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【培优专题】二元一次方程组 易错题型综合训练
题型一、代入消元法
1．已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（ ）个．
①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】此题考查二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组．熟练掌握以上知识是解题关键．由，可得原方程组为，求解即可判断①；由原方程组可得出，结合，即得出，求解即可判断②；由原方程组可得出，即说明取任意实数，的值始终不变，可判断③；由原方程组可得出，整理，得：．结合，即可求出，，从而可求出，即存在实数，使成立，可判断④．
【详解】解：①当时，原方程组为，
解得：，故该项正确；
②，
由，得：．
∵，即，
∴，
解得：，即的最大值为2，故该项错误；
③，
由，得：，
∴取任意实数，的值始终不变，故该项正确；
④原方程组可改为：，
∴，
整理，得：．
∵，即，
∴，
解得：，
，
∴，即存在实数，使成立，故该项错误．
综上可知正确的有2个．
故选B．
2．已知实数x，y，z满足，，则 ．
【答案】3
【分析】先把化为， 再代入可得，利用非负数的性质求解， 从而可得的值，再代入代数式求值即可.
本题考查的是非负数的性质，二元方程组的代换思想，求解代数式的值，运用完全平方公式分解因式，掌握“把原条件转化为非负数的和”是解题的关键.
【详解】解：，
，
代入得：，
整理得：，
，，
可得：，，
，
所以．
3．对于实数a，b，定义运算“◆”和“*”：，例如4◆3，因为，所以，，为常数，若，，则 ．
【答案】
【分析】根据新定义法则得出，求出的值，再根据新定义运算法则，计算即可得出答案．
【详解】解：，，，
，
解得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解本题的关键在理解新定义运算法则．
4．一个水平放置的正方体容器，从内部量得它的边长是，则这个正方体容器的内部底面积是 ；若该正方体容器内水深，现将三条棱长分别为、、（）的长方体铁块放入水中，此时铁块的顶部高出水面，则长方体铁块的棱长 （用含x的代数式表示）．
【答案】 x＋2或40 5x
【分析】利用正方体体积公式即可求得，根据体积关系确定y与x之间的关系．
【详解】解：这个正方体容器的内部底面积为：20×20＝400（cm2），
放入铁块后水深为：（y 2）cm或10 2＝8cm．
∴10×10（y 2）＋400x＝400（y 2）或10y×8＋400x＝400×8．
∴y＝x＋2或y＝40 5x．
故答案为：400，x＋2或40 5x．
【点睛】本题考查认识立体图形，代入法求二元一次方程组，通过体积关系确定x与y的关系是求解本题的关键．
5．若的展开式中不含和项，则 ．
【答案】9．
【分析】根据展开式中不含和项，即和项的系数为0即可求解．
【详解】解：，
=，
=，
根据展开式中不含和项，列方程组得，
，
解得，，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查整式乘法和二元一次方程组，解题关键是根据多项式中不含某一项时，这一项的系数为0列方程组．
题型二、加减消元法
6．已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论：
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】先解得方程组的解，根据题意逐一解答判断即可．
【详解】解：，
得，
解得，
把代入，得，
故方程组的解为，
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，得，
解得，结论正确；
②当时，方程组的解为，
方程，
而，
故方程组的解也是方程的解，
故结论正确；
③由，得，是定值，
故无论取什么实数，的值始终不变，结论正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了解方程组，相反数的性质，方程同解，定值问题，熟练掌握解方程组是解题的关键．
7．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．
备用图如下：
(1)若，在中，的“3系数补角”是 ；
(2)若比的2倍多，且是的“4系数补角”，求的度数；
(3)在平面内，，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．点G为平面内一点，连接GE，GF，，若是的“6系数补角”，请将图形补充完整，并求的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)图见解析，或
【分析】此题考查了平行线的性质、二元一次方程组的应等知识，理解新定义的含义是解题的关键．
（1）设的“3系数补角”是x，根据题意可得，解方程即可得到答案；
（2）根据题意得，，解方程组即可得到答案；
（3）设，，再根据G的位置建立方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：设的“3系数补角”是x，
