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(共21张PPT)
第2课时　二次函数性质的综合应用
限时：15分钟
1.已知二次函数y＝－2x2＋1，当－3≤x≤1时，函数值y的取值范围是( )
A.－1≤y≤0 B.－1≤y≤1
C.－17≤y≤－1 D.－17≤y≤1
D
2.已知二次函数y＝3ax2－6ax＋c(a＞0)的图象上有两个不重合的点A(m，y1)，B(n，y2).若y1＝y2，则点P(m，n)可能在下列哪个一次函数图象上( )
B
3.如图，这是一次函数y＝kx＋b的图象，则二次函数
y＝x2－2kx－b的图象大致为( )
B
【解析】解法1：∵抛物线顶点为(－1，－2)，∴可设抛物线为y＝a(x＋1)2－2，∴y＝a(x2＋2x＋1)－2＝ax2＋2ax＋a－2，又抛物线为y＝ax2＋bx＋c，
∴b＝2a，c＝a－2.∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＝a－2＞0.
∴a＞2＞0，故A，B项错误；又抛物线的顶点为(－1，－2)，∴当x＝－1时，
y＝a－b＋c＝－2，故C项正确；由b＝2a，c＝a－2，
得b2－4ac＝4a2－4a(a－2)＝8a＞0，故D项错误.
4. (2024·湖北)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的顶点坐标为(－1，－2)，与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是( )
A.a＜0 B.c＜0
C.a－b＋c＝－2 D.b2－4ac＝0

C
解法2：由题意，该抛物线在平面直角坐标系中的位置如图所示，由图可得a＞0，c＞0，b2－4ac＞0，故A，B，D项错误.
5.在平面直角坐标系中，已知关于x的二次函数
y＝x2－2tx＋1.
(1)求该二次函数的对称轴(用含t的代数式表示)；
(2)若点M(t－2，m)，N(t＋3，n)在抛物线y＝x2－2tx＋1上，试比较m，n的大小；
(3)P(x1，y1)，Q(x2，y2)是抛物线y＝x2－2tx＋1上的任意两点，若对于－1≤x1＜3且x2＝3，都有y1≤y2，求t的取值范围.
解：(1)∵y＝x2－2tx＋1＝(x－t)2＋1－t2，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝t.
(2)由(1)可得当x＞t时，y随x的增大而增大，
又∵点(t－2，m)与(t＋2，y1)关于对称轴直线x＝t对称，
∴n＞y1＝m，即n＞m.
(3)当x1＝－1时，y1＝1＋2t＋1，当x2＝3时，y2＝9－6t＋1，
令y1≤y2，即1＋2t＋1≤9－6t＋1，解得t≤1，
∴t的取值范围是t≤1.
限时：15分钟
6.(2024·四川达州)抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是( )
A.b＋c＞1 B.b＝2
C.b2＋4c＜0 D.c＜0
A
7. 已知二次函数y1＝x2－4x＋3的图象与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，二次函数y2＝ax2＋2ax－3的图象经过点A.规定：
y＝下列结论：①y关于x的函数图象关于直线x＝1对称；②y的最小值为－4；③若直线y＝k与y关于x的函数图象有2个交点，则k的取值范围是k＞0或－4＜k＜－1；④若点(m，p)，(n，q)在y关于x的函数图象上，且m＋n＝－3，m＜n，则p＞q.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
【解析】由题可得y＝
图象如图所示.由图象可知，此函数图象不关于直线x＝1对称，①错误；当x＝－1时，y有最小值为－4，②正确；当直线y＝k与y关于x的函数图象有2个交点时，由图可知k的取值范围是k＞0或－4＜k＜－1，③正确；
y关于x的函数
若m＋n＝－3，m＜n，则n＝－3－m，m＜－，当－4＜m＜－时，－＜n＜1，
∴p－q＝(m2＋2m－3)－［(－3－m)2＋2(－3－m)－3］＝－2m－3
＝－2m＋＞0，∴p＞q；当m≤－4时，n≥1，
∴p－q＝(m2＋2m－3)－［(－3－m)2－4(－3－m)＋3］＝－8m－27＞0，∴p＞q，④正确.
8.(2023·六安金安区二模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2－2ax＋4(a＞0).
(1)该抛物线的对称轴是　 　；
(2) 若A(m－1，y1)，B(m，y2)，C(m＋2，y3)为抛物线上三点，且总有y3＞y1＞y2，则m的取值范围是 　.
　直线x=1　
　
【解析】(1)∵抛物线y＝ax2－2ax＋4(a＞0)，
∴对称轴为直线x＝－＝1.
(2)解法1：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，y3＞y1＞y2，∴点A，C分别位于对称轴的左、右两侧，分2种情况讨论：①当点B在对称轴左侧(或对称轴上)时，
解得＜m≤1；②当点B在对称轴右侧时，
解得1＜m＜.综上所述，m的取值范围是＜m＜.
