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(共29张PPT)
7.3　图形的平移、对称(折叠)、旋转与位似
1. (2024·广西)端午节是中国传统节日.下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是( )
B
2.如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B顺时针旋转90°后得到Rt△A'O'B，则下列四个图形中正确的是( )
B
A. B.1 C.2 D.
3.如图，△OAB的边OB在x轴的正半轴上，O是原点，点B的坐标为(3，0)，把△OAB沿x轴向右平移2个单位长度，得到△CDE，连接AC，DB.若△DBE的面积为3，则图中阴影部分的面积为( )
D
　
4.(2024·河南)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(-2，0)，点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为(0，6)，则点E的坐标为　 .
(3，10)　
【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=CB，∠C=∠BOF=90°.由折叠知FB=CB，FE=CE，设CD交y轴于点G，CB=m.由题知OA=GD=2，OF=6，∴OB=m-2，在Rt△BOF中，OB2+OF2=BF2，即(m-2)2+62=m2，解得m=10，∴FG=4，FE=CE=8-GE，在Rt△EGF中，GE2+FG2=FE2，即GE2+42=(8-GE)2，解得GE=3，∴点E的坐标为(3，10).
5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2，1)，B(-1，4)，C(-3，2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，相似比为1∶2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标.
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；点C2的坐标为(-6，4).
6.正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC各顶点的位置如图所示.将△ABC平移，使点A移到点D的位置，E，F分别是B，C的对应点.
(1)画出平移后的△DEF；
(2)在DE上找一点P，连接FP，使得线段FP平分△DEF的面积.
解：(1)如图所示，△DEF即为所求.
(2)如图所示，线段FP即为所求.
7.(2023·湖北宜昌)如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空.
(1)画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；
(2)画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C；
(3)填空：∠OCB的度数为　 　.
45°
解：(1)线段OB，AB如图所示.
(2)△AOB关于直线OB对称的图形如图所示.
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
8.(2024·北京)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，O为对角线的交点.将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D'，两个菱形的公共点为E，F，G，H.对八边形BFB'GDHD'E给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O到该八边形各顶点的距离都相等；④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等.上述结论中，所有正确结论的序号是( )
B
【解析】如图，连接OA'，OC'，OE.∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∠1=30°，∠ABC=120°，∠ABO=60°.由旋转的性质得OA=OA'，OB=OB'=OD'，∠AOA'=90°，∠A'D'C'=120°，∠2=30°，∴点A'，B，O，D，C'共线，点A，D'，O，B'，C共线，∴OA-OD'=OA'-OB，即AD'=A'B，∠4=∠3=∠ABO-∠2=30°，∴A'B=BE=D'E=AD'，∠BED'=150°，∵∠EBF=120°，∴∠BED'≠∠EBF，②错误；
易证△A'BE≌△A'BF(ASA)，∴BE=BF，又∵BE=D'E，同理易得该八边形各边长都相等，①正确；易证△EBO≌△ED'O(SSS)，∴∠5=∠6=75°，∴∠5≠∠EBO，∴OE≠OB，③错误；由题知EO平分∠BED'，BO平分∠EBF，∴点O到ED'，EB，BF的距离相等，同理可得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，④正确.
9. (2024·成都)【综合实践】数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中，AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°.
图1　 图2　 备用图
【初步感知】
(1)如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值.
【深入探究】
(2)如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长.
【拓展延伸】
(3)［选做题］在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有Rt△CDE的面积；若不能，请说明理由.
解：(1)易知△ADE≌△ABC，
∴AC=AE==5，∠DAE=∠BAC，
∴∠CAE=∠BAD.
∵，∴△ADB∽△AEC，
∴.
(2)解法1：连接CE，延长BD交CE于点Q，连接AQ交EF于点P，延长EF交BC于点N.
同(1)得△ADB∽△AEC，
∴∠ABD=∠ACE.
∵BM是Rt△ABC的中线，
∴BM=AM=CM=AC=，
∴∠MBC=∠MCB.
∵∠ABD+∠MBC=90°，
∴∠BCE=∠ACE+∠MCB=∠ABD+∠MBC=90°，
∴AB∥CE，∴∠BAM=∠ACE，∠ABM=∠CQM.
∵AM=CM，∴△BAM≌△QCM(AAS)，
∴BM=QM，
∴四边形ABCQ是平行四边形.
∵∠ABC=90°，∴ ABCQ是矩形，
∴CQ=AB=3，AQ=BC=4，∠AQC=90°，PQ∥CN，
∴EQ==3，∴EQ=CQ，
∴PQ是△CEN的中位线，即PQ=CN.
设PQ=x，则CN=2x，AP=4-x.
易证△EQP≌△ADP，∴EP=AP=4-x.
在Rt△EQP中，EP2=PQ2+EQ2，
即(4-x)2=x2+32，解得x=，
∴AP=4-x=，CN=2x=.
∵PQ∥CN，∴△APF∽△CNF，
∴，∴，得CF=.
解法2：∵BM是Rt△ABC的中线，
∴AM=BM=CM=AC=，
∴∠ABM=∠BAM.
∵AB=AD，∴∠ABM=∠ADB，
∴∠BAM=∠ADB.
∵∠ABM=∠DBA，∴△ABM∽△DBA，
∴，即，解得BD=，
∴DM=BD-BM=.
∵∠EAD=∠BAM=∠ADB，∴DM∥AE，
∴△FDM∽△FEA，
∴，即，
解得FM=，
∴CF=CM-FM=.
(3)C，D，E三点能构成直角三角形，Rt△CDE的面积为4或16或12或.　提示：①如图1，当AD在AC上，即DE⊥AC时，S△CDE=CD·DE=4；②如图2，当AD在CA的延长线上，即DE⊥AC时，S△CDE=CD·DE=16；③如图3，当DE⊥CE时，过点A作AQ⊥EC于点Q，易得四边形ADEQ是矩形，∴EQ=AD=3，AQ=DE=4，
∵AE=AC=5，∴EQ=CQ=CE=3，∴CE=6，∴S△CDE=DE·CE=12；④如图4，当CD⊥CE时，过点A作AG⊥EC于点G，交DE于点R，易得AG∥DC，∵AC=AE，AG⊥EC，∴EG=CG，∴RG是△CDE的中位线，∴RE=DE=2，CD=2RG，∴，在Rt△EGR中，RG2+EG2=RE2，即+EG2=22，
解得EG=(负值舍去)，∴CE=2EG=，RG=EG=，∴CD=2RG=，∴S△CDE=CD·CE=.综上所述，Rt△CDE的面积为4或16或12或.
图1　　 图2
图3　　 图4(共12张PPT)
7.1　尺规作图
1.(2024·河北)观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的( )
A.角平分线 B.高线
C.中位线 D.中线
【解析】由作图可知BD⊥AC，∴线段BD一定是△ABC的高线.
B
第1题图
2.(2024·湖南)如图，在锐角△ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2，AD=4MD，则AM=　 　.
　　第2题图
6
【解析】由作图可知BP为∠ABC的平分线.∵AD是边BC上的高，MN⊥AB，∴MD=MN=2，∴AD=4MD=8，∴AM=AD-MD=6.
3.(2024·河南)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的延长线于点E.
(1) 请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM=∠A，且射线CM交BE于点F.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)证明(1)中得到的四边形CDBF是菱形.
解：(1)如图所示，∠ECM即为所求.