∵，
∴，
即，
解得，
∴的“3系数补角”是；
故答案为：；
（2）解：∵比的2倍多，
∴，
∵是的“4系数补角”，
∴，
∴
∴；
（3）解：设，，
分以下三种情况：
如图，设与相交于点H，
∵，，
∴，
由条件可知，
即①，
由条件可知，
即②，
∴，
联立①②得，，
解得，
即是；
如图，当G在，之间时，过G作，而，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴①，
由条件可知，
即②，
联立①②得，，
解得，
∴；
如图，当G在的下方时，
同理可得：，
即①，
∵是的“6系数补角”，
∴，
即②，
联立①②得，，
解得：，
即为；
综上：为或；
8．已知关于的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论取何值：的值不可能互为相反数；
④都为自然数的解有2对．
以上说法中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④
【答案】A
【分析】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质，掌握以上知识是解题关键．
将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，解得，故②正确；设，代入解得，故③错误解方程，解得：，当 时，，，当 时，，，当 时，，，因此存在三对自然数解，④错误；
【详解】解：将代入原方程组得，解得：，将其代入，解得：，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
方程组，得：，当，解得：；故②正确；
设，代入解得，此时，，互为相反数，故③错误；
解方程，解得：，
当 时，，，
当 时，，，
当 时，，，
因此存在三对自然数解，④错误；
综上所述：①②正确，
故选：A；
9．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”．
(1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”；
(2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值；
(3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由．
【答案】(1)具有，理由见解析
(2)或
(3)具有“友好关系”，或
【分析】（1）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解；
（2）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解；
（3）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解；
本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键．
【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下：
，
①②得，，
解得，
将代入②得，，
解得，
∴方程组的解为，
，
方程组的解与具有“友好关系”，
故答案为：具有；
（2）解：，
②①得，，
∴
方程组的解与具有“友好关系”，
，
解得或，
的值为或；
（3）解：，
①得，，
解得，
由②得，
∴
∵方程组的解具有“友好关系”；
∴
∴
∴其中与都是正整数，
∴或
∴或时，此时方程组的解具有“友好关系”．
10．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．利用二元一次方程的解及方程组的解定义判断即可．
【详解】解：①当时，方程组为
①②得，
解得：
将代入②得，
解得：
方程组的解为：，
∴是方程的一个解，符合题意；
②关于，的方程组
①②得，
解得：
将代入②得，
方程组的解为：，
当当x与y互为相反数时，，
解得：，故②不符合题意；
③，不论取什么实数，的值始终不变，③符合题意；
④当时，方程组的解为：，
则，④不符合题意．
所以以上四种说法中正确的有①③．
故选：B．
题型三、二元一次方程组的特殊解法
11．有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤
两数的和
则写有最大数卡片的编号是( )
A．② B．③ C．④ D．⑤
【答案】A
【分析】本题考查了等式的性质，由题意得关于①②③④⑤的方程，利用等式的性质求出它们的值，最后根据题意得结论．
【详解】解：①②，②③，③④，④⑤，①⑤ ，
，得③①，，得⑤③ ．
，得⑤①．
，得⑤，，得①．
⑤，①．
把⑤①的值代入、、、得②，③，④．
故选：A．
12．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，先将方程组变形为，再根据题意得到，即可求出最后结果．
【详解】解：方程组可变为：，
∵关于x．y的方程组的解为，
∴，
由①得：，
解得：，
由②得：，
∴方程组的解是，
故选：B．
13．规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”.