解法2：由y3＞y1，得＞1，解得m＞.由y1＞y2，得＜1，解得m＜，∴m的取值范围为＜m＜.
解法3：由题意知点A，C分别位于对称轴两侧，∴点A关于对称轴对称的点为(3－m，y1)，又∵y3＞y1＞y2，∴令m＋2＞3－m＞m，解得＜m＜.
解法4：由y3＞y1＞y2，得a(m＋2)2－2a(m＋2)＋4＞a(m－1)2－
2a(m－1)＋4＞am2－2am＋4，解得＜m＜.
9.(2024·合肥瑶海区二模)已知抛物线y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，交y轴于点C，P为抛物线上一动点，其横坐标为t.
(1)求抛物线的表达式；
(2)将点P向右平移2个单位得到点Q，若点Q也在抛物线上，求t的值；
(3)当点P到x轴的距离不大于时，求t的取值范围.
解：(1)将点A(－1，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋4，
得解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋3x＋4.
(2)由题意得点P，Q关于对称轴对称，
由(1)得对称轴为直线x＝，
∴.解得t＝.
(3)由题意，得点P(t，－t2＋3t＋4)，
令－t2＋3t＋4＝－，
解得t1＝，t2＝；
令－t2＋3t＋4＝，解得t3＝－，t4＝.
∵＜－，
∴结合图象可知，≤t≤－≤t≤.
10.如图，经过A(1，0)，B(4，0)两点的抛物线y＝－x2－bx＋c与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式及点C的坐标.
(2)若线段BC上有一动点M(不与端点B，C重合)，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N.
(ⅰ)当线段MN的长度最大时，求此时点M的坐标.

(ⅱ)是否存在一点M，使得四边形OCMN为菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1)将点A(1，0)，B(4，0)代入y＝－x2－bx＋c，
得解得
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋5x－4.
当x＝0时，y＝－4，即点C的坐标为(0，－4).
(2)(ⅰ)设直线BC的函数表达式为y＝kx－4，
将点B(4，0)代入，得4k－4＝0，解得k＝1，
∴直线BC的函数表达式为y＝x－4.
设点M的坐标为(m，m－4)，则点N(m，－m2＋5m－4)，0＜m＜4，
∴MN＝(－m2＋5m－4)－(m－4)＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4.
∵－1＜0，∴当m＝2时，MN取得最大值，
此时点M的坐标为(2，－2).
(ⅱ)不存在.
理由：假设存在点M使得四边形OCMN是菱形，则MN＝CO＝NO＝4，
∴MN＝－(m－2)2＋4＝4，解得m＝2，
∴点N的坐标为(2，2)，
∴ON＝＝2≠CO，
∴不存在点M使得四边形OCMN为菱形.(共20张PPT)
第1课时　二次函数的图象与性质
限时：15分钟
1.二次函数y＝－(x＋2)2＋1的顶点坐标是( )
A.(－2，－1) B.(－2，1)
C.(2，－1) D.(2，1)
B
2.下列对二次函数y＝x2－x图象的描述，正确的是( )
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.经过原点
D.在对称轴右侧部分的图象是下降的
C
3.已知二次函数y＝－x2－2x＋3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为( )
A.－－1
B.－1
C.－－1或－1
D.－＋1或＋1
A
4.如图，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为( )

A.－1 B.－2 C.－3 D.－4
B
A.图象的开口向上
B.当x＞0时，y的值随x的增大而减小
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线x＝1
5.(2024·陕西)已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的几组对应值如下表：
则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )
x … －4 －2 0 3 5 …
y … －24 －8 0 －3 －15 …
D
6.已知反比例函数y＝(b≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx＋a(c≠0)和二次函数y＝ax2－bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
D
【解析】由反比例函数图象，得b＞0.当一次函数图象经过第一、三、四象限时，c＞0，a＜0，∴二次函数图象的开口向下，对称轴x＝－＜0，∴A，B项错误；当一次函数图象经过第一、二、四象限时，c＜0，a＞0，∴二次函数图象开口向上，交y轴负半轴，C项错误.
7.已知二次函数y＝－x2－4x＋k的顶点在x轴上，则k＝ .
-4
8.(2024·四川内江)已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，则y1　　y2.(填“＞”或“＜”)
＜
【解析】∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
∴二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C的函数关系式为y＝(x－1＋2)2，即y＝(x＋1)2，∴抛物线C开口向上，对称轴为直线x＝－1，
∵点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，且－1＜2＜3，∴y1＜y2.
9.阅读材料：设二次函数y1，y2的图象的顶点坐标分别为(h，k)，(m，n)，若h＋m＝1，kn＝1，且开口方向相反，则称y1是y2的“问真二次函数”.
