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浙江省杭州市萧山区萧山东片8校2024-2025学年九年级下学期数学期初考试试题
1．（2025九下·萧山开学考）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九下·萧山开学考）若圆锥的底面半径长为6，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（　　）
A．3 B．12 C．6 D．18
3．（2025九下·萧山开学考）中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九下·萧山开学考）如图是一把伞面呈圆弧形的雨伞的简易图，，伞面的圆心为，若的度数为，伞柄，则伞面的展开距离AC为（　　）
A．45cm B． C．60cm D．
5．（2025九下·萧山开学考）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·萧山开学考）若二次函数的图象经过三点，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·萧山开学考）如图，小明在时测得某树的影长为10m，在时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　）
A． B．8m C．6m D．
8．（2025九下·萧山开学考）在中，的对边分别为，若，则的形状是（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
9．（2025九下·萧山开学考）如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④.其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．4
10．（2025九下·萧山开学考）如图，在矩形ABCD中，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线，过点作直线的垂线，垂足为，则AG的最大值为（　　）
A． B． C．3 D．4
11．（2025九下·萧山开学考）如果抛物线（其中是常数，且）在对称轴左侧的部分是随着的增大而减小，那么　 　0.（填“＜”或“＞”）
12．（2025九下·萧山开学考）如果两个相似三角形的对应边上的高之比为2：3，那么它们的对应中线之比为　 　.
13．（2025九下·萧山开学考）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高CD为3米，平台BC的长为2米，用11米长的地毯从点到点正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡AB的坡比是　 　.
14．（2025九下·萧山开学考）如图，在中，.按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边AB，AC于点M，N；②分别以点和点为圆心，大于MN一半的长为半径作圆弧，两弧在内交于点；③作射线AP交边BC于点.若，则　 　.
15．（2025九下·萧山开学考）如图，五边形ABCDE为的内接五边形，对角线AC为的直径，，KD为五边形ABCDE的外接圆的三条切线，则　 　.
16．（2025九下·萧山开学考）如图，正方形ABCD的边长为1，O为AB边上一点，将沿OD翻折至，连结.若，则　 　.
17．（2025九下·萧山开学考）计算：.
18．（2025九下·萧山开学考）如图，在中，为AC边上一点，.
（1）求证：.
（2）如果，求AB的长.
19．（2025九下·萧山开学考）某中学计划面向全校学生招募“阳光小记者”.现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选.
（1）若从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是　 　.
（2）若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法，求两位女生同时当选的概率.
20．（2025九下·萧山开学考）窗花是我们节日装饰的元素之一.如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点所在圆的圆心恰好是的内心，.
（1）求证：为等边三角形.
（2）求窗花的周长（图中实线部分的长度）.（结果保留）
21．（2025九下·萧山开学考）图1是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆AD可绕点旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知.
（1）如图2，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）.
（2）如图3，当活动杆AD绕点由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）.
22．（2025九下·萧山开学考）如图，已知在中，中线AD，BE交于点交AD于点.
（1）如果，求GD和AF的长.
（2）求证：.
23．（2025九下·萧山开学考）已知二次函数.
（1）若函数图象经过点，求抛物线的对称轴.
（2）当时，随的增大而减小，求的取值范围.
（3）若两点都在二次函数的图象上，试比较与的大小，并说明理由.
24．（2025九下·萧山开学考）如图，在中，，以AB为直径的交BC于点OC，垂足为E，BE的延长线交于点，连结
（1）求的值.
（2）求证：.
（3）求证：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：根据，可设
所以
故答案为：A.
【分析】本题考查比例的性质.根据，利用比例的性质可设，再代入进行计算可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：已知圆锥的底面半径为6，
根据侧面展开图是一个半圆，可得半圆的直径（即圆锥的母线长的两倍）等于圆锥底面的周长
所以圆锥底面的周长是：
再根据侧面展开图的半圆弧长等于圆锥底面的周长，可得：，解得：
故答案为：B.
【分析】本题考查圆锥的侧面积.先求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面展开图可得：侧面展开图的半圆弧长等于圆锥底面的周长，据此可列出方程，解方程可求出母线l.
3．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看立体图可得主视图为一个矩形.
故答案为：A.
【分析】本题考查立体几何中直棱柱的三视图.根据主视图的定义： 从正面观察几何体所看到的形状，据此可得主视图为矩形，进而可选出答案.