(1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____．
(2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可，解方程组即可；
（2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”．
本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【详解】（1）解：根据定义，得方程的“共轭二元一次方程”为，
由题意，得，
解得，
故答案为：，．
（2）解：由二元一次方程组为“共轭方程组”，
得，
解得，
故，
故此“共轭方程组”的共轭系数为．
14．对于任意实数，，我们规定：，，例如：，．
(1)填空：
①_________；
②若，则_________；
③若，则_________0．（填“”，“”或“=”）
(2)若，且，求与的值；
(3)若正整数，满足，，求的值．
【答案】(1)①；②3；③0
(2)3，1
(3)3或6
【分析】（1）①由题意知，，计算求解即可；②由题意知，，计算求解即可；③由题意知，，则，然后作答即可；
（2）由题意知，，整理得，，根据，，计算求解即可；
（3）由题意知，，则，，，整理得，，即，分当时，当时，当时，当时，当时，当时；计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）①解：由题意知，，
故答案为：；
②解：由题意知，，
解得，，
故答案为：3；
③解：由题意知，，
∴，
故答案为：0；
（2）解：∵，
∴，整理得，，
∵，
∴，
∴；
∴的值为3，的值为1；
（3）解：∵，，
∴，
∴，即，
∵正整数，，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，整理得，，
∴，
∴当时，，（舍去）；
当时，，（舍去）；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
综上所述，的值为3或6．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，一元一次方程，二元一次方程，代数式求值．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
15．在平面直角坐标系中，，，，且，满足．
(1)求点的坐标；（用含的式子表示）
(2)过点作交轴于点，当时，
①求的面积；
②若点在直线上，且点的横坐标为5，求点的纵坐标．
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）运用加减消元法，分别求得，，即可求解；
（2）①连接，根据题意求得，设，根据平行线的性质可得，列式求得，即可求解；
②设的纵坐标为，连接，根据，列式求解可得，即可求解．
【详解】（1）解：由①+②，得：，
∴，
由① ②，得，
∴，
∴
（2）解：①如图，连接，
，
，
，
，
设，
根据图象，得点在轴正半轴
，
，
，
，
，
，
②设的纵坐标为，如图，连接，

根据图象，得点在第一象限
，
即点的纵坐标为．
【点睛】本题考查了解含参的二元一次过程——加减消元法，平行线的性质，割补法求三角形的面积，熟练掌握割补法求面积是解题的关键．
题型四、二元一次方程组的错解复原问题
16．甲、乙两人同解方程组，甲因看错c的值解得方程组解为，乙求得正确的解为，求a，b，c的值．
【答案】．
【分析】根据是方程①的解，代入可得关于a、b的方程，根据是方程组的解，把解代入，可得方程组，解方程组，可得答案．
【详解】解：把代入方程，把代入方程组，得
，
得
得，
把代入得，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，把解代入，得出关于a、b、c的方程组，代入消元法，得出答案．
17．已知方程组由于甲看错了方程中的n的值，得方程组解为；乙看错了方程中的所得方程组为那么m，n的值是二元一次方程的解吗？
【答案】，方程的解．
【分析】将x=-2，y=-1代入①计算求出m的值，将x=1，y=2代入②中计算求出n的值，即可做出判断．
【详解】解：将，代入得：，即，
将，代入得：，即，
将，代入的左边得：，右边，即左边右边，
，是方程的解．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，弄清题意是解本题的关键．
18．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查含参的二元一次方程组的错解问题，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键，根据甲将①中的看成了它的相反数解得的值，代入可得到，的值，再根据乙抄错②中的得到的值，代入可得到的值，结合两个式子的值即可得到答案．
【详解】解：∵甲将①中的看成了它的相反数解得，代入原式得到：，
∴③，，
∵乙抄错②中的解得，代入原式的①得到：，
∴④，
∴，
解得：
∴，
故答案为：5．
19．解方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，先把代入原方程组得到，则，；再把代入方程得到，联立，求出、，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：由题意得：是方程组的解，
，
解得：，，
小刚只看错了，解得，
是方程的解，
，
联立，
解得：，
，
故答案为：．
20．在解方程组时，甲同学正确解得乙同学把看错了，而得到那么，，的值为（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．不能确定
【答案】B
【详解】解：由甲同学的解正确，可知3c+2×7=8，
解得且①，
由于乙看错c，所以
②，
解由①②构成的方程组可得：
