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浙江省温州市洞头区2024-2025学年九年级下学期数学基础素养第一次适应性检测试题
1．（2025九下·洞头模拟）下表记录了四个地区的最低海拔.
死海 吐鲁番 乌鲁木齐 青岛
-392米 -155米 918米 0米
以上四个地区海拔最低的地区是（　　）
A．死海 B．吐鲁番 C．乌鲁木齐 D．青岛
2．（2025九下·洞头模拟）由6个相同正方体搭成的几何体如图所示，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·洞头模拟）2025年春节假期浙江省累计旅游人数为35673000人次，其中数35673000用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九下·洞头模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·洞头模拟）洞头某5天的气温分别为10，10，12，13，15，这5天气温的众数和中位数分别为（　　）
A．12，10 B．10，12 C．10，13 D．13，15
6．（2025九下·洞头模拟）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形.若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·洞头模拟）不等式2(1-x)>-4的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（2025九下·洞头模拟）如图是由四个全等的直角三角形（）组成的新图形，若，则正方形ABCD的边长为（　　）
A．5 B． C． D．6
9．（2025九下·洞头模拟）已知两点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当－时，
C．当时， D．当时，
10．（2025九下·洞头模拟）如图，在菱形ABCD中，，连接BD，O是BD的中点，是DA延长线上的一点，连接OE，作，交AB的延长线于点，记，，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C．xy D．
11．（2025九下·洞头模拟）因式分解：a2+3a=　 　 ．
12．（2025九下·洞头模拟）若，则　 　.
13．（2025九下·洞头模拟）如图，是外一点，BO的延长线交于点A，BC切于点.若，则　 　.
14．（2025九下·洞头模拟）有3张卡片，上面分别写着数1，2，3，从中随机抽取2张，数字之和是偶数的概率是　 　.
15．（2025九下·洞头模拟）如图，DE是的中位线，是DE上的一点，连接若，则EF的长为　 　.
16．（2025九下·洞头模拟）如图，在正方形ABCD中，是边AD上一点，.将沿CM翻折得，延长分别交AB于点P、Q，过作交CQ于点，则与的面积比为　 　.
17．（2025九下·洞头模拟）计算：。
18．（2025九下·洞头模拟）解方程组：。
19．（2025九下·洞头模拟）如图，在中，。
（1）求BD的长。
（2）求的值。
20．（2025九下·洞头模拟）某校拟开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，为了解学生的研学地点选择意向，随机抽取部分学生进行问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下：
研学活动意向地点调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写。 问题1：在以下四个研学地点中，你最喜爱的是 ▲ 。 （A）博物馆 （B）动物园 （C）植物园 （D）海洋馆 如果问题1选择.请继续回答问题2。 问题2：你更喜欢的海洋馆表演节目是 ▲ （E）白鲸互动 （F）水下芭蕾 （G）美人鱼表演 （H）其他
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中最喜爱“洋馆”的学生中更喜欢“白鲸互动”节目的有多少人？
（2）该校有1600名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“博物馆”的学生人数。
21．（2025九下·洞头模拟）小明与小丽一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中.用尺规作BC边上的高线。
小明：作BC边上的中垂线，则中垂线为高线。
小丽：小明，你的作法有问题。
小丽：如图2，以点为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点，连接AD，作的平分线交BC于点.则AE为BC边上高线。
小明：哦……我明白了！
（1）指出小明作法中存在的问题。
（2）给出小丽作法中AE为BC边上高线的证明。
22．（2025九下·洞头模拟）某日上午，小慧和小聪同时骑自行车从不同的地点出发前往某风景区游览（如图1）。小慧从A地出发，小聪从地出发，地距离地1000米。小聪的行程分为三段，中间休息了一次，其中小聪第一段的骑行速度比第二段快20米/分，第二段的骑行速度与小慧速度相同且比第三段快50米／分。小慧和小聪的行程相关信息如表所示；离地的距离（米）与小慧、小聪骑行时间（分）的函数关系如图2所示。
时间 里程分段 行程里程
小慧 不分段 9600米
小聪 第一段 1800米
休息
第二段 2400米
第三段 4400米
（1）分别求出小聪各段骑行速度（单位：米／分）。
（2）求小聪休息时间（单位：分）。
（3）在分钟时两人相遇，求的值。
23．（2025九下·洞头模拟）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点和。
（1）求二次函数的表达式。
（2）若将点向上平移9个单位长度得到，作点，使关于抛物线的对称轴对称，再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值。
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为-2，求的取值范围。
24．（2025九下·洞头模拟）如图，在中，，过点作圆，取圆上一点，连接CE交圆于点.连接，使，连接FD。
（1）若，求的度数。
（2）①求证：；
②求证：AE为圆的直径。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴海拔最低的地区是死海．
故答案为：A．
【分析】本题考查有理数大小比较的实际应用.根据负数小于零、正数大于零，先将四个数进行比较可得：，据此可找出四个地区海拔最低的地区.