4．【答案】D
【知识点】垂径定理；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，连接，
由题意得，，，
则，
故答案为：D．
【分析】本题考查的是解直角三角形，垂径定理．根据垂径定理可得：，利用正弦的定理可得：，代入数据可求出答案．
5．【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 根据确定了“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题，可知基本情况数是3，
而选中“DeepSeek”的情况数为1，因为“DeepSeek”只是三个主题中的一个。
因此，小红恰好选中“DeepSeek”的概率可以表示为
故答案为：C.
【分析】本题考查简单随机事件的概率.根据题意“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题可求出基本情况的总数，再求出选中“DeepSeek”的情况数为1，利用概率公式进行计算可求出概率.
6．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据，可得开口向下
对于点 ，距离对称轴的距离为 3.5 个单位。
对于点，位于对称轴上，因此距离对称轴的距离为 0 个单位。
对于点 ，距离对称轴的距离为 2.5 个单位。
因为 B 点在对称轴上，其值最大，而点距离对称轴最远，其值最小
所以，我们可以确定最大，然后是，最后是，即
故答案为：A.
【分析】本题考查二次函数的性质.先求出三个点到对称轴的距离，再根据二次函数的性质： 对于抛物线上的任意两点，距离对称轴越近的点的值将越大，而距离对称轴越远的点的值则越小；据此可比较三个数的大小，进而可选出答案.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解： 设树高为 h ，A时树的影长为 ，B时树的影长为，
则有和 ，其中和分别是A时和B时太阳光与地面的夹角。
由两次日照的光线互相垂直，即 和互补，即，
从而
由题意，，代入得
， 化简得，
从而
所以树的高度为米
故答案为：D
【分析】本题考查相似三角形的应用，锐角三角函数的应用. 设树高为 h ，A时树的影长为 ，B时树的影长为，利用正切的定义可得：和 ，再根据两次日照的光线互相垂直，可得 和互补，进而可得，据此可列出方程，解方程可求出h的值，求出答案.
8．【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值；偶次方的非负性；绝对值的非负性；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵， ，
∴，，
∴，，即，
∴的形状是等边三角形，
故答案为：C．
【分析】本题考查三角形的形状、等腰三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、非负数的应用.根据绝对值和平方式的非负性求得：，，即，根据等边三角形的判定与性质可判定三角形的形状．
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵抛物线与轴有两个不同的交点
∴ 二次函数的图象的对应方程：有两个不相等的实数根
∴，即
∴，①正确
②观察图像可得：图像与轴交于正半轴
所以，②错误
③ 观察图像可得：对称轴为：，当时，
利用抛物线的对称性可得：当时，
所以
所以 ，③正确
④观察图像可得：对称轴为：
所以，即
又根据图像可得：当时，
所以
所以
又知
所以
所以，④正确，
故答案为：A．
【分析】本题考查二次函数中a，b，c系数的关系．根据抛物线与轴有两个不同的交点，可得对应方程：有两个不相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式方程可得：，再进行化简可判断说法①；根据图像与轴交于正半轴，可得，据此可判断说法②；观察图像可得：当时，，利用抛物线的对称性可得：当时，，据此可得，再进行计算可判断说法 ③ ；观察图像可得：对称轴为：，利用对称轴计算公式进行计算可得：，又根据图像可得：当时，可得，再结合化简可判断说法 ④ .
10．【答案】C
【知识点】矩形的性质；点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴在中，，
∴，
∵，
，
在与中，
，
，
，，共线，
，是中点，
∴在中，，
的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧．
∴的最大值为的长，即．
故答案为：C．
【分析】本题考查矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置，矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质．连接，交于点，取中点，连接，利用勾股定理可求出AC，利用直角三角形斜边中线的性质可求出OA，OC，利用平行线的性质可得：，利用全等三角形的判定定理可得：，利用全等三角形的性质可得：，进而可得E，，共线，利用直角三角形斜边中线的性质可求出GH，进而可得的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧．利用点与圆的位置关系可求出AG的最大值.
11．【答案】＞
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=ax2+bx+c 在对称轴左侧的部分是随着的增大而减小，
∴函数图象的开口向上，
∴a＞0，
故答案为：＞．
【分析】本题考查二次函数的性质．根据抛物线y=ax2+bx+c 在对称轴左侧的部分是随着的增大而减小，据此可得函数图象开口向上，据此可求出a的取值范围．
12．【答案】2：3
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解： 已知两个相似三角形的对应边上的高之比为2：3
根据相似三角形的性质：相似三角形的对应高、中线、角平分线等的比例关系都等于相似比
因此这两个相似三角形的对应中线之比也应该是2：3
综上，两个相似三角形的对应中线之比为2：3
故答案为：2：3.
