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(共15张PPT)
中考压轴题35分冲刺小卷01
1.(4分)已知等腰Rt△ABC的斜边AB＝4，正方形DEFG的边长为，将△ABC和正方形DEFG按如图方式放置，点B与点E重合，边AB与EF在同一条直线上，△ABC向右沿AB以每秒个单位长度的速度匀速移动，当点A与点E重合时停止移动.在移动过程中，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积S与移动时间t(s)的函数图象大致是( )
C
【解析】①当0≤t≤1时，S＝t·t＝t2，为开口向上的抛物线；②当12.(5分)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F为AB，BC边上的动点，以EF为斜边作△GEF(其中EG＝FG，∠EGF＝90°)，连接CG，DG.

(1)若E，F分别是AB，BC的中点，则点G到AB的距离是 　；
(2)CG＋DG的最小值为 　.
【解析】过点G作GM⊥BC于点M，GH⊥AB于点H，易得四边形BMGH是矩形，∴∠HGM＝∠HGE＋∠EGM＝90°.
(1)∵∠EGF＝∠EGM＋∠MGF＝90°，∴∠HGE＝∠MGF，∴△EHG≌△FMG，∴HG＝GM，∴四边形BMGH是正方形.
∵E，F分别是AB，BC的中点，∴BE＝AB＝，BF＝BC＝2，∴EF＝，由题知FG＝EG＝EF＝，
设EH＝x，则BM＝BH＝＋x＝2－x，解得x＝，
∴HG＝，即点G到AB的距离为.
.(2)∵HG＝GM，∴点G在∠ABC的平分线BP上，∴∠ABG＝∠CBG，在BA的延长线上取点Q，使得BQ＝BC＝4，连接DQ，GQ，∴AQ＝1，∴DQ＝，易得△QBG≌△CBG，∴CG＝GQ，∴CG＋DG＝GQ＋DG≥QD＝，当点Q，G，D在同一条直线上时，CG＋DG有最小值，为
3.(12分)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)，D为线段BC上的一动点.
图1
(1)求二次函数的表达式.
解：(1)设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－3).
将(0，3)代入，得3＝a(0＋1)(0－3)，解得a＝－1，
∴二次函数的表达式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.
(2)求△AOD周长的最小值.
(2)作点O关于直线BC的对称点E，连接EC，EB，DE.
易知OA＝1，OB＝OC＝3，四边形OBEC为正方形，OD＝DE，
∴点E的坐标为(3，3).
△AOD的周长＝AD＋OD＋OA＝AD＋DE＋1≥AE＋1.
∵AE＝＝5，∴△AOD的周长最小值为6.
(3)如图2，过点D作DP∥AC交抛物线的第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S.当S取得最大值时，求点P的坐标.
(3)连接PC.
由PD∥AC得S△PAD＝S△PCD，
∴S＝S△PAD＋S△PBD＝S△PCD＋S△PBD＝S△PBC.
过点P作PN⊥x轴于点N，交BC于点M，
则S＝S△PBC＝S△PMC＋S△PMB＝OB·PM＝PM.
易知直线BC的函数表达式为y＝－x＋3.
设点P(m，－m2＋2m＋3)，则点M(m，－m＋3)，
∴S＝［(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)］＝－（m－） 2＋，
∵－<0，∴当m＝时，S有最大值，为，
此时点P的坐标为.
4.(14分)如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE，EH.
(1)求证：△PBE∽△QFG；
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠A＝∠D＝∠BCD＝90°.
∵∠PEF＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°，
∴∠BEP＋∠AEG＝90°，∠AEG＋∠AGE＝90°，
∴∠BEP＝∠AGE.
∵∠AGE＝∠FGQ，∴∠BEP＝∠FGQ，
∴△PBE∽△QFG.
(2)求∠ECG的度数；
(2)过点C作CM⊥EF于点M.
由折叠知∠GEC＝∠DCE.
∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC.
∵EC＝EC，∠B＝∠EMC，∴△BCE≌△MCE，
∴CM＝CB＝CD，∠BCE＝∠MCE.
∵CG＝CG，∴Rt△MCG≌Rt△DCG，
∴∠MCG＝∠DCG，∴∠ECG＝∠BCD＝45°.
(3)求证：EG2－CH2＝GQ·GD.
(3)过点C作CM⊥EF于点M，连接DH，BH，MH.