2．【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的主视图是：
故答案为：C．
【分析】本题考查组合体的三视图．根据主视图的定义，主视图是从正面看到的图形，进而可选出答案．
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数35673000用科学记数法表示为．
故答案为：D．
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数的方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，根据数据可得：a=3.5673.n=7，据此可选出答案．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意，A错误；
B. ，故本选项运算错误，不符合题意，B错误；
C. ，故本选项运算错误，不符合题意，C错误；
D. ，本选项运算正确，符合题意，D正确．
故答案为：D．
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂除法运算．根据同类项定义可得 与不是同类项，不能合并，据此可判断A选项；根据同底数幂乘法运算法则可得：，据此可判断B选项；根据幂的乘方运算法则可得：，据此可判断C选项；根据同底数幂除法运算法则可得：，据此可判断D选项.
5．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这5天气温的众数是10；中位数是12；
故答案为：B．
【分析】本题考查统计应用，众数和中位数的定义.先观察数据可得10出现次数最多，利用众数的定义可求出众数；根据题意可得12排在中间，利用中位数的定义可求出中位数.
6．【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵与是以原点为位似中心的位似图形，
∴与的相似比为3，
又∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】本题考查位似图形．已知点、点的坐标，可得，据此可求出，进而可得与的相似比为3，再根据，利用位似的性质可求出对应点的坐标．
7．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式，
可得，
将解集在数轴上表示出来，如下图所示：
故答案为：A．
【分析】本题考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集．先去括号解不等式可得：，在将解集在数轴上表示出来可选出答案．
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，，
设，则，
，
，
，
，
则正方形的边长为，
故答案为：C．
【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质.先利用全等三角形的性质得到，设，则，利用线段的运算可得：，解方程可求出x=3，进而可求得，利用勾股定理可求出AB，进而可求出正方形的边长．
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵，
A.当时，点，点都在第一象限，
∴，A正确；
B.C.当时，，
∴点在第三象限，点在第一象限，
∴，B错误、C错误；
D.当时，，则点，点都在第三象限，
∴，D错误；
故答案为：A．
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质.根据反比例函数的性质可得：当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．当时，点，点都在第一象限，再根据，据此可判断的大小，判断A选项；当时，，点在第三象限，点在第一象限，再根据，据此可判断的大小，判断B选项和C选项；当时，，则点，点都在第三象限，再根据，据此可判断的大小，判断D选项.
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过O作交于G，如图所示：

∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
故答案为：B．
【分析】本题利用菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及角度变换，逐步推断出，此时即可得出，而AG=1，然后将，分别进行替换，即可得出答案。
11．【答案】a（a+3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2+3a=a（a+3）．
故答案为：a（a+3）．
【分析】直接提取公因式a，进而得出答案．
12．【答案】1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母得，，
移项、合并同类项得，
解得．
检验：把代入，
是原分式方程的解．
故答案为：．
【分析】本题考查分式方程的解法．先去分母化成一元一次方程，移项、合并同类项得，再将x的系数化为1可求出x的值，再进行检验可求出方程的解.