【分析】本题考查相似三角形的性质.根据两个相似三角形的对应边上的高之比为2：3，利用相似三角形的性质：相似三角形的对应高、中线、角平分线等的比例关系都等于相似比，据此可求出两个相似三角形的对应中线之比.
13．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于，则四边形为矩形，
米，
根据地毯从点A到点C铺满整个台阶，所以地毯的长度覆盖了斜坡AB和平台BC的总长度
因此
所以，解得：AD=9
由题意得：米，
斜坡的坡比是，
故答案为：．
【分析】本题考查矩形的判定与性质，解直角三角形的应用—坡度坡角问题．过点作于，根据矩形的性质求出，根据地毯从点A到点C铺满整个台阶，所以地毯的长度覆盖了斜坡AB和平台BC的总长度，可得，据此可求出AD的长度，再根据可求出AE，利用坡比的概念可求出斜坡的坡比．
14．【答案】
【知识点】尺规作图-作角的平分线；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：根据作法得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查尺规作图，相似三角形的性质，直角三角形的性质．根据作法可得平分，利用角平分线的定义可得：，根据，利用相似三角形的性质可得，利用角的运算可得，再由直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：，，，利用勾股定理可得：，据此可求出CD的长，进而可求出AB的长．
15．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD。
∵AC为直径，D、B点都在圆上，
∴∠ADC=∠ABC=90°，
∵∠DAC=30°，∴∠DCA=60°，
∵OD=OC，∴△ODC是等边三角形，∠ODC=60°，
∵KD是五边形ABCDE的外接圆的切线，
∴∠KDO=90°，∴∠CDK=∠KDO-∠ODC=90°-60°=30°；
∵FA、GC是五边形ABCDE的外接圆的两条切线，
∴∠FAC=∠GCA=90°，即∠FAC+∠GCA=180°，
而∠CAB+∠ACB=90°，∠BCG+∠BAF+∠CAB+∠ACB=180°
∴∠BCG+∠BAF=90°，
∴∠BCG+∠BAF+∠CDK=90°+30°=120°。
故答案为：120°。
【分析】本题利用外切圆的性质和内接角与直径所对圆周角的性质，可以首先推出∠ODC=60°，然后利用外切圆的性质、∠FAC+∠GCA=180°、∠CAB+∠ACB=90°，即可推出∠BCG+∠BAF=90°，最后求和即可。
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】解：过D点作DH⊥A'C于H点。
∵在正方形ABCD中，∴AB=BC=CD=DA，
有折叠可知，AD=A'D，∴A'D=CD，△A'DC是等腰三角形，因此A'H=CH，
∵∠BCA'+∠HCD=90°，∠HDC+∠HCD=90°，∴∠BCA'=∠HDC，
∵∠BA'C=∠DHC=90°，BC=CD，
∴△BA'C≌△CHD（AAS），
∴A'B=CH=A'H，∴A'C=2A'B，
在直角三角形BA'C中，A'B2+A'C2=BC2，即A'B2+(2A'B)2=12，解得A'B=，A'C=，
过A'点作MN∥BC，交AB于M、CD于N，
∵∠MBA'+∠A'BC=90°，∠A'CB+∠A'BC=90°，∴∠MBA'=∠A'CB，
∴△MA'B∽△A'BC，因此，即，解得MA'=，MB=，
设OA=OA'=a，则OM=1-=，
在直角三角形OMA'中，，解得a=
因此AO=。
故答案为：.
【分析】本题首选根据直角三角形两个锐角和是90度进行角度变换，并利用AAS证明出△BA'C≌△CHD，进而求出A'B=；然后利用△MA'B∽△A'BC求出MB的长度，最后放到直角三角形OMA'中利用勾股定理即可求出AO的长度。
17．【答案】解：原式
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】本题考查特殊三角函数值.先利用特殊角的三角函数值进行计算可得：原式，再利用有理数的乘方，有理数的加减法进行计算可求出答案.
18．【答案】（1），
.
，
，
.
（2），
，
，
.
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定定理和性质.
(1)通过计算可得：.再根据，利用相似三角形的判定定理证明，利用相似三角形的性质可得：，据此可证明结论.
(2)根据，利用相似三角形的性质可得：，代入数据可得：，再进行计算可求出AB.
