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(共16张PPT)
4.4等腰三角形与直角三角形
限时：15分钟
1.(2024·云南)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为( )
A. B.2 C.3 D.
C
第2题图
2.(2023·滁州定远二模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD.若AD＝2，则CD的长为( )
A.1 B. C.2 D.
A
第3题图
3.(2023·亳州蒙城三模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
A
4.(2024·重庆B卷)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC＝2，则AD的长度为　 　.
　2　
5.等腰△ABC的底边AC长为30，腰上的高为24，则△ABC的腰长为　 　.
　25　
6.如图，已知AC⊥BC，垂足为点C，AC＝4，BC＝3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接CD，BD，则线段CD＝
　 　，线段BD＝___.
　4　
【解析】(1)由旋转的性质可知AC＝AD，
∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形，
∴CD＝AC＝4.
(2)过点D作DE⊥BC于点E.∵AC⊥BC，∠ACD＝60°，∴∠BCD＝30°.在Rt△CDE中，DE＝CD＝2，CE＝2，∴BE＝.在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD＝.
7.［RJ版教材八上P83习题13.3第10题改编］如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作BC的平行线分别交AB，AC于点D，E.
(1)请写出图1中线段BD，CE，DE之间的数量关系，并说明理由.
(2)如图2，若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于点O，过点O作BC的平行线交AB于点D，交AC于点E.那么BD，CE，DE之间存在什么数量关系？并证明.
图1　　　　　图2
解：(1)DE＝BD＋CE.
理由：易知∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO.
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠BCO，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，
∴BD＝DO，OE＝CE，
∴DE＝DO＋OE＝BD＋CE.
(2)DE＝BD－CE(或BD＝DE＋CE).
理由：同(1)知BD＝DO，OE＝CE，
∴DE＝DO－OE＝BD－CE.
限时：20分钟
8.(2024·四川自贡)如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢( )
A.(24－12)m B.(24－8)m
C.(24－6)m D.(24－4)m
D
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝12，BD＝6，∴CD＝6.∵∠BED＝60°，∴DE＝2，BE＝AE＝4，∴减少用钢为(AB＋AC＋BC＋CD)－(AE＋BE＋AB＋DE)＝AC＋BC＋CD－AE－BE－DE＝(24－4) cm.
9. (2024·黑龙江齐齐哈尔)如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为(0，0)，点B的坐标为(1，0)，点C在第一象限，∠OBC＝120°.将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为O'，点C的对应点为C'，OC与O'C'的交点为A1，称点A1为第一个“花朵”的花心，点A2为第二个“花朵”的花心……按此规律，△OBC滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 　.
【解析】连接A1B.由题意可得∠COB＝∠O'＝∠OCB＝∠O'C'B＝30°，BO＝BC＝BO'＝BC'，∴A1O＝A1C'，∴点A1在OC'的垂直平分线上.∵点B的坐标为(1，0)，∴OB＝1，∴A1B＝，∴点A1的坐标为.易得点A2的坐标为，点A3的坐标为(5＋2)，…，∴点An的坐标为(2n－1＋(n－1))(n为正整数).∵△OBC滚动一次得到A1，滚动四次得到A2，滚动七次得到A3，∴每滚动三次，出现下一个花心，∵2024÷3＝674……2，674＋1＝675，∴滚动2024次后停止滚动，最后一个花心对应的点为A675，点A675的坐标为(1349＋674)，即滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心的坐标为.
10.(1)如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°，则AB，CD与BC之间的数量关系为　 　.
(2)如图2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°，则的值为 　.
图1
图2
AB+CD=BC
【解析】(1)∵∠B＝∠APD＝90°，∴∠BAP＋∠APB＝90°，∠APB＋∠DPC＝90°，∴∠BAP＝∠DPC.又∵PA＝PD，∠B＝∠C＝90°，∴△BAP≌△CPD(AAS)，∴BP＝CD，AB＝PC，∴BP＋PC＝AB＋CD＝BC.(2)过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F.由(1)可知，EF＝AE＋DF.∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，∴BE＝AE，CF＝DF，AB＝AE，CD＝DF，∴BC＝BE＋EF＋CF＝2(AE＋DF)，∴.