13．【答案】30°
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，如图，
切于，
，
．
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质.连接，根据切线的性质得，再根据OA=OC，利用等腰三角形的性质可得：，利用三角形外角性质可得，利用角的运算可得，代入数据进行计算可求出答案．
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
1 2 3
1 — 3 4
2 3 — 5
3 4 5 —
由上表可知，共有6种等可能得结果，其中偶数有2种，
数字之和是偶数的概率是，
故答案为：．
【分析】本题考查列表法求概率.先列表求出从中随机抽取2张，数字之和的全部结果数，再数出偶数结果数，再利用简单概率公式进行计算可求出概率．
15．【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∠AFB=90°，
∴DE=BC，DF=AB，
∵BC=16，AB=10，
∴DE=×16=8，DF=×10=5，
∴EF=DE-DF=8-5=3，
故答案为3．
【分析】本题考查三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质．已知DE为△ABC的中位线，∠AFB=90°，利用三角形中位线定理可得三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此可得DE=BC，DF=AB，进而可求出DE和DF的长，利用线段的运算可得：EF=DE-DF，代入数据可求出答案.
16．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，连接，

根据折叠的性质可得，
四边形为正方形，
，
在与中，
，
，
，
设，则，
设，则，，
在直角三角形中，，
即，
解得，
，
，
，
与的面积比为，
故答案为：．
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质.根据折叠的性质可得，利用正方形的性质可得：，利用直角三角形全等的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得，设，则，设，利用线段的运算可得，，利用勾股定理可得，据此可列出方程，解方程可求出，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得
，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：与的面积比为，代入数据可求出答案.
17．【答案】
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算、负整数次幂、算术平方根、绝对值．先计算负整数次幂、算术平方根、绝对值可得：原式，再利用有理数的加法进行计算可求出答案.
18．【答案】解：①得③
③－②得7
把代入②得
方程组的解集为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
19．【答案】（1）
又
（2）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；求正弦值
【解析】【分析】（1）根据，利用等角对等边可得：，由得，由勾股定理得，利用线段的运算可得：，代入数据可求出答案；
（2）先利用勾股定理可求出，再由三角函数的正弦的定义可求出的值．
20．【答案】（1）解：本次调查中最喜爱“海洋馆”的学生中更喜欢“白鲸互动”节目的人数有人
（2）解：由折线统计图可得抽查样本容量为人，
该校有1600名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“博物馆”的学生人数为人
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；折线统计图
【解析】【分析】本题考查统计知识，折线统计图与扇形统计图信息关联、由样本估计总体．
（1）由问题1答题情况折线统计图与D选项中90人问题2的答题情况扇形统中的数据信息可得：本次调查中最喜爱“海洋馆”的学生中更喜欢“白鲸互动”节目的人数有，再进行计算可求出答案；
（2）由问题1答题情况折线统计图先求出抽查样本容量，进而可求出该校最喜爱“博物馆”的学生人数占比，用该校有1600名学生乘以该校最喜爱“博物馆”的学生人数占比，可求出答案．
21．【答案】（1）①要过点A作高
（2）方法一：由题可得平分
方法二：
平分
又
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）根据三角形高的定义：高线 是一条线段，但中垂线是一条直线，据此可得出答案；
（2）方法一：根据平分，利用中垂线的性质可得：
方法二：根据平分，利用角平分线的概念可得：，再根据AB=AD，AE=AE，利用全等三角形的判定定理SAS可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用角的运算可得，进而可证明结论．
22．【答案】（1）小慧的速度为（米／分），则小聪第二段的速度为160（米／分）
小聪第一段的速度为（米／分）
小聪第三段的速度为（米／分）
答：小聪各段的速度分别为160米／分、180米／分、110米／分
（2）小聪第一段的时间为（分）
小聪第二段的时间为（分）
小聪第三段的时间为（分）
则小聪休息时间为（分）
答：小聪休息时间为5分钟
（3）
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息：
（1）先求出小慧的速度，进而得到小聪第二段的速度，进而可得小聪第一段速度为：，第三段的速度为：，再进行计算可求出小聪各段骑行速度 ；
（2）先求出小聪运动的三段所用的时间，用总时间减去三段时间可得：小聪休息时间为，再进行计算可求出答案；
（3）根据相遇时小聪的路程加上1000米等于小慧的总路程，据此可列出方程：，解方程可求出a的值，据此可求出答案．
23．【答案】（1）把和代入，
得解得
二次函数的关系式为
（2）由题意可得，抛物线对称轴为直线
则，
再向左平移个单位长度后的点为，恰好落在的图象上，
解得.