19．【答案】（1）
（2）画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中两位女生同时当选的结果有2种，
两位女生同时当选的概率是.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】(1) 从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，随机选出一位小记者，总的可能性有4种
选到男生的可能性有2种（甲或乙）
因此，选到男生的概率是：
【分析】本题考查列树状图求概率，简单随机事件的概率.
(1)根据从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，随机选出一位小记者可求出基本事件的个数，再求出选到男生的事件数，利用概率公式进行计算可求出答案；
(2)先画出树状图，据此可求出等可能的结果数，再求出两位女生同时当选的结果数，利用概率公式进行计算可求出答案；
20．【答案】（1）证明：六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点，
，
，
是正三角形.
（2）解：由（1）得是正三角形，
点是的内心，
.
如图，过点作于点，则，
在Rt中，，
，
的长为，
窗花的周长为.
【知识点】扇形面积的计算；已知余弦值求边长；多边形的内角和公式
【解析】【分析】本题考查多边形的内角和公式，扇形的弧长公式.
(1)先利用多边形的中心角公式进行计算可得：，再根据OA=OB，利用等边三角形的判定定理可证明结论.
(2)根据点是的内心，利用内心的性质可得：，过点作于点，利用等腰三角形的性质可得：，利用余弦的定义可得：，利用弧长公式可求出的长，进而可求出窗花的周长.
21．【答案】（1）过点作，垂足为，
由题意，得，
，
.
在Rt中，，
可伸缩支撑杆CD的长度为.
（2）过点作，交BC的延长线于点，交于点，
由题意，得.
在Rt中，，
设，则，
.
，
，
解得，
，
，
.
，
，
在Rt中，，
此时可伸缩支撑杆CD的长度为.
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数的应用.
(1)过点作，垂足为，根据题意可得，利用线段的运算可求出ED，利用勾股定理可得：，代入数据可求出CD进而可求出答案；
(2)过点作，交BC的延长线于点，交于点，利用正切的定义可得：
，设，则，利用勾股定理可求出AD，再根据，可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出AG，DG，利用线段的运算可求出DF和CF，利用勾股定理可得：，代入数据可求出CD，进而可求出答案.
22．【答案】（1）中线AD，BE交于点，
点为重心，
，
.
，
，
，
.
（2），
，
由（1）得，
.
点为重心，
，
，
.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质.
(1)中线AD，BE交于点，据此可得点为重心，利用平行线分线段成比例可得：，再再根据，GD=2，DF=3，代入数据进行计算可求出答案.
(2)根据，利用相似三角形的判定定理可得：，利用相似三角形的性质可得：，根据重心的性质可得：，进而可得，代入数据进行计算可求出答案.
23．【答案】（1）将点代入二次函数，
得，
解得，
抛物线的表达式为，
抛物线的对称轴为直线.
（2）当时，随的增大而减小，
抛物线在对称轴左侧随的增大而减小，
抛物线开口向上，
.
抛物线的对称轴为直线，
，
解得.
（3）抛物线的对称轴为直线，
，
①当时，点关于对称轴的对称点的横坐标为，
，
且在对称轴右侧，随的增大而增大，
.
②当时，点关于对称轴的对称点的横坐标为，
，
且在对称轴右侧，随的增大而减小，
.
综上，当时，；当时，.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质.
(1)将点代入二次函数，可列出方程，解方程可求出a的值，据此可求出抛物线的表达式，利用对称轴公式可求出对称轴.
(2)先求出抛物线的对称轴为：，再根据当时，随的增大而减小，可得抛物线在对称轴左侧随的增大而减小，利用二次函数的图象和性质可列出不等式，解不等式可求出a的取值范围.
(3)根据抛物线的对称轴为直线，可得，分两种情况：当时；当时；依次求出点关于对称轴的对称点的横坐标，再结合和，据此可比较出b和c的大小.
24．【答案】（1）解：，且AB是的直径，
.
，
在Rt中，，
，
在Rt中，，
.
（2）证明：过点作，交EO的延长线于点，如图1，
.
，
，
.
，
，
，
，
，
.
，
，
，
，
，
.
，
.
（3）证明：如图2，
是的直径，
.
又，
.
由（2）知，，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质.
(1)根据，且AB是的直径，可得，利用正切的定义可得：，同理利用正切的定义可得：，再代入数据进行计算可求出答案.
(2)过点作，交EO的延长线于点，据此可得.再根据AO=BO，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：.根据等腰三角形的性质可得：，利用等腰直角三角形的性质可得：，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，再根据AB=AC，据此可证明结论.