(1)请写出二次函数y＝x2－4x＋3的一个“问真二次函数”：　 ；
y=-(x+1)2-1(答案不唯一)　
(2)已知关于x的二次函数y1＝(x－a)2－1和二次函数y2＝－x2－ax－4，若函数y1恰是y2的“问真二次函数”，求a的值.
解：(2)∵二次函数y1＝(x－a)2－1的顶点为(a，－1)，
二次函数y2＝－x2－ax－4的顶点坐标为，
∵函数y1恰是y2的“问真二次函数”，
∴a－a＝1，解得a＝3.
∵－4＝－1，－1×(－1)＝1，符合题意，∴a＝3.
【解析】由题意，得a＋b＋c＝0，c＝－2，∴a＋b＝2.∵对称轴在y轴的左侧，∴－＜0，∴a，b同号.∵a＋b＝2，
∴0＜a＜2，0＜b＜2，∴t＝a－b＝a－(2－a)＝2a－2，
∵0＜a＜2，∴－2＜2a－2＜2，∴－2＜t＜2.
限时：15分钟
10.(2023·合肥蜀山区三模)关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(1，0)和(0，－2)，且对称轴在y轴的左侧.若t＝a－b，则t的取值范围是( )
A.－2＜t＜2 B.－2＜t＜0
C.－4＜t＜0 D.－4＜t＜2
A
11. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线x＝1，点A的坐标为
(－1，0).下列结论：①2a＋b＝0；②abc＜0；③当y＜0时，－1＜x＜3；④3a＋c＞0；⑤a＋b≤n(an＋b)(n为任意实数).其中正确的结论有( )

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
［HK版教材九上P35习题21.3第7题改编］
【解析】∵对称轴为直线x＝1，∴－＝1，∴2a＋b＝0，①正确；∵抛物线开口方向向上，且对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，∵图象与y轴交于负半轴，∴c＜0，
∴abc＞0，②错误；由题得点B的坐标为(3，0)，∴当y＜0时，－1＜x＜3，③正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c＝0，∵b＝－2a，∴3a＋c＝0，④错误；当x＝1时，函数有最小值，∴a＋b＋c≤an2＋bn＋c，∴a＋b≤n(an＋b)，⑤正确.综上所述，正确的结论有3个.
12.在平面直角坐标系中，关于x的函数y＝－x＋3a＋2和y＝x2－ax的图象相交于点P，Q.
(1)若点P的横坐标为1，则a＝　 　.
(2)若P，Q两点都在x轴的上方，且a≠0，则实数a的取值范围是　 .
　0　
a＞0或-＜a＜0　
【解析】(1)令－x＋3a＋2＝x2－ax，把x＝1代入
－x＋3a＋2＝x2－ax，得－1＋3a＋2＝1－a，解得a＝0.(2)函数y＝x2－ax的图象是抛物线，抛物线开口向上，与x轴的交点为(0，0)和(a，0).①当a＞0时，若P，Q两点都在x轴的上方，此时当x＝a时，一次函数y＝－a＋3a＋2＝2a＋2＞0，∴a＞－1，∵∴a＞0；②当a＜0时，若P，Q两点都在x轴的上方，此时当x＝0时，y＝－x＋3a＋2＝3a＋2＞0，解得a＞－，
∴－＜a＜0，综上所述，实数a的取值范围是a＞0或－＜a＜0.
13.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.
(1)若点C的坐标为(0，3).
(ⅰ)求抛物线的函数表达式；
(ⅱ)P为该抛物线上一动点，过点P且与x轴垂直的直线交线段AC于点D，交x轴于点E.若PD－DE＝1，求点P的横坐标.
(2)设a＜0，经过A，C两点的直线为y＝mx＋n，当x为何值时，函数y＝ax2＋(b－m)x取最大值？
解：(1)(ⅰ)将A，B，C三点坐标代入，得
解得a＝－1，b＝－2，c＝3，
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－2x＋3.
(ⅱ)易得AC所在直线的表达式为y＝x＋3，
设点P(t，－t2－2t＋3)，则点D(t，t＋3)，E(t，0)，且－3＜t＜0，
∴PD－DE＝PE－2DE＝－t2－2t＋3－2(t＋3)
＝－t2－4t－3(－3＜t＜0).
∵PD－DE＝1，∴－t2－4t－3＝1，
解得t＝－2，即点P的横坐标为－2.