图3
图2　　　　　 　
图1
11. 在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有M，N两点，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝CD.
(1)如图1，当点M，N分别在边AB，
AC上，且DM＝DN时，请写出线段
BM，CN，MN之间的数量关系，并说明理由.
(2)如图2，当点M，N分别在边AB，AC上，且DM≠DN时，请写出线段BM，CN，MN之间的数量关系，并说明理由.
(3)如图3，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上，且BM＝2，CN＝10时，△AMN的周长是　 　.
　20　
解：(1)MN＝BM＋CN.
理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形.
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°.
在Rt△BDM和Rt△CDN中，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN(HL)，
∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，
∴MN＝DM＝2BM＝BM＋CN.
(2)MN＝BM＋CN.
理由：延长NC至点M1，使CM1＝BM，连接DM1.
由题知∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，
∴△DBM≌△DCM1(SAS)，
∴DM＝DM1，∠BDM＝∠CDM1.
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°.
又∵DN＝DN，
∴△MDN≌△M1DN(SAS)，
∴MN＝M1N＝CM1＋CN＝BM＋CN.
(3)提示：在CN上截取CM'＝BM，连接DM'.可证△DBM≌△DCM'，∴DM＝DM'，∠M'DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M'DN，∴MN＝M'N＝10－2＝8.∵AB＝AC，∴AM＋AN＝AC＋BM＋AN＝CN＋BM＝10＋2＝12，∴△AMN的周长为8＋12＝20.(共9张PPT)
4.1　线、角、相交线与平行线
1.(2024·甘肃白银)若∠A＝55°，则∠A的补角为( )
A.35° B.45° C.115° D.125°
限时：10分钟
D
第2题图
2.(2024·广西)如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为( )
A.20° B.40° C.60° D.80°
C
【解析】由题意可知AB∥CD，AE∥BF，∴∠EAB＋∠ABF＝180°，∴∠BCD＝∠ABC＝180°－65°－25°＝90°.
第3题图
3.如图，某乡要修建一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东65°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村.若从C村修建的水渠CD与AB方向一致，则∠BCD的度数为( )
A.40° B.65°
C.90° D.115°
C
【解析】∵入射光线是平行光线，∴∠1＝∠3，由光的反射定律得∠3＝∠4，∴∠4＝∠1＝50°.
第4题图
4.(2024·广东深圳)如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
B
【解析】∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠1＝65°，∵∠2＝∠ACD＋∠3，∴∠3＝∠2－∠ACD＝55°.
第5题图
5.(2024·江苏苏州)如图，AB∥CD，若∠1＝65°，∠2＝120°，则∠3的度数为( )
A.45° B.55°
C.60° D.65°
B
6.已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2.若D是线段AC的中点，则线段AD的长为　 　.
　1或3　
【解析】根据题意分两种情况：①如图1，∵AB＝4，BC＝2，∴AC＝AB－BC＝2.∵D是线段AC的中点，∴AD＝AC＝1；②如图2，∵AB＝4，BC＝2，∴AC＝AB＋BC＝6.∵D是线段AC的中点，∴AD＝AC＝3.综上所述，线段AD的长为1或3.
　图2
图1　
7.(2024·合肥瑶海区一模)将一副直角三角板作如图所示摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，AB∥CD，则下列结论不正确的是( )
限时：8分钟
C
A.GE∥MP B.∠EFN＝150°
C.∠BEF＝60° D.∠AEG＝∠PMN
【解析】∵∠G＝∠MPN＝∠MPG＝90°，
∴GE∥MP，故A项正确；∵∠EFG＝30°，
∴∠EFN＝180°－30°＝150°，故B项正确；过点F向右侧作FH∥AB，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠HFN＝∠MNP＝45°，∴∠EFH＝150°－45°＝105°.∵FH∥AB，∴∠BEF＝180°－105°＝75°，故C项错误；∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，∴∠AEG＝180°－60°－75°＝45°，∴∠AEG＝∠PMN＝45°，故D项正确.