(3)利用圆周角定理可得：，再根据AB=AC可得：，由（2）知，，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，据此可证明结论.
1 / 1浙江省杭州市萧山区萧山东片8校2024-2025学年九年级下学期数学期初考试试题
1．（2025九下·萧山开学考）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：根据，可设
所以
故答案为：A.
【分析】本题考查比例的性质.根据，利用比例的性质可设，再代入进行计算可求出答案.
2．（2025九下·萧山开学考）若圆锥的底面半径长为6，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（　　）
A．3 B．12 C．6 D．18
【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：已知圆锥的底面半径为6，
根据侧面展开图是一个半圆，可得半圆的直径（即圆锥的母线长的两倍）等于圆锥底面的周长
所以圆锥底面的周长是：
再根据侧面展开图的半圆弧长等于圆锥底面的周长，可得：，解得：
故答案为：B.
【分析】本题考查圆锥的侧面积.先求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面展开图可得：侧面展开图的半圆弧长等于圆锥底面的周长，据此可列出方程，解方程可求出母线l.
3．（2025九下·萧山开学考）中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看立体图可得主视图为一个矩形.
故答案为：A.
【分析】本题考查立体几何中直棱柱的三视图.根据主视图的定义： 从正面观察几何体所看到的形状，据此可得主视图为矩形，进而可选出答案.
4．（2025九下·萧山开学考）如图是一把伞面呈圆弧形的雨伞的简易图，，伞面的圆心为，若的度数为，伞柄，则伞面的展开距离AC为（　　）
A．45cm B． C．60cm D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，连接，
由题意得，，，
则，
故答案为：D．
【分析】本题考查的是解直角三角形，垂径定理．根据垂径定理可得：，利用正弦的定理可得：，代入数据可求出答案．
5．（2025九下·萧山开学考）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 根据确定了“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题，可知基本情况数是3，
而选中“DeepSeek”的情况数为1，因为“DeepSeek”只是三个主题中的一个。
因此，小红恰好选中“DeepSeek”的概率可以表示为
故答案为：C.
【分析】本题考查简单随机事件的概率.根据题意“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题可求出基本情况的总数，再求出选中“DeepSeek”的情况数为1，利用概率公式进行计算可求出概率.
6．（2025九下·萧山开学考）若二次函数的图象经过三点，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据，可得开口向下
对于点 ，距离对称轴的距离为 3.5 个单位。
对于点，位于对称轴上，因此距离对称轴的距离为 0 个单位。
对于点 ，距离对称轴的距离为 2.5 个单位。
因为 B 点在对称轴上，其值最大，而点距离对称轴最远，其值最小
所以，我们可以确定最大，然后是，最后是，即
故答案为：A.
【分析】本题考查二次函数的性质.先求出三个点到对称轴的距离，再根据二次函数的性质： 对于抛物线上的任意两点，距离对称轴越近的点的值将越大，而距离对称轴越远的点的值则越小；据此可比较三个数的大小，进而可选出答案.
7．（2025九下·萧山开学考）如图，小明在时测得某树的影长为10m，在时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　）
A． B．8m C．6m D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解： 设树高为 h ，A时树的影长为 ，B时树的影长为，
则有和 ，其中和分别是A时和B时太阳光与地面的夹角。
由两次日照的光线互相垂直，即 和互补，即，
从而
由题意，，代入得
， 化简得，
从而
所以树的高度为米
故答案为：D
【分析】本题考查相似三角形的应用，锐角三角函数的应用. 设树高为 h ，A时树的影长为 ，B时树的影长为，利用正切的定义可得：和 ，再根据两次日照的光线互相垂直，可得 和互补，进而可得，据此可列出方程，解方程可求出h的值，求出答案.
8．（2025九下·萧山开学考）在中，的对边分别为，若，则的形状是（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值；偶次方的非负性；绝对值的非负性；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵， ，
∴，，
∴，，即，
∴的形状是等边三角形，
故答案为：C．
【分析】本题考查三角形的形状、等腰三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、非负数的应用.根据绝对值和平方式的非负性求得：，，即，根据等边三角形的判定与性质可判定三角形的形状．
9．（2025九下·萧山开学考）如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④.其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．4
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵抛物线与轴有两个不同的交点
∴ 二次函数的图象的对应方程：有两个不相等的实数根
∴，即
∴，①正确
②观察图像可得：图像与轴交于正半轴
所以，②错误
③ 观察图像可得：对称轴为：，当时，
利用抛物线的对称性可得：当时，
所以
所以 ，③正确
④观察图像可得：对称轴为：
所以，即
又根据图像可得：当时，
所以
所以
又知
所以
所以，④正确，
故答案为：A．
【分析】本题考查二次函数中a，b，c系数的关系．根据抛物线与轴有两个不同的交点，可得对应方程：有两个不相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式方程可得：，再进行化简可判断说法①；根据图像与轴交于正半轴，可得，据此可判断说法②；观察图像可得：当时，，利用抛物线的对称性可得：当时，，据此可得，再进行计算可判断说法 ③ ；观察图像可得：对称轴为：，利用对称轴计算公式进行计算可得：，又根据图像可得：当时，可得，再结合化简可判断说法 ④ .