(2)由(1)得∠ECF=∠A，∴CF∥AB.
∵BE∥DC，
∴四边形CDBF是平行四边形.
∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=BD，∴ CDBF是菱形.
4. 如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD的度数是　 .
10°或100°　
【解析】在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，∴∠ACB=60°.分两种情况：①当点D在线段BA上时，由作图可知AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=×(180°-80°)=50°，∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=10°；②当点D在射线BA上时，由作图可知AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=40°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=100°.综上所述，∠BCD的度数是10°或100°.
5. (2024·甘肃白银)马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2，已知☉O和圆上一点M.作法如下：
①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交☉O于A，B两点；
②延长MO交☉O于点C；
即点A，B，C将☉O的圆周三等分.
图1 图2
(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将☉O的圆周三等分；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)根据(1)画出的图形，连接AB，AC，BC，若☉O的半径为2 cm，则△ABC的周长为　 　cm.
6
解：(1)如图所示，点A，B，C即为所求.

(2)提示：设CM交AB于点E.∵，∴AB=BC=AC，∠AOB=120°.∵，∴∠AOM=∠BOM=60°.∵OA=OB，∴OE⊥AB，∴AE=AO·sin 60°= cm，即AB=2 cm，∴△ABC的周长为6 cm.(共9张PPT)
7.2　投影与视图
1.(2024·武汉)如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是( )
B
2.(2024·云南)某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的，其中一个几何体的三视图(主视图也称正视图，左视图也称侧视图)如图所示，这个几何体是( )

A.正方体 B.圆柱
C.圆锥 D.长方体
D
3. (2024·山西)斗拱是中国古典建筑上的重要部件.如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为( )
C
4. 【画图操作】三根底部在同一条直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图1所示.请在图1中画出光源O的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长.(保留作图痕迹，不写画法)
图1
【数学思考】如图2，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为　 　.
图2
D
【问题解决】如图3，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3 m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG=4 m.已知小明的身高为1.6 m，求灯杆AB的高.
图3
解：【画图操作】光源O的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长如图所示.

【问题解决】∵CD∥EF∥AB，
∴△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴.
又∵CD=EF，∴.
∵DF=3，FG=4，BF=BD+3，BG=BD+7，
∴，解得BD=9，即BF=12，
∴，解得AB=6.4 m.
答：灯杆AB的高为6.4 m.

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