8.(2023·合肥高新区期末)如图，BD平分∠ABC，点E，F分别在BA和BC上，EG平分∠AEF交BD于点G，ED∥BC.下列结论：①∠EBD＝∠D；②∠CBD＝∠DEG；③∠BFE＝2∠BGE；④∠FEG＝2∠D.其中所有正确结论的序号是　 　.
【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD.
∵ED∥BC，∴∠D＝∠CBD，∴∠EBD＝∠D，①正确；
无法说明∠CBD＝∠DEG，②错误；由题意，设∠CBD＝x，∠DEG＝y，则∠EBD＝∠CBD＝∠D＝x，∠AEG＝∠GEF＝2x＋y，∵∠BGE＝∠D＋∠DEG＝x＋y，ED∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝2x＋y＋y＝2(x＋y)＝2∠BGE，③正确；∵∠FEG＝2x＋y，∠D＝x，∴∠FEG≠2∠D，④错误.
①③(共14张PPT)
4.2　三角形及其性质
1.(2023·浙江金华)在下列长度的四条线段中，能与长6 cm，8 cm的两条线段围成一个三角形的是( )
A.1 cm B.2 cm C.13 cm D.14 cm
限时：15分钟
C
2.用一块含30°角的透明直角三角板画已知△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是( )
D
第3题图
3. 把一副含30°，45°角的直角三角板如图摆放，AC⊥DE于点F，AD与BC交于点G，则∠AGB的度数为( )
A.80° B.75° C.72° D.60°
B
第4题图
4.如图，下列说法错误的是( )
A.∠B＋∠ACB＜180°
B.∠B＋∠ACB＝180°－∠A
C.∠B＞∠ACD
D.∠HEC ＞∠B
C
第5题图　
5.(2024·陕西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
C
第6题图
6.(2023·合肥肥东期末)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF.若AC＝6，BC＝10，则DF等于( )
A.3 B.2.5 C.2 D.1.5
C
7.已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a－7|＋(b－1)2＝0，c为奇数，则c＝　 　.
　7　
8.如图，BE是△ABC的一条角平分线，在AB上取点D，使得∠DEB＝∠DBE.
(1)求证：DE∥BC；
(2)若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数.
解：(1)∵BE是∠ABC的平分线，∴∠DBE＝∠EBC.
∵∠DEB＝∠DBE，∴∠DEB＝∠EBC，
∴DE∥BC.
(2)∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝45°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝70°.
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠EBC＝∠ABC＝35°.
9.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA'＝β，∠BDA'＝γ，那么下列等式正确的是( )
A.γ＝2α＋β B.γ＝α＋2β
C.γ＝α＋β D.γ＝180°－α－β
限时：15分钟
A
【解析】设AC与A'D相交于点F.由翻折可知，∠A＝∠A'.∵∠AFD＝α＋β，∴γ＝∠A＋∠AFD＝2α＋β.
【解析】∵CD是边AB上的高，∴∠CDB＝90°，∵∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝50°，∴∠CAB＝90°－∠ACD＝40°.∵AE是∠CAB的平分线，∴∠CAE＝∠CAB＝20°，∴∠AEB＝∠CAE＋∠ACB＝100°.
第10题图
10.(2024·四川凉山州)如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是　 　.
　100°　
11. (2023·芜湖无为期中)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，)，点B的坐标为(3，0).若在x轴上有一点P，使得△PAB为等腰三角形，则点P的坐标为　 　.
第11题图
(3-
【解析】设点P的坐标为(a，0)，易知BP2＝(3－a)2，AP2＝(1－a)2＋3，AB2＝7，分3种情况：当AP＝BP时，(1－a)2＋3＝(3－a)2，解得a＝，∴点P的坐标为；当AP＝AB时，(1－a)2＋3＝7，解得a＝－1或a＝3(舍去)，∴点P的坐标为(－1，0)；当BP＝AB时，(3－a)2＝7，解得a＝3－或a＝3＋，∴点P的坐标为(3－，0)或(3＋，0).综上所述，点P的坐标为(3－，0)或(3＋，0)或(－1，0)或.