故选B．
题型五、构造二元一次方程组求解
21．定义：以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图象的关联点．
(1)在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有______________；（填序号）
(2)已知A，C两点是方程图象的关联点，B，C两点是方程图象的关联点．若点A在x轴上，点B在y轴上，求四边形的面积．
(3)若，，三点是二元一次方程图象的关联点，探究m，n，p，q之间的关系，请直接写出你的结论．
【答案】(1)①③；
(2)；
(3)．
【分析】（1）将①；②；③三点，分别代入方程，利用图象的关联点定义即可解决问题；
（2）根据图象的关联点定义，解方程组求出点，，三点坐标，进而可以利用割补法求四边形的面积；
（3）将，，三点分别代入二元一次方程即可求得与的大小关系．
【详解】（1）解：将①；②；③三点，分别代入方程，
①，
②，
③，
在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有①③，
故答案为：①③；
（2）∵，两点是方程图象的关联点，，两点是方程图象的关联点，
，
解得，
，
点在轴上，
当时，，
，
，
点在轴上，
当时，，
，
，，
四边形的面积；
（3），，三点是二元一次方程图象的关联点，
将，代入
得
整理，得①，
将代入
得②，
①②得，
解得
将代入
得
即
解得，
将代入
得
即
解得，
．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，二元一次方程组的解及其直线方程的图象，解题的关键是学会利用图象法解决问题．
22．规定：二元一次方程有无数组解，每组解记为，称为二元一次方程亮点，将这些亮点连接得到一条直线，称这条直线是亮点的隐线，答下列问题：
(1)已知，，，则是隐线的亮点的是 ；
(2)设，是隐线的两个亮点，求方程中的正整数解；
(3)已知是实数，且，若是隐线的一个亮点，求隐线s中的最大值和最小值的和．
【答案】(1)B
(2)
(3)隐线s中的最大值和最小值的和为
【分析】本题考查了二元一次方程的新定义，二元一次方程与直线的关系，运用了数形结合的思想，理解题意是解题关键．
（1）将A，B，C三点坐标代入方程，方程成立的点即为所求；
（2）将P，Q代入方程，组成方程组求得，再代入，据此求解即可；
（3）将P代入隐线方程，与组成方程组，求解方程组的解，再由即可求解．
【详解】（1）解：将代入得，
将代入得，
将代入得，
∴只有B点符合，
∴隐线的亮点的是B；
故答案为：B；
（2）解：将，代入隐线方程，
得：，
解得，
代入方程得：
，即，
的正整数解为；
（3）解：由题意可得，
，
，
，
，
的最大值为，最小值为，
隐线中的最大值和最小值的和为．
23．典型题例：
（1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？为什么？
（2）如图2，是的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）

迁移应用：
（3）如图3，的两条中线，相交于点，求证：；
（4）如图4，的三条中线，，相交于点，
①请你写出所有与面积相等的三角形；
②写出与的数量关系式，并说明理由；

拓展应用；
（5）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为__________．

【答案】（1）；理由见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）①与面积相等的三角形有，，，，；②，理由见解析；（5）27
【分析】本题考查的是三角形的中线的性质、三角形的面积公式，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．
（1）根据过点A作于点H，根据中心得出，根据三角形的面积公式得出，，即可求出结果；
（2）根据三角形面积的有关计算公式进行求解即可．
（3）根据三角形的中线的性质得到，同理可得，证明结论；
（4）①根据三角形的中线的性质、结合图形判断；
②根据高相等的两个三角形的面积比等于底的比证明；
（5）利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得．
【详解】解：（1）；理由见如下：
过点A作于点H，如图所示：

∵是的中线，
∴，
∵，，
∴；
（2）方法一：取的四等分点E、D、F，连接、、，此时分的四个三角形面积相等，如图所示：

∵，
∴；
方法二：取、、的中点E、D、F，连接、、，则此时的四个三角形面积相等，如图所示：

∵D为的中点，
∴，
∴，
同理得：，，
∴；
（3）是的中线，则
，
同理，
，
；
（4）①；
∴与面积相等的三角形有，，，，；
②，
理由如下：，
，
；
（5）在图①中，连接，
，，
，，，
，，
，
，
设，则
，
解得；
在图②中，连接、、，

则，，
设，则
，
解得；
在图③中，连、、、、，
则，，
设，则
，
解得，
．
由可知，，
，
，
解得．
故答案为：27．
24．已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则 ．
【答案】627
【分析】设有p个x取，q个x取2，根据，，可得出关于p，q的二元一次方程组，求出p，q的值，再把p，q及x的值代入求解．
本题主要考查了解二元一次方程组．熟练掌握题中方程组的意义列出关于p、q的二元一次方程组，是解答此题的关键．
【详解】设有个，q个2，
则，
解得，
∴原式．
故答案为：627．
25．在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这个数的和与积相加正好等于这个数的和，则称这样的提取为完美提取．
