的限重标志牌(载重后总重量超过45 t的车辆禁止通行)，通过计算，李师傅发现这趟运输正好不超载，求这次运输各装载两种产品多少件？(所装货物重量均在卡车本身承重范围内，且不考虑李师傅的重量)
解：(1)由题意，得×1.5，解得x＝2，
经检验，x＝2为原分式方程的解，且符合题意，∴x＝2.
(2)设这次运输装载A产品m件，则装载B产品(20－m)件.
由题意，得1.2m＋1.5(20－m)＋18＝45，解得m＝10，
∴20－m＝10.
又∵2×10＋3×10＝50(m3)，50＜60，∴符合题意.
答：这次运输装载A产品10件，B产品10件.(共16张PPT)
2.1　一次方程(组)及其应用
限时：15分钟
1.设x，y，c是实数，以下命题正确的是( )
A.若x＝y，则x＋c＝y－c
B.若x＝y，则xc＝yc
C.若x＝y，则
D.若，则2x＝3y
B
2.解一元一次方程＝1－x时，去分母正确的是( )
A.3(x＋1)＝1－2x
B.2(x＋1)＝1－3x
C.2(x＋1)＝6－3x
D.3(x＋1)＝6－2x
D
3.(2024·广州)某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆.设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为( )
A.1.2x＋1100＝35060
B.1.2x－1100＝35060
C.1.2(x＋1100)＝35060
D.x－1100＝35060×1.2
A
【解析】两式相减得2x－2y＝2m＋6，即x－y＝m＋3＝4，解得m＝1.
4.(2023·四川眉山)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x－y＝4，则m的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
B
5.已知关于x的方程3x－2k＝2的解是x＝k－2，则k的值是　 　.
　8　
6.在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队14场比赛得到23分，则该队胜了
　 　场.
9　
7. (2023·四川南充)小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 000 N和0.6 m.当动力臂由1.5 m增加到2 m时，撬动这块石头可以节省　 　N的力.(杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂)
　100　
8.(1)解方程：－2(2x＋1)＝x；
解：去括号，得－4x－2＝x.
移项、合并同类项，得－5x＝2.
系数化为1，得x＝－.
(2)(2024·浙江)解方程组：
解：
①×3＋②，得10x＝5，解得x＝，
把x＝代入①，得1－y＝5，解得y＝－4.
∴方程组的解为
9.(2020·安徽第19题改编)小明家经营了甲、乙两个连锁超市，这两个连锁超市在2024年4月份的销售额均为10万元，5月份甲超市的销售额增长了x%，而乙超市的销售额下降了0.05x万元.
(1)请用含x的代数式填表：
5月份
甲超市销售额/万元
乙超市销售额/万元
(2)若5月份甲、乙两个超市的销售总额为21万元，求x的值.
10(1＋x%)
10－0.05x
解：(2)由题意，得10(1＋x%)＋(10－0.05x)＝21，解得x＝20.
10.［HK版教材七上P127 A组复习题第10题改编］如图，在长方形ABCD中，放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示.求图中阴影部分的面积.

解：设小长方形的长为x cm、宽为y cm.
根据题意，得解得
∴图中阴影部分的面积＝15×(9＋2)－8×7×2＝53(cm2).
答：图中阴影部分的面积为53 cm2.
限时：10分钟
11.对于实数m，n，定义运算m*n＝(m＋2)2－2n.
若2*a＝4*(－3)，则a＝　 　.
　-13　
【解析】设孙悟空的速度是x里/分钟，风速是y里/分钟.根据题意，得解得故风速是50里/分钟.
12. 我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒和沙和尚保护唐僧西天取经的故事.现请你欣赏下列描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟.归时四分行六百，风速多少才称雄？大意为：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟飞行1000里，逆风返回时4分钟飞行600里，则风速是　 　里/分钟.
　50　
13.小明在某商店购买商品A，B共三次，其中只有一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买.三次购买商品A，B的数量和费用如表所示：
购买商品A 的数量/个 购买商品B 的数量/个 购买总
费用/元
第一次 6 5 1140
第二次 3 7 1110
第三次 9 8 1062
解：(2)设商品A的标价为x元，B的标价为y元.
由题意得解得
答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元.
(1)在这三次购物中，第　 　次购买时打了折扣；
(2)求商品A，B的标价.
　三　(共19张PPT)
2.3　一元二次方程及其应用
限时：15分钟
1.下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A.x2－2025x＝0 B.(x＋3)2＝0
C.x2＋6＝2x D.x2－2＝5x
C
2.若一元二次方程x2－5x＋b＝0的一个根是x＝3，则另一个根是( )
A.x＝6 B.x＝5
C.x＝－3 D.x＝2
D
3.(2024·六安一模)若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.k＜－1 B.k＞－1
C.k＞1 D.k＞－1且k≠0
B
【解析】设每轮传染中平均一个人传染的人数是x.根据题意，得x＋1＋x(x＋1)＝144，解得x＝11(负值舍去).