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
(1)求∠CBE的度数；
(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数.
解：(1)∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝130°.
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°.
(2)∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°－65°＝25°.
∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°.
13.［HK版教材八上P90 A组复习题第5题改编］如图，∠CAD与∠CBD的平分线相交于点P.
(1)若∠C＝32°，∠D＝28°，求∠P的度数；
(2)猜想∠D，∠C，∠P的数量关系并说明理由.
解：∵∠CAD与∠CBD的平分线相交于点P，
设∠CAP＝∠PAD＝x，∠CBP＝∠DBP＝y.
(1)由三角形的外角性质得∠C＋∠CAD＝∠D＋∠CBD，
即32°＋2x＝28°＋2y.　①
同理可得∠P＋∠PAD＝∠D＋∠DBP，即∠P＋x＝28°＋y.　②
由①②，解得∠P＝30°.
(2)∠P＝(∠C＋∠D).
理由：由(1)中①式易得2(y－x)＝∠C－∠D，由②式易得∠P－∠D＝y－x，∴∠P＝∠D＋(y－x)＝(∠C＋∠D).(共13张PPT)
4.3　全等三角形
1.如图，点C和点E分别在AD和AB上，BC与DE交于点F，已知AB＝AD，则下列添加的条件中不能使△ABC≌△ADE的是( )
A.BC＝DE
B.AC＝AE
C.∠ACB＝∠AED
D.∠BCD＝∠DEB
限时：15分钟
A
第1题图　
第2题图
2.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是CD上一点.若△BDE≌△CDA，AB＝14，AC＝10，则△BDE的周长为( )
A.22 B.23 C.24 D.26
C
第3题图
3.如图，在△ABC中，M，N分别是AB，AC的中点，连接MN，E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D.若BC＝4，则CD的长为　 　.
　2　
【解析】∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB＝∠E＝115°.∵∠DAC＝50°，∴∠GFD＝∠AFC＝115°－∠DAC＝65°，∴∠DGB＝180°－∠D－∠GFD＝87°.
第4题图
4.如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于点F，交DE于点G.若∠D＝28°，∠E＝115°，∠DAC＝50°，则∠DGB的度数为　 　°.
　87　
5.(2024·四川南充)如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
(1)求证：△BDE≌△CDA；
(2)已知AD⊥BC，求证：BA＝BE.
证明：(1)∵D为BC的中点，∴BD＝CD，
∵BE∥AC，
∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD，
在△BDE和△CDA中，
∴△BDE≌△CDA(AAS).
(2)∵D为BC的中点，AD⊥BC，
∴直线AD为线段BC的垂直平分线，
∴BA＝AC，
由(1)可知△BDE≌△CDA，∴BE＝AC，∴BA＝BE.
6.(2023·江苏苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数.
解：(1)易知∠EAD＝∠FAD，AE＝AF.
在△ADE和△ADF中，
∴△ADE≌△ADF(SAS).
(2)∵∠BAC＝80°，
∴∠EAD＝∠BAC＝40°.
∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝×(180°－40°)＝70°.
∵AB＝AC，∴AD⊥BC，
∴∠BDE＝90°－∠ADE＝20°.
7.如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( )
A.a＋c B.b＋c C.a－b＋c D.a＋b－c
限时：15分钟
D
第7题图
【解析】由题意，得∠AFB＝∠CED＝90°，∴∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠D＝90°，∴∠A＝∠C.∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE(AAS)，∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b.∵EF＝c，∴AD＝AF＋DF＝a＋b－c.
【解析】∵四边形ABDE，BCGF是正方形，∴AB＝BD＝AE，BC＝BF＝CG，∠ABD＝∠CBF＝90°，∴∠FBD＝∠ABC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC＝DF，过点E作EH⊥AG交于点H，易得△AEH≌△ABC(AAS)，∴EH＝AC＝DF，∴S四边形CDGE＝S△CDG＋S△CGE＝DG·CG＋EH·CG＝BC2，∴要求四边形CDGE的面积，只需知道BC的长.