由(2)知∠MCH＝∠DCH，
∴△MCH≌△DCH，∴∠CDH＝∠CMH.
∵∠ECG＝45°，PQ⊥CE，∴∠CHP＝∠EHP＝45°，
∴∠CHE＝90°，∴∠CDH＝∠CEH＝∠CMH＝45°，
∴∠GDH＝∠CHP＝∠GHQ＝45°.
∵∠DGH＝∠HGQ，∴△GDH∽△GHQ，
∴，即GH2＝GQ·GD.
∵∠EHG＝∠CHE＝90°，∴EG2－EH2＝GH2.
∵CH＝EH，∴EG2－CH2＝GQ·GD.(共15张PPT)
中考压轴题35分冲刺小卷03
1.(4分)如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，动点G从点A出发以1 cm/s的速度沿折线AC－CB方向运动到点B停止，动点H从点A出发以cm/s的速度沿AB方向运动到点B停止.设△AGH的面积为y cm2，运动时间为x s，y与x之间的函数关系如图2所示，则AC的长是( )
图1 　　　图2
A.2 cm B.3 cm C.3 cm D.4 cm
C
【解析】设AC＝a cm.分两种情况：(1)当点G在AC上运动，即0≤x≤a时，AG＝x cm，AH＝x cm，∴AH＝AG.∵在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∴△AGH∽△ACB，∴∠AGH＝∠ACB＝90°，∴GH＝AG＝x cm，∴y＝AG·GH＝x2，其函数图象为抛物线对称轴(y轴)右侧的一部分；(2)当点G运动到点C时，点H恰好运动到点B，当点G在CB上运动，即a2.(5分)如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，过BC上一点D作DE⊥BC，交AB于点E，以点D为圆心，DE的长为半径作半圆，交AC，AB于点F，G，交直线BC于点H，I(点I在H左侧).当点D与点C重合时(如图2)，GH＝ 　；当EF＝GH时，CD＝ 　.
图1　　
图2
【解析】过点G作GM⊥CB于点M，连接CG.∵∠ACB＝90°，GM⊥CB，易得△ACB∽△GMB，∴，∴GM＝BM.设GM＝x，则BM＝2x，CM＝2－2x.在Rt△CGM中，CG＝CA＝CH＝1，∴x2＋(2－2x)2＝12，解得x＝或x＝1(舍去)，∴GM＝，CM＝，∴MH＝CH－CM＝.在Rt△MHG中，GH＝.
过点G作GN⊥CB于点N，连接DG，DF，∴DF＝DE＝DG＝DH，∴△FED≌△GHD，∴∠FDE＝∠GDH，∵DE⊥BC，GN⊥CB，∴∠CDF＋∠FDE＝90°，∠NGD＋∠GDH＝90°，∴∠CDF＝∠NGD，∴Rt△FCD≌Rt△DGN，∴CD＝NG.易证△GNB∽△ACB，∴GN＝NB.设GN＝y，则CD＝y，NB＝2y，CN＝CB－NB＝2－2y，DN＝CN－CD＝2－3y，BD＝DN＋BN＝2－y，易证△EDB∽△ACB，∴DE＝BD＝1－y，∴DG＝DE＝1－y.在Rt△NGD中，列方程(2－3y)2＋y2＝，解得y＝或y＝(舍去)，∴CD＝.
3.(12分)如图，在四边形ABCD中，BD为对角线，且DA＝DB，E为BC的中点，连接AE，DE，F为AE上一点，已知DF＝DE，∠BAE＝∠ADF.
(1)求证：∠ABD＝∠DEF；
(2)求证：AF＝BE；
(3)若DC∥AB，DF＝1，求BD的长.
解：(1)∵DF＝DE，DA＝DB，
∴∠DFE＝∠DEF，∠BAD＝∠ABD.
∵∠BAE＝∠ADF，
∴∠DFE＝∠DAF＋∠ADF＝∠DAF＋∠BAE＝∠BAD，
∴∠ABD＝∠DEF.
(2)由(1)知∠ABD＝∠DEF，∴∠ADB＝∠FDE，
∴∠ADF＝∠BDE，
∴△ADF≌△BDE，∴AF＝BE.
(3)延长DE交AB的延长线于点G.
∵DC∥AB，E为BC的中点，∴DE＝EG.