又因为，所以
（3）二次函数图象的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的和为-2
当时，二次函数的最小值为，最大值为7；则-2，解得，不合题意，舍去；
当时，二次函数的最小值为-9，最大值为7；则，符合题意.
当时，最大值大于7，则最大值与最小值的和不可能为-2，不合题意.
综上所述，的取值范围是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）把和代入，可列出方程组，解方程组可求出b和c的值，据此可求出二次函数的表达式 ；
（2）先求出抛物线对称轴为直线，根据，利用抛物线的对称性可求出，再由点的平移得到，由点在抛物线上，据此可列出方程，解方程可求出m的值，进而可求出答案；
（3）根据次函数图象的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的和为-2，分两种情况：当时；当时；利用二次函数的性质可列出方程-2，并检验 最大值与最小值的和为-2 ，进而可求出n的取值范围．
24．【答案】（1）
四边形ADFE为圆内接四边形，
（2）①
四边形ABCD为平行四边形，
.
②解法一：作，交圆于点，连接BP，
四边形ABCD为平行四边形，
弧弧DE
弧弧DP
为直径.
解法二：作，交圆于点，连接BP，
，
四边形ABCD为平行四边形，
弧弧DE
弧弧DP
为直径.
解法三：提示：连接BD，
易得
为直径.
解法四：提示：连接ED交CB于点，
易得
由：
为直径
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）在中，由三角形外角性质可得，再由圆内接四边形的性质可得：，据此可求出的度数；
（2）①根据，利用等角对等边可得：，根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质可得：AB=CD，进而可得，由等腰三角形性质可证明结论；
②解法一：作，交圆于点，连接，根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质可得：，根据，利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等可得：，再根据，利用全等三角形的判定定理ASA可证明，利用全等三角形的性质可得：AP=DE，利用弦、弧及圆周角关系得到，根据平行线性质确定即可得到，据此可证明结论．
1 / 1浙江省温州市洞头区2024-2025学年九年级下学期数学基础素养第一次适应性检测试题
1．（2025九下·洞头模拟）下表记录了四个地区的最低海拔.
死海 吐鲁番 乌鲁木齐 青岛
-392米 -155米 918米 0米
以上四个地区海拔最低的地区是（　　）
A．死海 B．吐鲁番 C．乌鲁木齐 D．青岛
【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴海拔最低的地区是死海．
故答案为：A．
【分析】本题考查有理数大小比较的实际应用.根据负数小于零、正数大于零，先将四个数进行比较可得：，据此可找出四个地区海拔最低的地区.
2．（2025九下·洞头模拟）由6个相同正方体搭成的几何体如图所示，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的主视图是：
故答案为：C．
【分析】本题考查组合体的三视图．根据主视图的定义，主视图是从正面看到的图形，进而可选出答案．
3．（2025九下·洞头模拟）2025年春节假期浙江省累计旅游人数为35673000人次，其中数35673000用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数35673000用科学记数法表示为．
故答案为：D．
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数的方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，根据数据可得：a=3.5673.n=7，据此可选出答案．
4．（2025九下·洞头模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意，A错误；
B. ，故本选项运算错误，不符合题意，B错误；
C. ，故本选项运算错误，不符合题意，C错误；
D. ，本选项运算正确，符合题意，D正确．
故答案为：D．
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂除法运算．根据同类项定义可得 与不是同类项，不能合并，据此可判断A选项；根据同底数幂乘法运算法则可得：，据此可判断B选项；根据幂的乘方运算法则可得：，据此可判断C选项；根据同底数幂除法运算法则可得：，据此可判断D选项.
5．（2025九下·洞头模拟）洞头某5天的气温分别为10，10，12，13，15，这5天气温的众数和中位数分别为（　　）
A．12，10 B．10，12 C．10，13 D．13，15
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这5天气温的众数是10；中位数是12；
故答案为：B．
【分析】本题考查统计应用，众数和中位数的定义.先观察数据可得10出现次数最多，利用众数的定义可求出众数；根据题意可得12排在中间，利用中位数的定义可求出中位数.