第8题图
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC为边在AB的同侧作正方形ABDE和正方形BCGF，点D在FG上，连接CE，CD，EG.若要求四边形CDGE的面积，则只需知道( )
A.△ABC的面积 B.AB的长 C.AC的长 D.BC的长
D
【解析】(1)∵CD⊥AB，且BD＝CD，∴∠ABC＝45°.(2)∵CD⊥AB，DN⊥MD，∴∠BDC＝∠NDM＝90°，∴∠BDN＝∠CDM，∴∠ABM＝90°－∠A＝∠ACD，∴△DBN≌△DCM(ASA)，∴DM＝DN.过点D作DF⊥MN于点F，又ND⊥MD，∴DF＝FN＝MN，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，∴△DEF≌△CEM(AAS)，∴ME＝EF＝1.∵DM＝DN，∴NF＝MF，∴NE＝NF＋EF＝MF＋EF＝2＋1＝3.
9.如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D，且BD＝CD，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N，CD与BM交于点E.
(1)∠ABC的度数为　 　.
(2)若E为CD的中点，ME＝1，则NE＝　 　.
　3　
　45°　
10.［RJ版教材八上P56复习题12第10题改编］如图，在△ABC中，
∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF.
(1)求证：FC＝BE；
(2)请判断AE，AF与BE之间的数量关系，并说明理由.
解：(1)∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE.
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，∴FC＝BE.
(2)AF＋BE＝AE.理由：由(1)得DC＝DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA(HL)，
∴AC＝AE，
∴AF＋FC＝AE，即AF＋BE＝AE.
11.(2024·安庆二模)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC＝∠ADB＝60°，E是BD上一点，BE＝AD，连接CE.
(1)求证：△DCE为等边三角形；
(2)若M为AB边中点，连接DM并延长交CB的延长线于点N，
∠N＝∠ACD，BE＝2，MD＝3，求MN的长.
解：(1)∵AB＝BC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∵∠ADB＝60°，∴∠ACB＝∠ADB＝60°，在△AOD和△BOC中，∠AOD＝∠BOC，∴∠CBE＝∠CAD.在△BCE与△ACD中，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，∴CE＝CD，∠BCE＝∠ACD，∴∠ECD＝∠BCA＝60°，
∴△DCE是等边三角形.
(2)作AG∥NC交ND的延长线于点G，
则∠G＝∠N，∠GAM＝∠NBM，
在△AMG与△BMN中，
∴△AMG≌△BMN(AAS)，
∴MN＝MG.
∵△DCE是等边三角形，
∴∠DEC＝∠EBC＋∠ECB＝60°，
∵AG∥NC，∴∠GAC＝∠GAD＋∠CAD＝∠ACB＝60°，
∴∠GAD＋∠CAD＝∠EBC＋∠ECB，
∵由(1)得∠EBC＝∠CAD，
∴∠GAD＝∠ECB＝∠ACD＝∠N.
∵∠GAD＝∠N，∴∠GAD＝∠G，
∴DG＝DA＝BE＝2，
∵MD＝3，∴MG＝MD＋DG＝3＋2＝5，
∴MN＝MG＝5.(共17张PPT)
4.5　相似三角形
限时：10分钟
1.(2023·合肥蜀山区期末)已知3x－4y＝0(xy≠0)，那么下列比例式中成立的是( )
A. B.
C. D.
B
2.(2023·六安霍邱一模)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.若AC＝2，AB＝4，则的值为( )
A. B. C. D.
B
3.下列格点(网格线的交点)三角形中，与已知格点△ABC相似的是( )
A
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，D，E分别是边AB，BC的中点，CD与AE交于点O，则OD的长是( )
A.2.4 B.2 C.1.8 D.1.5
B
5.已知两个相似多边形的周长比为1∶2，它们的面积和为100，则较小多边形的面积是　 　.
　20　
6.(2024·云南)如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD.若，则＝ 　.
7.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，已知∠1＝∠2.
(1)求证：△ABD∽△EDC.