由(2)知△ADF≌△BDE，∴∠DFA＝∠DEB.
∵∠DFE＝∠ABD，∴∠DBG＝∠DFA＝∠DEB，
∴△DEB∽△DBG，∴BD2＝DE·DG.
又∵DE＝DF＝1，∴DG＝2，
∴BD＝(负值舍去).
4.(14分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝－x＋3与x轴交于点B，与y轴交于点C.已知抛物线y＝ax2＋2x＋c经过B，C两点，且与x轴交于另一点A.
(1)如图1，求实数a，c的值.
解：(1)∵直线y＝－x＋3与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴B(3，0)，C(0，3).
将B，C两点的坐标代入y＝ax2＋2x＋c，得
解得a＝－1，c＝3.
图1　
(2)(ⅰ)由(1)知抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
由题意知M(m，－m2＋2m＋3)，N(m，3－m)，
∴MN＝－m2＋2m＋3－(3－m)＝－m2＋3m
＝－ m－ 2＋(0∴当m＝时，MN取最大值.
(2)M是直线BC上方抛物线上的一个动点(不与点C，B重合)，过点M作MD⊥x轴于点D，交直线BC于点N，设点M的横坐标为m.
(ⅰ)如图2，当m为何值时，线段MN取最大值？
图2　
(ⅱ)如图3，P是抛物线上一点，点P的横坐标为m＋2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，是否存在PQ＝MN？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
图3
(ⅱ)存在.理由如下：
由题意得xp＝m＋2，2yp＝－(m＋2)2＋2(m＋2)＋3＝－m2－2m＋3(0∴PQ＝|yP|＝|－m2－2m＋3|＝
①当0解得m＝；
②当1≤m<3时，由MN＝PQ得－m2＋3m＝m2＋2m－3，
整理得2m2－m－3＝0，解得m1＝，m2＝－1(舍去).
综上所述，当m＝或m＝时，PQ＝MN.(共17张PPT)
中考压轴题35分冲刺小卷02
1.(4分) 已知二次函数y1＝2x2＋mx＋n，y2＝2nx2＋mx＋1(m，n为常数，n≠0)的最小值分别为p，q，则下列说法正确的是( )
A.若p＋q＝0，则p＝q＝0
B.若p－q＝0，则p＝q＝0
C.若p＋q＝1，则p＝q＝0.5
D.若p－q＝1，则p＝1，q＝0
A
【解析】解法1：易知函数y1的对称轴为直线x＝－，函数y2的对称轴为直线x＝－，且两个函数图象均开口向上，∴n>0，∴两函数均在对称轴上取得最小值，则有p＝－＋n，q＝－＋1.A项，当p＋q＝0时，－＋n－＋1＝0，解得n＝或n＝－1(舍去)，把n＝代入p，q，得p＝q＝0，A项正确；
B项，当p－q＝0时，－＋n＋－1＝0，解得n＝或n＝1，当n＝1时，p＝q＝－＋1，则当m＝±2时，才有p＝q＝0，B项错误；C项，当p＋q＝1时，－＋n－＋1＝1，即8n2－m2n－m2＝0，令n＝2，得m2＝，则p＝，q＝，此时p≠q≠0.5，C项错误；D项，当p－q＝1时，－＋n＋－1＝1，即8n2－m2n＋m2－16n＝0，令n＝2，得m2＝0，此时p≠1，q≠0，D项错误.
解法2：观察两个函数可得Δ1＝Δ2＝m2－8n，故p，q同号，排除D项；若p＋q＝0，则p＝q＝0，A项正确；若p－q＝0，可得p＝q，不能得出p＝q＝0，排除B项；若p＋q＝1，即p＝1－q，此时p>0，q<1或p<0，q>1，不能得出p＝q＝0.5，排除C项.
2.(5分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为点D，E，F，连接AP.
(1)若点P是△ABC的重心，则PE的长为 　；
(2)若PE2＝PD·PF，则AP的最小值为 　.
【解析】(1)如图1，延长AP交BC于点H，连接CP并延长交AB于点G，连接GH.∵点P是△ABC的重心，∴H是BC的中点，G是AB的中点.∵AB＝AC，∴AH⊥BC，即点E与点H重合，∴BE＝BC＝3，∴AE＝＝4.易知GH AC，即，∴△PGE∽△PCA，∴，∴PE＝AE＝.