6．（2025九下·洞头模拟）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形.若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵与是以原点为位似中心的位似图形，
∴与的相似比为3，
又∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】本题考查位似图形．已知点、点的坐标，可得，据此可求出，进而可得与的相似比为3，再根据，利用位似的性质可求出对应点的坐标．
7．（2025九下·洞头模拟）不等式2(1-x)>-4的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式，
可得，
将解集在数轴上表示出来，如下图所示：
故答案为：A．
【分析】本题考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集．先去括号解不等式可得：，在将解集在数轴上表示出来可选出答案．
8．（2025九下·洞头模拟）如图是由四个全等的直角三角形（）组成的新图形，若，则正方形ABCD的边长为（　　）
A．5 B． C． D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，，
设，则，
，
，
，
，
则正方形的边长为，
故答案为：C．
【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质.先利用全等三角形的性质得到，设，则，利用线段的运算可得：，解方程可求出x=3，进而可求得，利用勾股定理可求出AB，进而可求出正方形的边长．
9．（2025九下·洞头模拟）已知两点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当－时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵，
A.当时，点，点都在第一象限，
∴，A正确；
B.C.当时，，
∴点在第三象限，点在第一象限，
∴，B错误、C错误；
D.当时，，则点，点都在第三象限，
∴，D错误；
故答案为：A．
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质.根据反比例函数的性质可得：当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．当时，点，点都在第一象限，再根据，据此可判断的大小，判断A选项；当时，，点在第三象限，点在第一象限，再根据，据此可判断的大小，判断B选项和C选项；当时，，则点，点都在第三象限，再根据，据此可判断的大小，判断D选项.
10．（2025九下·洞头模拟）如图，在菱形ABCD中，，连接BD，O是BD的中点，是DA延长线上的一点，连接OE，作，交AB的延长线于点，记，，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C．xy D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过O作交于G，如图所示：

∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴
故答案为：B．
【分析】本题利用菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及角度变换，逐步推断出，此时即可得出，而AG=1，然后将，分别进行替换，即可得出答案。
11．（2025九下·洞头模拟）因式分解：a2+3a=　 　 ．
【答案】a（a+3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2+3a=a（a+3）．
故答案为：a（a+3）．
【分析】直接提取公因式a，进而得出答案．
12．（2025九下·洞头模拟）若，则　 　.
【答案】1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母得，，
移项、合并同类项得，
解得．
检验：把代入，
是原分式方程的解．
故答案为：．
【分析】本题考查分式方程的解法．先去分母化成一元一次方程，移项、合并同类项得，再将x的系数化为1可求出x的值，再进行检验可求出方程的解.
13．（2025九下·洞头模拟）如图，是外一点，BO的延长线交于点A，BC切于点.若，则　 　.
【答案】30°
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，如图，
切于，
，
．
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质.连接，根据切线的性质得，再根据OA=OC，利用等腰三角形的性质可得：，利用三角形外角性质可得，利用角的运算可得，代入数据进行计算可求出答案．
14．（2025九下·洞头模拟）有3张卡片，上面分别写着数1，2，3，从中随机抽取2张，数字之和是偶数的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
1 2 3
1 — 3 4
2 3 — 5
3 4 5 —
由上表可知，共有6种等可能得结果，其中偶数有2种，
数字之和是偶数的概率是，
故答案为：．
【分析】本题考查列表法求概率.先列表求出从中随机抽取2张，数字之和的全部结果数，再数出偶数结果数，再利用简单概率公式进行计算可求出概率．
15．（2025九下·洞头模拟）如图，DE是的中位线，是DE上的一点，连接若，则EF的长为　 　.
【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∠AFB=90°，
∴DE=BC，DF=AB，
∵BC=16，AB=10，
∴DE=×16=8，DF=×10=5，
∴EF=DE-DF=8-5=3，
故答案为3．
【分析】本题考查三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质．已知DE为△ABC的中位线，∠AFB=90°，利用三角形中位线定理可得三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此可得DE=BC，DF=AB，进而可求出DE和DF的长，利用线段的运算可得：EF=DE-DF，代入数据可求出答案.