(2)若∠A＝130°，BC＝EC，求∠DBC的度数.
解：(1)∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDE.
∵∠1＝∠2，∴△ABD∽△EDC.
(2)由(1)知△ABD∽△EDC，∴∠A＝∠DEC＝130°，
∴∠BEC＝50°.∵BC＝EC，∴∠DBC＝∠BEC＝50°.
8.(2024·合肥新站区二模)已知∠ABC＝90°，E是BC的中点，BD平分∠ABC，EF⊥BD.若AB＝8，BC＝6，则DF长为( )
A. B. C. D.
限时：20分钟
B
【解析】过点D作DH⊥AB于点H，∵∠ABC＝90°，
BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴△DHB为等腰直角三角形，设DH＝BH＝x，则AH＝AB－BH＝8－x，由题意，得DH∥BC，∴△ADH∽△ACB，∴，∴，∴x＝，∴BH＝，∴BD＝BH＝.∵E是BC的中点，∴BE＝3.∵EF⊥BD，∴△BEF为等腰直角三角形，∴BF＝BE＝，∴DF＝BD－BF＝.
9.(2024·重庆A卷改编)如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F，过点F作FG∥AD交AB于点G.若∠CAB＝
∠CFA，CF＝1，则FG＝ 　.
10. 如图，线段AB＝12，射线AC⊥AB于点A，射线BD⊥AB于点B，P为AB的中点，Q为射线AC上一动点，将△APQ沿PQ翻折得到△A1PQ，PA1，QA1的延长线分别交射线AC，BD于点E，F，连接EF.请探究下列问题：
(1)AQ·BF的值为　 　；
(2)当△A1PQ∽△A1FE时，AQ＝______.　　
　36　
2
【解析】(1)∵P为AB的中点，AB＝12，∴AP＝BP＝6.∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠QAP＝∠PBF＝90°.由翻折的性质可得AP＝A1P，∠A＝∠PA1Q＝90°，∴PB＝PA1.易得Rt△PBF≌Rt△PA1F(HL)，∴BF＝A1F，∠BPF＝∠A1PF，∴∠QPF＝90°，∴∠APQ＋∠BPF＝90°.∵∠BPF＋∠BFP＝90°，∴∠APQ＝∠BFP，∴△APQ∽△BFP，∴，∴AQ·BF＝PB·AP＝6×6＝36.(2)当△A1PQ∽△A1FE时，有∠A1QP＝∠A1EF.由(1)知∠AQP＝∠A1QP＝∠BPF，∠BPF＝∠FPE，∴∠FPE＝∠FEP.∵PE⊥FQ，∴FQ为PE的垂直平分线，∴PQ＝QE，∴∠PQF＝∠EQF＝∠AQP，∴∠AQP＝×180°＝60°，∴AQ＝AP＝2.
11.［RJ版教材九下P43习题27.2第7题改编］如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，BC于点D，E.
(1)用尺规作图作出直线MN，并标出它与AB，BC的交点D，E；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)求证：△ABC∽△EBD；
(3)若AB＝10，AC＝6，求线段DE的长.
解：(1)作图如下：
(2)由题意可得MN是线段AB的垂直平分线，
∴∠EDB＝∠C＝90°.
又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△EBD.
(3)∵AB＝10，AC＝6，∠C＝90°，
∴BC＝＝8.
由作图可得AD＝BD＝AB＝5.
由(2)知△ABC∽△EBD，
∴，即，解得DE＝.
∴线段DE的长为.
12.(2024·六安金安区一模)如图1，已知等腰△ABC和等腰△ADE有公共的顶点A，且AB＝AC，AD＝AE，∠EAC＝∠DAB，点E恰好落在边BC上(与点B，C不重合)，连接BD.
(1)求证：BD＝CE；
(2)若AB与DE相交于点F，求证：CE·BE＝CA·BF；
(3)如图2，若∠BAC＝90°，AC＝4，且，求DE的长.
图1　
　　　图2
解：(1)在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE.
