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(共27张PPT)
6.2　与圆有关的位置关系
1.已知☉O的半径为3，OA=5，则点A在( )
A.☉O内 B.☉O上
C.☉O外 D.无法确定
C
2.(2023·芜湖无为期末)如图，△ABC为☉O的一个内接三角形，过点B作☉O的切线PB，与OA的延长线交于点P，连接OB.若∠ACB=34°，则∠P=( )
A.17° B.22°
C.27° D.32°
B
3.如图，AB，AC是☉O的切线，B，C为切点，OD∥AC交劣弧BC于点D.若∠A=40°，则∠BOD的度数是( )
A.40° B.50° C.55° D.60°
B
【解析】延长OD交AB于点E.∵OD∥AC，∴∠OEB=∠A=40°.∵AB是☉O的切线，∴∠OBE=90°，∴∠BOD=50°.
4.(2024·山东滨州)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b，则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是( )
A.d=a+b-c B.d=
C.d= D.d=|(a-b)(c-b)|
D
【解析】解法1(取特殊值)：∵△ABC为直角三角形，
∴令a=3，b=4，c=5.选项A：d=a+b-c=2，
选项B：d==2，选项C：d==2，
选项D：d=|(a-b)(c-b)|=1，
很明显，只有D选项跟其他选项不一致，
表达式错误的应是D选项.
解法2：如图，作OE⊥AC于点E，OD⊥BC于点D，OF⊥AB于点F.易证四边形OECD是正方形，设OE=OD=OF=r，则EC=CD=r，∴AE=AF=b-r，BD=BF=a-r，∴AB=a-r+b-r=c，∴d=2r=a+b-c，故选项A正确.
∵S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB，∴ab=ar+br+cr，∴ab=r(a+b+c)，∴r=，即d=，故选项B正确.
∵d=a+b-c，
∴d2=(a+b-c)2=(a+b)2-2c(a+b)+c2=a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2，∵a2+b2=c2，∴d2=2c2+2ab-2ac-2bc=2(c2+ab-ac-bc)=2［c(c-a)-b(c-a)］=2(c-a)(c-b)，∴d=，故选项C正确.排除法可知选项D错误.
【解析】连接OC.∵OB=OC，∠OBC=28°，∴∠OCB=∠OBC=28°，
∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=124°，∴∠A=∠BOC=62°.
5.(2024·江苏苏州)如图，△ABC是☉O的内接三角形，若∠OBC=28°，则∠A=　 　°.
　62　
6.(2024·池州二模)如图，在△ABC中，以AB为直径的☉O交BC于点D，DE是☉O的切线，且DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交☉O于点F.
(1)求证：AB=AC；
(2) 若AE=4，DE=8，求AF的长.
解：(1)连接OD.
∵DE是☉O的切线，∴OD⊥DE.
∵DE⊥AC，∴OD∥AC，
∴∠C=∠ODB.
∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，
∴∠B=∠C，∴AB=AC.
(2)解法1：过点O作OH⊥AF于点H，设AH=x.
∵OH⊥AF，∴AF=2AH=2x.
∵OD⊥DE，DE⊥AC，
∴∠OHE=∠ODE=∠DEH=90°，
∴四边形OHED为矩形，
∴OH=DE=8，HE=OD=OA=x+4.
在Rt△OHA中，OH2+AH2=OA2，
即82+x2=(x+4)2，∴x=6，∴AF=2x=12.
解法2：连接AD，FD.∵∠F=∠B，∠B=∠C，∴∠F=∠C，∴DF=DC.∵DE⊥AC，∴EF=EC.
∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADE+∠CDE=90°，∵∠C+∠CDE=90°，∴∠ADE=∠C，∴△ADE∽△DCE，∴，即，∴CE=16，∴AF=EF-AE=CE-AE=12.
解法3：连接AD，BF.同解法2由△ADE∽△DCE得CE=16，∴AB=AC=AE+CE=20.∵AB为直径，∴∠ADB=∠AFB=90°，即AD⊥BC，BF⊥CF，∵AB=AC，∴D为BC的中点.∵DE⊥CF，BF⊥CF，∴DE为△BCF的中位线，∴BF=2DE=16，由勾股定理，得AF==12.