例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，则提取的数字可以是 （写一种情况即可），共有 种完美提取（注：提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．
【答案】 6、7 3
【分析】本题考查了有理数的混合运算，二元一次方程组的应用．按照定义判断列方程求解即可．
【详解】解：，
当提取2个数和时，不妨设，
则，
时，，则，则（舍去），
时，，则（舍去），
时，，则，则（舍去），
时，，则（舍去），
时，，则（舍去），
时，，则，则（符合题意），
时，，则，则（舍去），
当提取3个数、和时，不妨设，
则，
时，，则，则（符合题意），
时，，则（舍去），
时，，则（舍去），
当提取4个数时，
因为，
则必定提取1、2，
（舍去），
（舍去），
（舍去），
（符合题意），
（舍去），
（舍去），
综上，提取的数字可以是6、7或1、4、10或1、2、3、7共3种．
故答案为：6、7（答案不唯一）；3．
题型六、已知二元一次方程组的解的情况求参数
26．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（ ）
①，；
②若，则；
③若，则m，n有且仅有2组整数解；
④若无论取何值时，的值均不变，则；
⑤若对任意有理数，都成立，则．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程（组），由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可确定（3）正确；根据，得出或，可确定（4）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，可确定（5）正确．
【详解】解：，
，
解得，故（1）正确；
，
，
，
，
，故（2）正确；
、均取整数，
，，，
∴，，（舍去），（舍去），（舍去），（舍去）
∴m，n有2组整数解，故（3）正确；
∵，无论取何值时，的值均不变，
，
∴或，故（4）不正确；
，
，
，
对任意有理数、都成立，
，故（5）正确；
综上所述：（1）（2）（3）（5）正确，
故选：C．
27．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键．
【详解】解：关于x，y的二元一次方程组，
可得，
即，
故k的值为，
故选：A．
28．已知关于x，y的方程组和有相同解，求的值．
【答案】
【分析】先求出方程组的解，再把代入得出，求出a、b的值，最后把a、b的值代入计算即可．
【详解】解：∵关于x，y的方程组和有相同解，
∴解方程组得：，
把代入得：，解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解本题的关键．
29．已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了解二元一次方程组，能求出是解此题的关键．
先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可．
【详解】解方程组得：
∵方程组的解满足
∴，
∴，
∵
∴
整理得，
∵a，b均为正整数
∴当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
∴n的值为0，，，共3个．
故答案为：3．
30．已知关于，的方程组（是常数）．
(1)当时，则方程组可化为．
①请直接写出方程的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程，求的值．
(2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值．
【答案】(1)①，②
(2)或0
【分析】（1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解；②先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案；
（2）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可．
【详解】（1）解：①∵，为非负整数，
∴方程的所有非负整数解为
，；
②∵根据题意可得，
解得，
将代入中，
解得 ；
（2）当时，原方程组可化为，
由，可得 ，
整理可得，
∵方程组由整数解，且为整数，
∴或，
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）；
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）．
综上所述，整数的值为或0．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键．
题型七、方程组相同解问题
31．已如方程组和有相同的解．则的值是（ ）
A．-1 B．1 C．5 D．13
【答案】A
【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：根据题意，则
，
由①+②得：6x=6，
解得：x=1，
把x=1代入①得：5+2y=3，
解得：y=-1；
把x=1，y=-1代入，则，
解得：，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，根据题意能联立新的方程组求解出二元一次方程的解是解题的关键．
32．已知关于，的方程组
（1）请写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求的值；
（3）无论实数取何值，方程总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？
（4）如果方程组有整数解，求整数的值．
【答案】(1); ;(2);(3)x=0,y=;(4)2或-6.