4.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是( )
A.14 B.11
C.10 D.9
B
【解析】设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为
(100－2x)m、宽为(50－2x)m的矩形.根据题意，得
(100－2x)(50－2x)＝3 600，整理得x2－75x＋350＝0，解得x1＝5，x2＝70(不符合题意，舍去)，∴小路的宽是5 m.
5.(2023·黑龙江龙东地区)如图，在长为100 m、宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3 600 m2，则小路的宽是( )

A.5 m B.70 m
C.5 m或70 m D.10 m
A
6. 若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2－4x＋k＝0的两个根，则k的值为( )
A.3 B.4
C.3或4 D.7
C
【解析】解法1：当3为腰长时，将x＝3代入x2－4x＋k＝0，可得k＝3，当k＝3时，原方程为x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，此时三角形三边长分别为3，3，1，∴k＝3符合题意；当3为底边长时，关于x的方程x2－4x＋k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－4)2－4×1×k＝0，解得k＝4，当k＝4时，原方程为x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2，此时三角形三边长分别为2，2，3，∴k＝4符合题意.综上所述，k的值为3或4.
解法2：由x2－4x＋k＝0知x1＋x2＝4，∴当x1＝3，x2＝1时，满足题设；当x1＝x2＝2时也满足题设，∵k＝x1x2，∴k的值为3或4.
7. 若m是一元二次方程x2＋x－6＝0的一个根，则代数式m2＋m的值等于　 　.
　6　
8. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x步，则可列方程为　 　.
　x(x-12)=864　
9.解方程：
(1)(2024·合肥新站区二模)x2－4x＝8；
(2)x(x－7)＝8(7－x)；
解：配方，得x2－4x＋4＝8＋4，即(x－2)2＝12，
则x－2＝±2，
∴x1＝2＋2，x2＝2－2.
解：移项，得x(x－7)＋8(x－7)＝0，
提取公因式，得(x－7)(x＋8)＝0，
解得x1＝7，x2＝－8.
(3)2x2＋x－2＝0.
解：∵a＝2，b＝1，c＝－2，
∴b2－4ac＝12－4×2×(－2)＝17，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝.
10.［HK版教材八下P41例2改编］某公司2024年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元.假设该公司2，3，4月份每个月生产成本的下降率都相同.
(1)求每个月生产成本的下降率；
(2)请你计算4月份该公司的生产成本.
解：(1)设每个月生产成本的下降率为x.
根据题意，得400(1－x)2＝361，
解得x1＝0.05＝5%，x2＝1.95(不符合题意，舍去).
答：每个月生产成本的下降率为5%.
(2)361×(1－5%)＝342.95(万元).
答：4月份该公司的生产成本为342.95万元.
【解析】当 k≠0时，由题知Δ＝16－4×(－2)k＝16＋8k≥0，解得k≥－2；当k＝0时，原方程变为－4x－2＝0必有实数根.综上所述，实数k的取值范围为k≥－2.
限时：15分钟
11. 若关于x的方程kx2－4x－2＝0有实数根，则实数k的取值范围是( )
A.k≥2 B.k≥－2
C.k＞－2且k≠0 D.k≥－2且k≠0
B
【解析】(k－3) x＝x2－(k－3)x＝k－1，即x2－(k－3)x－k＋1＝0，∴Δ＝［－(k－3)］2－4×1×(－k＋1)＝(k－1)2＋4＞0，
∴关于x的方程(k－3) x＝k－1有两个不相等的实数根.
12.(2023·四川内江)对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝b2－ab，例如：3 2＝22－3×2＝－2，则关于x的方程(k－3) x＝k－1的
根的情况，下列说法正确的是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
A
13. (2024·六安霍邱模拟)已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k2＝3有解.
(1)当k＝0时，方程的解为　 　；
(2)若m是该一元二次方程的一个根，令y＝－m2＋km＋k2，则y的最大值和最小值的和为　 　.
【解析】(1)当k＝0时，则x2＝3，解得x1＝，x2＝－.(2)
∵关于x的一元二次方程x2－kx＋k2＝3有解，∴k2－4(k2－3)≥0，得k2≤4.若m是该一元二次方程的一个根，则m2－km＋k2＝3，
得－m2＋km＝k2－3，∴y＝－m2＋km＋k2＝2k2－3，∵0≤k2≤4，∴y的最大值为2×4－3＝5，y的最小值为－3，∴y的最大值和最小值的和为5＋(－3)＝2.
x1=
　2　
解：(2)设每个蓝牙耳机应降价x元，则多卖5x个.