(2)∵∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC＋∠EAB＝∠DAB＋∠EAB，即∠BAC＝∠DAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，即，
∴△ABC∽△ADE，∴∠AED＝∠C，
∵∠AED＋∠BEF＝∠C＋∠CAE，
∴∠BEF＝∠CAE，∵AB＝AC，
∴∠EBF＝∠C，
∴△BEF∽△CAE，∴，
∴CE·BE＝CA·BF.
(3)∵∠BAC＝90°，AC＝AB＝4，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AC＝4，
∵，∴CE＝，BE＝3，
由(1)得△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠C＝45°，BD＝CE＝，
∴∠DBE＝∠ABD＋∠ABC＝45°＋45°＝90°.
在Rt△BDE中，∵BD＝，BE＝3，
∴DE＝＝2.(共14张PPT)
4.6解直角三角形及其应用
第1题图
限时：15分钟
1.(2024·云南)如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tan A＝( )
A. B. C. D.
C
第2题图
2.(2024·甘肃临夏州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是( )
A.3 B.6 C.8 D.9
B
第3题图
3.(2023·六安金寨一模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN交AC于点M，交AB于点N，连接BM.若CM＝6，AM＝10，则tan A的值为( )
A. B. C. D.
B
第4题图
4.将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，拉动橡皮筋上的一点P，直到△APB是顶角为120°的等腰三角形.若AB＝6 cm，则橡皮筋被拉长了( )
A.2 cm B.4 cm
C.(4－6)cm D.(4－2)cm
C
5.(2024·蚌埠怀远一模)如图，一艘游船在海上由西往东匀速航行，上午8：00在A处观测得灯塔P位于北偏东60°的方向上，游船继续航行，上午10：00到达B处，此时测得灯塔P位于北偏东30°的方向上，那么游船由B处航行到达离灯塔P距离最近的位置的时间为( )
A.上午10：30 B.上午11：00
C.上午11：30 D.上午11：45
B
6. (2024·湖南)如图，图1为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图2为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为　 分米.(结果用含根号的式子表示)
图1
　图2
(6-2)　
7.计算：
(1)3tan 30°-tan2 45°+2sin 60°；
(2).
解：原式=3×-12+2×-1+=2-1.
解：原式=.
8.(2024·浙江)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB=10，AD=6，tan ∠ACB=1.
(1)求BC的长；
(2)求sin ∠DAE的值.
解：(1)∵AD⊥BC，AB=10，AD=6，
∴BD==8.
∵tan ∠ACB=1，∴CD=AD=6，
∴BC=BD+CD=14.
(2)∵AE是BC边上的中线，
∴CE=BC=7，
∴DE=CE-CD=7-6=1.∵AD⊥BC，∴AE=，
∴sin ∠DAE=.
限时：15分钟
9.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则sin∠BOD=( )
A. B.2 C. D.
C
10.已知△ABC的三边a，b，c满足(2b)2=4(c+a)(c-a)，且5a-3c=0，则sin A+sin B= 　.
【解析】∵(2b)2=4(c+a)(c-a)，∴4b2=4(c2-a2)，∴b2=c2-a2，即a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°.∵5a-3c=0，∴，∴sin A=.设a=3k，c=5k，则b==4k，∴sin B=，∴sin A+sin B=.
11. (2024·贵州)综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习.
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水.(直线NN'为法线，AO为入射光线，OD为折射光线)
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N'在同一平面内，测得AC=20 cm，∠A=45°，折射角∠DON=32°.
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求BC的长；
(2)求B，D之间的距离.(结果精确到0.1 cm)
(参考数据：sin 32°≈0.52，cos 32°≈0.84，tan 32°≈0.62)
解：(1)在Rt△ABC中，∠A=45°，
∴∠OBC=45°，
∴BC=AC=20 cm.
(2)由题可知ON=EC=AC=10 cm，
∴NB=ON=10 cm，
又∵∠DON=32°，
∴DN=ON·tan ∠DON≈10×0.62=6.2 cm，
∴BD=BN-DN=10-6.2=3.8 cm.
答：B，D之间的距离约为3.8 cm.

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