A.50° B.48°
C.45° D.36°
7.如图，在△ABC中，AB=6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E，G，F是优弧GE上一点.若∠CDE=18°，则∠GFE的度数是( )
B
【解析】连接AD.∵BC与☉A相切于点D，∴AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.∵AB=6，AG=AD=3，
∴cos ∠BAD=，∴∠BAD=60°.∵AD=AE，∠CDE=18°，∴∠AED=∠ADE=72°，∴∠DAE=36°，∴∠GAE=∠GAD+∠DAE=96°，∴∠GFE=∠GAE=48°.
8.(2024·四川凉山州)如图，☉M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y=x+4上的一个动点，过点P作☉M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为　 　.
2
【解析】连接MP，MQ，∵PQ是☉M的切线，∴MQ⊥PQ，∴PQ=，∴当MP最小时，PQ最小，易知直线y=x+4与x轴的交点A的坐标为(-4，0)，与y轴的交点B的坐标为(0，4)，∴∠PAM=45°，AM=8，∴当MP⊥AB时，MP最小，MP=AM·sin 45°=8×=4，
∴PQ的最小值为=2.
【解析】连接EC.∵☉E是△ACD的内切圆，∴∠CAE=∠DAE，∠ACE=∠DCE，又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAE+∠ACE=45°，∴∠AEC=135°，
易证△EAC≌△EAB，∴∠AEB=∠AEC=135°.
9. 如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为点D，☉E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为　 　.
　135°　
10.［HK版教材九下P40习题24.4第5题改编］如图，以△ABC的边AB为直径的☉O交BC于点D，过点D的切线与AC交于点E.若DE⊥AC，求证：BD2=AB·CE.
证明：连接AD，OD.
∵DE是☉O的切线，∴OD⊥DE.
∵DE⊥AC，∴AC∥OD，∴∠C=∠ODB.
∵OD=OB，∴∠ODB=∠B，∴∠C=∠B.
∵AB为☉O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠DEC=∠ADB，∴△CED∽△BDA，
∴，∴BD·CD=AB·CE.
∵∠C=∠B，∴AC=AB.又∵AD⊥BC，∴CD=BD，
∴BD2=AB·CE.
11.(2024·陕西)如图，直线l与☉O相切于点A，AB是☉O的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与☉O交于点E，F，连接EF，AE，AF.
(1)求证：∠BAF=∠CDB；
(2)若☉O的半径r=6，AD=9，AC=12，求EF的长.
解：(1)∵直线l与☉O相切于点A，
∴AB⊥CD，∴∠BAC=∠BAD=90°，
∵AB是☉O的直径，∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABD=90°，∠CDB+∠ABD=90°，
∴∠BAF=∠CDB.
(2)在Rt△ABD中，AB=2r=12，AD=9，
∴BD==15.
在Rt△ABC中，AB=12，AC=12，∴BC==12.
∵AB是☉O的直径，∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，
∴BE=CE=BC=6.∵∠BEF=∠BAF，∠BAF=∠CDB，
∴∠BEF=∠CDB，∴△BEF∽△BDC，
∴，即，解得EF =.
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6.1　圆的基本概念与性质
1.(2024·新疆生产建设兵团)如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB⊥CD，垂足为点E.若CD=8，OD=5，则BE的长为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
B
2.(2024·湖北)AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且∠CAB=50°.①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP.则∠ABP=( )
A.40° B.25°
C.20° D.15°
C
【解析】∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°，
又∵∠CAB=50°，∴∠ABC=40°.
根据作图步骤可知，BP平分∠ABC，∴∠ABP=×40°=20°.
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=56°，以BC为直径的☉O交AB于点D，E是☉O上一点，且.连接OE，过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为( )
A.92° B.108°
C.112° D.124°
C
【解析】连接OD.∵∠ACB=90°，∠A=56°，∴∠B=34°，∴∠COD=68°.∵，∴∠COE=∠COD=68°，
在四边形OCFE中，∠F=360°-68°-90°-90°=112°.
【解析】连接OE.
∵☉O是矩形CDEF的外接圆，
∴点C，O，E在同一条直线上，∴∠FOE=2∠EAF=40°，
∴∠COF=180°-∠FOE=140°.
4.(2024·阜阳临泉三模)如图，矩形CDEF内接于☉O，A为☉O上一点，连接AE，AF，CO，FO.若∠EAF=20°，则∠COF的度数为( )
A.140° B.150° C.160° D.120°
A
【解析】连接BD，则∠BDC=∠BEC=∠A+∠ACE=38°，
∵CD是☉O的直径，∴∠CBD=90°，∴∠BCE=90°-∠BDC-∠ACE=90°-38°-16°=36°.