【分析】（1）由题意求方程的解且要使x，y都是正整数，将方程移项，再把x和y互相表示出来，在由题意要求x＞0，y＞0，根据以上两个条件可夹出合适的x值,从而代入方程得到相应的y值；
（2）由方程组求得x，y的值，代入方程即可求得m的值；
（3）方程整理后，根据无论m如何变化，二元一次方程总有一个固定的解，列出方程组，求出方程组的解即可．
（4）先把m当作已知求出x、y的值，再根据方程组有正整数解，进行判断，再找出符合条件的正整数m的值即可．
【详解】试题分析：
试题解析（1）由已知方程x+2y=5，移项得x=5-2y，
∵x，y都是正整数，则有x=5-2y＞0，又∵x＞0，
∴0＜y＜2.5，
又∵y为正整数，根据以上条件可知，合适的y值只能是y=1、2，
代入方程得相应x=3、1，
∴方程2x+y=5的正整数解为；
(2) ∵x+y=0
∴x+2y=5变为y=5
∴x=-5
将代入得.
(3) ∵由题意得二元一次方程总有一个公共解
∴方程变为(m+1)x-2y+9=0
∵这个解和m无关，
∴x=0，y=
(4) 将方程组两个方程相加得
∴
∵方程组有整数解且m为整数
∴，，
①m+2=1，计算得：（不符合题意）
②m+2=-1，计算得：（不符合题意）
③m+2=2，计算得：（不符合题意）
④m+2=-2，计算得：（不符合题意）
⑤m+2=4，计算得：（符合题意）∴m=2
⑥ m+2=-4，计算得：（符合题意）∴m=-6
【点睛】考查了二元一次方程的解，首先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值是解答此题的关键．
33．关于x，y的两个方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意知，可重新组成两个关于x，y的两个方程组和，先计算不含参的二元一次方程组，得的值，然后代入含参的二元一次方程组，求的值，然后代入求解即可．
【详解】解：∵两个方程组同解
∴可知关于x，y的两个方程组和有相同的解
解方程组
②①得
将代入①式得
解得
∴方程组的解为
将代入方程组得
解关于的方程组
③④得
解得
将代入③式得
解得
∴方程组的解为
∴
故选A．
【点睛】本题考查了同解方程组，解二元一次方程．解题的关键在于将两个方程组重新组成新的方程组求解．
34．甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程（1）中的，得到方程组的解为；乙看错了方程（2）中的，得到方程组的解为；计算 ．
【答案】0
【分析】根据题意，将代入方程（2）可得出b的值，代入方程（1）可得出a的值，将a与b的值代入所求式子即可得出结果．
【详解】解：根据题意，将代入方程组中的4x-by=-2得：-12+b=-2，即b=10；
将代入方程组中的ax+5y=15得：5a+20=15，即a=-1，
∴=1-1=0．
故答案为：0．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
35．已知关于x、y的方程组与有相同的解，求a、b的值．
【答案】
【分析】因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可．
【详解】
和
解：联立①②得：
解得：
将代入③④得：
解得：
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．中小学教育资源及组卷应用平台
【培优专题】二元一次方程组 易错题型综合训练
题型一、代入消元法
1．已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（ ）个．
①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知实数x，y，z满足，，则 ．
3．对于实数a，b，定义运算“◆”和“*”：，例如4◆3，因为，所以，，为常数，若，，则 ．
4．一个水平放置的正方体容器，从内部量得它的边长是，则这个正方体容器的内部底面积是 ；若该正方体容器内水深，现将三条棱长分别为、、（）的长方体铁块放入水中，此时铁块的顶部高出水面，则长方体铁块的棱长 （用含x的代数式表示）．
5．若的展开式中不含和项，则 ．
题型二、加减消元法
6．已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论：
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
7．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．
备用图如下：
(1)若，在中，的“3系数补角”是 ；
(2)若比的2倍多，且是的“4系数补角”，求的度数；
(3)在平面内，，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．点G为平面内一点，连接GE，GF，，若是的“6系数补角”，请将图形补充完整，并求的大小．
8．已知关于的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论取何值：的值不可能互为相反数；
④都为自然数的解有2对．
以上说法中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④
9．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”．
(1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”；
(2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值；
(3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由．
10．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当x与y互为相反数时，；③不论a取什么实数，的值始终不变；④若，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
题型三、二元一次方程组的特殊解法
11．有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤
两数的和
则写有最大数卡片的编号是( )
A．② B．③ C．④ D．⑤
12．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
13．规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”.