(2)∵抛物线过A(－3，0)，B(1，0)两点，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴－＝－1，即b＝2a.①∵直线y＝mx＋n过A(－3，0)，C(0，c)两点∴
∴m＝c.② 又∵抛物线过点A(－3，0)，∴9a－3b＋c＝0，③由①②③得m＝－a.∵a＜0，∴当x＝－＝－＝－时，函数y＝ax2＋(b－m)x取最大值.(共23张PPT)
3.1　平面直角坐标系与函数
限时：15分钟
1.(2023·浙江丽水)在平面直角坐标系中，点P(－1，m2＋1)位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
2.(2023·淮南期末)在以下四点中，哪一点与点(－3，4)所连的线段与x轴和y轴都不相交( )
A.(－5，1) B.(3，－3)
C.(2，2) D.(－2，－1)
A
图1　　 　图2
3. (2024·甘肃白银)如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计.全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组合成不同的图形.如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为( )
A.y＝3x B.y＝4x
C.y＝3x＋1 D.y＝4x＋1
B
4.［RJ版教材八下P82习题19.1第8题改编］从某容器口以均匀的速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变化情况如图所示，则对应容器的形状可能为( )

A
【解析】根据图象可知，液面增高的速度先逐渐变快，再逐渐变慢，最后匀速增高，对应的容器底部比较粗，先逐渐变细，又逐渐变粗，最后又变细并保持不变.只有A项符合条件.
5. (2024·武汉)如图，小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3－3x2＋3x－1的图象，发现它关于点(1，0)中心对称.若点A1(0.1，y1)，A2(0.2，y2)，A3(0.3，y3)，…，A19(1.9，y19)，A20(2，y20)都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1＋y2＋y3＋…＋y19＋y20的值是( )

A.－1 B.－0.729
C.0 D.1
D
【解析】由题知，点A10的坐标为(1，0)，则y10＝0.
∵函数图象关于点(1，0)中心对称，
∴y9＋y11＝y8＋y12＝…＝y1＋y19＝0，将x＝2代入函数表达式，得y＝23－3×22＋3×2－1＝1，即y20＝1，
∴y1＋y2＋y3＋…＋y19＋y20＝y20＝1.
6.(2024·黑龙江齐齐哈尔)在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　.
x＞-3且x≠-2
7. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－1)，若AB∥y轴，且AB＝9，则点B的坐标是 　.
(2，8)或(2，-10)
【解析】∵AB∥y轴，∴A，B两点的横坐标相同，
∵AB＝9，∴点B的纵坐标为－1＋9＝8或－1－9＝－10，
∴点B的坐标是(2，8)或(2，－10).
【归纳·应用】
(1)直接写出点A6的坐标为　 　，点A12的坐标为　 ；
(9，4)
8. (2024·阜阳三模)【观察·发现】如图，观察下列各点的排列规律：A(0，1)，A1(2，0)，A2(3，2)，A3(5，1)，A4(6，3)，….
(18，7) 　
(2)若点A2n的坐标为(3036，1013)，求n的值.
解：(2)∵A(0，1)，A1(2，0)，A2(3，2)，A3(5，1)，
A4(6，3)，则A(0，1)，A2(1×3，1＋1)，A4(2×3，1＋2)，A6(3×3，1＋3)，…，依此类推，A2n，即A2n(3n，n＋1)，∵点A2n的坐标为(3036，1013)，
∴3n＝3036(或n＋1＝1013)，解得n＝1012.
限时：20分钟
9. 在平面直角坐标系中，将点(－b，－a)称为点(a，b)的“关联点”.例如点(－2，－1)是点(1，2)的“关联点”.如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点所在的象限为( )
A.第一或第二象限
B.第一或第三象限
C.第二或第三象限
D.第二或第四象限
D
图1　 　　图2
10.如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是边BC的中点，F是对角线BD上一动点，设FD的长为x，EF与CF长度的和为y.图2是y关于x的函数图象，P为图象上的最低点，则函数图象的右端点Q的坐标为( )
A.(6，4) B.(4，3)
C.(4，6) D.(6，3)
D
【解析】连接AF，由菱形的对称性可知AF＝CF，则
y＝EF＋CF＝EF＋AF，当A，F，E三点共线时，y有最小值，由函数图象可知此时FD＝4，连接AC，交BD于点O.∵四边形ABCD为菱形，∠A＝120°，易得∠FAD＝90°，
∠ADF＝30°，∴AD＝FD·cos 30°＝2，∵AC，BD为对角线，∴BD＝2OD＝2AD·cos 30°＝6.由图形可知点Q对应点F运动到点B，此时横坐标对应的是BD的长，即横坐标为6，纵坐标对应的是BE＋BC的长，即纵坐标为3，故点Q的坐标为(6，3).