根据题意，得(20－x)(50＋5x)＝1120，
解得x1＝4，x2＝6.
∵为了尽量减少库存，∴x＝6.
答：每个蓝牙耳机应降价6元.
14. 为了响应“大众创业，万众创新”的号召，丁丁利用某直播平台售卖蓝牙耳机，平均每天可出售50个，每个获利20元.为了尽量减少库存，丁丁决定降价销售.如果每个蓝牙耳机每降价1元，那么平均每天可多卖5个蓝牙耳机.
(1)若每个蓝牙耳机降价5元，则丁丁每天能获利　 　元.
(2)若丁丁计划平均每天获利1120元，则每个蓝牙耳机应降价多少元？
　1125　
15.［HK版教材八下P48B组复习题第4题改编］如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
解：(1)设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x)m.
根据题意，得x(72－2x)＝640，解得x1＝16，x2＝20.
当x＝16时，72－2x＝72－32＝40；
当x＝20时，72－2x＝72－40＝32.
答：当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈.
(2)不能.
理由：由题意，得x(72－2x) ＝650，
整理，得x2－36x＋325＝0，
∵Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0，
∴一元二次方程没有实数根，
∴羊圈的面积不能达到650 m2.(共17张PPT)
2.4　一元一次不等式(组)及其应用
限时：15分钟
1.若3x＞－3y，则下列不等式中一定成立的是( )
A.x＋y＞0 B.x－y＞0
C.x＋y＜0 D.x－y＜0
A
2.(2024·陕西)不等式2(x－1)≥6的解集是( )
A.x≤2 B.x≥2 C.x≤4 D.x≥4
D
3.(2024·浙江)不等式组的解集在数轴上表示为( )
A
4.(2023·浙江丽水)小霞原有存款52元，小明原有存款70元.从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为( )
A.52＋15n＞70＋12n
B.52＋15n＜70＋12n
C.52＋12n＞70＋15n
D.52＋12n＜70＋15n
A
5.已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是( )
A.a≥－ B.a≥－2
C.a＞－ D.a＞－2
D
6.(2024·黑龙江大庆)不等式组的整数解有
　 　个.
4　
【解析】设长为8x cm，则高为11x cm.由题意得
8x＋11x＋20≤115，解得x≤5，∴11x≤55，符合规定的行李箱的高的最大值为55 cm.
7.某旅行社规定：旅客乘坐大巴车时，免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的宽为20 cm，长与高的比为8∶11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为　 　 cm.
　55　
8.解不等式：5x－2＜3(x＋1).
解：该不等式的解集为x＜.
9.(2024·北京改编)解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来.
解：
解不等式①，得x＜7，解不等式②，得x＞－1，
∴不等式组的解集为－1＜x＜7.
在数轴上表示其解集如下：
10.(2024·四川泸州)某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元.
(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？
(2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍.若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？
解：(1)设A商品的进价是x元/件，B商品的进价是y元/件.
根据题意，得解得
答：A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件.
(2)设购进m件A商品，则购进(60－m)件B商品.
根据题意，得
解得19≤m≤20，∴m的最大值为20.
答：购进A商品的件数最多为20件.
【解析】解不等式2x＜3(x－3)＋1，得x＞8；解不等式＞x＋a，得
x＜2－4a.∵不等式组仅有4个整数解，∴12＜2－4a≤13，解得－≤a＜－.
限时：15分钟
11.若关于x的不等式组的整数解仅有4个，则a的取值范围是( )
A.－≤a＜－ B.－＜a≤－
C.－≤a＜－ D.－＜a＜－
A
12.［HK版教材七下P43C组复习题第1题改编］已知kb≠0，若不等式kx＋b＞0的解集是x＜，则不等式
bx－k＞0的解集是　 　.
x＞-3
13.(2024·云南)A，B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢.某超市销售A，B两种型号的吉祥物，有关信息见下表：
成本 (单位：元/个) 销售价格
(单位：元/个)
A型号 35 a
B型号 42 b
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元.
(1)求a，b的值.
(2)若某公司计划从该超市购买A，B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量x(单位：个)不少于B种型号吉祥物数量的，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值.
注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差.
解：(1)根据题意，得解得
(2)由题意，得解得≤x≤60，
∵x为整数，∴52≤x≤60.
又∵y＝(40－35)x＋(50－42)(90－x)＝－3x＋720，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝52时，y有最大值，最大值为－3×52＋720＝564.

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