10．（2025九下·萧山开学考）如图，在矩形ABCD中，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线，过点作直线的垂线，垂足为，则AG的最大值为（　　）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【知识点】矩形的性质；点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴在中，，
∴，
∵，
，
在与中，
，
，
，，共线，
，是中点，
∴在中，，
的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧．
∴的最大值为的长，即．
故答案为：C．
【分析】本题考查矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置，矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质．连接，交于点，取中点，连接，利用勾股定理可求出AC，利用直角三角形斜边中线的性质可求出OA，OC，利用平行线的性质可得：，利用全等三角形的判定定理可得：，利用全等三角形的性质可得：，进而可得E，，共线，利用直角三角形斜边中线的性质可求出GH，进而可得的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧．利用点与圆的位置关系可求出AG的最大值.
11．（2025九下·萧山开学考）如果抛物线（其中是常数，且）在对称轴左侧的部分是随着的增大而减小，那么　 　0.（填“＜”或“＞”）
【答案】＞
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=ax2+bx+c 在对称轴左侧的部分是随着的增大而减小，
∴函数图象的开口向上，
∴a＞0，
故答案为：＞．
【分析】本题考查二次函数的性质．根据抛物线y=ax2+bx+c 在对称轴左侧的部分是随着的增大而减小，据此可得函数图象开口向上，据此可求出a的取值范围．
12．（2025九下·萧山开学考）如果两个相似三角形的对应边上的高之比为2：3，那么它们的对应中线之比为　 　.
【答案】2：3
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解： 已知两个相似三角形的对应边上的高之比为2：3
根据相似三角形的性质：相似三角形的对应高、中线、角平分线等的比例关系都等于相似比
因此这两个相似三角形的对应中线之比也应该是2：3
综上，两个相似三角形的对应中线之比为2：3
故答案为：2：3.
【分析】本题考查相似三角形的性质.根据两个相似三角形的对应边上的高之比为2：3，利用相似三角形的性质：相似三角形的对应高、中线、角平分线等的比例关系都等于相似比，据此可求出两个相似三角形的对应中线之比.
13．（2025九下·萧山开学考）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高CD为3米，平台BC的长为2米，用11米长的地毯从点到点正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡AB的坡比是　 　.
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于，则四边形为矩形，
米，
根据地毯从点A到点C铺满整个台阶，所以地毯的长度覆盖了斜坡AB和平台BC的总长度
因此
所以，解得：AD=9
由题意得：米，
斜坡的坡比是，
故答案为：．
【分析】本题考查矩形的判定与性质，解直角三角形的应用—坡度坡角问题．过点作于，根据矩形的性质求出，根据地毯从点A到点C铺满整个台阶，所以地毯的长度覆盖了斜坡AB和平台BC的总长度，可得，据此可求出AD的长度，再根据可求出AE，利用坡比的概念可求出斜坡的坡比．
14．（2025九下·萧山开学考）如图，在中，.按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边AB，AC于点M，N；②分别以点和点为圆心，大于MN一半的长为半径作圆弧，两弧在内交于点；③作射线AP交边BC于点.若，则　 　.