11.如图，O为正方形ABCD的中心，E，F分别为BC，CD的中点，AB＝4，点P从点A出发沿A→B→E方向匀速运动，同时点Q从点D出发沿D→F→O→E方向匀速运动，两点运动速度相等，当点P运动到点E时，两点同时停止运动.设点P运动的路程为x，△APQ的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是( )
B
【解析】由题意知两点的运动路程和时间均相等.当0＜x≤2时，点P在AB上，点Q在DF上，如图1，∴y＝AP·PQ＝2x，为正比例函数；当2＜x≤4时，点P在AB上，点Q在FO上，如图2，此时DF＋QF＝x，∴QF＝x－2，∴点Q到AB的距离为4－(x－2)＝6－x，∴y＝x(6－x)＝－x2＋3x，图象是开口向下的抛物线；当4＜x≤6时，点P在BE上，点Q在OE上，如图3，此时QE＝6－x，PE＝6－x，BP＝x－4，
∴y＝S四边形QEBA－S△ABP－S△QEP＝(6－x＋4)×2－×
4(x－4)－(6－x)2＝－x2＋3x，与前一段为同一条抛物线，据此判断B项正确.
图1　 　图2 图3
12. 数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相取长补短.在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°.如图，建立平面直角坐标系，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是　 .
【解析】∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∴AD＝AB＝CD＝2，AB∥CD.∵∠DAB＝120°，∴∠DAO＝60°.在Rt△AOD中，
OD＝AD·sin 60°＝，∴点C的坐标是(2，).
(2，)　
13.(2023·芜湖无为月考)如图，这是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数.下面表格是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值数据.
输入x … －6 －4 －2 0 2 …
输出y … －6 －2 2 6 16 …
解：(2)将(－2，2)，(0，6)代入y＝kx＋b，
得解得
∴当x＜1时，该函数的表达式为y＝2x＋6.
(3)把y＝－4代入y＝2x＋6，得2x＋6＝－4，解得x＝－5；
把y＝－4代入y＝8x，解得x＝－(不符合题意，舍去)，
∴当输出的y值为－4时，输入的x值为－5.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)当输入的x值为3时，输出的y值为　 　.
(2)当x＜1时，求该函数的表达式.
(3)当输出的y值为－4时，求输入的x值.
　24　
14. (2024·浙江)小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼.小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次.跑步机上C档比B档快40米/分钟，B档比A档快40米/分钟.小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s(米)与小明跑步时间t(分钟)的函数关系如图所示.
时间 里程分段 速度档 跑步里程
小明 16：00~16：50 不分段 A档 4000米
小丽 16：10~16：50 第一段 B档 1800米
第一次休息 第二段 B档 1200米
第二次休息 第三段 C档 1600米
(1)求A，B，C各档速度(单位：米/分钟)；
(2)求小丽两次休息时间的总和(单位：分钟)；
(3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值.
解：(1)由题意可知，A档速度为4000÷50＝80(米/分钟)，则B档速度为80＋40＝120(米/分钟)，C档速度为120＋40＝160(米/分钟).
答：A，B，C各档速度分别为80米/分钟、120米/分钟、160米/分钟.
(2)小丽第一段跑步时间为1800÷120＝15(分钟)，小丽第二段跑步时间为1200÷120＝10(分钟)，小丽第三段跑步时间为1600÷160＝10(分钟)，则小丽两次休息时间的总和为
50－10－15－10－10＝5(分钟).
答：小丽两次休息时间的总和为5分钟.
(3)∵小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，∴此时小丽在跑第三段，所跑时间为
a－10－15－10－5＝(a－40)分钟，
∴80a＝3000＋160(a－40)，解得a＝42.5.(共16张PPT)
3.5　二次函数的实际应用
A.300元 B.310元
C.320元 D.350元
类型1　增长率问题与最大利润问题
某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.已知每个房间定价x(元)和游客居住房间数y(个)符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象.若宾馆要获得最大利润，则每个房间应定价为( )


C
2.(2023·滁州期末)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件.要使利润最大，则每件的售价应为___元.
　25　
3. (2024·贵州)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值.
(1)求y与x的函数表达式.
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值.
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
解：(1)设y＝kx＋b(k≠0).
由题意，得解得
∴y与x的函数表达式为y＝－2x＋80.
(2)设日销售利润为w元.
由题意，得
w＝(x－10)(－2x＋80)＝－2x2＋100x－800＝－2(x－25)2＋450.
∵－2＜0，∴当x＝25时，w取得最大值为450.
答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元.
(3)由(2)得
w＝(x－10－m)(－2x＋80)＝－2x2＋(100＋2m)x－800－80m.
∵最大利润为392元，
∴＝392，
整理得m2－60m＋116＝0，即(m－2)(m－58)＝0，
解得m1＝2，m2＝58.
由(1)可知10≤x≤40，当m＝58时，易得每盒糖果的利润小于0，不合题意，舍去，
∴m的值为2.