16．（2025九下·洞头模拟）如图，在正方形ABCD中，是边AD上一点，.将沿CM翻折得，延长分别交AB于点P、Q，过作交CQ于点，则与的面积比为　 　.
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，连接，

根据折叠的性质可得，
四边形为正方形，
，
在与中，
，
，
，
设，则，
设，则，，
在直角三角形中，，
即，
解得，
，
，
，
与的面积比为，
故答案为：．
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质.根据折叠的性质可得，利用正方形的性质可得：，利用直角三角形全等的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得，设，则，设，利用线段的运算可得，，利用勾股定理可得，据此可列出方程，解方程可求出，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得
，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：与的面积比为，代入数据可求出答案.
17．（2025九下·洞头模拟）计算：。
【答案】
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算、负整数次幂、算术平方根、绝对值．先计算负整数次幂、算术平方根、绝对值可得：原式，再利用有理数的加法进行计算可求出答案.
18．（2025九下·洞头模拟）解方程组：。
【答案】解：①得③
③－②得7
把代入②得
方程组的解集为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
19．（2025九下·洞头模拟）如图，在中，。
（1）求BD的长。
（2）求的值。
【答案】（1）
又
（2）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；求正弦值
【解析】【分析】（1）根据，利用等角对等边可得：，由得，由勾股定理得，利用线段的运算可得：，代入数据可求出答案；
（2）先利用勾股定理可求出，再由三角函数的正弦的定义可求出的值．
20．（2025九下·洞头模拟）某校拟开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，为了解学生的研学地点选择意向，随机抽取部分学生进行问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下：
研学活动意向地点调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写。 问题1：在以下四个研学地点中，你最喜爱的是 ▲ 。 （A）博物馆 （B）动物园 （C）植物园 （D）海洋馆 如果问题1选择.请继续回答问题2。 问题2：你更喜欢的海洋馆表演节目是 ▲ （E）白鲸互动 （F）水下芭蕾 （G）美人鱼表演 （H）其他
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中最喜爱“洋馆”的学生中更喜欢“白鲸互动”节目的有多少人？
（2）该校有1600名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“博物馆”的学生人数。
【答案】（1）解：本次调查中最喜爱“海洋馆”的学生中更喜欢“白鲸互动”节目的人数有人
（2）解：由折线统计图可得抽查样本容量为人，
该校有1600名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“博物馆”的学生人数为人
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；折线统计图
【解析】【分析】本题考查统计知识，折线统计图与扇形统计图信息关联、由样本估计总体．
（1）由问题1答题情况折线统计图与D选项中90人问题2的答题情况扇形统中的数据信息可得：本次调查中最喜爱“海洋馆”的学生中更喜欢“白鲸互动”节目的人数有，再进行计算可求出答案；
（2）由问题1答题情况折线统计图先求出抽查样本容量，进而可求出该校最喜爱“博物馆”的学生人数占比，用该校有1600名学生乘以该校最喜爱“博物馆”的学生人数占比，可求出答案．
21．（2025九下·洞头模拟）小明与小丽一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中.用尺规作BC边上的高线。
小明：作BC边上的中垂线，则中垂线为高线。
小丽：小明，你的作法有问题。
小丽：如图2，以点为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点，连接AD，作的平分线交BC于点.则AE为BC边上高线。
小明：哦……我明白了！
（1）指出小明作法中存在的问题。
（2）给出小丽作法中AE为BC边上高线的证明。
【答案】（1）①要过点A作高
（2）方法一：由题可得平分
方法二：
平分
又
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）根据三角形高的定义：高线 是一条线段，但中垂线是一条直线，据此可得出答案；
（2）方法一：根据平分，利用中垂线的性质可得：