【答案】
【知识点】尺规作图-作角的平分线；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：根据作法得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查尺规作图，相似三角形的性质，直角三角形的性质．根据作法可得平分，利用角平分线的定义可得：，根据，利用相似三角形的性质可得，利用角的运算可得，再由直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：，，，利用勾股定理可得：，据此可求出CD的长，进而可求出AB的长．
15．（2025九下·萧山开学考）如图，五边形ABCDE为的内接五边形，对角线AC为的直径，，KD为五边形ABCDE的外接圆的三条切线，则　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD。
∵AC为直径，D、B点都在圆上，
∴∠ADC=∠ABC=90°，
∵∠DAC=30°，∴∠DCA=60°，
∵OD=OC，∴△ODC是等边三角形，∠ODC=60°，
∵KD是五边形ABCDE的外接圆的切线，
∴∠KDO=90°，∴∠CDK=∠KDO-∠ODC=90°-60°=30°；
∵FA、GC是五边形ABCDE的外接圆的两条切线，
∴∠FAC=∠GCA=90°，即∠FAC+∠GCA=180°，
而∠CAB+∠ACB=90°，∠BCG+∠BAF+∠CAB+∠ACB=180°
∴∠BCG+∠BAF=90°，
∴∠BCG+∠BAF+∠CDK=90°+30°=120°。
故答案为：120°。
【分析】本题利用外切圆的性质和内接角与直径所对圆周角的性质，可以首先推出∠ODC=60°，然后利用外切圆的性质、∠FAC+∠GCA=180°、∠CAB+∠ACB=90°，即可推出∠BCG+∠BAF=90°，最后求和即可。
16．（2025九下·萧山开学考）如图，正方形ABCD的边长为1，O为AB边上一点，将沿OD翻折至，连结.若，则　 　.
【答案】
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】解：过D点作DH⊥A'C于H点。
∵在正方形ABCD中，∴AB=BC=CD=DA，
有折叠可知，AD=A'D，∴A'D=CD，△A'DC是等腰三角形，因此A'H=CH，
∵∠BCA'+∠HCD=90°，∠HDC+∠HCD=90°，∴∠BCA'=∠HDC，
∵∠BA'C=∠DHC=90°，BC=CD，
∴△BA'C≌△CHD（AAS），
∴A'B=CH=A'H，∴A'C=2A'B，
在直角三角形BA'C中，A'B2+A'C2=BC2，即A'B2+(2A'B)2=12，解得A'B=，A'C=，
过A'点作MN∥BC，交AB于M、CD于N，
∵∠MBA'+∠A'BC=90°，∠A'CB+∠A'BC=90°，∴∠MBA'=∠A'CB，
∴△MA'B∽△A'BC，因此，即，解得MA'=，MB=，
设OA=OA'=a，则OM=1-=，
在直角三角形OMA'中，，解得a=
因此AO=。
故答案为：.
【分析】本题首选根据直角三角形两个锐角和是90度进行角度变换，并利用AAS证明出△BA'C≌△CHD，进而求出A'B=；然后利用△MA'B∽△A'BC求出MB的长度，最后放到直角三角形OMA'中利用勾股定理即可求出AO的长度。
17．（2025九下·萧山开学考）计算：.
【答案】解：原式
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】本题考查特殊三角函数值.先利用特殊角的三角函数值进行计算可得：原式，再利用有理数的乘方，有理数的加减法进行计算可求出答案.
18．（2025九下·萧山开学考）如图，在中，为AC边上一点，.
（1）求证：.
（2）如果，求AB的长.
【答案】（1），
.
，
，
.
（2），
，
，
.
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定定理和性质.
(1)通过计算可得：.再根据，利用相似三角形的判定定理证明，利用相似三角形的性质可得：，据此可证明结论.
(2)根据，利用相似三角形的性质可得：，代入数据可得：，再进行计算可求出AB.
19．（2025九下·萧山开学考）某中学计划面向全校学生招募“阳光小记者”.现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选.
（1）若从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是　 　.
（2）若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法，求两位女生同时当选的概率.
【答案】（1）
（2）画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中两位女生同时当选的结果有2种，
两位女生同时当选的概率是.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】(1) 从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，随机选出一位小记者，总的可能性有4种
选到男生的可能性有2种（甲或乙）
因此，选到男生的概率是：
【分析】本题考查列树状图求概率，简单随机事件的概率.
(1)根据从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，随机选出一位小记者可求出基本事件的个数，再求出选到男生的事件数，利用概率公式进行计算可求出答案；
(2)先画出树状图，据此可求出等可能的结果数，再求出两位女生同时当选的结果数，利用概率公式进行计算可求出答案；
20．（2025九下·萧山开学考）窗花是我们节日装饰的元素之一.如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点所在圆的圆心恰好是的内心，.
（1）求证：为等边三角形.
（2）求窗花的周长（图中实线部分的长度）.（结果保留）
【答案】（1）证明：六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点，
，
，
是正三角形.
（2）解：由（1）得是正三角形，
点是的内心，
.
如图，过点作于点，则，
在Rt中，，
，
的长为，
窗花的周长为.
【知识点】扇形面积的计算；已知余弦值求边长；多边形的内角和公式
【解析】【分析】本题考查多边形的内角和公式，扇形的弧长公式.