类型2　几何图形面积问题
4. 如图，有长为24 m的篱笆，一边利用墙(墙长不限)，则围成的花圃ABCD的面积最大是( )


A.24 m2 B.36 m2
C.48 m2 D.60 m2
C
［RJ版教材九上P57复习题22第7题改编］
5.(2023·六安金安区二模)如图，学校准备在长为16米、宽为12米的矩形草地上规划甲、乙、丙三个区域栽种花卉，正方形AEFG和正方形CHMN面积相等，且各有两边与长方形边重合，矩形MOFP是这两个正方形的重叠部分，设PM为x(2≤x≤4)米，PF为y米.
(1)求y关于x的函数表达式；(不用写出自变量的取值范围)



(2)设甲、乙、丙的总面积为S m2，求S关于x的函数表达式及其最大值.
解：(1)由题可知，AG＋MH＝16＋PM，AE＋MN＝12＋PF，
∵正方形AEFG和正方形CHMN面积相等，
∴AG＝MH＝AE＝MN，
∴16＋PM＝12＋PF，即16＋x＝12＋y，
∴y＝x＋4.
(2)由(1)知2AG＝16＋x，
∴S正方形AEFG＝S正方形CHMN＝.∵S乙＝xy＝(x＋4)x，
∴S＝S甲＋S乙＋S丙＝S矩形ABCD－(S正方形AEFG＋S正方形CHMN－2S乙)＝16×12－2＋2(x＋4)x，
整理，得S＝x2－8x＋64＝.
∵＞0，2≤x≤4，∴当x＝4时，S有最大值，且最大值为
×42－8×4＋64＝56.
类型3　抛物线型问题
6. 如图，某涵洞的截面是抛物线形，测得水面宽AB＝1.6 m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2 m，则当水位上升1.5 m时，水面的宽度为( )

A.0.4 m B.0.6 m
C.0.8 m D.1 m
C
［RJ版教材九上P51探究3改编］
图1　 　图2
7.(2024·甘肃白银)如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B(6，2.68)在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车_____　 　(填“能”或“不能”)完全停到车棚内.
　能　
8. 如图，为了提醒司机安全驾驶，要在隧道中安装电子显示屏.已知隧道截面为抛物线型，水平路面宽AB＝16米，抛物线顶点C到AB距离为12米.根据计划，安装矩形显示屏MNPQ的高MQ为1米，为了确保行车安全，显示屏底部距离地面至少8米，若距离左右墙壁各留至少1米的维修空间，则该矩形显示屏MNPQ的宽PQ的最大长度为　 　米.
　6　
【解析】如图，建立平面直角坐标系.由顶点C为(0，12)，
∴设抛物线的表达式为y＝mx2＋12.又点B(8，0)，∴0＝64m＋12，解得m＝－，∴抛物线为y＝－x2＋12.∵显示屏底部距离地面至少8米，∴令y＝8＋1＝9，∴9＝－x2＋12，解得x＝4或
x＝－4.∴D(4，9).∴PQmax＝MNmax＝2×(4－1)＝6(米).
9.(2024·陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF'为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100 m，AO＝BC＝17 m，缆索L1的最低点P到FF'的距离PD＝2 m(桥塔的粗细忽略不计).
(1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索L2上，EF⊥FF'，且EF＝2.6 m，FO＜OD，求FO的长.
解：(1)由题意得顶点P的坐标为(50，2)，点A的坐标为(0，17).
设缆索L1所在抛物线的函数表达式为y＝a(x－50)2＋2.
把(0，17)代入，得17＝a(0－50)2＋2，解得a＝，
∴缆索L1所在抛物线的函数表达式为y＝(x－50)2＋2.
(2)∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，
∴缆索L2所在抛物线的函数表达式为y＝(x＋50)2＋2.
∵EF＝2.6，∴把y＝2.6代入，得2.6＝(x＋50)2＋2，
解得x1＝－40，x2＝－60.
∵FO＜OD＝50 m，∴FO的长为40 m.(共20张PPT)
3.3　反比例函数
限时：15分钟
1.(2023·浙江丽水)如果100 N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1 000 Pa，则下列关于物体受力面积S(m2)的说法正确的是( )
A.S小于0.1 m2 B.S大于0.1 m2
C.S小于10 m2 D.S大于10 m2
A
2.(2024·蚌埠二模)如图，在平面直角坐标系中，A，C两点的坐标分别为(－1，0)，(0，2)，AC绕点A逆时针旋转90°得到AB，点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值是( )

A.－4 B.4 C.－3 D.3
C
3.［RJ版教材九下P9习题26.1第8题改编］反比例函数
y＝－与一次函数y＝kx－4在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
C
4.(2024·浙江)反比例函数y＝的图象上有P(t，y1)，
Q(t＋4，y2)两点.下列正确的选项是( )
A.当t＜－4时，y2＜y1＜0
B.当－4＜t＜0时，y2＜y1＜0
C.当－4＜t＜0时，0＜y1＜y2
D.当t＞0时，0＜y1＜y2
A
【解析】由题意，得反比例函数y＝图象分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小.当t＜－4时，
t＋4＜0，∵t＜t＋4，∴y2＜y1＜0，A项正确；
当－4＜t＜0时，点P(t，y1)在第三象限，点Q(t＋4，y2)在第一象限，∴y1＜0，y2＞0，∴y1＜0＜y2，B，C项错误；当t＞0时，t＋4＞0，∴点P(t，y1)，Q(t＋4，y2)在第一象限，∵t＜t＋4，∴y1＞y2＞0，D项错误.