方法二：根据平分，利用角平分线的概念可得：，再根据AB=AD，AE=AE，利用全等三角形的判定定理SAS可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用角的运算可得，进而可证明结论．
22．（2025九下·洞头模拟）某日上午，小慧和小聪同时骑自行车从不同的地点出发前往某风景区游览（如图1）。小慧从A地出发，小聪从地出发，地距离地1000米。小聪的行程分为三段，中间休息了一次，其中小聪第一段的骑行速度比第二段快20米/分，第二段的骑行速度与小慧速度相同且比第三段快50米／分。小慧和小聪的行程相关信息如表所示；离地的距离（米）与小慧、小聪骑行时间（分）的函数关系如图2所示。
时间 里程分段 行程里程
小慧 不分段 9600米
小聪 第一段 1800米
休息
第二段 2400米
第三段 4400米
（1）分别求出小聪各段骑行速度（单位：米／分）。
（2）求小聪休息时间（单位：分）。
（3）在分钟时两人相遇，求的值。
【答案】（1）小慧的速度为（米／分），则小聪第二段的速度为160（米／分）
小聪第一段的速度为（米／分）
小聪第三段的速度为（米／分）
答：小聪各段的速度分别为160米／分、180米／分、110米／分
（2）小聪第一段的时间为（分）
小聪第二段的时间为（分）
小聪第三段的时间为（分）
则小聪休息时间为（分）
答：小聪休息时间为5分钟
（3）
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息：
（1）先求出小慧的速度，进而得到小聪第二段的速度，进而可得小聪第一段速度为：，第三段的速度为：，再进行计算可求出小聪各段骑行速度 ；
（2）先求出小聪运动的三段所用的时间，用总时间减去三段时间可得：小聪休息时间为，再进行计算可求出答案；
（3）根据相遇时小聪的路程加上1000米等于小慧的总路程，据此可列出方程：，解方程可求出a的值，据此可求出答案．
23．（2025九下·洞头模拟）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点和。
（1）求二次函数的表达式。
（2）若将点向上平移9个单位长度得到，作点，使关于抛物线的对称轴对称，再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值。
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为-2，求的取值范围。
【答案】（1）把和代入，
得解得
二次函数的关系式为
（2）由题意可得，抛物线对称轴为直线
则，
再向左平移个单位长度后的点为，恰好落在的图象上，
解得.
又因为，所以
（3）二次函数图象的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的和为-2
当时，二次函数的最小值为，最大值为7；则-2，解得，不合题意，舍去；
当时，二次函数的最小值为-9，最大值为7；则，符合题意.
当时，最大值大于7，则最大值与最小值的和不可能为-2，不合题意.
综上所述，的取值范围是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）把和代入，可列出方程组，解方程组可求出b和c的值，据此可求出二次函数的表达式 ；
（2）先求出抛物线对称轴为直线，根据，利用抛物线的对称性可求出，再由点的平移得到，由点在抛物线上，据此可列出方程，解方程可求出m的值，进而可求出答案；
（3）根据次函数图象的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的和为-2，分两种情况：当时；当时；利用二次函数的性质可列出方程-2，并检验 最大值与最小值的和为-2 ，进而可求出n的取值范围．
24．（2025九下·洞头模拟）如图，在中，，过点作圆，取圆上一点，连接CE交圆于点.连接，使，连接FD。
（1）若，求的度数。
（2）①求证：；
②求证：AE为圆的直径。
【答案】（1）
四边形ADFE为圆内接四边形，
（2）①
四边形ABCD为平行四边形，
.
②解法一：作，交圆于点，连接BP，
四边形ABCD为平行四边形，
弧弧DE
弧弧DP
为直径.
解法二：作，交圆于点，连接BP，
，
四边形ABCD为平行四边形，
弧弧DE
弧弧DP
为直径.
解法三：提示：连接BD，
易得
为直径.
解法四：提示：连接ED交CB于点，
易得
由：
为直径
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）在中，由三角形外角性质可得，再由圆内接四边形的性质可得：，据此可求出的度数；
（2）①根据，利用等角对等边可得：，根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质可得：AB=CD，进而可得，由等腰三角形性质可证明结论；
②解法一：作，交圆于点，连接，根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质可得：，根据，利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等可得：，再根据，利用全等三角形的判定定理ASA可证明，利用全等三角形的性质可得：AP=DE，利用弦、弧及圆周角关系得到，根据平行线性质确定即可得到，据此可证明结论．
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