(1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____．
(2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数．
14．对于任意实数，，我们规定：，，例如：，．
(1)填空：
①_________；
②若，则_________；
③若，则_________0．（填“”，“”或“=”）
(2)若，且，求与的值；
(3)若正整数，满足，，求的值．
15．在平面直角坐标系中，，，，且，满足．
(1)求点的坐标；（用含的式子表示）
(2)过点作交轴于点，当时，
①求的面积；
②若点在直线上，且点的横坐标为5，求点的纵坐标．
题型四、二元一次方程组的错解复原问题
16．甲、乙两人同解方程组，甲因看错c的值解得方程组解为，乙求得正确的解为，求a，b，c的值．
17．已知方程组由于甲看错了方程中的n的值，得方程组解为；乙看错了方程中的所得方程组为那么m，n的值是二元一次方程的解吗？
18．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ．
19．解方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，则的值为 ．
20．在解方程组时，甲同学正确解得乙同学把看错了，而得到那么，，的值为（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．不能确定
题型五、构造二元一次方程组求解
21．定义：以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图象的关联点．
(1)在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有______________；（填序号）
(2)已知A，C两点是方程图象的关联点，B，C两点是方程图象的关联点．若点A在x轴上，点B在y轴上，求四边形的面积．
(3)若，，三点是二元一次方程图象的关联点，探究m，n，p，q之间的关系，请直接写出你的结论．
22．规定：二元一次方程有无数组解，每组解记为，称为二元一次方程亮点，将这些亮点连接得到一条直线，称这条直线是亮点的隐线，答下列问题：
(1)已知，，，则是隐线的亮点的是 ；
(2)设，是隐线的两个亮点，求方程中的正整数解；
(3)已知是实数，且，若是隐线的一个亮点，求隐线s中的最大值和最小值的和．
23．典型题例：
（1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？为什么？
（2）如图2，是的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）

迁移应用：
（3）如图3，的两条中线，相交于点，求证：；
（4）如图4，的三条中线，，相交于点，
①请你写出所有与面积相等的三角形；
②写出与的数量关系式，并说明理由；

拓展应用；
（5）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为__________．

24．已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则 ．
25．在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这个数的和与积相加正好等于这个数的和，则称这样的提取为完美提取．
例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，则提取的数字可以是 （写一种情况即可），共有 种完美提取（注：提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．
题型六、已知二元一次方程组的解的情况求参数
26．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（ ）
①，；
②若，则；
③若，则m，n有且仅有2组整数解；
④若无论取何值时，的值均不变，则；
⑤若对任意有理数，都成立，则．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
27．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
28．已知关于x，y的方程组和有相同解，求的值．
29．已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ．
30．已知关于，的方程组（是常数）．
(1)当时，则方程组可化为．
①请直接写出方程的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程，求的值．
(2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值．
题型七、方程组相同解问题
31．已如方程组和有相同的解．则的值是（ ）
A．-1 B．1 C．5 D．13
32．已知关于，的方程组
（1）请写出方程的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求的值；
（3）无论实数取何值，方程总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？
（4）如果方程组有整数解，求整数的值．
33．关于x，y的两个方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
34．甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程（1）中的，得到方程组的解为；乙看错了方程（2）中的，得到方程组的解为；计算 ．
35．已知关于x、y的方程组与有相同的解，求a、b的值．

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