5.已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝2x－4的图象都经过点A(m，6)，则k的值为　 　.
　30　
【解析】延长AB交y轴于点D，∵B(－1，3)，∴OD＝3，
S ABCO＝OC·OD＝3，∴OC＝1，∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB＝OC＝1，∴AD＝2，∴A(－2，3)，∵点A在反比例函数图象上，∴k＝－2×3＝－6.
-6
6.(2024·黑龙江齐齐哈尔)如图，反比例函数y＝(x＜0)的图象经过 ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B(－1，3)，S ABCO＝3，则实数k的值为　　.
7.(2024·四川乐山)如图，已知点A(1，m)，B(n，1)在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，过点A的一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点C(0，1).
(1)求m，n的值和一次函数的表达式；
(2)连接AB，求点C到线段AB的距离.
解：(1)∵点A(1，m)，B(n，1)在反比例函数y＝的图象上，∴m＝3，n＝3.∵一次函数y＝kx＋b过点A(1，3)，C(0，1)，
代入，得解得∴一次函数的表达式为y＝2x＋1.
(2)连接BC，过点A作AD⊥BC于点D，过点C作CE⊥AB于点E.
易得BC＝3，AD＝2，BD＝2，∴AB＝＝2，
又∵S△ABC＝BC·AD＝AB·CE，∴×3×2＝×2×CE，∴CE＝，即点C到线段AB的距离为.
第8题图
A. B. C.3 D.4
限时：15分钟
8.(2023·合肥瑶海区三模)如图，A，B是双曲线y＝上的两点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C.若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为( )
B
【解析】过点B作BE⊥x轴，垂足为点E.∵A，B是双曲线
y＝上的两点，∴S△AOC＝S△BOE.∵AC∥BE，∴△DOC∽△BOE，∴，
∴，∴.又∵S△AOD＝1，
∴S△AOC＝|k|.∵k＞0，∴k＝.
第9题图
9.(2024·黑龙江龙东地区)如图，双曲线y＝(x＞0)经过A，B两点，连接OA，AB，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则△AEB的面积是( )
A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.5
A
【解析】过点A作AM⊥y轴，垂足为点M，连接OB，则S△AOM＝S△OBD＝|k|＝×12＝6，∵E是OA的中点，DE∥AM，∴，∴S△DEO＝×6＝，∴S△AEB＝S△OEB＝S△OBD－S△DEO＝6－＝4.5.
10. 函数y1＝的图象如图所示，已知y2＝|x|与y1＝的图象在同一平面直角坐标系中交于M，N两点(点M在点N左侧)，P为x轴上任意一点，则下列说法正确的是( )

A.S△MON＝2
B.若y1＞y2，则－1＜x＜1
C.满足PM＋PN＝3的点P的个数是2
D.当点P在原点的右侧时，S△MPN随点P横坐标的增大而增大
C
【解析】由题意可知交点M，N的坐标分别是(－1，1)，(1，1)，∴S△MON＝×2×1＝1，A项错误；作出y2＝|x|的图象，易知当y1＞y2时，－1＜x＜0或0＜x＜1，B项错误；易求PM＋PN的最小值为2，∴在x轴的正、负半轴上各存在一个点P使得PM＋PN＝3，C项正确；当点P在原点的右侧时，随着点P横坐标的增大，△MPN的面积始终等于△MON的面积，即为定值，D项错误.
11. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x＜0)的图象上有A，B两点，它们的横坐标分别为－6和－3，△ABO的面积为18，则k的值为　 　.
　-24　
［HK版教材九上P60 B组复习题第4题改编］
【解析】解法1：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，交OA于点H.易知S△BOF＝S△AOE，∴S△BOH＝S四边形AEFH，
∴S梯形AEFB＝S△ABO＝18.易知点A，B，∴×3＝18，解得k＝－24.
解法2：由题可知点A的坐标为，点B的坐标为，∴直线AB的函数表达式为y＝－x－.设直线AB与x轴交于点C，则点C的坐标为(－9，0)，
∴S△ABO＝S△OBC－S△AOC＝×9××9×＝18，
解得k＝－24.
12.(2024·六安霍邱模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax＋4与反比例函数y＝的图象交于A(－2，m)，B两点，与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点D.
(1)求a，k的值；
(2)求△AOB的面积；
(3)根据图象，直接写出反比例函数值小于一次函数值时x的取值范围.