5.(2023·芜湖无为四模)如图，CD是☉O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，BC.若∠A=22°，∠ACE=16°，则∠BCE的度数是( )
A.34° B.36° C.38° D.42°
B
【解析】∵AB是圆的直径，∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°，
∵∠1，∠2，∠3，∠4所对的弧的和为半圆，∴∠1+∠2+∠3+∠4=×180°=90°.
6.(2024·江苏连云港)如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1+∠2+∠3+∠4=　 　.
　90°　
7.［HK版教材九下P31练习第1题改编］如图，四边形ABCD内接于☉O，连接OA，OC，OD.若四边形OABC是平行四边形，∠AOD=90°，则∠OCD的度数为
　 　.
　15°　
【解析】连接OB.解法1：∵四边形OABC是平行四边形，OA=OC，∴四边形OABC是菱形，∴OA=AB=BC=OC=OB，∴∠OAB=∠OCB=60°.∵∠AOD=90°，OD=OA，∴∠OAD=∠ODA=45°，∴∠DAB=∠OAD+∠OAB=105°，∴∠BCD=180°-∠DAB=75°，∴∠OCD=∠BCD-∠OCB=15°.
解法2：易得△OAB，△OCB为等边三角形，∴∠AOC=120°，∴∠COD=360°-∠AOD-∠AOC=150°，∵OD=OC，∴∠OCD=×(180°-150°)=15°.
8.(2024·蚌埠二模)如图，☉O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点P，AB经过点O，E是AC的中点，连接EP并延长，交BD于点F.
(1)若AB=10，OE=，求AC的长；
(2)求证：EF⊥BD.
解：(1)∵E是AC的中点，∴OE垂直平分AC.
∵AB=10，∴OA=5，
∴AE=，
∴AC=2AE=2.
(2)∵AB⊥CD，∴∠APC=∠BPD=90°.
∵E是斜边AC的中点，
∴EP=AC=EC，∴∠EPC=∠C.
∵∠B=∠C，∠EPC=∠DPF，∴∠DPF=∠B.
∵∠DPF+∠BPF=90°，
∴∠B+∠BPF=90°，
∴∠BFP=90°，∴EF⊥BD.
A.112° B.124°
C.122° D.134°
9.如图，在☉O中，C为弦AB的中点，连接OC，OB，∠COB=56°，D是劣弧AB上任意一点，则∠ADB的度数为( )
B
【解析】如图，在优弧AB上取一点P，连接AP，BP，OA.∵C是AB的中点，∴OC⊥AB，∴OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=56°，
∴∠APB=∠AOB=56°.
∵∠APB+∠ADB=180°，
∴∠ADB=180°-56°=124°.
10. 如图，点A，B，C在☉O上，BD⊥CA，CE⊥BA，垂足分别为点D，E，延长BD，CE交于点F.若∠BFC=50°，则∠BOC的度数为　 　.
　100°　
【解析】由题意，得∠DAE=360°-90°-90°-50°=130°，∴∠BAC=∠DAE=130°.
解法1：在优弧BC上取一点M，
连接BM，CM，
∴∠BMC=180°-∠BAC=50°，
∴∠BOC=2∠BMC=100°.
解法2：连接OA.∵OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，∴∠OBA+∠OCA=∠OAB+∠OAC=∠BAC=130°，∴∠BOC=360°-130°-130°=100°.
11.(2024·六安霍邱二模)如图，☉O的弦BC垂直于直径AD，交于点E，连接BD，CD.
(1)尺规作图：过点B作BF∥CD，交AD于点F；(保留作图痕迹，不必写作法)
(2)在(1)的条件下，若BC=8，AD=10，求DF的长.
解：(1)如图所示，BF即为所求.
(2)连接OB.∵BC⊥AD，∴BE=BC=4，，∴∠DBC=∠DCB.∵BF∥CD，∴∠DCB=∠FBE，
∴∠FBE=∠DBE，∴△BFE≌△BDE(ASA)，
∴EF=ED.在Rt△OBE中，OB=AD=5，BE=4，
∴OE==3，∴DE=OD-OE=2，∴DF=2DE=4.
12.如图，在☉O中，AB是直径，AB⊥CD，点E在☉O上，∠BDC=∠CDE，AE与BC的延长线交于点F.
(1)求证：AB=AF；
(2)若AB=10，BD=4，求AE的长.
解：(1)连接AC.
∵AB是直径，∴∠ACB=∠ACF=90°.