(1)先利用多边形的中心角公式进行计算可得：，再根据OA=OB，利用等边三角形的判定定理可证明结论.
(2)根据点是的内心，利用内心的性质可得：，过点作于点，利用等腰三角形的性质可得：，利用余弦的定义可得：，利用弧长公式可求出的长，进而可求出窗花的周长.
21．（2025九下·萧山开学考）图1是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆AD可绕点旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知.
（1）如图2，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）.
（2）如图3，当活动杆AD绕点由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）.
【答案】（1）过点作，垂足为，
由题意，得，
，
.
在Rt中，，
可伸缩支撑杆CD的长度为.
（2）过点作，交BC的延长线于点，交于点，
由题意，得.
在Rt中，，
设，则，
.
，
，
解得，
，
，
.
，
，
在Rt中，，
此时可伸缩支撑杆CD的长度为.
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数的应用.
(1)过点作，垂足为，根据题意可得，利用线段的运算可求出ED，利用勾股定理可得：，代入数据可求出CD进而可求出答案；
(2)过点作，交BC的延长线于点，交于点，利用正切的定义可得：
，设，则，利用勾股定理可求出AD，再根据，可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出AG，DG，利用线段的运算可求出DF和CF，利用勾股定理可得：，代入数据可求出CD，进而可求出答案.
22．（2025九下·萧山开学考）如图，已知在中，中线AD，BE交于点交AD于点.
（1）如果，求GD和AF的长.
（2）求证：.
【答案】（1）中线AD，BE交于点，
点为重心，
，
.
，
，
，
.
（2），
，
由（1）得，
.
点为重心，
，
，
.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质.
(1)中线AD，BE交于点，据此可得点为重心，利用平行线分线段成比例可得：，再再根据，GD=2，DF=3，代入数据进行计算可求出答案.
(2)根据，利用相似三角形的判定定理可得：，利用相似三角形的性质可得：，根据重心的性质可得：，进而可得，代入数据进行计算可求出答案.
23．（2025九下·萧山开学考）已知二次函数.
（1）若函数图象经过点，求抛物线的对称轴.
（2）当时，随的增大而减小，求的取值范围.
（3）若两点都在二次函数的图象上，试比较与的大小，并说明理由.
【答案】（1）将点代入二次函数，
得，
解得，
抛物线的表达式为，
抛物线的对称轴为直线.
（2）当时，随的增大而减小，
抛物线在对称轴左侧随的增大而减小，
抛物线开口向上，
.
抛物线的对称轴为直线，
，
解得.
（3）抛物线的对称轴为直线，
，
①当时，点关于对称轴的对称点的横坐标为，
，
且在对称轴右侧，随的增大而增大，
.
②当时，点关于对称轴的对称点的横坐标为，
，
且在对称轴右侧，随的增大而减小，
.
综上，当时，；当时，.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质.
(1)将点代入二次函数，可列出方程，解方程可求出a的值，据此可求出抛物线的表达式，利用对称轴公式可求出对称轴.
(2)先求出抛物线的对称轴为：，再根据当时，随的增大而减小，可得抛物线在对称轴左侧随的增大而减小，利用二次函数的图象和性质可列出不等式，解不等式可求出a的取值范围.
(3)根据抛物线的对称轴为直线，可得，分两种情况：当时；当时；依次求出点关于对称轴的对称点的横坐标，再结合和，据此可比较出b和c的大小.
24．（2025九下·萧山开学考）如图，在中，，以AB为直径的交BC于点OC，垂足为E，BE的延长线交于点，连结
（1）求的值.
（2）求证：.
（3）求证：.
【答案】（1）解：，且AB是的直径，
.
，
在Rt中，，
，
在Rt中，，
.
（2）证明：过点作，交EO的延长线于点，如图1，
.
，
，
.
，
，
，
，
，
.
，
，
，
，
，
.
，
.
（3）证明：如图2，
是的直径，
.
又，
.
由（2）知，，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质.
(1)根据，且AB是的直径，可得，利用正切的定义可得：，同理利用正切的定义可得：，再代入数据进行计算可求出答案.
(2)过点作，交EO的延长线于点，据此可得.再根据AO=BO，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：.根据等腰三角形的性质可得：，利用等腰直角三角形的性质可得：，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，再根据AB=AC，据此可证明结论.
(3)利用圆周角定理可得：，再根据AB=AC可得：，由（2）知，，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，据此可证明结论.
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