解：(1)把C(4，0)代入y＝ax＋4，得0＝4a＋4，解得a＝－1.
把A(－2，m)代入y＝－x＋4，得m＝－(－2)＋4＝6.
把A(－2，6)代入y＝，得6＝，解得k＝－12.
(2)由题意，得D(0，4)，
联立解得∴点B的坐标为(6，－2)，
∴S△AOB＝S△AOD＋S△DOB＝×4×2＋×4×6＝16.
(3)由图象可知，当反比例函数值小于一次函数值时x的取值范围是x＜－2或0＜x＜6.(共15张PPT)
3.2　一次函数 吧
限时：15分钟
1.若正比例函数y＝－2x的图象经过点P(a－1，4)，则a的值为( )
A.－1 B.0 C.1 D.2
A
2.(2024·新疆生产建设兵团)若一次函数y＝kx＋3的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是( )
A.－2 B.－1 C.0 D.1
D
3. (2024·山西)生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数，部分数据如表，则y与x之间的关系式为( )
A.y＝7.5x＋0.5 B.y＝7.5x－0.5
C.y＝15x D.y＝15x＋45.5
A
尾长x/cm 6 8 10
体长y/cm 45.5 60.5 75.5
第4题图
4.(2024·阜阳二模)如图，直线l1：y＝kx＋b(k≠0)与直线l2：y＝mx＋n(m≠0)的交点在第二象限.下列结论不一定正确的是( )
A.km＞0 B.k＋b＜0
C.b－n＞0 D.mb＜0
B
　
5.某市为鼓励市民节约使用燃气，对燃气进行分段收费：每月使用11米3以内(包括11米3)时，每立方米收费2元；超过部分按每立方米2.4元收取.如果某户使用9米3燃气，需要燃气费为　 　元；如果某户的燃气使用量是x米3
(x＞11)，那么燃气费y与x的函数关系式是　 .
y=2.4x-4.4　
　18　
第6题图
6.(2024·江苏扬州)如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx＋b＝0的解为　 　.
　x=-2　
7.(2024·北京)在平面直角坐标系中，函数y＝kx＋b(k≠0)与y＝－kx＋3的图象交于点(2，1).
(1)求k，b的值；
(2)当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值既大于函数y＝kx＋b的值，也大于函数y＝－kx＋3的值，请直接写出m的取值范围.
解：(1)∵直线y＝－kx＋3过点(2，1)，∴－2k＋3＝1，解得k＝1.
将点(2，1)代入y＝x＋b，得2＋b＝1，解得b＝－1.
(2)如图，∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值既大于函数y＝x－1的值，也大于函数y＝－x＋3的值，∴m≥1.
限时：15分钟
8.在同一平面直角坐标系内，正比例函数y＝kx与一次函数y＝－3kx＋k的图象可能为( )
D
9. (2024·四川南充)当2≤x≤5时，一次函数
y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值6，则实数m的值为( )
A.－3或0 B.0或1
C.－5或－3 D.－5或1
A
10.如图，直线y＝kx＋3与直线y＝－x交于点A(－2，1)，与y轴交于点B，点M(m，y1)在线段AB上，点N(1－m，y2)在直线y＝－x上，则y1－y2的最小值为 　.
11.为支持美丽乡村建设，某大学主动承担绿水县的高标准农田改造工程.第一批任务要求在第50天完成，待改造的高标准农田y(亩)与工作时间x(天)满足一次函数关系，已知30天后还有4000亩高标准农田待改造.
(1)求第一批任务中需改造的高标准农田的亩数.
(2)为进一步加大支持力度，第二批任务比第一批增加20%，且每亩改造价格比第一批少100元，这两批任务的改造总价相同.求第二批任务的改造总价.(结果用科学记数法表示)
解：(1)设待改造的高标准农田y(亩)与工作时间x(天)的一次函数关系式为y＝kx＋b.
由题意，得解得
∴y＝－200x＋10000，令x＝0得y＝10000，
∴第一批任务中需改造的高标准农田为10000亩.
(2)设第二批任务中每亩改造价格为a元.
由题意，得10000(a＋100)＝10000(1＋20%)a，解得a＝500，
∴10000(1＋20%)a＝6000000＝6×106(元).
答：第二批任务的改造总价为6×106元.
12.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋12与直线OA相交于点A(8，4)，与x轴，y轴分别交于点B，C.
(1)求点B，C的坐标.

(2)点M在射线AC上，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出点M的坐标.
解：(1)B(12，0)，C(0，12).
(2)存在.设M(m，－m＋12)(m≤8)，
∵S△OAC＝OC·xA＝×12×8＝48，
S△OMC＝×12×|m|＝S△OAC＝24，
∴m＝±4，
∴点M的坐标为(4，8)或(－4，16).

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