∵∠BDC=∠CDE，∴，
∴∠BAC=∠CAE，∴△BAC≌△FAC(ASA)，∴AB=AF.
(2)连接BE，由(1)可得AF=AB=10，CF=BC.
∵AB⊥CD，∴，∴BC=BD=4，∴CF=4.
∵AB是直径，∴∠AEB=∠FEB=90°.
设AE=x，∴EF=10-x，
∴AB2-AE2=BF2-EF2，即102-x2=82-(10-x)2，
解得x=6.8，∴AE=6.8.(共19张PPT)
6.3　与圆有关的计算
A. B.
C.π D.
1.(2023·宿州模拟)如图，点C，D在☉O上，直径AB=2，且∠ADC=120°，则劣弧AC的长为( )
B
A.144° B.130°
C.129° D.108°
2.如图，☉O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是( )
A
A.π B.π
C.π D.π
3.(2024·滁州天长三模)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠B=60°，∠ACD=40°.若☉O的半径为5，则的长为( )
B
【解析】连接OA，OD，OC.∵∠B=60°，∠ACD=40°，∴∠AOC=2∠B=120°，∠AOD=2∠ACD=80°，∴∠DOC=∠AOC-∠AOD=40°，
∴的长=π.
【解析】∵O是AC的中点，∴S△AOB=S△COB，
∴S阴影=S扇形OBC.∵∠BAC=36°，∴∠BOC=2∠BAC=72°.∵直径AC=10，∴OC=5，
∴S扇形OBC==5π，∴S阴影=5π.
A.5π B.π C.10π D.π
4.(2023·淮南凤台三模)如图，点B在半圆O上，直径AC=10，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为( )
A
A.8-π B.4-π
C.2- D.1-
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2.以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D；以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为( )
D
【解析】根据勾股定理得AC=1.∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，
∴S阴影=S△ABC-(S扇形EBF+S扇形DAC)=×1×2-=1-.
6.(2024·江苏扬州)若用半径为10 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为　 　cm.
　5　
【解析】由题意可知圆锥的底面周长为10π cm，则圆锥底面圆的半径为=5(cm).
7.(2024·四川自贡)龚扇是自贡“小三绝”之一，为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型(如图)，扇形外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB长30 cm，扇面的BD边长为18 cm，则扇面面积为　 　cm2.(结果保留π)
　252π　
【解析】扇面面积=扇形BAC的面积-扇形DAE的面积==252π(cm2).
【解析】连接OE，OD，AD.∵AB为☉O的直径，∴AD⊥BC.∵AB=AC=2，∴∠CAD=∠BAD.设∠DOE=α，∴，∴α=30°，∴∠CAD=15°，∴∠BAC=2∠CAD=30°.
8.如图，在△ABC中，AB=AC=2，以AB为直径的☉O，交AC于点E，交BC于点D.若劣弧DE的长为，则∠BAC的度数为　 　.
　30°　
【解析】连接BD.
S阴影=S扇形BCD-S△BCD=×2×2=π-2.
9.如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，E，F分别为BC，AD的中点.以点C为圆心，2为半径作圆弧BD，再分别以点E，F为圆心，1为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为　 　.
　π-2　
10.如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上的点，OC∥BD，且OC交AD于点E，连接BC，交AD于点F.
(1)求证：AE=ED；
(2)若AB=10，∠CBD=36°，求的长.
解：(1)∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°.
∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，∴AE=ED.
(2)由(1)知OC⊥AD，∴，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=72°.∵AB=10，∴AO=BO=5，
∴的长为=2π.
A.3- B.
C. D.
11.已知四个正六边形如图摆放在圆中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上.若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是( )
D
【解析】如图，连接AD交PM于点O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于点N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，易得OM=OP=EN=DN=1，ON=2，∴OD==OF，
∴MF=-1，由正六边形的性质可知，
△GFH，△GHQ，△GQM都是正三角形，∴FH=MF=.
12.(2024·合肥包河区三模)如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的一条弦，且CD⊥AB于点E.
(1)求证：∠BCO=∠D；
(2)若CD=4，AE=2，求阴影部分面积.
解：(1)∵OC=OB，∴∠BCO=∠B.
∵∠B=∠D，∴∠BCO=∠D.
(2)∵AB是☉O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=2.
设OC=r，在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，
∴r2=(2)2+(r-2)2，解得r=4，∴OC=OA=4，∴OE=4-2=2，∴tan ∠COE=，∴∠AOC=60°，
∴S阴影=S扇形AOC-S△COE=×2×2π-2.

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