图1
(2)如图2，连接DE，EF，PB，PC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，∴∠DPE＝∠FPE.∵PE2＝PD·PF，即，∴△DPE∽△EPF，∴∠PDE＝∠PEF.∵∠BDP＋∠BEP＝180°，∠PEC＋∠PFC＝180°，∴B，D，P，E四点共圆，C，E，P，F四点共圆，∴∠PBC＝∠PDE，∠PCA＝∠PEF，∴∠PBC＝∠PCA，∴∠BPC为定值，∴点P在以BC为弦，所含圆周角为∠BPC的圆弧上运动，∴当AP⊥BC时，AP取得最小值，此时点A，P，E共线，
图2
如图3.由(1)可知，AE＝4，PD＝PF，∴PE2＝PD·PF＝PD2，即PD＝PE.设PD＝PE＝x，则AP＝AE－PE＝4－x.易知△ADP∽△AEB，∴，即，解得x＝，∴AP＝4－x＝.
图3
3.(12分)在 ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且∠ABC＝∠CFE＝60°，连接EC.
(1)如图1，若AB＝AD，在CD上截取DG＝DF，连接FG，求证：AE＝DF；
(2)如图2，若BC＝3BE，∠AFE＝∠ECB，求的值.
图1
图2
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝AB＝CD，∠D＝∠ABC＝60°，AB∥CD，
∴∠A＝120°.
∵DG＝DF，∴AF＝CG，△DFG为等边三角形，
∴GF＝DF，∠DGF＝60°，
∴∠CGF＝120°，∴∠A＝∠CGF.
∵∠EFC＝60°，∠D＝60°，
∴∠AFE＋∠DFC＝∠DFC＋∠DCF＝120°，
∴∠AFE＝∠DCF，∴△AEF≌△GFC，
∴AE＝GF，∴AE＝DF.
(2)在CD上截取DG＝DF，连接FG.由(1)得∠AFE＝∠DCF.
∵∠AFE＝∠ECB，∴∠DCF＝∠ECB.
∵∠B＝∠D＝60°，∴△CDF∽△CBE，∴.
设DF＝DG＝x，则CG＝2x.
同(1)易证△DFG是等边三角形，
∴FG＝x，∠FGC＝∠A＝120°，
∴△GFC∽△AEF，∴.
设AE＝y，则AF＝2y，BE＝AB－AE＝CD－AE＝3x－y，AD＝x＋2y，∴BC＝3BE＝9x－3y.
∵BC＝AD，∴9x－3y＝x＋2y，∴x＝y，∴.
4.(14分)如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P在抛物线上且位于y轴右侧，点Q在x轴上，以点B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K(1，3)的直线(直线KD除外)与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N，求EM·EN的值.
图1　 　　　图2
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，
∴解得
故抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)由(1)知y＝－x2＋2x＋3，∴C(0，3).
①当BQ为边时，CP∥BQ，
此时不管点Q在点B左侧还是右侧，点P的纵坐标为3，
将y＝3代入y＝－x2＋2x＋3，得x＝0或x＝2.
∵点P位于y轴右侧，∴点P的坐标为(2，3).
②当BQ为对角线时，CQ BP，此时点P的纵坐标为－3.
将y＝－3代入y＝－x2＋2x＋3，得x＝1＋或x＝1－.
∵点P位于y轴右侧，∴点P的坐标为(1＋，－3).
综上所述，点P的坐标为(2，3)或(1＋，－3).
(3)如图，设点G(m，－m2＋2m＋3)，点H(n，－n2＋2n＋3)，直线GH的函数表达式为y＝kx＋b.
∵直线GH经过点K(1，3)，∴b＝3－k，
∴y＝kx＋b＝kx＋3－k＝k(x－1)＋3，
由k(x－1)＋3＝－x2＋2x＋3，得x2＋(k－2)x－k＝0，
∴
易知点D(1，4).
设直线DG的函数表达式为y＝k1x＋b1，则有解得
∴直线DG的函数表达式为y＝(1－m)x＋m＋3，
当y＝0，即(1－m)x＋m＋3＝0时，解得x＝，
∴EM＝1－，同理得EN＝，
∴EM·EN＝＝16.
当点G与点H对调位置后，同理得EM·EN＝16.
综上所述，EM·EN的值为16.

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